Dérivation : Résumé de cours et méthodes

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Dérivation : Résumé de cours et méthodes"

Transcription

1 Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers un réel, appelé alors nombre dérivé de en a et noté (a), lorsque tend vers 0. Si est dérivable pour tous les éléments de I, on dit que est dérivable sur I et on appelle dérivée de la onction, notée, qui à tout a de I associe (a), le nombre dérivé de en a. Eemple : Soit déinie sur R par 2. (a + ) (a) Pour tout a, = (a + )2 a 2 = a2 + 2a + 2 a 2 = 2a +. Ce quotient tend vers 2a quand tend vers 0. Pour tout a, est donc dérivable en a et (a) = 2a. On dit que est dérivable sur R et que sa onction dérivée est déinie par 2. 2 Dérivées des onctions usuelles : Fonction Fonction dérivée pour tout de Eemples a 0 R 3 0 a + b a R n (n entier 2) n n R R n (n entier 2) n n+ R ]0; + [ ES - Dérivation c P.Bracet -

2 3 Étude orme par orme des opérations sur les onctions dérivables : Avertissement : Nous utiliserons par souci de simpliication le traditionnel et areu abus de langage qui consiste par eemple à dire que la dérivée de 2 est égale à 2 (alors que nous devrions dire en ait que la dérivée de la onction qui à associe 2 est la onction qui à associe 2). Il ne aut jamais oublier que l on ne doit pas conondre une onction avec () (l image de par qui est un réel) et que la dérivée est elle-même une onction qui à tout associe () (le nombre dérivé de en, qui est un réel). Toujours par souci de simpliication, nous ne nous préciserons pas dans les eemples les intervalles où les onctions sont dérivables ain de nous concentrer sur l utilisation des ormules. 3- Forme + g Si et g sont deu onctions dérivables sur un intervalle I alors la onction + g est aussi dérivable sur I et ( + g) = + g. ) La dérivée de la onction déinie par 2 + est déinie par : 2 + dérivée de 2 dérivée de 2) La dérivée de la onction déinie par est déinie par : dérivée de 3 dérivée de 4 3) La dérivée de la onction déinie par + est déinie par : 2 + ( ) } {{ 2 } dérivée de dérivée de 3-2 Forme k (k réel) Si est une onction dérivable sur un intervalle I et si k est un réel alors la onction k est aussi dérivable sur I et (k ) = k. ) La dérivée de la onction déinie par 3 2 est déinie par : 3 2 = 6 dérivée de 2 2) La dérivée de la onction déinie par 5 3 est déinie par : dérivée de 3 = 5 2 3) La dérivée de la onction déinie par 2 = 2 est déinie par : 2 ( ) } {{ 2 = 2 } 2 dérivée de 3-3 Forme g Si et g sont deu onctions dérivables sur un intervalle I alors la onction g est aussi dérivable sur I et ( g) = g + g. 2 c P.Bracet - ES - Dérivation

3 ) La dérivée de la onction déinie par est déinie par : + dérivée de dérivée de 2) La dérivée de la onction déinie par 2 (3 + ) est déinie par : 2 (3 + ) + 2 dérivée de 2 dérivée de Forme 2 Si est une onction dérivable sur un intervalle I alors la onction 2 est aussi dérivable sur I et ( 2) = 2. ) La dérivée de la onction déinie par (3 + ) 2 est déinie par : 2 3 dérivée de 3+ (3 + ) = 6(3 + ) 2) La dérivée de la onction déinie par ( ) 2 est déinie par : 2 ( ) } {{ } dérivée de 3 +4 ( 3 + 4) 3-5 Forme Si est une onction dérivable sur un intervalle I (où () ne s annule pas) alors la onction ( ) = 2. est aussi dérivable sur I et ) La dérivée de la onction déinie par dérivée de 5 5 (5 ) 2 est déinie par : 5 2) La dérivée de la onction déinie par 2 est déinie par : + 3 dérivée de ( 2 + 3) Forme g Si et g sont deu onctions dérivables sur un intervalle I (où g() ne s annule pas) alors la onction ( ) g et = g g g g 2. est aussi dérivable sur I ES - Dérivation c P.Bracet - 3

4 ) La dérivée de la onction déinie par 7 est déinie par : dérivée de 7 dérivée de 2+3 (7) (2 + 3) (7) (2) (2 + 3) 2 = (2 + 3) 2 = 2 (2 + 3) 2 2) La dérivée de la onction déinie par 2 est déinie par : 3 + dérivée de 2 dérivée de 3+ (2) (3 + ) ( 2 ) (3) (3 + ) 2 = (3 + ) 2 = (3 + ) 2 4 Tableau récapitulati des opérations sur les onctions dérivables : Fonction Fonction dérivée + g + g k (k R) k g g + g g g g g 2 5 Eemples de dérivation nécessitant l utilisation de plusieurs ormes : La première cose à aire avant de dériver une onction est de déterminer sa structure (somme, produit, quotient...) ain de déterminer quelles sont les ormes à utiliser. Eemples : ) Dérivée de la onction déinie par : La onction se présente d abord comme une somme de termes, on utilise donc la orme + g (de dérivée + g ) et pour dériver 2 3 et 5 2 on utilise la orme k. Ce qui donne : 2 (3 2 ) } {{ } dérivée de 3 +5 (2) + (7) dérivée de 2 dérivée de 7 5 = ) Dérivée de la onction déinie par ( ) : La onction se présente sous la orme d un produit, on utilise donc la orme g (de dérivée g + g ). La dérivée de 8 2 (orme k ) est égale à 8 ( dérivée de 2 ) = 8 (2) = 6. La dérivée de 5 est elle égale à 0. Donc la dérivée de est égale à 6. D où le résultat inal : 6 dérivée de ( ) dérivée de = c P.Bracet - ES - Dérivation

5 3) Dérivée de la onction déinie par : La onction se présente sous la orme d un inverse, on va donc utiliser la orme (de dérivée ). On aura donc besoin 2 de la dérivée de : La dérivée de 7 2 (orme k ) est égale à 7 ( dérivée de 2 ) = 7 (2) = 4. La dérivée de 4 étant nulle, la dérivée de sera donc égale à 4. D où le résultat inal : dérivée de 4 7 { }} { 2 ( 4) 4 (4 7 2 ) 2 = (4 7 2 ) 2 6 Calcul d une équation de la tangente à une courbe en un point : Si est une onction déinie et dérivable sur un intervalle I contenant le réel a, alors la tangente à la courbe de au point d abscisse a est la droite passant par le point A(a, (a)) et dont le coeicient directeur est égal à (a). Une équation de la tangente à la courbe représentative de au point d abscisse a est alors : y = (a) + (a)( a). Eemples : ) Soit T la tangente à la courbe représentative de la onction déinie par au point d abscisse 2. Une équation de T est : y = (2) + (2)( 2) - on calcule d abord (2) : (2) = = =. - on dérive : on en déduit la valeur de (2) : (2) = =. Une équation de T est donc : y = + ( 2) y = 3 2) Soit T la tangente à la courbe représentative de la onction déinie par 2 au point d abscisse. + 3 Une équation de T est : y = ( ) + ( )( ( )) y = ( ) + ( )( + )) - on calcule d abord ( ) : ( ) = 2( ) + 3 = on dérive : 2 ( + 3) (2 ) ( + 3) 2 = ( + 3) 2 = ( + 3) 2. - on en déduit la valeur de ( ) : 7 ( ) = ( + 3) 2 = 7 4. Une équation de T est donc : y = ( + ) y = y = ES - Dérivation c P.Bracet - 5

CH1 : Langages de la continuité Limites

CH1 : Langages de la continuité Limites CH : Langages de la continuité Limites I. Continuité- Théorème des valeurs intermédiaires. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque la courbe représentative de f ne présente

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

Cours de mathématiques. Chapitre 4 : Dérivabilité. Terminale S1. Année scolaire 2008-2009 mise à jour 22 novembre 2008. Fig.

Cours de mathématiques. Chapitre 4 : Dérivabilité. Terminale S1. Année scolaire 2008-2009 mise à jour 22 novembre 2008. Fig. Cours de matématiques Terminale S1 Capitre 4 : Dérivabilité Année scolaire 008-009 mise à jour novembre 008 Fig. 1 Jean Dausset Fig. alliday Fig. 3 Joann Radon Il y a des gens connus et des gens importants-idée

Plus en détail

LIMITES EXERCICES CORRIGES

LIMITES EXERCICES CORRIGES ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire

Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire Séquence 6 Fonctions dérivées Sommaire Pré-requis Définition Dérivées des fonctions usuelles Dérivation et opérations algébriques Applications de la dérivation Synthèse de la séquence Eercices d approfondissement

Plus en détail

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy V. Latocha PACES UHP septembre 2010 remerciements à D. Schmitt et V. Ries V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 1 / 48 1 Fonctions d une variable

Plus en détail

Chapitre 6 La dérivation

Chapitre 6 La dérivation Capitre 6 La dérivation A) Nombre dérivé et tangente 1) Tangente en un point à une courbe et nombre dérivé Soit f(x) la fonction dont la courbe est représentée ci-dessus, et prenons deux points A et B

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

I Exercices I-1 1... I-1 2... I-1 3... I-2 4... I-2 5... I-2 6... I-2 7... I-3 8... I-3 9... I-4

I Exercices I-1 1... I-1 2... I-1 3... I-2 4... I-2 5... I-2 6... I-2 7... I-3 8... I-3 9... I-4 Chapitre Convexité TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Convexité Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................

Plus en détail

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ. Exercice 1

ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ. Exercice 1 ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ OLIVIER COLLIER Exercice 1 Le calcul de la banque. 1 Au bout de deux ans, la banque aurait pu, en prêtant la somme S 1 au taux d intérêt r pendant un an, obtenir

Plus en détail

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

3. La suite ( un)a pour terme général un

3. La suite ( un)a pour terme général un NOM : Terminale ES Devoir n vendredi 9 octobre 0 Eercice : sur.5 points Des questions indépendantes. Résoudre l équation ² + 4 = 0. Calculer la dérivée de f dans chacun des cas suivants : a) f ( ) 4 8

Plus en détail

MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR

MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR MATHEMATIQUES ECE NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR CALCULS NUMERIQUES Fractions, puissances, racines carrées, résolution d équations et inéquations GENERALITES SUR LES FONCTIONS ) Nombre dérivé d

Plus en détail

TS - Cours sur le logarithme népérien

TS - Cours sur le logarithme népérien Lcée Europole - R. Vidonne 1 TS - Cours sur le logarithme népérien Fonction carrée et racine carrée Considérons les fonctions f : R + R + g : R + R + 2 Dans un repère orthonormal, les courbes C f et C

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Introduction Pré-requis : Etude de fonctions dérivées logarithmes et exponentielles continuité Plan du cours 1. Intégrales 2. Primitives 1. Intégrales A. Aire sous la courbe Méthode des rectangles : Pour

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES

CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES La lettre grecque α désigne soit, soit, soit a un réel fini ( a R ) Le plan est muni d un repère ( O; i ; j), et on note C f la courbe représentative de la fonction

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Fiche d exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Continuité

Fiche d exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Continuité Fiche d eercices : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Continuité Eercice On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par : f() E() pour [ ; 4[ f() 4 + 4 pour [ 4 ; + [ a. Tracer la représentation

Plus en détail

CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse

CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse A) La fonction "carré" : f() = ² ) Domaine de définition Elle est définie sur ℝ complet (on peut toujours multiplier deu nombres entre eu). 2) Sens de variation

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

- Module M2 - Fondamentaux d analyse

- Module M2 - Fondamentaux d analyse - Module M - Fondamentau d analyse Cléo BARAS, cleo.baras@ujf-grenoble.fr IUT - Grenoble Département Réseau et Télécommunications DUT - ère année Année universitaire 9- Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/gtr/mathm/inde.asp

Plus en détail

Métropole - Juin 2012 BAC S Correction

Métropole - Juin 2012 BAC S Correction Métropole - Juin 0 BAC S Correction / 7 Eercice. La courbe C est sous l ae des abscisses pour [-3 ;-]. Affirmation vraie. Sur [- ;], f () 0. Donc f est croissante sur cet intervalle. Affirmation vraie

Plus en détail

Programme de Première

Programme de Première BAC TECHNO STAV 66 I. Algèbre Programme de Première Objectif 1 - Effectuer de manière autonome des calculs numériques ou algébriques, résoudre des équations ou inéquations en vue de résoudre des problèmes

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x)

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x) EXERCICES LN Eercice : Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f ()=+ ln(). On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.. a. Calculer f () b. Déterminer l équation de la tangente T à

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

I. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

I. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN www.mathsenligne.com STI2D - TN4 - LOGARITHME NEPERIEN COURS (/5) CONTENUS CAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Fonction logarithme népérien. Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture.

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Existence et unicité de la fonction exponentielle 2 1.1 Deux résultats préliminaires.......................................

Plus en détail

Corrigé, bac S, mathématiques

Corrigé, bac S, mathématiques Corrigé, bac S, mathématiques jeudi juin 0 Eercice 4 points Le plan est muni d un repère orthonormé (O; ı ; j) On considère une fonction f dérivable sur l intervalle [ 3; ] On dispose des informations

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Second degré : Résumé de cours et méthodes

Second degré : Résumé de cours et méthodes Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITIN n appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f () = a + b + c (a,b et c réels avec a 0). Remarque : Par abus

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

Mathématiques - OPTION TECHNOLOGIQUE

Mathématiques - OPTION TECHNOLOGIQUE ESPRIT GENERAL Objectifs de l épreuve Vérifier chez les candidats l existence des bases nécessaires pour des études supérieures de management. Apprécier l aptitude à lire et comprendre un énoncé, choisir

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

Dérivation Primitives

Dérivation Primitives Cours de Terminale STI2D Giorgio Chuck VISCA 27 septembre 203 Dérivation Primitives Table des matières I La dérivation 3 I Rappels 3 I. exemple graphique............................................. 3

Plus en détail

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007 ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 27 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS DU CONTRÔLE DE LA NAVIGATION AÉRIENNE Épreuve commune obligatoire de MATHÉMATIQUES Durée : 4 Heures Coefficient

Plus en détail

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Dans ce module, introduction d une nouvelle notion qu est la continuité d une fonction en un point. En repartant de la définition et de l illustration graphique

Plus en détail

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème.

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème. Mathématiques - classe de 1ère des séries STI2D et STL. 1. Analyse On dote les élèves d outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets.

Plus en détail

Exercices corrigés sur la dérivation dans R

Exercices corrigés sur la dérivation dans R Exercices corrigés sur la dérivation dans R Exercice : déterminer le nombre dérivé d une fonction Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x +x.. En utilisant la définition du nombre dérivé, montrer

Plus en détail

5. Étude de fonctions

5. Étude de fonctions ÉTUDE DE FONCTIONS 33 5. Étude de fonctions 5.1. Asymptotes Asymptote verticale La droite = a est dite asymptote verticale (A. V.) de la fonction f si l'une au moins des conditions suivantes est vérifiée

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

SINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases

SINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases SINE QUA NON Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases Sine qua non est un logiciel «traceur de courbes planes» mais il possède aussi bien d autres fonctionnalités que nous verrons tout

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

PROPRIETE GONNET_2003 COURS DE RDM PAGE 1 SUR 21 RESISTANCE DES MATERIAUX FLEXION. Gravure montrant l essai d une poutre en flexion

PROPRIETE GONNET_2003 COURS DE RDM PAGE 1 SUR 21 RESISTANCE DES MATERIAUX FLEXION. Gravure montrant l essai d une poutre en flexion GONNET_00 COURS DE RD PGE 1 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX RESISTNCE DES TERIUX FLEXION Gravure montrant l essai d une poutre en leion GONNET_00 COURS DE RD PGE SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX (Etrait de «Discorsi

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Epreuve de spécialité de Mathématiques Série L

Epreuve de spécialité de Mathématiques Série L Epreuve de spécialité de Mathématiques Série L Durée de l'épreuve: 3 heures. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent

Plus en détail

Devoir surveillé n 1 : correction

Devoir surveillé n 1 : correction E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

TRIGONOMETRIE - EXERCICES CORRIGES

TRIGONOMETRIE - EXERCICES CORRIGES Cours et eercices de mathématiques TRIGONOMETRIE - EXERCICES CORRIGES Trigonométrie rectangle Eercice n. Compléter les égalités en respectant bien les notations de l énoncé cos ABC = sin ABC = tan ABC

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Corrigé Bac ES Spécialité Maths Antilles Guyane 2011

Corrigé Bac ES Spécialité Maths Antilles Guyane 2011 Corrigé Bac ES Spécialité Maths Antilles Guyane 2011 Christian CYRILLE A quoi servent les mathématiques? : C est pour l honneur de l esprit humain? Jacobi 1 Exercice 1-5 points - Commun à tous les candidats

Plus en détail

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2012, regroupe des documents distribués aux élèves en cours d année.

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2012, regroupe des documents distribués aux élèves en cours d année. MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polycopié conforme au programme 01, regroupe des documents distribués aux élèves en cours d année. CERTAINS CHAPITRES DU PROGRAMME NE SONT PAS TRAITÉS Année 013-014

Plus en détail

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Thèmes. fonction ln, théorème des valeurs intermédiares, suite définie par récurrence : majoration, minoration, monotonie, convergence, eistence.

Plus en détail

Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015. Test de début d année

Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015. Test de début d année Lycée assini BTS GO 4-5 Exercice Test de début d année Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes. On a mesuré, en continu pendant quatre heures, la concentration

Plus en détail

Sujet de Bac 2013 - Maths ES Obligatoire & Spécialité Amérique du Nord

Sujet de Bac 2013 - Maths ES Obligatoire & Spécialité Amérique du Nord Sujet de Bac 2013 - Maths ES Obligatoire & Spécialité Amérique du Nord Exercice 1 : 4 points et exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre réponses possibles.

Plus en détail

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Définition ( voir animation ) On dit qu'un repère orthonormé (O; i, j) est direct lorsque ( i ; j ) = + []. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, si M est le point

Plus en détail

Baccalauréat ST2S Polynésie 16 juin 2014 correction

Baccalauréat ST2S Polynésie 16 juin 2014 correction Baccalauréat STS Polynésie 6 juin 0 correction EXERCICE 8 points On présente dans un tableau, extrait d une feuille de calcul, le nombre de cartes SIM (carte électronique permettant d utiliser un réseau

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros

Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros Table des matières partie 1. Récurrence et suites 1 Chapitre 1. Raisonnement par récurrence

Plus en détail

CORRECTION BACCALAUREAT BLANC N 1 - Séries ES et L EXERCICE 1 (4 points) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS

CORRECTION BACCALAUREAT BLANC N 1 - Séries ES et L EXERCICE 1 (4 points) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS CORRECTION BACCALAUREAT BLANC N 1 - Séries ES et L EXERCICE 1 (4 points) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS Extrait Bac. ES - 2008 1) Une baisse de 25 % est compensée par une hausse, arrondie à l unité, de :

Plus en détail

Apllication au calcul financier

Apllication au calcul financier Apllication au calcul financier Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 1 er novembre 2011 Intérêts Généralités L intérêt est la rémunération du placement d argent. Il dépend : du taux d intérêts

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Fonctions hyperboliques et applications réciproques

Fonctions hyperboliques et applications réciproques Chapitre III Fonctions hyperboliques et applications réciproques A Fonctions hyperboliques directes A. Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique On va définir de nouvelles fonctions inspirées notamment

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 004 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Section : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L'usage des calculatrices de poche est autorisé (conformément au directives

Plus en détail

CALCULATRICE AUTORISEE

CALCULATRICE AUTORISEE Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages

Plus en détail

PETIT MANUEL DE SURVIE EN MATHÉMATIQUES À L USAGE DES TERMINALES STI2D (OU CE QU ON DOIT APPRENDRE ET CE QU ON PEUT RETROUVER SI ON EST MALIN) par M.

PETIT MANUEL DE SURVIE EN MATHÉMATIQUES À L USAGE DES TERMINALES STI2D (OU CE QU ON DOIT APPRENDRE ET CE QU ON PEUT RETROUVER SI ON EST MALIN) par M. PETIT MANUEL DE SURVIE EN MATHÉMATIQUES À L USAGE DES TERMINALES STI2D (OU CE QU ON DOIT APPRENDRE ET CE QU ON PEUT RETROUVER SI ON EST MALIN) par M. Vienney 2 M. VIENNEY Vous trouverez dans ce document

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 18 juin 2013

Baccalauréat S Asie 18 juin 2013 Baccalauréat S Asie 18 juin 2013 Dans l ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation

Plus en détail

Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions

Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions Sciences Po Paris 202 athématiques Solutions Partie : Le modèle de althus odèle discret a Pour tout entier naturel n, on a P n+ P n = P n donc P n+ = +P n Par suite la suite P n est géométrique de raison

Plus en détail

Exercice 40 page 142. Résoudre dans R, à l aide d un tableau de signe, les inéquations suivantes : a) (5x 9)(5x 8) 0. b) 9 10x.

Exercice 40 page 142. Résoudre dans R, à l aide d un tableau de signe, les inéquations suivantes : a) (5x 9)(5x 8) 0. b) 9 10x. Exercice 4 page 142 Résoudre dans R, à l aide d un tableau de signe, les inéquations suivantes : a) (5x 9)(5x 8) b) 9 1x 9x 5 > c) 2x+6 2 4x d) ( 3x 9)(7x 8) < a) Résolution de l inéquation (5x 9)(5x 8)

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : Rappels collège/seconde Partie STAV 1/3 Partie STAV 2/3 Partie STAV

Plus en détail

Cours de Mathématiques

Cours de Mathématiques Cours de Mathématiques Lycee Gustave Eiffel PTSI 02/03 Chapitre 3 Fonctions usuelles 3.1 Théorème de la bijection Une fonction dérivable sur un intervalle I, strictement monotone déþnit une bijection.

Plus en détail

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES RAPPELS DE MATHEMATIQUES ORTHOPHONIE Première année 27 28 Dr MF DAURES 1 RAPPELS DE MATHEMATIQUES I - LES FONCTIONS A - Caractéristiques générales des fonctions B - La fonction dérivée C - La fonction

Plus en détail

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité).

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Lycée Jacques Monod février 05 Exercice : Voici les graphiques des questions. et.. A 4 A Graphique Question. Graphique Question..

Plus en détail

Baccalauréat ES Asie 19 juin 2013 Corrigé

Baccalauréat ES Asie 19 juin 2013 Corrigé accalauréat E sie 19 juin 201 orrigé EXERIE 1 ommun à tous les candidats On ne demandait aucune justification dans cet exercice. 4 points 1. b. 2. a.. c. 4. c. La longueur de l intervalle [ 1; 1] est 2

Plus en détail

Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui :

Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Sommaire SAMEDI 7 JANVIER 202 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Un rappel de cours sur les suites ; Page 2 Deu eercices intitulés

Plus en détail

Mercredi 24 Juin 2015

Mercredi 24 Juin 2015 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2015 MATHÉMATIQUES Série ES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de l épreuve : 3 heures coefficient : 5 MATHÉMATIQUES Série L ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Durée de l épreuve : 3 heures

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 4 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi eponentielle de paramètre λ ;

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Nord 30 mai 2013

Baccalauréat ES Amérique du Nord 30 mai 2013 Baccalauréat ES Amérique du Nord 30 mai 03 EXERCICE 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions,

Plus en détail

Chapitre. Chapitre 12. Fonctions de plusieurs variables. 1. Fonctions à valeurs réelles. 1.1 Définition. 1.2 Calcul de dérivées partielles

Chapitre. Chapitre 12. Fonctions de plusieurs variables. 1. Fonctions à valeurs réelles. 1.1 Définition. 1.2 Calcul de dérivées partielles 1 Chapitre Chapitre 1. Fonctions e plusieurs variables La TI-Nspire CAS permet e manipuler très simplement les onctions e plusieurs variables. Nous allons voir ans ce chapitre comment procéer, et éinir

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1

Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1 1 Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1 Exercice 1 : (3 points) Soit la parabole d équation y = 25x² - 10x + 1. On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J). 1) Déterminer les coordonnées

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail