Fondations mathématiques : L42

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Raphael Lanthier
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1 Fondations mathématiques : L42 Emmanuel Chantréau, echant-6@maretmanu.org 17 octobre 2012 La simplicité est la sophistication ultime. Léonard de Vinci Table des matières 1 Les définitions fournies par cet articles Les symboles Les mots La syntaxe La grammaire L42n : les notations Présentation Alphabet L42n Grammaire L42n Définir des notations Notations Les mots ordinaires Élusion des parenthèses Mots et opérateurs Règles de déduction Axiome Les définitions fournies par cet articles. Ici, un langage mathématique est la définition de : symboles mots : des suites de symboles. syntaxe : système pour assembler les mots. grammaire : règles définissant les assemblages valides de mots pour constituer des phrases. règles de déduction : procéders pour obtenir des phrases interprétées comme des vérités. Dans tous les documents : langage signifiera langage mathématique et donc contiendra, contrairement à l habitude, les règles de déductions. théorie des ensembles signifiera le système formèle habituellement utilisé comprenant les axiomes ZFC. 1

2 Des fondations mathématiques sont définies par : un langage mathématique des axiomes les vérités auxquelles on croit même si on ne peut pas les démontrer. L42 est un langage mathématique. Cet article définit L42 et fournit des fondations aux mathématiques. 2 Les symboles L42 a besoin de reposer sur des notions plus simples que les nombres et les ensembles. C est pourquoi nous utilisons des listes et 0/1. Ce besoin vient du fait que très tôt il est nécessaire de représenter L42 en L42 voir la définition de L42Q. Mais nous définirons un système de notations pour utiliser un langage plus agréable. Les symboles de L42 sont : 0, 1,,, 3 Les mots Pour définir le langage, nous utilisons ici pour sa simplicité et rigueur le formalisme EBNF Extended Backus-Naur Form, voir Form. Un mot L42 est un binword : bit = 0 1 binword = { bit } Exemple : Mots valides : 010 Liste de symboles qui ne sont pas des mots : 00 x La syntaxe Une phrase syntaxiquement correcte L42 est un text : text = binword text,, text, Remarque : L assemblage est uniquement par deux : la partie gauche est la fonction et la partie droite est l argument. Exemple : Phrases syntaxiquement valides : Listes de symboles syntaxiquement invalides : 00 x La grammaire Tout text est grammaticalement valide. 2

3 6 L42n : les notations 6.1 Présentation L42 n est pas humainement simple à lire. C est pourquoi nous allons étendre L42 au langage L42n. Nous appelerons notations les extensions ajoutées pour définir L42n. Par exemple nous allons permettre d éluder certaines parenthèses, nous allons aussi utiliser des mots à la place des listes binaires. L42n est une extension de L42 : toute phrase de L42 est une phrase de L42n. Toute phrase de L42n se traduit en phrase de L42. Chaque notation définie fournira la règle de traduction de l expression L42n introduite en une expression plus simple. Elle devra vérifier la propriété qu il suffit d appliquer les règles de traduction, peu importe l ordre d application, pour aboutir à une phrase L42 unique. Remarque : La contrainte faible appliquée aux règles implique qu une règle peut engandrer supplémentaires des contraintes sur les règles suivantes. 6.2 Alphabet L42n Les symboles de L42n sont tous les symboles Unicode imprimables plus le symbol d espace ordinaire. Remarque : Il n est pas nécessaire de connaître Unicode ou UCS-4BE pour comprendre cette partie. Il suffit de savoir que c est une manière de représenter un texte par une suite finie de 0 et 1. Unicode est une table de symboles attribuant un code un ou plusieurs nombres à quelques milliers de symboles. voir UCS-4BE définit une représentation où chaque symbole est représenté par un nombre binaire de 32 bits. 6.3 Grammaire L42n Nous étendons la grammaire de L42. Nous allons permettre d ajouter des espaces et d éluder des parenthèses. token1, token2...seront définit par la suite par les différentes règles de notation. Une phrase L42n est un textn : token = binword token1 token2 token3 token4... textn = token textn,, textn, 7 Définir des notations Une définition de notation pourra utiliser des variables qui seront des noms commençant par une lettre de l alphabet et constituées de lettres ou de chiffres. Pour ajouter une notation, pour A et B des textes quelconques et v 1,..., v n des noms de variable, nous emploirons la formulation suivante : Notation n 1 : variables: v 1,..., v n Condition: conditions sur v 1,..., v n A B. qui signifie que l on ajoute la règle de traduction de texte L42n A en texte L42n B où il faut remplacer dans A et B les v 1,..., v n par des textn respectant les conditions décrites. De plus cette règle définit que A est un des token. La liste des variables ou des conditions peut être vide. L42n pourra utiliser des opérateurs infixs associatifs ou non et ayant une priorité précédence en informatique sur les opérateurs. La priorité d un opérateur est toujours moindre par rapport à la priorité de l application fonction/argument L42, donc x op y z se lit x op y z. Les priorités sont réduites aux valeurs 2,6,10 pour rester simple. 8 Notations 8.1 Les mots ordinaires alpha = toute lettre unicode des catégories Lettre, majuscule, Lettre, minuscule, Nombre, chiffre décimal plus la lettre :. 3

4 word = { alpha } Notation n 2 : variables: x Condition: x est un mot L42n un word x écriture binaire de x codé en UCS-4BE. Exemple : Le mot AB est un token L42n qui se traduit par car A a le code Unicode 65 et B Élusion des parenthèses Notation n 3 : variables: x, y Condition: y est un token x y xy. Remarque : Donc si y et z sont des token, x y z se traduira par xyz c est à dire que l on calcul xy puis le résultat s applique avec z. 8.3 Mots et opérateurs Notation n 4 : variables: x, y, associativité: no, priorité: 10 equal x y. Exemple : a = b se traduira par equal a b. Notation n 5 : variables: ; true. Notation n 6 : variables: ; false. Notation n 7 : variables: x,y, associativité: infix, priorité: 6 x y i f x y. Notation n 8 : variables: x,y, associativité: infix, priorité: 6 x y i f x y. Notation n 9 : variables: x,y, associativité: infix, priorité: 6 x y i f x y. Notation n 10 : variables: x, prefix, priorité: 6 x i f x. 9 Règles de déduction Dans les règles ci-dessous, x,y et z sont à remplacer par des textes L42. La règle A, B se lit : si on a A et B alors on déduit C. Les règles sans trait horizontal n ont pas de C condition et donc tout remplacement des variables x, y et z produit une vérité. 4

5 Nom implication if sur une vérité if sur une négation égalité et vérité distribute arguments égaux fonctions égales Règle x, x y y x i f x y z = y i f x y z = i f x z y x y distribute x y z = x z y z z x = z y x z = y z conditions et tiers exclus i f x y z x x implication à droite dans un ou implication à gauche dans un ou vérité à droite dans un ou réduction du ou x y z x y x z y z x y x z x z x y x z x x x Remarque : La définition et les démonstrations de L42Q fournissent un exemple d utilisation de ces règles. Remarque : Remarque rapide sur l utilité des règles sur le ou : Pour un x donné, appelons le contexte x les y tel que y x est une vérité. Nous pouvons constater que les règles sur le ou permettent de transposer toute preuve L42 vers le contexte x. Nous avons une propriété similaire pour x. Associé à la règle de réduction du ou nous obtenons une forme de tiers exclu : si on a x y, que l on a la preuve de z à partir de x et la preuve de z à partir de y, alors on prouve z. Exemple : Si on a equal x y alors on a equal equal x equal y donc on a equal equal x y equal y y donc on a equal y y. On a aussi equal equal x x equal y x, et du fait que l on peut déduire equal x x en partant de equal if true x x x on déduit equal y x. 10 Axiome Il n y en a aucun. Remarque : Nous verrons avec L42Q que les quantificateurs sont définis comme des extensions de L42. Définition informelle n 1 : Le sens d un terme du langage L42 est chose. Donc L42 est en quelque sorte la théorie des choses. 5

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