APPLICATION DES LOIS DE NEWTON

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1 APPLICATION DES LOIS DE NEWTON Objectifs : - Mettre en œuvre une démarche expérimentale pour étudier un mouvement. - Modéliser/retrouver l équation horaire paramétrique et l équation de la trajectoire du mouvement d un solide lancé avec une vitesse initiale. Document 1 : Enoncé des lois de Newton (1 666) 1 ère loi : le principe d inertie Dans un référentiel galiléen, si le vecteur-vitesse du centre d inertie G d un système est un vecteur constant «v G = cst», alors les forces qui s exercent sur le système s annulent et réciproquement : Δv G = 0 <=> F ext = 0 2 ème loi : Principe fondamental de la dynamique PFD Dans un référentiel galiléen, la variation du vecteur-quantité de mouvement d un système par rapport au temps est égale à la somme des forces extérieures appliquées à ce système : On peut également l écrire : F ext = dp = d(m.v ) dt dt = m. dv = m. a dt G F ext = dp dt avec la masse m du système constante. 3 ème loi : principe d action/réaction Lorsque deux corps A et B sont en interaction, A exerce sur B la force F A/B et B exerce sur A la force F B/A telles que : F A/B = F B/A Document 2 : Champ de pesanteur Terrestre g En première approximation, on peut définir le poids P comme l action gravitationnelle de la Terre sur un objet M de masse m, soit pour une altitude z et une latitude : P F T/M = G.. u (R T +z) 2 λ Le champ de pesanteur local g est alors tel que : P = m. g m. Avec R T : rayon de la Terre : 6378 km à l équateur z : altitude de l objet M de masse m : latitude de l objet M de masse m. : la masse de la Terre: 5, kg. G : constante universelle de gravitation:6, kg -1.m 3.s -2 u λ : vecteur unitaire Document 3 : Matériel à disposition - Logiciel et notice d utilisation LatisPro ; - Video «TP1Schuteparabolique.avi» disponible dans les fichiers LatisPro. M.Meyniel 1/6

2 Travail à faire : 1. Questions préliminaires : A l aide des données du document 2 : a) Donner l expression vectorielle du champ de pesanteur g 0 au niveau du sol. Préciser ses caractéristiques : direction, sens et intensité. Ce champ est aussi appelé «accélération de pesanteur». b) En-dessous de quelle altitude ce champ de gravitation peut-il être considéré comme uniforme? Information : On considèrera le critère suivant : le champ est considéré comme uniforme si sa norme ne varie pas de plus de 1 %. 2) a) Proposer un protocole expérimental utilisant les logiciels mis à disposition pour obtenir les équations horaires numériques des coordonnées : - ( x y ) du vecteur-position OG ; - ( v x v y ) du vecteur-vitesse v ; - ( a x a y ) du vecteur-accélération a. du centre G de cette balle. Faire vérifier votre protocole par le professeur. b) Réaliser ce protocole sur la vidéo citée dans le document 3, en utilisant le logiciel LatisPro ainsi que la notice d utilisation associée. Sur votre feuille, représenter l allure des graphiques obtenus ainsi que les expressions des fonctions modélisées. Faire vérifier vos résultats par le professeur. c) A l aide l ensemble de vos résultats, déterminer : - les coordonnées du vecteur-vitesse initial v 0 de la balle ainsi que sa norme ; - l angle α formé par le vecteur-vitesse initial et l'horizontale ; - la valeur moyenne du champ de pesanteur terrestre g. Faire vérifier vos résultats par le professeur. d) A partir d un bilan des forces et de la deuxième loi de Newton appliquée sur le système balle, vérifier les relations modélisées. Faire vérifier vos résultats par le professeur. M.Meyniel 2/6

3 CORRECTION m. 1) a) D après l énoncé : P F T/M = G.. u (R T +z) 2 λ m. Or : P = m. g m. g = G.. u (R T +z) 2 λ => g = G.. u (R T +z) 2 λ En se plaçant au niveau du sol : «z = 0». L expression devient : g 0 = G.. u (R T ) 2 λ Le champ de pesanteur g 0 a donc : - pour direction u λ soit vertical au sol (d après le schéma) ; - un sens opposé à celui de u λ donc vers le centre de la Terre ; - une intensité : g 0 = G. (R T ) 2 = 6, , ( ) 2 = 9,79 N.kg-1 b) Le champ est considéré comme uniforme si son intensité ne varie pas de plus de 1 %. Il faut donc calculer l altitude «z» pour laquelle on a : «g(z) = g 0» g(z) = g 0 g(z) = G. => 0,99 g (R T +z) 2 0 = G. => (R (R T +z) 2 T + z)² = G. 0,99 g 0 => z = G. - R T 0,99 g 0 => z = 6, , ,99 9, = m On peut donc estimer que le champ de pesanteur est uniforme jusqu à une altitude de 32 km! 2) Protocole expérimental : Ouvrir la vidéo avec le logiciel LatisPro. Après avoir choisi l origine et étalonner l image, réaliser le pointage de la balle. Basculer sur la fenêtre avec les courbes et placer les points obtenus pour «x» et pour «y» afin de visualiser respectivement les courbes «x = f(t)» et «y = f(t)». Modéliser chacune de ces courbes pour obtenir leurs équations. Pour obtenir l expression des coordonnées «vx» et pour «vy» du vecteur-vitesse : Cliquer sur Traitements Calculs spécifiques Dérivée puis glisser la fonction à dériver : «x = f(t)» pour obtenir «vx = f(t)» et «y = f(t)» pour obtenir «vy = f(t)». Modéliser chacune de ces courbes pour obtenir leurs équations. Refaire le même travail pour obtenir l expression des coordonnées «ax» et pour «ay» du vecteur-accélération : Cliquer sur Traitements Calculs spécifiques Dérivée puis glisser la fonction à dériver : «x = f(t)» pour obtenir «vx = f(t)» et «y = f(t)» pour obtenir «vy = f(t)». Modéliser chacune de ces courbes pour obtenir leurs équations. M.Meyniel 3/6

4 Pointage de la balle sur la vidéo : b) * Equation horaire des coordonnées du vecteur-position : On modélise la courbe «x = f(t)» par une fonction linéaire : x = 1,747 t On modélise la courbe «y = f(t)» par une fonction linéaire : y = - 4,921 t² + 4,434 t +17, * Equation horaire des coordonnées du vecteur-vitesse : On modélise la courbe «vx = f(t)» par une fonction linéaire : vx = 1,747 On modélise la courbe «vy = f(t)» par une fonction linéaire : vy = - 9,972 t + 4,526 M.Meyniel 4/6

5 * Equation horaire des coordonnées du vecteur-vitesse : On modélise la courbe «ax = f(t)» par une fonction linéaire : ax 0 On modélise la courbe «ay = f(t)» par une fonction linéaire : ay = - 10,018 c) y v y0 V 0 α x v x0 * D après le schéma, on en déduit en utilisant le théorème de Pythagore : V 2 0 = v 2 2 x0 + v y0 V 0 = v x0 ² + v y0 ² = 1,747² + 4,526² = 4,851 m.s -1 Pour les valeurs de «v x0» et «v y0», on reprend les équations horaires de «v x» et «v y» en prenant «t = 0». * D après le schéma, on en déduit en utilisant la trigonométrie : tan(α) = v y0 / v x0 tan(α) = v y0 / v x0 = 4,526 / 1,747 = 2,591 => α = arctan(2,591) = 68,89 Attention à avoir la calculatrice en «mode degré». * Le champ de pesanteur «g» est une accélération. Ici, comme il s agit d une chute libre, le champ de pesanteur est égal à l accélération (Cf question d.) : a = g g = a = a x ² + a y ² = 0² + ( 10,018)² = 10,018 m.s -2 Pour les valeurs de «a x» et «a y», on reprend les équations horaires de «a x» et «a y». M.Meyniel 5/6

6 Terminale S d) Système : y {balle de masse m lancé avec une vitesse initiale 𝐯𝟎 faisant un angle α avec l horizontale} g v0 Référentiel : la table, référentiel terrestre supposé galiléen. α O 𝑥 =0 𝑶𝑮𝟎 { 0 𝑦0 = 0 Les conditions initiales sont alors : Bilan des forces : - le poids du système : et x 𝑣𝑥0 = 𝑣0. 𝑐𝑜𝑠(𝛼) 𝒗𝟎 { 𝑣𝑦0 = 𝑣0. 𝑠𝑖𝑛(𝛼) = m.𝒈 𝒑 - on suppose l action de l air négligeable : on néglige les forces de frottements et la poussée d Archimède. Lorsque seul le poids agit, on parle de chute libre. R.F.D : D après la 2nde loi de Newton, on a : 𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒎. 𝒂𝑮 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑝 = 𝑚. 𝑔 𝑎𝐺 { 𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑦 =0 = 𝑔 * L accélération est constante, le mouvement est uniformément accéléré selon z. Cas de la vitesse : 𝑎𝑥 = 𝑎𝐺 { 𝑎𝑦 = 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑦 Avec les conditions initiales : =0 = 𝑔 𝑑𝑥 = 𝐶𝑥 𝑣(𝑡) { 𝑑𝑦 𝑣𝑦 = = 𝑔. 𝑡 + 𝐶𝑧 𝑣 = 𝐶𝑥 = 𝑣0. cos(𝛼) 𝑣(𝑡=0) = 𝑣0 { 0𝑥 𝑣0𝑧 = 𝑔 0 + 𝐶𝑧 = 𝑣0. sin(𝛼) 𝒗𝒙(𝒕) = 𝒗𝟎. 𝐜𝐨𝐬(𝜶) 𝒗(𝒕) { 𝒗𝒛(𝒕) = 𝒈. 𝒕 + 𝒗𝟎. 𝐬𝐢𝐧(𝜶) * vx est constante car cette composante de la vitesse est orthogonale à la somme des forces. Cas de la position : 𝑣𝐺 = 𝑑𝑂𝐺 Avec les conditions initiales : => par intégration : 𝑂𝐺(𝑡) { 𝑥(𝑡) = 𝑣0. cos(𝛼). 𝑡 + 𝐶𝑥 𝑡² 𝑦(𝑡) = 𝑔. + 𝑣0. sin(𝛼). 𝑡 + 𝐶𝑧 2 𝑥 = 𝐶𝑥 = 0 𝑂𝐺(𝑡=0) = 𝑂𝐺0 { 0 𝑦0 = 𝐶𝑧 = 0 D où les équations horaires du mouvement : 𝑣𝑥 = => par intégration : D où les équations horaires du vecteur-vitesse : 𝒂𝑮 = 𝒈 * Ce P.F.D applicable car référentiel terrestre est galiléen puisque le temps de l expérience est court. Projection : => 𝒙(𝒕) = 𝒗𝟎. 𝐜𝐨𝐬(𝜶). 𝒕 𝑶𝑮(𝒕) { 𝒚(𝒕) = ½. 𝒈. 𝒕² + 𝒗𝟎. 𝐬𝐢𝐧(𝜶). 𝒕 * La position, comme la vitesse et l accélération sont indépendantes de la masse. CONCLUSION : On retrouve bien M.Meyniel - une accélération nulle selon «x» : ax = 0 ; - une accélération constante et négative selon «y» : ay = - g -10 ; - une vitesse constante selon «x» : vx = V0.cos(𝛼) = 1,747 (m/s) ; - une vitesse décroissante selon «y» : vy = - g t + V0.cos(𝛼) = - 9,972 t + 4,526 ; - une position selon «x» : x = V0.cos(𝛼) t = 1,747 t ; - une position selon «y» qui suit une parabole (polynôme du second degré). 6/6

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