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1 Page 1. Texte Filtre de Kalma-Bucy 1 e modèle U avio se déplace etre Paris et odres. Il suit ue trajectoire théorique appelée trajectoire omiale dot les coordoées sot coues de tous. a trajectoire de l avio est suivie au sol par des cotrôleurs aéries grâce à u radar qui reçoit u écho de l avio à itervalles réguliers. a trajectoire effective de l avio s écarte de la trajectoire omiale pour de multiples raisos (météorologie, imprécisio du pilote automatique, turbuleces,... ). O ote X l écart etre cette trajectoire idéale et la positio de l avio au temps. De plus, o ote Y la mesure doée par le radar au temps (cette mesure est etachée d erreurs à cause de l imprécisio du radar). Pour simplifier l étude, o supposera que l objet observé évolue das u espace de dimesio 1. e problème qui se pose à l aiguilleur est d estimer au mieux la positio de l avio au temps au vu des observatios Y 0,..., Y. Grâce aux hypothèses présetées plus haut, il paraît aturel de modéliser l évolutio des suites (X ) 0 et (Y ) 0 de la maière suivate. Soit (V ) 0 et (W ) 0 des variables aléatoires idépedates, gaussiees, cetrées telles que (W ) aiet même variace σ 2 et (V ) aiet même variace τ 2. Soit a u ombre réel. O décrit alors l évolutio de X et Y aisi : X 0 = W 0, X = ax 1 + W 1, (1) Y = X + V 0. e but est ici de costruire u algorithme efficace permettat de calculer E(X Y 0,..., Y ) et d étudier les propriétés de cet objet. O pourra égalemet s itéresser à l estimatio des paramètres du modèle. 2 Quelques rappels sur les vecteurs gaussies Toutes les démostratios cocerat le filtre de Kalma-Bucy reposet sur la théorie des vecteurs aléatoires gaussies. Rappelos leur défiitio. Défiitio 2.1. U vecteur aléatoire Z sur R d est gaussie si et seulemet si, pour tout u R d la variable aléatoire u, Z est gaussiee. Page 1.

2 Page 2. emme 2.2. Soit (X, Y ) u vecteur gaussie das R 2 tel que (X) soit la loi N (µ, γ 2 ) et (Y X) soit la loi N (αx + β, δ 2 ) alors ( ( ) µ (X Y )=N ρ 2 α(y β) + ),ρ 2 1 avec γ2 δ 2 ρ = 1 2 γ + α2 2 δ. 2 Ce résultat élémetaire se gééralise à la loi coditioelle. Nous auros besoi das la suite de la forme suivate. Propositio 2.3. Soit (X, Y, Y 0,..., Y 1 ) u vecteur gaussie das R +1 tel que la loi de X sachat Y 0,..., Y 1 soit la loi N (µ, γ 2 ) et la loi de Y sachat Y 0,..., Y 1,X soit la loi N (X, δ 2 ). Alors la loi de X sachat Y 0,..., Y 1,Y est la loi ormale de paramètres ( µ ρ 2 γ + Y ) et ρ 2 1 où 2 δ 2 ρ = 1 2 γ δ. 2 3 e filtre optimal a première remarque importate est que pour tout 1, le vecteur aléatoire (X 0,..., X,Y 0,..., Y ) est u vecteur aléatoire gaussie. O e déduit doc que, pour tout 0, (X,Y 0,..., Y ) est ecore u vecteur gaussie. De plus, la loi de X sachat (Y 0,..., Y ) est ue loi ormale dot o otera la moyee ˆX et la variace P. O se propose de calculer ces quatités par récurrece. Remarque 3.1. a récurrece se fait e deux étapes. étape de prédictio cosiste à exprimer la loi (X Y 0,..., Y 1 ) e foctio de (X 1 Y 0,..., Y 1 ). Puis, das l étape de filtrage, o pred e compte l observatio Y pour exprimer (X Y 0,..., Y ) e foctio de (X Y 0,..., Y 1 ). C est l étape de filtrage. Propositio 3.2. a loi de X sachat Y 0,..., Y est la loi ormale N ( ˆX,P ) où ˆX = a ˆX 1 + P τ 2 (Y a ˆX 1 ) et P = a2 τ 2 P 1 + σ 2 τ 2 a 2 P 1 + σ 2 + τ 2. Démostratio. Comme aocé, o procède par récurrece. Iitialisatio. Puisque Y 0 = X 0 + V 0, la loi de Y 0 sachat X 0 est tout simplemet la loi N (X 0,τ 2 ). e lemme 2.2 assure que (X 0 Y 0 ) est la loi N ( ˆX 0,P 0 ) où ˆX 0 = O attaque alors la récurrece. σ2 σ 2 + τ Y 2 0 et P 0 = σ2 τ 2 σ 2 + τ. 2 Page 2.

3 Page 3. Prédictio. Par défiitio, (X 1 Y 0,..., Y 1 )=N ( ˆX 1,P 1 ). D après (1), o a Filtrage. D après (1) à ouveau, il viet (X Y 0,..., Y 1 )=N (a ˆX 1,a 2 P 1 + σ 2 ). (Y Y 0,..., Y 1,X )=N (X,τ 2 ). O applique alors la formule de Bayes coditioelle (propositio 2.3) pour iverser le coditioemet etre Y et X : la loi de X sachat Y 0,..., Y est la loi N ( ˆX,P ) avec ( 1 1 = P a 2 P 1 + σ + 1 a et 2 τ 2 ˆX = P ˆX ) 1 a 2 P 1 + σ + Y, 2 τ 2 ce qui achève la preuve. Remarque 3.3. O peut vérifier que P = E [(X ˆX ] ) 2 E [ (X Y ) 2] = τ 2. Ceci est pas surpreat coaissat les propriétés de l espérace coditioelle mais soulige bie que l o gage effectivemet à utiliser toutes les observatios Y 0,..., Y plutôt que de se coteter de la derière Y. 4 Estimatio de certais paramètres du modèle O suppose das cette sectio que l o observé les positios de l avio sas erreurs, c est-à-dire que l o coaît la suite (X i ) 1 i. O souhaite estimer les coefficiets a et σ. a questio est pas complètemet évidete car les observatios e sot pas idépedates. a vraisemblace du modèle est doée par : (a, σ, X 1,..., X )= 1 2πσ 2 exp ( (X ) k ax k 1 ) 2. (2) 2σ 2 Propositio 4.1. es estimateurs obteus par la méthode du maximum de vraisemblace sot â = X k 1X k, X2 k 1 ˆσ 2 = 1 (X k â X k 1 ) 2. Page 3.

4 Page 4. Démostratio. es estimateurs â et ˆσ sot les valeurs des paramètres a et σ redat maximale la quatité (2) (ou so logarithme)... O peut motrer que ces estimateurs ot de boes propriétés asymptotiques. Supposos que a appartiee à l itervalle ] 1, 1[ (que cela sigifie-t-il pour le pilote?). Théorème 4.2. es estimateurs â et ˆσ sot fortemet cosistats, c est-à-dire qu ils coverget presque sûremet vers a et σ respectivemet. De plus, (â a) N (0, 1 a2 ) et (ˆσ 2 σ 2) N (0, 2σ4 ) a suite du paragraphe motre commet obteir le comportemet asymptotique de l estimateur â de a. O supposera das la suite σ cou et fixé. O réécrit â de la maière suivate : â = a + X k 1W k. X2 k 1 O défiit alors la suite aléatoire (M ) N e posat M 0 = 0 et, pour 1, M = X k 1 W k. a suite (M ) N est ue martigale par rapport à la filtratio (F ), où F est la tribu egedrée par les variables aléatoires (W k ) 1 k. O lui associe sa variatio quadratique ( M ) défiie de la maière suivate : c est la seule () suite (A ) (a priori aléatoire) telle que M 2 A soit ue martigale par rapport à (F ). Théorème 4.3. a variatio quadratique de M est doée par De plus, si a < 1 alors M M 0 =0 et, pour 1, M = σ 2 σ 4 (1 a 2 ), M M 0 et M M Remarque 4.4. Das le cas a < 1, o a e particulier M Démostratio. Par ue récurrece immédiate, o a X = a X 0 + a k W k. X 2 k 1. N (0, 1). +. Page 4.

5 Page 5. Supposos que X 0 soit ul. iégalité de Cauchy-Schwarz assure que X a a k Wk 2. Posos S = X2 k 1 et = W k 1 2. a majoratio ci-dessus motre que S = O( ). D autre part, e vertu de la loi des grads ombres, = O() et par suite S = O() et M = O(). U résultat de martigale assure qu alors M = o(). O peut égalemet écrire S = a 2 S 1 +2aM + et doc (1 a 2 ) S = a2 X 2 + 2aM +. Aisi doc, la suite S / coverge-t-elle presque sûremet vers σ 2 /(1 a 2 ). O a doc motré que M σ 4 (1 a 2 ). a fi du théorème repose sur la loi des grads ombres et le théorème limite cetral pour les martigales de carré itégrable. 5 Suggestios. Pour traiter le sujet, o suggère de répodre à certaies des questios suivates. 1. Commeter le modèle de la sectio 1. O commetera e particulier le choix des lois des variables aléatoires itroduites et leur idépedace. 2. Expliquer l iterprétatio physique du coefficiet a (et de sa positio par rapport à 1). Pourquoi est-il légitime de supposé a < 1 s il y a u pilote das l avio? Pourquoi a ] 1, 0[ correspod à u pilote e phase d appretissage? 3. Démotrer le lemme 2.2 ou la propositio Démotrer la propositio 3.2 et e déduire l algorithme de Kalma-Bucy. 5. Écrire ue foctio qui pred e etrée le temps fial d observatio N, a, σ et τ 2 et géère les trajectoires (X ) 0 N,(Y ) 0 N et ( ˆX ) 0 N jusqu au temps N. 6. Étudier l évolutio temporelle de P e foctio du coefficiet a. 7. Démotrer la propositio Illustrer par la simulatio le théorème Commet utiliser le théorème 4.2 pour répodre, à partir de l observatio de X 1,..., X à la questio suivate : le pilote est-il vraimet expérimeté? 10. O pourra faire quelques commetaires au sujet du théorème 4.3 (M est-elle vraimet ue martigale? M est-il bie so processus croissat?). Page 5.

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