Intégration et probabilités ENS Paris, TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :"

Transcription

1 Itégratio et probabilités EN Paris, TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x x. lim dx...dx pour f ue foctio cotiue sur [0,], 2. lim 3. lim [0,] f k p k p k f λ λk e f k!. O a k pour f ue foctio cotiue sur [0,] et p [0,], k pour f ue foctio cotiue et borée sur R + et λ > 0. [0,] f x x dx...dx = E f U U où U,...,U sot des variables aléatoires idépedates et uiformes sur [0,]. D après la loi forte des grads ombres, U U coverge p.s. et doc e loi vers /2. Aisi, x x lim dx,...dx f = f. [0,] 2 2. O a p k p k f k k = E f B B où B,...,B sot des variables aléatoires de Beroulli de paramètre p idépedates. D après la loi forte des grads ombres, B B coverge p.s. et doc e loi vers p. Aisi, lim p k p k f k k = f p. Pour des questios, demade de précisios ou explicatios, hésitez pas à m evoyer u mail à ou bie à veir me voir au bureau V4.,

2 3. O a λ λk e f k! k = E f P P où P,...,P sot des variables aléatoires de Poisso de paramètre λ idépedates. D après la loi forte des grads ombres, P P coverge p.s. et doc e loi vers λ. Aisi, lim λ λk e f k! k = f λ. Remarque : o a utilisé les résultats suivats que vous pourrez vérifier à titre d exercice :. La somme de variables aléatoires de Beroulli de paramètre p [0,] idépedates suit ue loi biomiale de paramètres et p. 2. La moyee d ue variable aléatoire suivat ue loi de Poisso de paramètre λ > 0 est λ. 3. oiet, λ,...,λ > 0 et X,...,X variables aléatoires idépedates, chaque X i suivat ue loi de Poisso de paramètre λ i. Alors X X suit ue loi de Poisso de paramètre λ λ. Exercice 2. Ue loi faible avec foctios caractéristiques oit X,..,X,... ue suite de v.a.i.i.d défiies sur u espace probabilisé. O suppose que E[ X ] <. Motrer alors sas utiliser la loi forte des grads ombres à l aide des foctios caractéristiques que X X P E[X ]., L idépedace des X i implique que pour ξ R : ξ ϕ X+...X ξ = ϕ X. Comme X a u momet d ordre fii, ξ ϕξ est dérivable e 0 de dérivée ie[x ]. D où ξ ϕ X = + iξe[x ] + o iξe[x ]. Aisi, les foctios caractéristiques de X +...+X coverget simplemet vers la foctio caractéristique de la mesure de Dirac e E[X ], o e déduit que X X d E[X ]. Or la covergece e loi vers ue costate implique ue covergece e probabilité vers cette costate, ce qui coclut. Exercice 3. Théorème de Berstei-Weierstrass oit f ue foctio cotiue de [0, ] das C. Le - ième polyôme de Berstei de f, B, est défii par B x = x k x k f k k, x R. 2

3 . oit x la variable aléatoire état défiie par x = Bi,x/, où Bi,x est ue variable aléatoire. de loi biomiale de paramètre et x. Motrer que B x = E[f x]. 2. E déduire le Théorème de Berstei-Weierstrass B f 0.. C est évidet. 2. oit ε > 0, soit η > 0 le module d uiforme cotiuité de f associé à ε. Alors o a f x B x = E[ f x f x ] E[ f x f x x x η] + E[ f x f x x x η] ε + 2 f P[ x x η] Pour évaluer P[ x x η], o utilise l iégalité de Markov : P[ x x η] Var[ x ] x x η 2 = η 2 2η 2. La majoratio ci-dessus est uiforme e x, ce qui permet de coclure. Exercice 4. Loi faible, o forte oit X ue suite de variables aléatoires idépedates de loi P X = 2l + δ + δ + δ l Motrer que Y := X +...+X coverge e probabilité vers Motrer que presque sûremet, Y e coverge pas.. O motre e calculat que L iégalité de Markov permet alors de coclure. E[Y 2 ] À l aide de Borel-Catelli, o motre que P X, pour ue ifiité de =, et l o coclue comme das l exercice 5.2 du TD. 2 Théorème cetral limite Exercice 5. U derier calcul et o s e va Détermier la limite suivate : lim e k k!. O a e k k! = PP P, 3

4 où P,...,P sot des variables aléatoires de Poisso de paramètre idépedates. Et P P PP P = P 0. - La variace d ue variable aléatoire de loi de Poisso de paramètre λ état égale à λ, o a d après le tcl, P P loi N, où N est ue variable gaussiee cetrée réduite. Or la foctio de répartitio de N est cotiue doc lim e k k! = PN 0 = 2. Exercice 6. Covergece e loi mais pas e proba oit X ue suite de variables aléatoires réelles idépedates et de même loi telle que EX = 0 et EX 2 =. O pose = X +...+X pour tout.. Motrer que pour tout A > 0, o a et e déduire que P P A =, = + =. 2. Justifier que si k k est ue suite extraite de, alors o a : k P k = + =. k 3. E déduire que la suite /2 e coverge pas e probabilité.. D après le tcl, la suite /2 coverge e loi vers ue variable aléatoire N de loi gaussiee cetrée réduite. oit A > 0. O a { } P A P > A La variable N état à desité, o a lim P > A = PN > A > 0, ce qui implique que P limsup A > 0. Or { } A A, où A est la tribu asymptotique σx,x +,... Aisi P limsup A =. E cosidérat ue suite A k k +, o e déduit le résultat. limsupp > A. 4

5 2. O démotre ce résultat de la même maière que le résultat précédet. 3. i la suite /2 coverge e probabilité vers ue variable aléatoire X, alors o peut extraire ue sous-suite /2 k k k telle que /2 k k X p.s. Or X a la même loi que N, ce qui cotredit le fait que P k k k = + =. 3 Vecteurs gaussies Exercice 7. Persoe est jamais assez fort pour ce calcul oit X ue suite de variables aléatoires à valeurs das R 2 idépedates et idetiquemet distribuées. Étudier le comportemet asymptotique de la suite X X EX das les cas suivats :. X est de loi 2 δ, + 2 δ,, 2. X est de loi 2 δ, + 4 δ, + 4 δ,.. Das ce cas, X est cetré et la matrice de covariace de X est C X =. Doc, d après le tcl vectoriel, la suite X +...+X / coverge e loi vers u vecteur aléatoire N de loi N 0,C X. Le vecteur N est u vecteur gaussie dégééré, il a la même loi que le vecteur ν,ν où la variable aléatoire réelle ν est de loi N 0,. /2 2. Das ce cas, o a EX = 0,/2 et la matrice de covariace de X est C X =. Doc, /2 3/4 d après le tcl vectoriel, la suite X X EX / coverge e loi vers u vecteur aléatoire N de loi N 0,C X. Le vecteur N est u vecteur gaussie o-dégééré dot la desité est f y,y 2 = 3 π 2 exp 4 y2 + y y 2 + y2 2. Exercice 8. uite récurrete aléatoire oiet U k k ue suite de variables aléatoires réelles idépedates et de loi ormale N 0,σ 2 et θ R. O défiit la suite X k k par X = U et X k = θu k + U k. Motrer que pour tout, le vecteur X,...,X est u vecteur gaussie o dégééré dot o précisera la desité, l espérace et la matrice de covariace. oit A la matrice carré d ordre défiie par θ A = 0 θ θ 5

6 Alors o voit que X = AU e otat X = X,...,X et U = U,...,U. Doc X est u vecteur gaussie. De plus deta = doc X est o dégééré. O a EX = 0 et la matrice de covariace de X est doée par θ θ + θ 2 θ C X = Aσ 2 I t A = σ 2 A t A = σ θ + θ 2 θ θ + θ 2 Efi la desité de X est f X x = xc 2π detc X e t X x = e t xc 2πσ 2 /2 X x, x R. 5 Complémets hors TD Exercice 9. Formule de tirlig Questio prélimiaire : oit X ue variable aléatoire réelle de carré itégrable défiie sur Ω, A, P. Motrer que, pour tout a > 0, o a : E X ifx,a EX 2 PX a /2. oit X, ue suite de variables aléatoires idépedates défiies sur Ω,A,P, de même loi de Poisso de paramètre. O pose, pour tout etier, O ote x = sup x,0 pour tout x R. = i= X i et Y =.. Pour tout, vérifier que suit la loi de Poisso de paramètre, calculer EY 2 et e déduire que pour tout a > 0, PY a a oit Y ue variable aléatoire de loi ormale N 0,. Motrer que la suite Y coverge e loi vers Y. 3. Motrer à l aide de la questio prélimiaire que EY EY. 4. E déduire la formule de tirlig 2π.! e. O a, d après l iégalité de Cauchy-chwarz, E X ifx,a = E X a {X>a} E X{X>a} EX 2 PX > a /2. 2 a O a O e déduit que EY 2 = VarX =. i= PY a a 2 EY 2 a 2 EY 2 = a 2. 6

7 2 b D après le tcl, la suite Y coverge e loi vers Y. Or la foctio x R x est cotiue doc la suite Y coverge e loi vers Y. 2 c oit a > 0. La foctio x R + ifx,a est cotiue et borée doc Et EifY,a EifY,a. EY EY E Y ify,a + EifY,a ify,a + E ify,a Y EifY,a ify,a + PY a /2 + PY a /2, d après la questio prélimiaire. Or PY a a 2 et Aisi, Ceci état vrai pour tout a > 0, o a PY a EY 2 a 2 EY 2 a 2 = a 2. EY EY 2 a. EY EY = 0. 2 d La variable aléatoire suit ue loi de Poisso de paramètre doc EY = k ke k! = e k+ k+ k! k! = + e! = e Et Doc, et doc 0 EY = xe x2 /2 dx =. 2π 2π e! 2π, 2π.! e!. Exercice 0. Ue LGN avec u goût de TCL O rappelle que la loi de Cauchy à pour desité par rapport à la mesure de Lebesgue f x = π+x 2, et pour foctio caractéristique φξ = exp ξ.. i X et Y sot deux variables de Cauchy idépedates. Quelles est la loi de X+Y 2? 2. i X,...,X sot des vaiid de loi de Cauchy. Quelle est la loi de Qu e pesez-vous? X X? 7

8 . Retrouver la forme de la foio carae ri ique a partir de la desite de la loi de Cauchy. Corrige :. O calcule : h ti h ti X +Y φx+y / t = E exp it = E eix E eiy = exp t / exp t / = exp t. O e de duit que X + Y / suit ue loi de Cauchy.. Le me me raisoemet motre que X + + X / suit ue loi de Cauchy. O peut faire deux remarques : i Z e coverge pas p.s. lorsque. Ceci e cotredit pas la loi forte des grads ombres carte X a pas de momet d ordre. ii Le the ore me cetral limite e s applique pas car il y a pas de momet d ordre et doc pas de momet d ordre.. O utilise la formule d iversio de Fourier voir les petites que ios du TD pour deux que ios similaires. Exercice. E quatio ale atoire oiet X ety deux variables ale atoires ide pedates de me me loi, de variace fiie σ. O suppose que X + Y / e de me me loi que X et Y. Que dire de cette loi commue? Corrige : Tout d abord, comme X +Y / et X ot me me loi, o a E [X]+E [Y ]/ = E [X] = E [X]. D ou E [X] =. Esuite, si Xi, Xi0, Yi, Yi0 sot des variables ale atoires ide pedats de me me loi que X, o de motre aise met par re currece sur que P Xi + Xi0 + Yi + Yi0 Z = i= + a la me me loi que X. Or d apre s le the ore me cetral limite, Z coverge e loi vers N, σ e effet, le ume rateur de Z e ue somme de + variables ale atoires re elles cetre es ide pedates de me me loi et de variace σ. O coclut doc que X a la me me loi que N, σ. Boe ae e! Fi

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6 Corrigés TD Chapitre : Variables aléatoires sur u uivers fii Exercice : Soit X la VAR défiie par le tableau suivat : x i - - 0 p 6 4 6 4 6 i O ote Y = X ) Détermier la loi cooite de X et Y ) Détermier

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING LE Age KHOURI Nadie M MMD PROJE DE MONE ARLO SUJE : LE PRIING Selim ZOUGHLAMI QUESION : Supposos d abord que X est u mouvemet browie W t G([ 0, ]) Alors W0 G( 0 ) suit ue loi N(0,0) et doc W 0ps 0 Esuite,

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

Corrigé de Mathématique éco HEC

Corrigé de Mathématique éco HEC Corrigé de Mathématique éco HEC EXERCICE Hypothèses. M 3 R est l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficiets réels. A M 3 R : s A 3 A,j, s A 3 A,j, s 3 A 3 somme des coefficiets des liges

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local Appretissage: cours 3a Méthodes par moyeage local Guillaume Oboziski 1 er mars 2012 Réferece : chap. 6 of [Hastie et al., 2009] ad chap. 6 of [Devroye et al., 1996]. Algorithmes par moyeage local O cosidère

Plus en détail

Probabilités et Statistiques

Probabilités et Statistiques Préparatio à l Agrégatio Probabilités et Statistiques Fascicule d Exercices gééraux de Probabilités (iveaux L3-M1) Uiversité Pierre et Marie Curie - Paris VI Aée 2008-2009 Lauret MAZLIAK U certai ombre

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

L3 MFA, Probabilités, 2010-2011 Université Paris-Sud 11. Feuille de TD n o 1

L3 MFA, Probabilités, 2010-2011 Université Paris-Sud 11. Feuille de TD n o 1 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Exercice.. Jea, Luc et Marc lacet chacu u dé. Feuille de TD o (a) Doer u espace de probabilité (Ω, F, P) associé à cette expériece aléatoire. (b) Soiet i,

Plus en détail

Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé

Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé www.almohadiss.com Exercice - Avio - L2/Prépa Hec - O ote X la variable aléatoire du ombre de moteurs de A qui tombet e pae, et Y la variable aléatoire du ombre de moteurs de B qui tombet e pae. X suit

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique MATHEMATIQUES Termiale Scietifique Fiches PROGRAMME 22 (v24) Sylvie LAMY Agrégée de Mathématiques Dilômée de l École Polytechique Cours Pi e-mail : lescoursi@cours-icom site : htt://wwwcours-icom siège

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D

LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D PRÉPARATION À L AGRÉGATION EXTERNE DE MATHÉMATIQUES DE L UNIVERSITÉ RENNES 1 1 ANNÉE 2009/2010 1. ESPACE PROBABILISÉ - VARIABLE ALÉATOIRE 1.1 ESPACE PROBABILISÉ

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba,

Plus en détail

Éléments de cours de Probabilités

Éléments de cours de Probabilités Élémets de cours de Probabilités Licece de mathématiques Uiversité de Versailles Sait-Queti Jea-Fraçois Marckert Table des matières I. Itroductio 1 1. U peu d histoire......................................

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h

MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h ECOLE DE HUTES ETUDES COMMERCILES DU NORD Cocors d'admissio sr classes préparatoires MTHEMTIQUES Optio scietifiqe Mardi 9 mai 6 de 8h à h La présetatio, la lisibilité, l'orthographe, la qalité de la rédactio,

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques (3ème année) Année 2004/2005. Probabilités Pierre Priouret

Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques (3ème année) Année 2004/2005. Probabilités Pierre Priouret Uiversité Pierre et Marie Curie Licece de Mathématiques (3ème aée) Aée 2004/2005 Probabilités Pierre Priouret Mode d emploi Ce polycopié est destié aux étudiats de la Licece (3ème aée) de Mathématiques

Plus en détail

AVANT PROPOS. Cet ouvrage pourra intéresser également les enseignants de ce niveau.

AVANT PROPOS. Cet ouvrage pourra intéresser également les enseignants de ce niveau. AVANT PROPOS Cet ouvrage propose aux élèves de classes termiales (fraçais) S (spécialité math) des rappels et des complémets de cours assez complet, aisi que des problèmes et des exercices corrigés. Les

Plus en détail

Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS

Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Aée 2012-2013 LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Secode aée - Semestre 3 PROBABILITÉS Feuille d exercices N 3 : Variables aléatoires - Lois discrètes 1. Calculez 3 2 + 2 5 Exercice I (

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

Feuille d exercices 5

Feuille d exercices 5 Mathématiques Physique S3, 205/206 Uiversité Blaise Pascal Feuille d exercices 5 Ex.. Tracer le graphe des foctios périodiques suivates, doer leur développemet e série de Fourier et discuter la covergece

Plus en détail

La classification de données quantitatives avec SPAD

La classification de données quantitatives avec SPAD La classificatio de doées quatitatives avec SPAD SPAD effectue toujours ue ACP de la matrice des doées quatitatives X " p avat de faire la classificatio des idividus. Les méthodes de classificatio s appliquet

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

Probabilités. Poly des exercices. Prépa HEC Saint-Jean de Douai. Springer-Verlag ECS1 2007-2008. 4 septembre 2008

Probabilités. Poly des exercices. Prépa HEC Saint-Jean de Douai. Springer-Verlag ECS1 2007-2008. 4 septembre 2008 Prépa HEC Sait-Jea de Douai Probabilités Poly des exercices ECS1 2007-2008 Christia Skiada 4 septembre 2008 Spriger-Verlag Berli Heidelberg NewYork Lodo Paris Tokyo Hog Kog Barceloa Budapest Préface Voici

Plus en détail

Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH

Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH R O Y A U M E D U M A R O C Miistère de l Educatio Natioale et de la Formatio Professioelle Cetre Régioal des Métiers de l Éducatio et de la Formatio Académie Régioale de l Éducatio et de la Formatio Marrakech-Tesift

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

I. (2 points) III. (2 points)

I. (2 points) III. (2 points) ère S Cotrôle du vedredi 7 mars 05 (0 mi) Préom : Nom : Note : / 0 II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) I ( poits)

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009 Bcclurét S Nouvelle - Clédoie Mrs 009 Exercice Commu à tous les cdidts (5 poits) r r Le pl est rpporté à u repère orthoorml direct ( O, u, v) d uité grphique cm O cosidère les poits et B d ffixes respectives

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

Modélisation stochastique

Modélisation stochastique Uiversité de Lorraie Master 2 IMOI 2014-2015 Modélisatio stochastique Madalia Deacou 2 Table des matières Itroductio 5 1 Simulatio de variables aléatoires 7 1.1 Itroductio............................ 7

Plus en détail

Chapitre 16 : Espaces vectoriels

Chapitre 16 : Espaces vectoriels PCSI Préparatio des Khôlles -4 Chapitre 6 : Espaces vectoriels Exercice type Soit E=R[X] et F ={P E, P(X)=XP (X)+P()}, motrer que F est u sous-espace vectoriel de E. : O a bie F E. Si P =est le polyôme

Plus en détail

Introduction aux Méthodes de Monte-Carlo

Introduction aux Méthodes de Monte-Carlo Itroductio aux Méthodes de Mote-Carlo LAURE ELIE BERNARD LAPEYRE Septembre 2001 Table des matières 1 Itroductio aux méthodes de mote-carlo 5 1.1 Simulatio de lois uiformes........................... 7

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique Équatios différetielles - Cours o 6 Approximatio umérique 1 Itroductio De très ombreux problèmes scietifiques sot mis e équatio à l aide d u système d équatios différetielles ẋt) = ft, xt)) voir par exemple

Plus en détail

Méthodes de Monte-Carlo

Méthodes de Monte-Carlo Méthodes de Mote-Carlo Aie MILLET Uiversités Paris 7 et Paris 1 Master ème aée : Spécialité Modélisatio Aléatoire Recherche et Professioel Parcours : Statistique et Modèles Aléatoires e Fiace Parcours

Plus en détail

Cours de calcul stochastique Master M2 IRFA

Cours de calcul stochastique Master M2 IRFA 1 Cours de calcul stochastique Master M2 IRFA Christophe Chorro Septembre 26 $!!!$!!&!!(!!*!!#!!!#$!!#&!!"!!"#!"$!"%!"&!"'!"(!")!"*!"+ #"! #"# Les évetuelles fautes d orthographe, coquilles ou erreurs

Plus en détail

Probabilité 1 - L1 MMIA

Probabilité 1 - L1 MMIA Probabilité 1 - L1 MMIA Tra Viet Chi, vtra@u-paris10fr, Bureau E12(G) Exercice 1 (Pour démarrer) 1 Soiet A et B deux esembles Rappelez les défiitios de l itersectio A B, de l uio A B, de la différece A

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E). Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio 1.1.1. Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie

Plus en détail

Cours de Statistiques inférentielles

Cours de Statistiques inférentielles Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france. Exo7 Applicatios liéaires cotiues, ormes matricielles Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr Exercice * * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile

Plus en détail

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015)

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015) Mohiieddie Beayad Cocours de l Iscae Épreuve Commue de Mathématiques (5) Voici l éocé de l épreuve commue de Mathématiques du cocours d etrée à l ISCAE de l aée 5, aisi que l itégralité du corrigé. Les

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont :

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont : Estimatio Objectifs Estimer poctuellemet ue proportio, ue moyee ou u écart type d ue populatio à l aide de la calculatrice ou d u logiciel, à partir d u échatillo Détermier u itervalle de cofiace à u iveau

Plus en détail

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( )

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( ) Aée 01-013 Mathématiques Décembre 01 Durée : 3 heures BAC blac N 1 La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte u total de 5 exercices. Les élèves e suivat pas l eseigemet de spécialité traiterot les

Plus en détail

Probabilités et Statistique

Probabilités et Statistique Probabilités et Statistique Jea-Michel JOLION Départemet Géie Idustriel 3ème Aée Versio électroique : http://rfv.isa-lyo.fr/ jolio/stat/poly.html May 26, 2006 INSA Lyo - Bât. J. Vere - 69621 Villeurbae

Plus en détail

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario Mathématiques Termiale S Corrigés des eercices Rédactio : Lauret Beroul Isabelle Teaud Sébastie Cario Coordiatio : Sébastie Cario Ce cours est la propriété du Ced Les images et tetes itégrés à ce cours

Plus en détail

1 Intégrale de Riemann

1 Intégrale de Riemann Uiversité Paris 13, Istitut Galilée Aée uiversitaire 2015-2016 Préparatio à l agrégatio 0. Rappels de théorie de l itégratio 1 Itégrale de Riema L itégrale itroduite e L1 ou e classe prépa est l itégrale

Plus en détail

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal chapitre VIII eercices et problèmes de sythèse algorithmique et turbo-pascal Algèbre liéaire et probabilités : Chaîes de Marov (esco 93) Partie A 4 3 O cosidère la matrice M = 8 6 ) a) Détermier les valeurs

Plus en détail

CHAPITRE 22. Machines à sous

CHAPITRE 22. Machines à sous CHAPITRE 22 Machies à sous 22. Corrigé possible du texte 22.. Eocé du problème et défiitio du modèle statistique associé O étudie ici u modèle statistique avec observatios icomplètes : o dispose d observatios

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Lycée Féelo aite-marie Préparatio ciece-po/prépa HEC Foctios Versio du juillet 05 Eercice d degré : racies et coefficiets O rappelle que si l équatio a + b + c = 0 ( a 0 ) adet deu racies α et β (évetuelleet

Plus en détail

Séquence 9. Lois normales, intervalle de fluctuation, estimation. Sommaire

Séquence 9. Lois normales, intervalle de fluctuation, estimation. Sommaire Séquece 9 Lois ormales, itervalle de fluctuatio, estimatio Sommaire 1. Prérequis. Lois ormales 3. Itervalles de fluctuatio 4. Estimatio 5. Sythèse de la séquece Séquece 9 MA0 1 Ced - Académie e lige Das

Plus en détail

MATHÉMATIQUES Corrigé

MATHÉMATIQUES Corrigé Exame de ovembre 009 Exame du premier trimestre Le 30 ovembre 009 Classes de ère STG Durée 3 heures MATHÉMATIQUES Corrigé Note aux cadidats L emploi des calculatrices est autorisé (circulaire 99 86 du

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

Remise à Niveau Mathématiques

Remise à Niveau Mathématiques Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisoemet Exercices Page sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet

Plus en détail

Éléments finis de joint mécaniques et éléments finis de joint couplés hydromécanique

Éléments finis de joint mécaniques et éléments finis de joint couplés hydromécanique Titre : Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fi[...] Date : 28/10/2014 Pae : 1/10 Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fiis de joit couplés hydromécaique Résumé : Cette documetatio porte sur

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie

Plus en détail

Correction EDHEC 2007 Voie scienti que

Correction EDHEC 2007 Voie scienti que EDHE 7 ES Exercice Page orrectio EDHE 7 Voie scieti que La correctio comporte 4 pages. Exercice. Pour tout etier o ul, la foctio x 7! e x x est cotiue sur R e tat que quotiet (dot le déomiateur e s aule

Plus en détail

CORRECTION DU BAC BLANC 2

CORRECTION DU BAC BLANC 2 CORRCTION DU BAC BLANC 2 XRCIC 1 (6 poits) Baccalauréat ST Mercatique Podichéry - 2010 Deux tableaux sot doés e aexe : le premier doe l évolutio du prix du mètre carré das l immobilier résidetiel acie

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

ANNALES BACCALAURÉAT 2013 MATHÉMATIQUES TERMINALE S. 1. Suites

ANNALES BACCALAURÉAT 2013 MATHÉMATIQUES TERMINALE S. 1. Suites ANNALES BACCALAURÉAT 03 MATHÉMATIQUES TERMINALE S ANNALES 03 TERMINALE S Suites Foctios 9 3 Probabilités 4 Géométrie 9 8 5 Spécialité 34 6 Cocours 44 Suites - : Amérique du Nord 03, 5 poits, o spécialistes

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f.

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f. Chapitre 14 Itervalle de fluctuatio des fréqueces. Estimatio Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Itervalle de fluctuatio Estimatio Itervalle de cofiace (*). Niveau

Plus en détail

Formulaire de statistiques

Formulaire de statistiques Formulaire de statistiques E. Depiereux G. Vicke B. De Hertogh Javier 009 Formulaire de statistiques I. Statistiques descriptives : Moyee arithmétique : (populatio: m x = µ) (échatillo = x = M x ) 1 i

Plus en détail

x deux caractères de G. Le produit xx est défini par la formule : PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

x deux caractères de G. Le produit xx est défini par la formule : PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES 74 Écoles Normales Supérieures Ulm et Lyo optio M lère compositio 1/6 PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (Sujet commu ENS : ULM et LYON) DURÉE : 6 heures Lc cadidat peut traiter l ue quelcoque des parties

Plus en détail