Jeux de Ehrenfeucht-Fraïssé

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1 Chapitre 11 Jeux de Ehrenfeucht-Fraïssé Le premier ojectif est de donner une caractérisation algérique (en fait, en termes de jeux, car c est plus intuitif) de la propriété d équivalence élémentaire. Cette caractérisation permet par exemple de prouver que certaines propriétés ne sont pas définissales au premier ordre parce qu on peut exhier deux structures, l une vérifiant la propriété et l autre non, qui ne peuvent être distinguées par aucune formule de taille fixée Structures équivalentes On se fixe ici, et dans toute la suite, un alphaet de symoles de fonction F et un alphaet de symoles de prédicats P qui sont finis. P est supposé contenir au moins le symole d égalité et on ne considère que des structures qui satisfont les axiomes de l égalité (ou les formules qui contiennent les axiomes de l égalité). Rappelons que deux structures du premier ordre, S 1 et S 2 sont élémentairement équivalentes, ce que nous écrirons S 1 S 2 si, pour toute formule close, S 1 = ssi S 2 =. Deux structures S 1, S 2 sont m-indistinguales si, pour toute formule close de taille au plus m, S 1 = ssi S 2 =. On note S 1 m S 2 cette relation. Le rang d une formule est le nomre maximal de quantificateurs sur un chemin : rg( ) = 0si est une formule atomique rg( ^ ) =rg( _ ) =rg(! ) = max(rg( ), rg( )) rg( )=rg( ) rg(9x. )=rg(8x. )=1+rg( ) On notera S 1 ' n S 2 si, pour toute formule close de rang au plus n, S 1 = ssi S 2 =. Lemme S 1 S 2 ssi pour tout m 2 N, S 1 m S 2 ssi pour tout n 2 N, S 1 ' n S 2. Exercice 216 Montrer qu une théorie T est complète si et seulement si deux modèles quelconques de T sont élémentairement équivalents. 205

2 206 CHAPITRE 11. JEUX DE EHRENFEUCHT-FRAÏSSÉ Une formule est plate si ses formules atomiques sont d une des trois formes : x = y où x, y sont des variales x = f(x 1,...,x n )oùx, x 1,...,x n sont des variales R(x 1,...,x n )oùx 1,...,x n sont des variales Lemme Toute formule de taille n est logiquement équivalente à une formule plate de rang au plus n. Exercice 217 Démontrer le lemme Isomorphismes partiels Definition Un isomorphisme partiel h de S 1 dans S 2 est une fonction (partielle) injective du domaine D 1 de S 1 dans le domaine D 2 de S 2 telle que Pour tout n 2 N et tout symole de fonction f 2F d arité n, pourtous a 1,...,a n,a2 Dom(h), f S 1 (a 1,...,a n )=a ssi f S 2 (h(a 1 ),...,h(a n )) = h(a) Pour tout n 2 N et pour tout symole de relation de relation R d arité n, pour tous a 1,...,a n 2 Dom(h), (a 1,...,a n ) 2 R S 1 ssi (h(a 1 ),...,h(a n )) 2 R S 2 Exemple Soit F = {0(0), +(2)}, P = {=} et les deux groupes additifs Z et R. La fonction h de R dans Z définie par h(3) = 4 et h(4) = 12 est un isomorphisme partiel car il n y a aucune formule x + y = z qui soit satisfaite avec des valuations de x, y, z dans {3, 4} R (resp. de {4, 12} Z). Exercice 218 Peut-on prolonger l isomorphisme partiel de la question précédente à h(6)? Justifier. Exercice 219 Soit F = ;, P = {R(2), =}. On considère la structure S 1 qui consiste en un graphe non-orienté G à 5 sommets a 1,...,a 5 reliés en anneau. La structure S 2 consiste en deux copies disjointes de G. Montrer que, quels que soient les deux sommets 1, 2 choisis dans le domaine de S 2, on peut trouver deux sommets dans G tels que la fonction définie par h(a 1 )= 1 et h(a 2 )= 2 soit un isomorphisme partiel de S 1 dans S 2. Qu en est il pour 3 sommets? Les isomorphismes partiels sont su quand F est vide : sants pour caractériser la 0-distinguailité Lemme a 1,...,a n 2 D 1 et 1,..., n 2 D 2. La fonction partielle définie par Dom(h) ={a 1,...,a n } et h(a i )= i pour i =1,...n est un isomorphisme partiel de S 1 dans S 2 ssi, pour toute formule atomique plate, de variales lires x 1,...,x n S 1, {x 1 7! a 1,...,x n 7! a n } = ssi S 2, {x 1 7! 1,...,x n 7! n } =

3 11.3. JEUX DE EHRENFEUCHT-FRAÏSSÉ 207 Preuve: On note 1 = {x 1 7! a 1,...,x n 7! a n } et 2 = {x 1 7! 1,...,x n 7! n }.Sih est un isomorphisme partiel, alors 1. a i = a j ssi i = j donc 1, S 1 = x i = x j ssi 2, S 2 = x i = x j, 2. f S 1 (a i1,...,a ik )=a i ssi f S 2 ( i1,..., ik )= i donc 1, S 1 = x i = f(x i1,...,x ik ) ssi 2, S 2 = x i = f(x i1,...,x ik ), 3. (a i1,...,a ik ) 2 R S 1 ssi ( i1,..., ik ) 2 R S 2. Donc 1, S 1 = R(x i1,...,x ik ) ssi 2, S 2 = R(x i1,...,x ik ). Il en résulte que S 1, 1 = ssi S 2, 2 = Réciproquement, si, pour toute formule atomique plate, 1, S 1 = ssi 2, S 2 =, en particulier pour les formules R(x i1,...,x ik ) et les formules x i = f(x i1,...,x ik ). Exercice 220 Montrer que le lemme ci-dessus est faux si n est pas plate. Exercice 221 Donner un exemple de deux structures S 1 et S 2 telles que S 1 6 S 2 et il existe un isomorphisme partiel de S 1 dans S 2 dont le domaine a 3 éléments au moins Jeux de Ehrenfeucht-Fraïssé Un jeu (de EF) est un jeu à deux joueurs S (spoiler) et D (duplicator), se jouant sur une paire de structures S 1, S 2. À nomre de rondes non-fixé, S commence par choisir un nomre de rondes n 2 N. Puis, pour i =1àn, S choisit a j i dans un des domaines D j de l une des structures D choisit a 2 j i dans le domaine D 2 j. Le joueur D gagne si La séquence des paires (a 1 i,a2 i ) définit un isomorphisme partiel h de domaine {a 1 1,...,a1 n} de S 1 dans S 2. Une stratégie du joueur D est une paire d applications f j (i =1, 2) de ( S n 1 i=1 (D 1 ] D 2 ) i ) D j dans D 2 j. Une stratégie f 1,f 2 est gagnante si, pour toute séquence a j 1 1,...,a jn n telle que a j i i 2 D ji, (les coups de S), la fonction h définie par h(a j i i )=f 1(a j 1 1,...,a j i i ) si j i =1eth(f 2 (a j 1 1,...,a j i i )) = aj i 1 sinon définit ien de manière unique un isomorphisme partiel entre les structures. Exemple Soit F = ;, P = {>, =} et les deux structures Q, R où les relations ont leur interprétation usuelle. Une stratégie (gagnante) de D est définie de la manière suivante : étant donné un isomorphisme partiel (a 1, 1 ),...,(a n, n ), si a n+1 2 Q, D choisit n+1 2 R comme suit : si n = 0, alors 1 =0 si a n+1 = a i, alors n+1 = i. si a n+1 > max(a 1,...,a n ), alors n+1 = max( 1,..., n )+1 si a n+1 < min(a 1,...,a n ), alors n+1 =min( 1,..., n ) 1 sinon, soit a i0 = max{a i a i < a n+1 } et a i1 = min{a i a i > a n+1 }, n+1 = i 0 + i1 2

4 208 CHAPITRE 11. JEUX DE EHRENFEUCHT-FRAÏSSÉ Si S choisit de jouer dans R, le coup de D est définie de manière symétrique. Le fait qu il s agit ien d une stratégie gagnante est laissé en exercice. Théorème Si le joueur D a une stratégie gagnante pour un jeu en n rondes sur S 1, S 2 alors S 1 n S 2. Réciproquement, si S 1 ' n S 2 alors D a une stratégie gagnante en n rondes sur S 1, S 2. Preuve: Supposons d aord que D a une stratégie gagnante (f 1,f 2 ). On montre, par récurrence sur que, pour toute formule plate sans quantificateur universel, de rang inférieur à n, si Var( )={x 1,...,x k } et h est un isomorphisme partiel de domaine {a 1,...,a k } de S 1 dans S 2, alors S 1, {x 1 7! a 1,...,x k 7! a k } = ssi S 2, {x 1 7! h(a 1 ),...,x k 7! h(a k )} =. Dans la suite, on note 1 = {x 1 7! a 1,...,x k 7! a k } et 2 = {x 1 7! 1,...,x k 7! k } où i = h(a i ). si est une formule atomique, on utilise le lemme si = 1 ^ 2, 1, S 1 = 1 ^ 2 ssi 1, S 1 = 1 et 1, S 1 = 2 ssi (par hypothèse de récurrence) 2, S 2 = 1 et 2, S 2 = 2 ssi 2, S 2 = 1 ^ 2. Le cas d une disjonction ou d une implication est similaire. Si =, alors on utilise l hypothèse de réccurrence : 1, S 1 = ssi 2, S 2 = donc 1, S 1 6 = ssi 2, S 2 6 = donc 1, S 1 = ssi 2, S 2 = Si = 9x., S 1, 1 = ssi il existe un a 2 D 1, S 1, 1 ]{x 7! a} =. Soit alors 2 D 2, déterminé par la stratégie du duplicateur, telle que, en étendant h par h(a) =, on otienne encore un isomorphisme partiel. Par hypothèse de récurrence, S 2, 2 ]{x 7! } = et donc S 2, 2 = 9x.. La réciproque se prouve de même. On applique maintenant ce résultat à une formule plate, sans variale lire, sans 8, de rang au plus n : S 1 = ssi S 2 =. Le résultat reste vrai en supprimant l hypothèse sans 8, puisque 8x. = 9x qui a même rang. Enfin, en utilisant le lemme , on peut remplacer plate de rang au plus n par de taille au plus n. On otient ainsi S 1 n S 2. Réciproquement, supposons que S 1 ' N S 2 Si 1,..., n 2 D 2, on note ( 1,..., n ) l ensemle des formules plates atomiques ou leur négation, à n variales lires x 1,...,x n, qui sont satisfaites par 1,..., n. estunensemlefinipuisquef et R sont finis. On construit alors, par récurrence sur m la suite de formules : 1,..., n m+1 (x 1,...,x n ) def =(8x n+1. _ 1,..., n 0 (x 1,...,x n ) def = 2D 2 ^ 2 ( 1,..., n) 1,..., n, m (x 1,...,x n+1 ))^( ^ 9x n+1. 2D 2 1,..., n, m (x 1,...,x n+1 ))

5 11.3. JEUX DE EHRENFEUCHT-FRAÏSSÉ 209 Montrons que cette définition a un sens, c est a dire que les conjonctions/disjonctions sont finies. Pour cela, on montre, par récurrence sur m, que, pour tout n, l ensemle E n.m = { 1,..., n m 1,..., n 2 D 2 } est, à équivalence logique près, de cardinal K n,m fini. Si m = 0, ( 1,..., n ) est déterminé par un sous-ensemle de l ensemle des formules plates à n variales lires : il existe une injection de l ensemle E n,0 dans l ensemle des ensemles de formules plates à n variales lires. Si fa(n) est le nomre de formules plates atomiques à n variales lires, K n,0 apple 2 fa(n). On construit ensuite l injection suivante de E n,m+1 dans 2 E n+1,m : à chaque formule 1,..., n m+1 on associe l ensemle des formules { 1,..., n, m 2 D 2 }. Il s agit ien d une injection, par définition de 1,..., n m+1. Donc K n,m+1 apple 2 K n+1,m. ~ Noter aussi que les formules m sont de rang m. Exemple Supposons que F = ; et P = {>, =}. Si 2 > S2 1, la formule x 1 = x 1 ^ x 2 >x 1 ^ x 2 = x 2. 1, 2 1 est la formule 1, 2 0 est 8x 3.[(x 3 <x 1 ^ x 3 <x 2 ^ ) _ (x 3 = x 1 ^ x 3 <x 2 ^ ) _ (x 1 <x 3 ^ x 3 <x 2 ^ ) _ (x 1 <x 3 ^ x ^ 9x 3... Supposons que 1,..., n 2 D 2. On montre par récurrence sur m que (1) S 2, {x 1 7! 1,...,x n 7! n } = 1,..., n m Si m = 0, c est une conséquence de la définition de ( 1,..., n ). Si m>0, par hypothèse de récurrence, S 2, {x 1 7! 1,...,x n+1 7! n+1 } = 1,..., n+1 m 1 donc Pour tout 2 D 2, S 2, {x 1 7! 1,...,x n 7! n }]{x n+1 7! } = _ n+1 2D 2 1,..., n+1 puisque l un des n+1 est lui-même. Autrement dit _ S 2, {x 1 7! 1,...,x n 7! n } = 8x n+1. 1,..., m+1 et n+1 2D 2 pour tout n+1 2 D 2,ilexiste 2 D 2, S 2, {x 1 7! 1,...,x n 7! n }]{x n+1 7! } = 1,..., n+1 Autrement dit S 2, {x 1 7! 1,...,x n 7! n } = ^ n+1 2D 2 9x n+1. 1,..., n+1 La stratégie du duplicateur consiste alors, à choisir a n (resp. n ) de manière à c e q u e 1,..., n N n soit satisfaite dans S 1. Montrons, par récurrence sur n qu un tel choix est toujours possile. Si n = 0, alors N est ien satisfaite dans les deux structures, puisque c est une formule de rang N et que, d après (1) elle est satisfaite dans S 2. Si maintenant S 1 {x 1 7! a 1,...,x n 7! a n } = 1,..., n N n.

6 210 CHAPITRE 11. JEUX DE EHRENFEUCHT-FRAÏSSÉ Supposons que le spoiler choisisse n+1 2 D 2. Comme, par construction, S 1, {x 1 7! a 1,...,x n 7! a n } = 9x n+1 1,..., n+1 N n 1 (x 1,...,x n+1 ) On peut choisir a n+1 2 D 1 comme souhaité. Supposons que le spoiler choisisse a n+1 2 D 1, par construction S 1 {x 1 7! a 1,...,x n 7! a n } = 8x n+1. _ 1,..., n, N n 1 (x 1,...,x n+1 ) 2D 2 En particulier pour x n+1 7! a n+1, on peut choisir n+1 2 D 2 de sorte que S 1 {x 1 7! a 1,...,x n 7! a n,x n+1 7! a n+1 } = 1,..., n, n+1 N n 1 (x 1,...,x n+1 ) La stratégie est gagnante puisque, après N rondes, les séquences a 1, 1,...,a N, N définissent un isomorphisme partiel d après (2). Corollaire S 1 S 2 ssi D a une stratégie gagnante Un exemple de non définissailité On considère P = {R(2), = (2)} et F = ;. Les modèles sont donc des graphes orientés. Théorème Il n existe pas de formule du premier ordre qui soit satisfaite par les graphes finis connexes et pas par les graphes finis non connexes. Preuve: On montre que, pour tout n il existe deux structures finies S 1 et S 2 telles que S 1 est un graphe connexe, S 2 n est pas un graphe connexe et S 1 n S 2.On choisit pour S 1 un graphe à 2 n sommets s 1,...,s 2 n et R 1 = {(s i,s i+1 ) 1 apple i apple 2 n 1}[{(s 2 n,s 1 )}. S 2 est un graphe à 2 n+1 sommets contenant deux copies disjointes du graphe G 1 dont on nommera les sommets s 1 i et s2 i resp. On note d 1 (s, s 0 ) la distance de deux sommets dans le graphe G 1 et d 2 (s, s 0 ) la distance de deux sommets dans le graphe G 2. d 2 peut être infinie dans le cas où les deux sommets sont dans des composantes distinctes (ce sont ien des distances). La stratégie du duplicateur est telle que, après k tours, si les séquences a 1, 1,...a k, k de sommets ont été sélectionnés, alors, pour tous i, j, ou ien d 1 (a i,a j ) < 2 n k et dans ce cas d 1 (a i,a j )=d 2 ( i, j ) ou ien d 1 (a i,a j ) 2 n k et d 2 (a i,a j ) 2 n k. La preuve que le duplicateur a une stratégie qui permet de faire ce choix est laissée en exercice. Après n tours, il existe une arête de a i à a j ssi il existe une arête de i à j :(a 1, 1,...,a n, n ) définit un isomorphisme partiel entre les structures. D a donc une stratégie gagnante pour un jeu en n rondes. Ainsi, d après le théorème , S 1 n S 2. Par l asurde, s il existait une formule qui est satisfaite par les graphes finis connexes et pas par les graphes finis non connexes, alors si S 1 est un graphe connexe et S 2 est un graphe non connexe, S 1 6 S 2. Or nous avons montré que ce n est pas le cas.

7 11.4. UN EXEMPLE DE NON DÉFINISSABILITÉ 211 Exercice 222 Compléter la preuve du théorème précédant en montrant que le duplicateur a ien un stratégie appropriée. Exercice 223 On suppose que F = ; et P = {, =}. Montrer que les deux structures Q, R munis de leur interprétation haituelle de sont élémentairement équivalentes. Généraliser à deux modèles quelconques de la théorie des ordres denses. Que peut on en conclure? Exercice 224 (5) Soit F = {S(1), 0(0)} et P = {=} et T est la théorie engendrée par les axiomes de l égalité et : (A 1 ) 8x, y. s(x) =s(y)! x = y (A 2 ) 8x. x 6= 0! 9y.x = s(y) (A 3 ) 8x. 0 6= s(x) (A n 4 ) 8x. x 6= sn (x) Soient deux modèles M 1 et M 2 de T. On note d i (a, ) la fonction définie sur le domaine D i de M i par : d i (a, ) =min{n 2 N : a = s n M i ()}. Le minimum est +1 s il n y a pas de tels entiers. 1. Montrer que, pour tout i, pour tous a,, c 2 D i, pour tout k 2 N, d i (s k (a),a)=k et que d i (a, )+d i (, c) < +1 entraine d i (a, )+d i (, c) = d i (a, c). 2. Montrer que, pour tous a 2 D i, k 2 N, sid i (a, 0 Mi ) k, ilexiste 2 D i tel que a = s k M i () 3. On considère un jeu de Erhenfeucht-Fraïssé sur M 1, M 2 où les coups successifs de D et S sont donnés par les séquences (a 1, 1,...,a n, n ) avec, pour tout i, a i 2 D 1 et i 2 D 2. Montrer que, étant donné n, D a une stratégie qui permet d assurer l invariant 8i apple n, 8j 1,j 2 apple i, si (d 1 (a j1,a j2 ) apple 2 n i ou d 2 ( j1, j2 ) apple 2 n i ) alors d 1 (a j1,a j2 )=d 2 ( j1, j2 ). 4. Montrer que T est complète 5. Les axiomes A n 4 sont ils tous nécessaires? Peut-on remplacer cet ensemle d axiomes par un sous-ensemle fini d axiomes en conservant la complétude? Justifier.

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