L équation horaire du mouvement. En mécanique les maths ne sont jamais bien loin.
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- Colette Gilbert
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1 L équation horaire du mouvement En mécanique les maths ne sont jamais bien loin.
2 Dans le manuel Quelques exercices 5 6 p97, Prolongements dans le chapitre 5 «applications de la mécanique» Mouvement parabolique, mouvement dans un champ électrostatique.3,4,5 6 p121
3 Principe Le mobile est repéré par ses coordonnées, (x,z). Ce sont des fonctions du temps (x(t), z(t) en mètres. On connait plutôt les conditions initiales, la vitesse On connait plutôt les conditions initiales, la vitesse de départ, les forces.
4 La fonction primitive, réciproque de la fonction dérivée. La primitive d une fonction constante est une fonction affine, puisque la dérivée d une fonction affine est une fonction constante. De même la primitive d une fonction affine est une fonction polynôme de degré 2.
5 Cas uniforme L accélération est nulle Donc la vitesse est constante Donc la position est une fonction affine du temps.
6 Cas uniformément accéléré L accélération est constante Donc la vitesse est affine Donc la position est un polynôme de degré 2
7 Vers le bas on dérive Vers le haut on intègre ax 2 /2+bX+ Tableau récapitulatif C a.t 2 /2+v.t+x Position [m] ax+b a.t+v Vitesse [m.s -1 ] a haut on a a Accélérati on [m.s-2] Maths, variable X Physique, variable t
8 Dans ce tableau a est en, donc c est une accélération. v est en donc c est la vitesse (initiale). x est en m c est la position (initiale)
9 Cinématique, la loi horaire est donnée La loi horaire permet de connaître la position en fonction du temps C est la fonction X(t) en m. Si cette fonction est constante, on ne bouge pas Si cette fonction est affine, MU Si cette fonction est polynôme 2 : mouvement accéléré.
10 Remarques On peut ajouter une colonne au tableau, pour les mouvement uniformes. L accélération est nulle La vitesse est constante La position est une fonction affine du temps.
11 Dynamique, on va de la force, vers le mouvement. Les exemples sont : le mouvement dans le champ de pesanteur : une seule force : le poids. Ou bien le mouvement d une charge dans un champ électrique, une seule force aussi. La force(s) est connue, alors l accélération aussi. r r F = m. a
12 De l accélération vers les équations horaires. Il est nécessaire de connaître la force, déjà dit. Il faut aussi connaître la vitesse initiale V0 Et la position de départ X0. Ensuite on remonte dans le tableau, primitive Une fois pour la vitesse Deux fois pour la position.
13 Le mouvement dans le champ de pesanteur seul La seule force est le poids. La seule accélération est donc verticale r égale au vecteur g champ de gravitation. On applique Newton 2 r F mg r r= m. ar = m. a r a = r g
14 Conséquences Le mouvement est plan (2D) Les coordonnées sont x(t) et z(t). X croissante de gauche à droite Z croissante vers le haut. L accélération est toute verticale, de coordonnée négative.
15 Pour la verticale axe Z. Vers le bas on dérive z(t)=-g.t 2 /2+v z0.t+z 0 Positio n [m] Vers le haut on intègre Vitesse [m.s -1 ] v z (t)= -g.t+v Z0 [m.s -1 ] a z =-g Physique, variable t Accéléra tion [m.s-2]
16 Pour l horizontale x Vers le bas X(t)=v on dérive xo.t+x Position [m] 0 Vitesse [m.s v Vitesse [m.s - x (t)=v xo Vers le haut a on intègre x =0 Accélération [m.s-2] Physique, variable t 1 ]
17 Autre mouvement du même type Le mouvement d une particule chargée (ion, proton, électron) dans un champ électrostatique, électrique constant, est du même type. La force, donc l accélération sont constantes dans le temps, dans l espace. On peut appeler z la coordonnée le long du champ
18 La force r r F = q. E
19 L accélération r r F q E a r = =. m m
20 Pour la verticale axe Z. Vers le bas on dérive z(t)=qe/m.t 2 /2+v z0.t+z 0 Positio n [m] Vers le haut on intègre Vitesse [m.s -1 ] v z (t)= qe/m.t+v Z0 [m.s -1 ] a z =qe/m Physique, variable t Accéléra tion [m.s-2]
21 Pour l horizontale x, pareil Vers le bas X(t)=v on dérive xo.t+x Position [m] 0 Vitesse [m.s v Vitesse [m.s - x (t)=v xo Vers le haut a on intègre x =0 Accélération [m.s-2] Physique, variable t 1 ]
22 Conséquence : trajectoire La composition d une fonction linéaire du temps et d une fonction polynôme de degré deux du temps donne Une trajectoire qui ressemble à la courbe de y=-x² une parabole. Exemple du calcul le plus simple.
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