1. Applications des lois de Newton

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1 1. Applications des lois de Newton 1.1. A un mouvement dans le champ de pesanteur Activité expérimentale 1.A p Vecteur accélération En 1 er lieu, pour toute étude de mouvement, il faut définir le système étudié et le référentiel d étude, muni d un repère d espace et d un repère de temps, et faire le bilan des forces qui s appliquent au système. Etudions le cas d un solide de masse m, lancé avec une vitesse initiale, du point O. Ce solide sera considéré comme le système étudié. On choisit un repère (O,,, ) dans un référentiel terrestre supposé galiléen. On considère que les frottements et la poussée d Archimède sont négligeables. Donc la seule force qui s applique au système est le poids. Le référentiel étant galiléen, la seconde loi de Newton s applique :. Or d après la définition de la quantité de mouvement: et d après la définition de l accélération :. D où. De plus, la seule force qui s applique au système est le poids. D où. On obtient donc : soit. Or le vecteur champ de pesanteur a pour coordonnées :. Doù les coordonnées du vecteur accélération :. Bilan : Le vecteur accélération du centre d inertie d un objet placé dans un champ de pesanteur uniforme et soumis uniquement à son poids est constant et égal au vecteur champ de pesanteur Vecteur vitesse Comme, pour obtenir les coordonnées du vecteur vitesse, il faut intégrer celles du vecteur accélération : avec C 1, C 2 et C 3 trois constantes à déterminer à partir des conditions initiales, c est-à-dire des coordonnées du vecteur vitesse à l instant initial. Coordonnées du vecteur vitesse à l instant initial : et. D où, et D où les coordonnées du vecteur vitesse : Page 1 sur 6

2 Bilan : Le vecteur vitesse du centre d inertie d un objet placé dans un champ de pesanteur uniforme et soumis uniquement à son poids ne dépend pas de la masse de l objet Equations horaires Les équations horaires du mouvement du centre d inertie d un objet traduisent l évolution des coordonnées du vecteur position en fonction du temps. Comme, pour obtenir les coordonnées du vecteur position, il faut intégrer celles du vecteur vitesse : avec C 4, C 5 et C 6 trois constantes à déterminer à partir des conditions initiales, c est-à-dire des coordonnées du vecteur position à l instant initial. Comme l objet est lancé du point O, origine du repère, le vecteur position à l instant initial est égal au vecteur nul. Coordonnées du vecteur position à l instant initial : et. D où D où les coordonnées du vecteur position :. Bilan : Le mouvement du centre d inertie d un objet lancé avec une vitesse initiale non nulle, placé dans un champ de pesanteur uniforme et soumis uniquement à son poids, s effectue dans un plan formé par les vecteurs et Equation de la trajectoire Comme le mouvement a lieu dans le plan (xoz), la trajectoire du centre d inertie de l objet est donnée par la courbe d équation. On obtient cette équation en éliminant le temps t entre x(t) et z(t) :. (1) En remplaçant dans (2), on obtient directement l équation de la trajectoire :. Bilan : La trajectoire du centre d inertie d un objet lancé avec une vitesse initiale un champ de pesanteur uniforme et soumis uniquement à son poids, est une parabole. non nulle, placé dans 1.2. A un mouvement dans un champ électrostatique Activité documentaire : Accélération d électrons Un canon à électrons est un dispositif qui se trouve dans les anciens téléviseurs et les oscilloscopes cathodiques. Un dispositif similaire est utilisé dans les accélérateurs de particules modernes. Page 2 sur 6

3 Dans un canon à électrons (Fig. 1), des électrons sont arrachés, avec une vitesse négligeable, d'un filament électrique chauffé par effet Joule, situé au niveau d'une électrode nommée cathode. Ils sont accélérés entre la cathode C (borne négative) et l'anode A (borne positive) par une tension U AC de valeur comprise entre 0 V et environ 6 kv. Ce phénomène a lieu dans une ampoule où règne un vide poussé. Lorsque la tension U AC est nulle, aucun mouvement d'électrons n'est détecté. Sa valeur est augmentée progressivement de 0 V à 1,0 kv : les électrons sont mis en mouvement rectiligne horizontal entre C et A. 1. Montrer que le mouvement des électrons est cohérent avec le fait de négliger le poids de l'électron par rapport à la force électrique qu'il subit à l'intérieur du canon. Rappel : La force électrique subit par l électron est définie par :. 2. En utilisant la deuxième loi de Newton, montrer que le vecteur accélération d'un électron est porté par l'axe (Ox) et que sa coordonnée s'écrit: où d est la distance entre C et A. Qualifier un tel mouvement. (Aide 1) 3. Une fois sorti du canon, l'électron n'est plus soumis à aucune force. Quel est son mouvement ultérieur? Quelles modifications subit ce mouvement lorsque U AC est augmentée de 1,0 kv à 6,0 kv? 4. Quelles sont les conditions initiales sur la position et la vitesse de l'électron? Justifier à l'aide du texte de présentation du dispositif. 5. En utilisant la question 2, en déduire l'expression de la vitesse v x (t) d'un électron puis de sa position x(t). (Aide 2) 6. À l'aide de la question précédente, exprimer la date t A de passage de l'électron au niveau de l'électrode A. 7. En déduire enfin que la vitesse v A de l'électron au passage au travers de l'anode trouée A s'écrit :. La calculer avec U AC = 1,0 kv, e = 1, C et m = 9, kg. (Aide 3) Aide 1 : Prendre garde à l'orientation du champ électrique et au signe de la charge de l'électron. Aide 2 : Ces étapes nécessitent une intégration par rapport au temps, suivie d'une prise en compte des conditions initialles. Aide 3 : Prendre garde aux unités et au nombre de chiffres significatifs du résultat. Activité documentaire : Déviation d un faisceau d électrons En 1897, ni la masse m, ni la charge -e de l'électron n'étaient connues ; son existence même n'était pas prouvée. En utilisant un dispositif analogue à celui de la figure 2, Joseph John Thomson détermina le quotient. Page 3 sur 6

4 A la sortie du canon à électrons décrit à la page précédente, les électrons parviennent avec la v A entre les deux plaques P et N, de longueur L = 8,5 cm, distantes de d' = 5,0 cm et entre lesquelles est à présent imposée une tension U PN = 750 V. (Fi.g.2) Les lois de la mécanique permettent d'obtenir l équation de la trajectoire d'un électron dans le champ électrostatique uniforme régnant mire les plaques P et N : La figure 2 a été obtenue avec une vitesse v A = 2, m.s Calculer la valeur du champ électrostatique entre les deux plaques P et N. (Aide 1) 2. Reproduire la trajectoire des électrons puis tracer, avec des couleurs différentes, les vecteurs accélération, force électrique et champ électrostatique, en un point quelconque de la trajectoire, sans souci d'échelle. 3. Sur le schéma précédent, tracer la trajectoire des électrons qui serait obtenue si la polarité de P et N était inversée. Représenter également l'allure de la trajectoire obtenue avec U PN moitié moins grande. 4. En utilisant les coordonnées du point de sortie du champ électrostatique lues sur la figure 2, déterminer la valeur du rapport. 5. Calculer la valeur réelle de ce rapport et faire la liste des principales sources d'erreur d'une telle détermination expérimentale. Aide 1 : La valeur du champ électrostatique s'obtient en divisant la tension entre les plaques par la distance qui les sépare. Aide 2 : l'équation cartésienne de la trajectoire d'un électron est donnée. Il suffit de l'utiliser pour le point de sortie, d'abscisse L (donnée dans l'énoncé) et d'ordonnée à mesurer sur la Fig. 2. Il ne reste qu'à extraire le rapport en fonction de ces paramètres connus. Bilan : Le vecteur accélération du centre d inertie d une particule chargée placée dans un champ électrostatique uniforme est dirigé selon le vecteur champ électrostatique. Le mouvement du centre d inertie d une particule chargée placée dans un champ électrostatique uniforme et ayant une vitesse initiale non nulle, s effectue dans un plan formé par les vecteurs et. La trajectoire du centre d inertie d une particule chargée placée dans un champ électrostatique uniforme et ayant une vitesse initiale non nulle, est une parabole A un oscillateur mécanique Activité expérimentale : étude des oscillations d un pendule pesant. Le pendule est constitué d un fil attaché en O et sur lequel est fixé un cylindre. 1. Imaginer un protocole permettant de réaliser l étude du mouvement de ce pendule. Matériel disponible : une webcam, un pendule, un ordinateur. 2. Après validation, réaliser-le. Conclure. Page 4 sur 6

5 3. Quels sont les paramètres pouvant influencer ce mouvement? 4. Imaginer un protocole permettant de répondre à cette question. 5. Après validation, réaliser-le. Conclure. Bilan : La position du pendule est repérée par l'angle orienté entre la verticale passant par O et la direction du fil, est l élongation angulaire ; le pendule oscillant de part et d'autre de sa position de repos, prend des valeurs positives et négatives. L'amplitude du mouvement oscillatoire est l élongation maximale, c est-à-dire la valeur absolue de l écart angulaire extrémal. Les oscillations d'un pendule simple (non amorti) sont périodiques ; la période est la durée d'une oscillation. Lorsque l amplitude des oscillations est inférieure à 15, la période T est pratiquement indépendante de. Dans ce cas, cette période porte le nom de période propre et se note T 0. est indépendant de m, varie dans le même sens que l, et en sens inverse de g. Lorsqu on ne peut plus négliger les forces de frottements, les oscillations sont amorties. 2. Application des lois de Kepler Activité documentaire 2 p Rappel : L'interaction gravitationnelle : Deux corps sphériques et homogènes A (masse m A ) et B (masse m B ) dont les centres O 1 et O 2 sont distants de d exercent l un sur l autre des forces attractives de même droite support (O 1 O 2 ) et de même valeur : avec Mouvement circulaire On se place dans le cadre de l approximation des trajectoires circulaires. Système : planète de centre P et de masse m, en rotation autour du soleil S, de masse M. On note r lma distance Soleil-planète. Référentiel : référentiel héliocentrique considéré comme galiléen. Bilan des forces : force d interaction gravitationnelle entre le soleil et la planète,. D après la 2 nde loi de Newton :. Or et. D où Bilan : Une planète ou un satellite tournant autour de son astre attracteur a un vecteur accélération dirigé vers le centre de sa trajectoire circulaire. Comme, son mouvement est circulaire uniforme. Pour un mouvement circulaire uniforme, les valeurs de l accélération et de la vitesse d une planète sont reliées par l égalité : avec. Or et. D où. Page 5 sur 6

6 Bilan : La vitesse d une planète ou d un satellite (en m.s -1 ) sur une orbite circulaire autour d un astre attracteur est :. Elle ne dépend que de la masse M (en kg) de l astre attracteur et du rayon r de l orbite circulaire (en m) Lois de Kepler ère loi de Kepler Bilan : Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d'une planète est une ellipse dont le centre du Soleil est l'un des foyers nde loi de Kepler Bilan : Le segment reliant le centre S du Soleil au centre P de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales ème loi de Kepler Bilan : Le rapport du carré de la période de révolution T d'une planète autour du soleil au cube du demi-grand axe a de l'ellipse est constant : planètes du système solaire.. La valeur de k est la même pour toutes les La constante k ne dépend que de l astre attracteur : Application de la 3 ème loi de Kepler à un mouvement circulaire. Dans le cas d un mouvement circulaire : - avec. D où. -. La 3 ème loi de Kepler s écrit alors :. CONNAISSANCES Connaître et exploiter les trois lois de Newton ; les mettre en œuvre pour étudier des mouvements dans des champs de pesanteur et électrostatique uniformes. Démontrer que, dans l approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d un satellite, d une planète, est uniforme. Établir l expression de sa vitesse et de sa période. Connaître les trois lois de Kepler ; exploiter la troisième dans le cas d un mouvement circulaire. COMPETENCES ATTENDUES Mettre en œuvre une démarche expérimentale pour étudier un mouvement. Pratiquer une démarche expérimentale pour mettre en évidence : - les différents paramètres influençant la période d un oscillateur mécanique ; - son amortissement. Page 6 sur 6

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