Intégration et probabilités ENS Paris, TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

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1 Itégratio et probabilités EN Paris, TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x x. lim dx...dx pour f ue foctio cotiue sur [0,], 2. lim 3. lim [0,] f k p k p k f λ λk e f k!. O a k pour f ue foctio cotiue sur [0,] et p [0,], k pour f ue foctio cotiue et borée sur R + et λ > 0. [0,] f x x dx...dx = E f U U où U,...,U sot des variables aléatoires idépedates et uiformes sur [0,]. D après la loi forte des grads ombres, U U coverge p.s. et doc e loi vers /2. Aisi, x x lim dx,...dx f = f. [0,] 2 2. O a p k p k f k k = E f B B où B,...,B sot des variables aléatoires de Beroulli de paramètre p idépedates. D après la loi forte des grads ombres, B B coverge p.s. et doc e loi vers p. Aisi, lim p k p k f k k = f p. Pour des questios, demade de précisios ou explicatios, hésitez pas à m evoyer u mail à ou bie à veir me voir au bureau V4.,

2 3. O a λ λk e f k! k = E f P P où P,...,P sot des variables aléatoires de Poisso de paramètre λ idépedates. D après la loi forte des grads ombres, P P coverge p.s. et doc e loi vers λ. Aisi, lim λ λk e f k! k = f λ. Remarque : o a utilisé les résultats suivats que vous pourrez vérifier à titre d exercice :. La somme de variables aléatoires de Beroulli de paramètre p [0,] idépedates suit ue loi biomiale de paramètres et p. 2. La moyee d ue variable aléatoire suivat ue loi de Poisso de paramètre λ > 0 est λ. 3. oiet, λ,...,λ > 0 et X,...,X variables aléatoires idépedates, chaque X i suivat ue loi de Poisso de paramètre λ i. Alors X X suit ue loi de Poisso de paramètre λ λ. Exercice 2. Ue loi faible avec foctios caractéristiques oit X,..,X,... ue suite de v.a.i.i.d défiies sur u espace probabilisé. O suppose que E[ X ] <. Motrer alors sas utiliser la loi forte des grads ombres à l aide des foctios caractéristiques que X X P E[X ]., L idépedace des X i implique que pour ξ R : ξ ϕ X+...X ξ = ϕ X. Comme X a u momet d ordre fii, ξ ϕξ est dérivable e 0 de dérivée ie[x ]. D où ξ ϕ X = + iξe[x ] + o iξe[x ]. Aisi, les foctios caractéristiques de X +...+X coverget simplemet vers la foctio caractéristique de la mesure de Dirac e E[X ], o e déduit que X X d E[X ]. Or la covergece e loi vers ue costate implique ue covergece e probabilité vers cette costate, ce qui coclut. Exercice 3. Théorème de Berstei-Weierstrass oit f ue foctio cotiue de [0, ] das C. Le - ième polyôme de Berstei de f, B, est défii par B x = x k x k f k k, x R. 2

3 . oit x la variable aléatoire état défiie par x = Bi,x/, où Bi,x est ue variable aléatoire. de loi biomiale de paramètre et x. Motrer que B x = E[f x]. 2. E déduire le Théorème de Berstei-Weierstrass B f 0.. C est évidet. 2. oit ε > 0, soit η > 0 le module d uiforme cotiuité de f associé à ε. Alors o a f x B x = E[ f x f x ] E[ f x f x x x η] + E[ f x f x x x η] ε + 2 f P[ x x η] Pour évaluer P[ x x η], o utilise l iégalité de Markov : P[ x x η] Var[ x ] x x η 2 = η 2 2η 2. La majoratio ci-dessus est uiforme e x, ce qui permet de coclure. Exercice 4. Loi faible, o forte oit X ue suite de variables aléatoires idépedates de loi P X = 2l + δ + δ + δ l Motrer que Y := X +...+X coverge e probabilité vers Motrer que presque sûremet, Y e coverge pas.. O motre e calculat que L iégalité de Markov permet alors de coclure. E[Y 2 ] À l aide de Borel-Catelli, o motre que P X, pour ue ifiité de =, et l o coclue comme das l exercice 5.2 du TD. 2 Théorème cetral limite Exercice 5. U derier calcul et o s e va Détermier la limite suivate : lim e k k!. O a e k k! = PP P, 3

4 où P,...,P sot des variables aléatoires de Poisso de paramètre idépedates. Et P P PP P = P 0. - La variace d ue variable aléatoire de loi de Poisso de paramètre λ état égale à λ, o a d après le tcl, P P loi N, où N est ue variable gaussiee cetrée réduite. Or la foctio de répartitio de N est cotiue doc lim e k k! = PN 0 = 2. Exercice 6. Covergece e loi mais pas e proba oit X ue suite de variables aléatoires réelles idépedates et de même loi telle que EX = 0 et EX 2 =. O pose = X +...+X pour tout.. Motrer que pour tout A > 0, o a et e déduire que P P A =, = + =. 2. Justifier que si k k est ue suite extraite de, alors o a : k P k = + =. k 3. E déduire que la suite /2 e coverge pas e probabilité.. D après le tcl, la suite /2 coverge e loi vers ue variable aléatoire N de loi gaussiee cetrée réduite. oit A > 0. O a { } P A P > A La variable N état à desité, o a lim P > A = PN > A > 0, ce qui implique que P limsup A > 0. Or { } A A, où A est la tribu asymptotique σx,x +,... Aisi P limsup A =. E cosidérat ue suite A k k +, o e déduit le résultat. limsupp > A. 4

5 2. O démotre ce résultat de la même maière que le résultat précédet. 3. i la suite /2 coverge e probabilité vers ue variable aléatoire X, alors o peut extraire ue sous-suite /2 k k k telle que /2 k k X p.s. Or X a la même loi que N, ce qui cotredit le fait que P k k k = + =. 3 Vecteurs gaussies Exercice 7. Persoe est jamais assez fort pour ce calcul oit X ue suite de variables aléatoires à valeurs das R 2 idépedates et idetiquemet distribuées. Étudier le comportemet asymptotique de la suite X X EX das les cas suivats :. X est de loi 2 δ, + 2 δ,, 2. X est de loi 2 δ, + 4 δ, + 4 δ,.. Das ce cas, X est cetré et la matrice de covariace de X est C X =. Doc, d après le tcl vectoriel, la suite X +...+X / coverge e loi vers u vecteur aléatoire N de loi N 0,C X. Le vecteur N est u vecteur gaussie dégééré, il a la même loi que le vecteur ν,ν où la variable aléatoire réelle ν est de loi N 0,. /2 2. Das ce cas, o a EX = 0,/2 et la matrice de covariace de X est C X =. Doc, /2 3/4 d après le tcl vectoriel, la suite X X EX / coverge e loi vers u vecteur aléatoire N de loi N 0,C X. Le vecteur N est u vecteur gaussie o-dégééré dot la desité est f y,y 2 = 3 π 2 exp 4 y2 + y y 2 + y2 2. Exercice 8. uite récurrete aléatoire oiet U k k ue suite de variables aléatoires réelles idépedates et de loi ormale N 0,σ 2 et θ R. O défiit la suite X k k par X = U et X k = θu k + U k. Motrer que pour tout, le vecteur X,...,X est u vecteur gaussie o dégééré dot o précisera la desité, l espérace et la matrice de covariace. oit A la matrice carré d ordre défiie par θ A = 0 θ θ 5

6 Alors o voit que X = AU e otat X = X,...,X et U = U,...,U. Doc X est u vecteur gaussie. De plus deta = doc X est o dégééré. O a EX = 0 et la matrice de covariace de X est doée par θ θ + θ 2 θ C X = Aσ 2 I t A = σ 2 A t A = σ θ + θ 2 θ θ + θ 2 Efi la desité de X est f X x = xc 2π detc X e t X x = e t xc 2πσ 2 /2 X x, x R. 5 Complémets hors TD Exercice 9. Formule de tirlig Questio prélimiaire : oit X ue variable aléatoire réelle de carré itégrable défiie sur Ω, A, P. Motrer que, pour tout a > 0, o a : E X ifx,a EX 2 PX a /2. oit X, ue suite de variables aléatoires idépedates défiies sur Ω,A,P, de même loi de Poisso de paramètre. O pose, pour tout etier, O ote x = sup x,0 pour tout x R. = i= X i et Y =.. Pour tout, vérifier que suit la loi de Poisso de paramètre, calculer EY 2 et e déduire que pour tout a > 0, PY a a oit Y ue variable aléatoire de loi ormale N 0,. Motrer que la suite Y coverge e loi vers Y. 3. Motrer à l aide de la questio prélimiaire que EY EY. 4. E déduire la formule de tirlig 2π.! e. O a, d après l iégalité de Cauchy-chwarz, E X ifx,a = E X a {X>a} E X{X>a} EX 2 PX > a /2. 2 a O a O e déduit que EY 2 = VarX =. i= PY a a 2 EY 2 a 2 EY 2 = a 2. 6

7 2 b D après le tcl, la suite Y coverge e loi vers Y. Or la foctio x R x est cotiue doc la suite Y coverge e loi vers Y. 2 c oit a > 0. La foctio x R + ifx,a est cotiue et borée doc Et EifY,a EifY,a. EY EY E Y ify,a + EifY,a ify,a + E ify,a Y EifY,a ify,a + PY a /2 + PY a /2, d après la questio prélimiaire. Or PY a a 2 et Aisi, Ceci état vrai pour tout a > 0, o a PY a EY 2 a 2 EY 2 a 2 = a 2. EY EY 2 a. EY EY = 0. 2 d La variable aléatoire suit ue loi de Poisso de paramètre doc EY = k ke k! = e k+ k+ k! k! = + e! = e Et Doc, et doc 0 EY = xe x2 /2 dx =. 2π 2π e! 2π, 2π.! e!. Exercice 0. Ue LGN avec u goût de TCL O rappelle que la loi de Cauchy à pour desité par rapport à la mesure de Lebesgue f x = π+x 2, et pour foctio caractéristique φξ = exp ξ.. i X et Y sot deux variables de Cauchy idépedates. Quelles est la loi de X+Y 2? 2. i X,...,X sot des vaiid de loi de Cauchy. Quelle est la loi de Qu e pesez-vous? X X? 7

8 . Retrouver la forme de la foio carae ri ique a partir de la desite de la loi de Cauchy. Corrige :. O calcule : h ti h ti X +Y φx+y / t = E exp it = E eix E eiy = exp t / exp t / = exp t. O e de duit que X + Y / suit ue loi de Cauchy.. Le me me raisoemet motre que X + + X / suit ue loi de Cauchy. O peut faire deux remarques : i Z e coverge pas p.s. lorsque. Ceci e cotredit pas la loi forte des grads ombres carte X a pas de momet d ordre. ii Le the ore me cetral limite e s applique pas car il y a pas de momet d ordre et doc pas de momet d ordre.. O utilise la formule d iversio de Fourier voir les petites que ios du TD pour deux que ios similaires. Exercice. E quatio ale atoire oiet X ety deux variables ale atoires ide pedates de me me loi, de variace fiie σ. O suppose que X + Y / e de me me loi que X et Y. Que dire de cette loi commue? Corrige : Tout d abord, comme X +Y / et X ot me me loi, o a E [X]+E [Y ]/ = E [X] = E [X]. D ou E [X] =. Esuite, si Xi, Xi0, Yi, Yi0 sot des variables ale atoires ide pedats de me me loi que X, o de motre aise met par re currece sur que P Xi + Xi0 + Yi + Yi0 Z = i= + a la me me loi que X. Or d apre s le the ore me cetral limite, Z coverge e loi vers N, σ e effet, le ume rateur de Z e ue somme de + variables ale atoires re elles cetre es ide pedates de me me loi et de variace σ. O coclut doc que X a la me me loi que N, σ. Boe ae e! Fi

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