De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que"

Transcription

1 Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer à l aide des nombres rationnels. Par exemple : la diagonale d d un carré de côté 1 vérifie, d après le théorème de Pythagore, d 2 = = 2, donc d = 2, mais on verra que 2 / Q. d

2 De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que π / Q.

3 D où la nécessité d introduire de nouveaux nombres (dits irrationnels). La réunion des nombres rationnels et des nombres irrationnels forme le corps R des nombres des réels. Il existe de nombreuses constructions de R (que nous n aborderons pas dans ce cours). Nous nous contenterons d étudier les propriétés essentielles des nombres réels, lesquelles propriétés sont à la base de toute l analyse mathématique.

4 Sommaire 1 Ensembles ordonnés 2 3 Groupes, Sous-groupes 4 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. 5 6

5 Ensembles ordonnés Définition Soit E un ensemble non vide et une relation binaire sur E E. On dit que est une relation d ordre si, et seulement si, : est réflexive : x E,x x. est antisymétrique : x,y E,(x y et y x) (x = y). est transitive : x,y,z E,(x y et y z) (x z). Lorsque x y et x y, on note x < y (ou y > x). Le couple (E, ) est appelé un ensemble ordonné. Deux éléments x et y sont dits comparables si on a soit x y soit y x. (E, ) est dit totalement ordonné si tous les éléments de E sont 2 à 2 comparables. Sinon, on dit que (E, ) est partiellement ordonné.

6 Exemples 1 N muni de l ordre habituel est totalement ordonné. 2 N muni de la relation x y x y (x divise y) est partiellement ordonné. 3 Soit A un ensemble non vide et E = 2 A l ensemble des parties de A. E est partiellement ordonné par la relation d inclusion : X Y X Y.

7 Sommaire 1 Ensembles ordonnés 2 3 Groupes, Sous-groupes 4 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. 5 6

8 Définition Soient (E, ) un ensemble ordonné, A E et x E. On dit que : x majore A (ou encore x est un majorant de A) si pour tout a A, on a : a x. La partie A est dite majorée s elle admet un majorant. x est le plus grand élément (ou encore le maximum) de A si x A et x est un majorant de A : x = maxa ( a A,a x et x A). De manière analogue, on dit que : x minore A (ou encore x est un minorant de A) si pour tout a A, on a : x a. La partie A est dite minorée s elle admet un minorant.

9 x est le plus petit élément (ou encore le minimum) de A si x A et x est un minorant de A : x = mina ( a A,x a et x A). Une partie A E est dite bornée s elle est à la fois majorée et minorée. Si l ensemble des majorants (resp. des minorants) de A admet un plus petit élément M (resp. un plus grand élément m) celui-ci s appelle borne supérieure (resp. borne inférieure) de A. On écrit alors M = supa et m = infa. On a donc : M = supa { a A, a M; x E, x < M a A,x < a M

10 Et de manière analogue : m = infa { a A, m a; x E, m < x a A,m a < x. On dit qu un ensemble ordonné (E, ) possède la propriété de la borne supérieure (resp. de la borne inférieure) si toute partie non vide et majorée (resp. non vide et non minorée) de E possède une borne supérieure (resp. une borne inférieure) Exercice Montrer que si un ensemble totalement ordonné possède la propriété de la borne supérieure, alors il possède aussi la propriété de la borne inférieure, et vice-versa.

11 Remarque Si A admet un plus grand élément, alors celui-ci est unique et A admet une borne supérieure supa = maxa. De même, si A admet un plus petit élément, alors celui-ci est unique et A admet une borne inférieure infa = mina. Mais, il se peut que A admette une borne supérieure (resp. une borne inférieure) sans admettre de maximum (resp. de minimum).

12 Exemples Soit A = {1 1/n : n N } Q. A est minorée (par 0 A). Donc 0 = mina = infa = 0. D autre part, il est clair que 1 majore A. Soit r Q, r < 1. On a : 1 1 n > r n > 1. Donc, en 1 r prenant n N vérifiant n > 1, on trouverait un élément 1 r a = 1 1/n de A vérifiant r < a. Donc 1 = supa. Comme 1 = supa / A, A n admet pas de plus grand élément. La partie A = { n ( 1)n : n N } de Q est non majorée. De plus, A est minorée (par 0). Soit r Q, r > 0. En prenant un n N tel que n > 1 2 (1 1), on trouverait un élément a = 1/2n + 1 A r vérifiant a < r. Donc infa = 0, et comme 0 / A, A n admet pas de minimum.

13 Théorème Toute partie finie et non vide d un ensemble totalement ordonné admet un plus grand élément et un plus petit élément. Preuve. Soient (E, ) un ensemble totalement ordonné, /0 A E une partie finie non vide de cardinal n 1. On va raisonner par récurrence sur n. si n = 1, c est évident. Supposons que toutes les parties de E de cardinal n 1 admettent un plus grand élément et un plus petit élément. Soit A = {a 1,,a n } une partie de E à n éléments. Posons A = {a 1,,a n 1 } = A\{a n }, s = maxa et m = mina. Si s a n, alors a n = maxa, et si a n < s, alors s = maxa. De même, si m a n, alors m = mina, et si a n < m, alors a n = mina.

14 Corollaire Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément. En particulier, N possède la propriété de la borne supérieure. Preuve. Car une partie majorée de N est nécessairement finie. Théorème Toute partie non vide de N admet un plus petit élément. Preuve. Supposons, par l absurde, qu il existe une partie /0 A N n admettant pas de minimum. Soit P (n) l assertion suivante : n minore A. On a : P (0) est vraie. Supposons que P (n) soit vraie. Alors n / A (car A n a pas de plus petit élément). Donc, pour tout a A, a > n, et par suite a n + 1 (a et n sont des entiers!). donc n + 1 minore A,

15 ou encore P (n + 1) est vraie. Ainsi P (n) P (n + 1). Par conséquent P (n) est toujours vraie (c-a-d, tous les entiers naturels minorent A). On en déduit que A = /0 : (sinon, il existerait m A, et d après ce qui précéde, m minorerait A et A admettrait m comme plus petit élément). On aboutit à la contradiction A /0 et A = /0. Absurde.

16 Groupes, Sous-groupes Sommaire 1 Ensembles ordonnés 2 3 Groupes, Sous-groupes 4 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. 5 6

17 Groupes Groupes, Sous-groupes Définition Un groupe (G, ) est un ensemble G muni d une loi de composition interne telle que : 1 est associative : a,b,c G,a (b c) = (a b) c. 2 admet un élément neutre e tel que : a G,a e = e a = a. 3 Tout élément a de G admet un symétrique : a G, a G,a a = a a = e. Le groupe est dit abélien (ou commutatif ) si a b = b a, pour tous a,b G. Exemples. (Z, +) est un groupe abélien.

18 Sous-groupes Groupes, Sous-groupes Définition Soit (G, ) un groupe, et soit H une partie de G. On dit que (H, ) (ou tout simplement que H ) est un sous-groupe de (G, ) si et seulement si : H est non vide. (H, ) est un groupe. Exemple. Pour tout n Z, nz = {nm : m Z} est un sous-groupe de (Z,+). A partir de cette définition, il est facile de montrer les deux propositions suivantes :

19 Groupes, Sous-groupes Proposition Soit (G, ) un groupe, et soit H une partie non vide de G. Pour que H soit un sous-groupe de G, il faut et il suffit qu il vérifie les deux conditions suivantes : 1 (x,y) H 2,x y H. 2 x H,x 1 H. Les deux conditions précèdentes peuvent être groupées en une seule condition : Proposition Soit (G, ) un groupe, et soit H une partie non vide de G. Pour que H soit un sous-groupe de G, il faut et il suffit qu il vérifie la condition suivante : (x,y) H 2,x y 1 H.

20 Sous-groupes de (Z, +) Groupes, Sous-groupes Théorème Les sous-groupes de Z sont les ensembles de la forme nz = {nm : m Z}, où n N. Preuve. On sait que les nz sont des sous-groupes de Z. Inversement, soit H un sous-groupe de Z. Si H = {0}, alors H = 0.Z. Si H {0}, on pose H+ = {p H, : p > 0} = H N. H+ est une partie non vide de N (pourquoi?). Donc H+ admet un plus petit élément n. Puisque n H, et que H est un sous-groupe de (Z,+), on aura nz H (Justifier). Inversement, soit p H et soit p = qn + r la division euclidienne de p par n (q Z, r N,r < n).

21 Groupes, Sous-groupes Si r > 0, on aurait r = p qn H (différence de deux éléments de H), r H+ et r < n = minh +. Contradiction. Donc r = 0, p = qn nz. Donc H nz et H = nz.

22 Anneaux Groupes, Sous-groupes Définition Un anneau A est un ensemble muni de deux lois de composition internes + et telles que (A, +) est un groupe commutatif et que est associative et distributive par rapport à +, c-a-d : x,y,z A, x (y + z) = (x y) + (x z) A est dit commutatif si la loi est commutative, unitaire si la loi admet un élément neutre. Exemple. (Z, +, ) est un anneau commuttif unitaire, 1 étant lélément neutre de.

23 Corps Groupes, Sous-groupes Définition Un corps est un anneau unitaire de cardinal 2, tel que tout élément non nul (i.e. distinct de l élément neutre de +) admet un inverse pour la loi. Il revient au même de dire que (K,+, ) est un corps si, et seulement si, (K,+, ) est un anneau unitaire tel que (K, ) est un groupe, où K : = K\{0}. Exemple. (Q, +, ) est un corps. Définition Soient (K 1,+,.) et (K 2,+,.) deux corps et f : K 1 K 2. On dit que f est un isomorphisme de corps si f est bijective, f(1 K1 ) = 1 K2, et pour tout (x,y) K 2 1, on a : f(x + y) = f(x) + f(y) f(x.y) = f(x).f(y).

24 Groupes, Sous-groupes Corps commutatif totalement ordonné. Définition Un corps commutatif totalement ordonné est la donnée d un corps commutatif (K, +, ) muni d une relation d ordre totale compatible avec l addition + et avec la multiplication par les éléments positifs : x,y K,(x y) ( z K,x + z y + z). x,y K,(x y) ( z K +,x z y z), où K + : = {z K : 0 z}. Exemple. Q muni de ses lois et de son ordre habituels est un corps commutatif totalement ordonné.

25 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. Sommaire 1 Ensembles ordonnés 2 3 Groupes, Sous-groupes 4 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. 5 6

26 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. En effet, il existe des polynômes à cœfficients rationnels n admettant pas de racines rationnelles. Pour le voir, démontrons d abord le théorème suivant : Théorème Soient n N et a 0,a 1,,a n Z tels que a 0 a n 0. Si l équation : a 0 + a 1 x + + a n x n = 0 (1) admet une racine rationnelle r écrite sous forme irréductible r = p q, (p,q) Z Z, p q = 1, alors p divise a 0 et q divise a n. Preuve. En remplaçant r par p q q n, on obtiendrait : dans l équation 1 et en multipliant par

27 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. Donc, a 0 q n + a 1 pq n a n 1 p n 1 q + a n p n = 0; a n p n = q [ a 0 q n 1 + a 1 pq n a n 1 p n 1]. Donc q divise a n p n, et comme p et q sont sans diviseur commun, q divise a n (théorème de Gauss). De même, on a : a 0 q n = p [ a 1 q n a n p n 1]. Donc, p divise a 0 q n, et comme p q = 1, p divise a 0. Comme conséquence de ce théorème, on peut dire que l équation x 2 2 = 0 n a pas de racines rationnelles (autrement dit 2 / Q). Sinon, soit r une telle racine, r = p la forme irréductible de r. D après q le théorème précédent, p divise 2 (donc p {±1,±2}) et q divise 1 (et q = ±1). Donc r serait l un des quatre nombres 2, 2, 1 ou 1.

28 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. Or aucun de ces nombres n est solution de x 2 2 = 0. De même, le nombre r = ( /3 ) 1/2 / Q. En effet, on a r 2 = /3 et (r 2 2) 3 5 = r 6 6r r 2 13 = 0. Si r Q et r = p (la forme irréductible de r), alors p diviserait 13 et q diviserait q 1. Donc r {±13,±1}. Or, aucun de ces nombres ne vérifie l équation x 6 6x x 2 13 = 0.

29 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. Proposition Q ne possède pas la propriété de la borne supérieure. Preuve. Soit A = { r Q : r 2 < 2 }. A est non vide ( 1 A), et majoré (par 2), mais A n admet pas borne supérieure : sinon, il existerait M Q tel que M = supa. On a M 1 et M 2 2. Deux cas sont possibles : premier cas : M 2 < 2. Alors, on a : ( n N, M + 1 ) 2 = M M n n + 1 n 2 M2 + 2M + 1. n Donc, en choisissant n > 2M M 2, on aurait (M + 1 n )2 < 2 et M + 1 n A. D où la contradiction A M + 1 n > M = supa.

30 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. deuxieme cas : M 2 > 2. En choisissant n > 2M M 2, on aurait 2 ( M 1 ) 2 = M 2 2 M n n + 1 n 2 M2 2 M n > 2. Or M 1 < M = supa, donc il existe r A tel que n 0 < M 1 ( n < r M, et par suite, M n) 1 2 < r 2 < 2. Contradiction. En conclusion A est une partie majorée et non vide de Q qui n admet pas de borne supérieure (dans Q). Donc Q ne possède pas la propriété de la borne supérieure.

31 Sommaire 1 Ensembles ordonnés 2 3 Groupes, Sous-groupes 4 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. 5 6

32 Théorème et définition (admis). Il existe un corps commutatif totalement ordonné possèdant la propriété de la borne supérieure. De plus, si deux corps commutatifs totalement ordonnés, R 1 et R 2, possèdent la propriété de la borne supérieure, alors il existe un isomorphisme de corps f : R 1 R 2, tel que : f est strictement croissante : x < y f(x) < f(y). si A est une partie non vide et majorée de R 1, alors f(a) est une partie non vide et majorée de R 2 et f(supa) = supf(a). Donc, à un isomorphisme près, il existe un seul corps commutatif totalement ordonné possèdant la propriété de la borne supérieure. Ce corps s appelle le corps des nombres réels, et on le note R. Un tel corps contient Q, et les éléments de Q sont appelés nombres rationnels et ceux de R\Q sont appelés nombres irrationnels.

33 Sommaire 1 Ensembles ordonnés 2 3 Groupes, Sous-groupes 4 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. 5 6

34 R possède des propriétés communes à tous les les corps commutatifs totalement ordonnés et des propriétés qui découlent de la propriété de la borne supérieure.

35 Théorème Dans R, les propriétés suivantes sont vérifiées : (x 0,y 0) xy 0 ; x R,x 2 0. x y x y 0 y x 0 ( y) ( x). (x y,z 0) yz xz ; x < y x y < 0 y x > 0 ( y) < ( x). x < y z R, x + z < y + z z R,x + z < y + z. 0 < x < y 0 < y 1 < x 1. Si x i y i, i = 1,...,n, alors n i=1 x i n i=1 y i, avec égalité si et seulement si x i = y i,i = 1,...,n. Preuve. Laissée en exercice.

36 Caractérisation de la borne supérieure Théorème Soit A une partie non vide et majorée de R et soit s R. Alors { a A, a s s = supa ε R +, a A, s ε < a s Preuve. La 1 ère condition exprime le fait que s est un majorant de A. La 2 eme condition veut dire que tout réel strictement plus petit que s n est pas un majorant de A. Donc s est le plus petit majorant de A, ou encore s = supa.

37 Caractérisation de la borne inférieure De manière analogue, on a : Théorème Soient A une partie non vide et minorée de R et m R. Alors { a A, m a m = infa ε R +, a A, m a < m + ε Preuve. La 1 ère condition exprime le fait que m est un minorant de A. La 2 eme condition veut dire que tout réel strictement plus grand que m n est pas un minorant de A. Donc m est le plus grand minorant de A, ou encore m = infa.

38 Exercice Soit /0 A R et soit A = { x : x A}. Montrer que si A est minorée alors A est majorée et infa = sup( A). Déduire le théorème 6.3 du théorème 6.2. Théorème et définition (Valeur absolue d un nombre réel) Soit x R. La valeur absolue de x est le nombre x = max(x, x) ; La valeur absolue vérifie les propriétés suivantes : x = x 0. x = 0 x = 0. x y = x y. x a a x a. x y x ± y x + y.

39 On définit la distance de deux réels x et y par d(x,y) = x y. d est donc une application définie sur R 2 à valeurs positives et elle vérifie les propriétés suivantes : (D1) d(x,y) = 0 x = y ; (D2) d(x,y) = d(y,x) ; (Symétrie) (D3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (Inégalité triangulaire) Plus généralement, on appelle distance sur un ensemble quelconque E, toute application d : E 2 R + qui vérifie les propriétés (D1), (D2) et (D3). Le couple (E, d) est alors appelé espace métrique. Exercice Montrer que l application d : R 2 R + définie par d(x,y) = inf(1, x y ) est une distance sur R.

40 Théorème (Propriété d Archimède) Pour tout x R +, et pour tout y R, il existe n N tel que y < nx. Preuve. Soit A = {nx/n N} ; A est une partie non vide de R. Si A est majorée par y, il existerait s R tel que s = supa. Comme (s x) < s, on pourrait trouver n N, tel que (s x) < nx s ; D où s < (n + 1)x A, ce qui est absurde. Théorème (Partie entière d un nombre réel) Pour tous x R et ε R +, il existe un et un seul entier n Z, tel que nε x < (n + 1)ε. L entier n qui correspond à ε = 1, s appelle la partie entière de x, notée E(x), ou encore [x]. le nombre x E(x) s appelle la partie fractionnaire de x.

41 Preuve. Si m et n sont deux entiers relatifs tels que : nε x < (n + 1)ε et mε x < (m + 1)ε, On aurait nε < (m + 1)ε, donc n < (m + 1) et n m. De la même manière, on obtiendrait m n, donc m = n. D où l unicité de n. Pour montrer l existence de n, commençons par le cas x > 0. Soit A = {m N/x < mε} ; A est une partie non vide de N (par la propriété d Archimède) ; Soit p le plus petit élément de A. On a p 1 et (p 1) / A, donc nε x < (n + 1)ε, où n = (p 1). Si x < 0, d après ce qui précède, il existe m N, tel que mε x < (m + 1)ε. Il suffit de poser alors n = (m + 1) si x mε, et n = m, si x = mε. En fin, pour x = 0, on a 0.ε x = 0 < (0 + 1).ε, donc l entier n = 0 répond à la question.

42 Il existe neuf types d intervalles sur R : les intervalles bornés (d extrémités a et b, où < a b < + ) : [a,b] = {x R : a x b} (intervalle fermé borné) ; ]a,b[ = {x R : a x < b} (intervalle ouvert ) ; ]a,b] = {x R : a < x b} (intervalle semi-ouvert ou semi-fermé [a,b[ = {x R : a x < b} (intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé Les intervalles ]a,a[ = [a,a[=]a,a] = /0 et [a,a] = {a} sont dits triviaux. On convient que l ensemble vide est considèré comme un intervalle ouvert borné. les intervalles non bornés (dont une extrémité est a R) : [a,+ [ = {x R : a x} ; ],a] = {x R : x a} ; ],a[ = {x R : x < a} ; ]a,+ [ = {x R : a < x} ; ], + [ = R.

43 Caractérisation des intervalles Proposition Soit I R. I est un intervalle si et seulement si x,y I,(x y [x,y] I) ( ) Preuve. La condition est manifestement nécessaire. Inversement si ( ) est satisfaite, alors en utilisant la définition des bornes supérieure et inférieure, on peut écrire si I /0 : ]infi,supi[ I [infi,supi] R Donc I est un intervalle. Si I = /0, alors on peut considèrer I comme un intervalle ouvert : I = ]0,0[.

44 Définition On dit qu une partie A de R est dense dans R si entre deux réels distincts, il existe au moins un élément de A : Théorème (Densité de Q dans R) x,y R,x < y, a A,x < a < y. Entre deux réels distincts, il existe au moins un rationnel (ou encore, Q est dense dans R). Preuve. Soient x et y deux réels tels que x < y. Par la propriété d Archimède, on dispose d un entier naturel n, tel que 1 < n(y x). Soient m = E(nx) et r = (m + 1)/n ; On a alors : m nx < m + 1, donc m n x < m+1 x + 1 < x + y x = y. Donc le rationnel r est n n compris entre x et y.

45 Théorème (Densité de R\Q dans R) Entre deux réels distincts, il y a au moins un nombre irrationnel (ou encore, R\Q est dense dans R). Preuve. Soient x,y R,x < y. Par la densité de Q dans R, il existe r 1,r 2 Q tels que x < r 1 < r 2 < y. On en déduit, puisque 1 < 2 < 2, que : ρ { }} { x < r 1 = (r 2 r 1 ) + (2r 1 r 2 ) < (r 2 r 1 ) 2 + 2r 1 r 2 < 2(r 2 r 1 ) + 2r 1 r 2 = r 2 < y On a ρ / Q (sinon ρ 2r 1 + r 2 = 2 Q ). Donc il y a au moins un r 2 r 1 irrationnel entre x et y.

46 Exercice Montrer qu entre deux réels distincts, il y a une infinité de rationnels et une infinité d irrationnels. Théorème (Sous-groupes de (R, +)) Soit H un sous-groupe de (R,+). Alors H est soit dense dans R, soit il est discret (i.e. H est de la forme H = az où a R + ). Preuve. Si H = {0}, alors H = 0 Z est discret. Supposons donc que H n est pas réduit à {0} et posons H+ = H R +. On a alors H + minoré par 0 et H+ /0 (Justifier!). Soit a = infh+. Deux cas sont possibles : 1 ier cas : a > 0. Montrons que dans ce cas, H = az. Et pour commencer, montrons d abord que a H.

47 puisque a = infh+ < 2a, on peut trouver y H+ tel que a y < 2a. Si a < y, il existerait z H+ tel que a < z < y < 2a. On aurait alors H { }} { 0 < y z < a. D où la contradiction. Donc y = a H et a Z H. Inversement, soit x H et soit m = E(x/a). Comme 0 x ma < a = infh+, on en déduit que x = ma a Z. Donc H a Z et H = a Z. 2 eme cas : a = 0. On va montrer que dans ce cas, H est dense dans R. Soient x,y deux réels tels que x < y. On a 0 = infh+ < y x, donc il existe z H tel que 0 < z < y x. Posons m = E(x/z). On a alors : { }} { 0 < (m + 1)z x z < y x x < (m + 1)z < y ]x,y[ H /0 Donc H est dense dans R. H

48 Existence de radicaux arithmétiques Théorème Pour tout x R +, et pour tout m N, il existe un et un seul y R +, 1 tel que y m = x. y s appelle la racine m e de x, notée m x ou x m. Preuve. Si y1 m = y 2 m, y i > 0, i = 1,2, alors 0 = (y 1 y 2 )(y m y m 1 2 ). Donc y 1 = y 2. D où l unicité. Pour établir l existence, on considère A = {a R + /a m x}. On a : A /0 (car 0 A), et A est majorée. En effet, soit n un entier tel que x < n (propriété d Archimède) ; on a alors pour tout a A : a m x < n n m. Donc a n et A est majoré par n. Soit y = supa.

49 Supposons par l absurde que x < y m. Soit n N tel que ny > 1. On a : (y 1 n )m = y m m y m 1 m(m 1) y m ( 1)m n 2 n 2 n m = y m 1 n [my m 1 m(m 1) y m ] 2 n y m 1 n [my m 1 m(m 1) + y m ] 2 = y m 1 n [(y + 1)m y m ] ( 1 Donc si n > max y, (y + ) 1)m y m y m, on aurait x < (y 1 x n )m. Or il existe a A tel que 0 < y 1/n < a y (car y = supaety 1/n < y). On en déduit que (y 1/n) m a m < x. D où la contradiction.

50 Supposons maintenant que y m < x. En raisonnant comme précèdemment, on peut montrer que : (y + 1 n )m y m + 1 n [(y + 1)m y m ]. Donc en choisissant n > (y + 1)m y m x y m, on aurait (y + 1/n) m x, donc y + 1/n A, ce qui est absurde puisque y + 1/n > y = supa. En conclusion y m = x, ce qui termine la démonstration du théorème. A partir de l unicité de la racine m ième, on peut démontrer les formules suivantes (x > o,y > 0,m,p N ) : m xy = m x m y m x = mp x p mp x = m p x

51 FIGURE : La moyenne géométrique de 2 Le réels corps des positifs nombresest réelsplus petite que leur Proposition Pour tous réels x et y, on a : xy x 2 + y 2. (2) 2 Preuve. En effet, on a : x 2 + y 2 2 xy = ( x y ) 2 0. D où l inégalité cherchée. En voici une démonstration géométrique : a+b 2 ab a b

52 Proposition (Inégalité de Bernouilli) Soit h un réel > 1 et n N. Alors, on a : (1 + h) n 1 + nh. Preuve. Par récurrence (laissée en exercice). Proposition (Inégalié de Cauchy-Schwarz) Soient a i,b i, i = 1,,n, des nombres réels. Alors, on a : n i=1 a i b i ( n a 2 i i=1 ) 1/2 ( n ) 1/2 b 2 i. (3) i=1

53 Preuve. Le trinôme du second degré n i=1 n i=1 n T (x) = (a i + xb i ) 2 = a 2 i + 2x donc son discriminant (réduit) = négatif. D où l inégalité 3. Exercice i=1 a i b i + n i=1 n b 2 i i=1 a i b i 2 est toujours positif, )( n ) b 2 i est i=1 ( n a 2 i i=1 Montrer que s il y a égalité dans l inégalité de Cauchy-Schwarz, alors soit tous les b i sont nuls, soit il existe x R tel que pour tout i {1,...,n},a i = xb i.

54 Définition R est l ensemble obtenu par adjonction à R de deux éléments, notés + et, muni de la relation d ordre total obtenue en prolongeant l ordre de R par les conditions x R, < x < + Par définition, + (resp. ) est le plus grand (resp. le plus petit) élément de R. Si A est une partie de R, alors on écrit : supa = + si A est non vide et majoré. infa = si A est non vide et minoré. sup /0 = et inf /0 = +.

55 On peut prolonger partiellement à R la structure algèbrique de R en posant : v + - y R ?? x R - x + y + +?? y R 0 y R ?? - - x R + xy 0 xy - 0?? 0 0 0?? x R + - xy 0 xy ?? + + Il n est pas possible de définir + + ( ) et 0 (± ) de manière que R devienne un anneau ordonné.

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation

Plus en détail

BJ - RELATIONS BINAIRES

BJ - RELATIONS BINAIRES BJ - RELATIONS BINAIRES Définitions Soit A et B deux ensembles non vides, et G une partie de A B. On dit qu un élément x de A est relié à un élément y de B par une relation binaire de graphe G, si le couple

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1 Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1 Cours de Mathématiques 1 Table des matières 1 Un peu de formalisme mathématique 7 1.1 Rudiments de logique........................................

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

Leçon 1: les entiers

Leçon 1: les entiers Leçon 1: les entiers L ensemble N des entiers naturels Compter, dresser des listes, classer et comparer des objets interviennent dans de multiples activités humaines. Les nombres entiers naturels sont

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi Cours d analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5 1.2 Relations d ordre..................................

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Théorie des ensembles

Théorie des ensembles Théorie des ensembles Cours de licence d informatique Saint-Etienne 2002/2003 Bruno Deschamps 2 Contents 1 Eléments de théorie des ensembles 3 1.1 Introduction au calcul propositionnel..................

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-201 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Polynômes 1 Fonctions polynômes & polynômes Définition 1. Soit

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Relations binaires sur un ensemble.

Relations binaires sur un ensemble. Math122 Relations binaires sur un ensemble. TABLE DES MATIÈRES Relations binaires sur un ensemble. Relations d équivalence, relation d ordre. Table des matières 0.1 Définition et exemples...................................

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Exercice 1 On considère sur R la loi de composition définie par x y = x + y xy. Cette loi est-elle associative, commutative?

Plus en détail

B03. Ensembles, applications, relations, groupes

B03. Ensembles, applications, relations, groupes B03. Ensembles, applications, relations, groupes Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 6 janvier 2006 Table des matières 1 Calcul propositionnel 2 2 Ensembles 5 3 Relations 7 4 Fonctions, applications

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Exercices 4. Nombres réels...

Exercices 4. Nombres réels... Exercices 4 Nombres réels La maîtrise des inégalités et de la notion de borne supérieure est un préalable incontournable à l étude de l analyse réelle. 4 Nombres réels..........................................................................

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Cours polycopié pour le module Mathématique II

Cours polycopié pour le module Mathématique II Université Paul Sabatier - UFR MIG - Département de Mathématique. Année scolaire 2009/2010. Cours polycopié pour le module Mathématique II Conventions. Dans ce qui suit, les mots en italiques sont ceux

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Les Interros Corrigées de Sup MPSI-PCSI en Mathématiques

Les Interros Corrigées de Sup MPSI-PCSI en Mathématiques Les Interros Corrigées de Sup MPSI-PCSI en Mathématiques Vandana BHANDARI Marc-Olivier CZARNECKI P R E P AMA TH Collection dirigée par Éric MAURETTE Sommaire Algèbre Notionsdebase... 1,2 Arithmétique...

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

2 Borne inférieure, borne supérieure. L ensemble R. Arthur LANNUZEL. http ://mathutbmal.free.fr

2 Borne inférieure, borne supérieure. L ensemble R. Arthur LANNUZEL. http ://mathutbmal.free.fr L ensemble R 1 Arthur LANNUZEL le 29 Novembre 2008 http ://mathutbmal.free.fr L ensemble R 1 Définition de R. R est l unique ensemble, à notation près (à isomorphisme de corps ordonné près), vérifiant

Plus en détail

Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique :

Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique : Université Bordeaux 1 Licence de Sciences, Technologies, Santé Mathématiques, Informatique, Sciences de la Matière et Ingénierie M1MI1002 Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique Fondamentaux

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

COURS COMMUN L1 MI & MIAGE

COURS COMMUN L1 MI & MIAGE COURS COMMUN L MI & MIAGE 5 janvier 03 Table des matières Propriétés du corps des nombres réels 3. A propos du corps des réels R.......................... 3.. Notion de corps..............................

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

1 Définition et premières propriétés des congruences

1 Définition et premières propriétés des congruences Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon

Plus en détail

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal Cours d Analyse Semestre 1 Stéphane Attal 2 Contents 1 Les nombres réels 5 1.1 Les ensembles usuels de nombres................ 5 1.2 Ensembles ordonnés........................ 6 1.3 Le corps des nombres

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Table des matières. 3 Suites de nombres réels 29. 3.2 Limites... 30

Table des matières. 3 Suites de nombres réels 29. 3.2 Limites... 30 Table des matières 1 Généralités 3 1.1 Un peu de logique................................. 3 1.1.1 Vocabulaire................................ 3 1.1.2 Opérations logiques............................ 4 1.1.3

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Cours d Analyse Réelle 4M003

Cours d Analyse Réelle 4M003 Cours d Analyse Réelle 4M003 Jean SAINT RAYMOND Université Pierre et Marie Curie Avant-propos Ce texte a été rédigé pour servir de support écrit à un cours de Master 1 de l Université Pierre-et-Marie Curie.

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Cours de mathématiques : Equation du second degré

Cours de mathématiques : Equation du second degré Cours de mathématiques : Equation du second degré I ) Formes de l'équation du second degré. L'équation du deuxiéme degré à une inconnue est celle où l'inconnue est élévé à la puissance de 2, sans y etre

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

Relations binaires. 1 Produits cartésiens et graphes. 2 Relations binaires. 1.1 Produit cartésien E F. 1.2 Graphe dans E F. 2.

Relations binaires. 1 Produits cartésiens et graphes. 2 Relations binaires. 1.1 Produit cartésien E F. 1.2 Graphe dans E F. 2. Relations binaires 1 Produits cartésiens et graphes 1.1 Produit cartésien E F Soient E et F deux ensembles non vides. E F = {(x; y) / x E et y F } Si E = F, E F = E 2 (carré cartésien) Soit (a; b) E F.

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Base : une axiomatique

Base : une axiomatique Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentales Cours : Michel Broué Université Paris VII Denis Diderot TD : Vincent Beck Année 2005 2006 Base : une axiomatique a) D après (i), on

Plus en détail

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F.

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Espaces vectoriels Convention 1. Dans toute la suite, k désignera un corps quelconque. Définition 2.

Plus en détail

Structures algébriques : groupes, anneaux et corps

Structures algébriques : groupes, anneaux et corps Maths PCSI Cours Structures algébriques : groupes, anneaux et corps Table des matières 1 Groupes 2 1.1 Lois de composition interne..................................... 2 1.2 Groupes................................................

Plus en détail

L ensemble R des nombres réels

L ensemble R des nombres réels L ensemble R des nombres réels Plan du chapitre 1 L ensemble des nombres réels page 11 Description géométrique des réels page 1 Inégalités dans R page 1 Distance entre deux réels Intervalles de R page

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Terminale S Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS.

Terminale S Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : connaître différents procédés pour établir une divisibilité : utilisation de la définition, utilisation d identités remarquables, disjonction des cas,

Plus en détail

P (X) = (X a) 2 T (X)

P (X) = (X a) 2 T (X) Université Bordeaux I - année 00-0 MHT0 Structures Algébriques Correction du devoir maison Exercice. Soit P (X) Q[X]\Q.. Soit D(X) := pgcd(p (X), P (X)). a) Montrer que si deg D alors il existe α C tel

Plus en détail

RELATIONS BINAIRES 1 RELATIONS BINAIRES SUR UN ENSEMBLE. Dans tout ce chapitre, E est un ensemble quelconque.

RELATIONS BINAIRES 1 RELATIONS BINAIRES SUR UN ENSEMBLE. Dans tout ce chapitre, E est un ensemble quelconque. RELATIONS BINAIRES Dans tout ce chapitre, E est un ensemble quelconque. 1 RELATIONS BINAIRES SUR UN ENSEMBLE Explication Les relations sont partout et dans le monde mathématique, et dans la vraie vie.

Plus en détail

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures Chapitre 2 Anneaux, algèbres 2.1 Structures Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations internes + et et d éléments 0 A et 1 A qui vérifient : associativité de l addition : commutativité de l addition

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Introduction aux inégalités

Introduction aux inégalités Introduction aux inégalités -cours- Razvan Barbulescu ENS, 8 février 0 Inégalité des moyennes Faisons d abord la liste des propritétés simples des inégalités: a a et b b a + b a + b ; s 0 et a a sa sa

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

THEORIE DES CORPS Cours de mathématiques pour Licence L3 et Master M1 Cours et Exercices corrigés 1

THEORIE DES CORPS Cours de mathématiques pour Licence L3 et Master M1 Cours et Exercices corrigés 1 THEORIE DES CORPS Cours de mathématiques pour Licence L3 et Master M1 Cours et Exercices corrigés 1 Michel Goze, Elisabeth Remm 1. Edité par Ramm Algebra Center 2 Introduction Ce cours s adresse aux étudiants

Plus en détail

Structures Algébriques Groupes : exercices

Structures Algébriques Groupes : exercices Institut Galilée Université Paris XIII Structures Algébriques Groupes : exercices L3 semestre 5 2012-2013 Exercice 1 Soit (G, ) un ensemble muni d une loi de composition associative. Montrer que G est

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

Groupes et Actions de groupes. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes.

Groupes et Actions de groupes. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Groupes et Actions de groupes On présente ici des notions de base de théorie des groupes pour l agrégation interne. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Un groupe (G, ), ou plus simplement G, est

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de première ES ii Table des matières 1 Les pourcentages 1 1.1 Variation en pourcentage............................... 1 1.1.1 Calcul d une variation............................

Plus en détail

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité).

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Lycée Jacques Monod février 05 Exercice : Voici les graphiques des questions. et.. A 4 A Graphique Question. Graphique Question..

Plus en détail

BASES DU RAISONNEMENT

BASES DU RAISONNEMENT BASES DU RAISONNEMENT P. Pansu 10 septembre 2006 Rappel du programme officiel Logique, différents types de raisonnement. Ensembles, éléments. Fonctions et applications. Produit, puissances. Union, intersection,

Plus en détail

Examen 2 Mathématiques L1S1 TD 1104 2015 2016 Université Paris 1

Examen 2 Mathématiques L1S1 TD 1104 2015 2016 Université Paris 1 Examen Mathématiques LS TD 04 05 06 Université Paris Nom : Prénom : Durée : heure. Calculatrice interdite. Aucun document autorisé. Chaque question de la partie QCM vaut un point. Identifiez toutes les

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 18 octobre 2004 40 Chapitre 3 Vecteurs dans R m Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du point de vue algébrique. Nous reviendrons

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Cours d algèbre. Maths1 LMD Sciences et Techniques. Par M. Mechab

Cours d algèbre. Maths1 LMD Sciences et Techniques. Par M. Mechab Cours d algèbre Maths1 LMD Sciences et Techniques Par M. Mechab 2 Avant Propos Ceci est un avant projet d un manuel de la partie Algèbre du cours de Mathématiques de premières années LMD Sciences et techniques

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

1) ANALYSE Si le couple q, r existe, 0 r a bq b, donc bq a bq 1, d où. q 1 et q est la partie entière de a/b et r a bq : fin de l analyse.

1) ANALYSE Si le couple q, r existe, 0 r a bq b, donc bq a bq 1, d où. q 1 et q est la partie entière de a/b et r a bq : fin de l analyse. DÉMONSTRATIONS D ARITHMÉTIQUE D1 (Théorème de la division euclidienne) Données a, b entiers, b 0 (donc b 1. 1) ANALYSE Si le couple q, r existe, 0 r a bq b, donc bq a bq 1, d où q a b q 1 et q est la partie

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES

M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES I. Logique. II. Ensemble. III. Relation, fonction, application. IV. Composition, réciprocité. V. Relation d

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1. Soit f : A B une application. Prouver que (a) A f 1 fa pour tout A A, avec égalité si f est injective; (b) ff 1 B B pour tout B B, avec égalité si f est surjective; Preuve.

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 POLYNÔMES Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 Polynômes 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n N. a K, P(X) = k=0 P (k) (a) (X a) k et en particulier P(X)

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Devoir surveillé n 1 : correction

Devoir surveillé n 1 : correction E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début

Plus en détail

Points fixes de fonctions à domaine fini

Points fixes de fonctions à domaine fini ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D ADMISSION 2013 FILIÈRE MP HORS SPÉCIALITÉ INFO FILIÈRE PC COMPOSITION D INFORMATIQUE

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail