Sciences Po 2010: sujet 0. Correction

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Marie-Agnès Marion
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1 Devoi Suveillé, Temile S 1 Scieces Po 1: suje Coecio Pie I 1) L focio # 1 + es déivble su D ; e à vleus ds D ; puisque pou > e >, 1 + > 1 > Aisi comme l focio # lhl es déivble su D ; los p composiio, # lk1 + O es déivble su D ; Efi comme de plus # es déivble su D ; los p podui, l focio f : # f HL = lk1 + O es déivble su D ; Pou ou éel œd ; f ' HL = 1µlK1 + O + µ = lk1 + O - I1 + M = lk1 + O - + b) O moé que l focio # lk1 + O es déivble su D ; O ussi moé que l focio # 1 es déivble su D ; doc # es déivble su D ; + + Aisi p somme, f ' : # f ' HL = lk1 + O - es déivble su D ; + - Pou ou éel œd ; f '' HL = = - H + L H + L + -H + L + = = - H + L H + L H + L c) Pou ou éel œd ; f '' HL = - H + L O > e > doc H + L > e isi f '' HL = - H + L < P coséque l focio f ' es siceme décoisse su D ; 1 d) O si que Lim = doc Lim Ø Ø+ = 1 De plus Lim lhxl = p coiuié de l XØ1 Aisi p composiio de limies, Lim Ø+ lk1 + O = 1 Esuie o si que Lim + = + doc p ivese de limies, Lim Ø+ Ø+ + = Fileme p somme de limies, Lim lk1 + Ø+ O - + = O doc Lim f ' HL = Ø+ L focio f ' es siceme décoisse su D ; e Lim f ' HL = Ø+

2 Devoi Suveillé, Temile S P suie o peu e déduie que f ' HL pou ou éel œd ; L focio f es doc coisse su D ; Remque: L focio f ' es siceme décoisse su D ; doc pou ous éels e ' els que < < ', o doc f ' HL > f ' H 'L Aisi p pssge à l limie Lim 'Ø+ f HL Lim 'Ø+ f H 'L O Lim 'Ø+ f ' HL = f ' HL (idéped de ') e Lim 'Ø+ f ' H 'L = Doc f HL Sio o peu ussi isoe p l'bsude e moe que s'il eise f ' HL < los f ' e peu ps êe siceme décoisse ) Pou ou eie uel 1, o v = lhu L = lii1 + M M = li1 + M = f HL Aisi comme l focio f es coisse su D ; e comme pou ou eie uel, < + 1 e œd ; e + 1 œd ; los o e dédui f HL f H + 1L d'où v v +1 L suie Hv L es doc coisse Remquos los que comme pou ou eie uel 1, v = lhu L los v = lhu L = u Aisi comme v v +1 e comme l focio epoeielle es coisse su R, o obie v v +1 e isi u u +1 L suie Hu L es doc coisse lh1 + L lh1 + L - lh1l b) O emque que pou ou éel, >, = O si que l focio l es déivble e 1 e que HlL' H1L = 1 1 = 1 O p défiiio du ombe déivé de l focio # lhl e 1, o HlL' H1L = Lim Ø lh1 + L lh1 + L O e dédui doc Lim = 1( e isi Lim = 1) Ø Ø + c) Pou ou eie uel 1, v = lk1 + O = lk1 + li1 + M O = µ lh1 + L - lh1l lh1 + L Alos comme Lim = e comme d'pès b), Lim = 1, los o e dédui Lim Ø+ Ø Ø+ li1 + Lim µ Ø+ M = Fileme Lim Ø+ v = Efi o moé que pou ou eie uel 1, u = v Comme Lim Ø+ v = œ R e comme l focio epoeielle es coiue su R, los Lim u = Lim Ø+ Ø+ v = Lim v Ø+ = li1 + M = 1 d'où

3 Devoi Suveillé, Temile S 3 Pie II Tu d'iéê uel e u d'iéê d'ue fcio d'ée 1) L somme S es plcée u u uel de % vec > doc u bou d'u de plceme, l somme S es mulipliée p K1 + 1 O O dispose doc de l somme S K1 + 1 O b) Pou = 5 e S = 1 euos, o obie doc que l somme do o dispose u boi d'u de plceme es 1 µ = 1 5 euos 1 ) Au débu de chque péiode, l somme plcée pou l péiode es l somme plcée l péiode pécédee ugmeée de % Au débu de chque péiode, l somme plcée pou l péiode es l somme plcée l péiode pécédee mulipliée p = Aisi pou ou eie k, 1 k - 1, S k = S k-1 K1 + 1 O, puisque S k es l somme plcée u débu de l Hk + 1Lième péiode e S k-1 l somme plcée u débu de l péiode pécédee b) O emque los que comme pou 1 k - 1, o S k = S k-1 K1 + 1 O, los l suie HS kl k es ue suie géoméique de pemie eme S e de iso K1 + 1 O Aisi pou ou eie k, S k = S I1 + O pose = 1, e o obie S = S u où u = K1 + O 1 Mk e e piculie S = S K1 + 1 O = S 1 + c) O si, d'pès l pemièe pie, que Lim u = = 1 vec = Ø+ 1 P suie, comme Lim S = Lim S u = S Lim u, los Lim S = S Ø+ Ø+ Ø+ Ø+ E divis l'ée e u gd ombe de péiodes ussi peie que possibles, l somme obeue u bou d'u de plceme es pesque égle à S 1 d) Pou le pemie plceme l somme obeue u bou d'u de plceme es S K1 + 1 O = S u 1 Pou le secod plceme, l somme obeue u bou d'u de plceme, pou péiodes, es S K1 + 1 O = S u O o moé que l suie Hu L es coisse Doc pou ou eie uel 1, u u 1 Aisi pou ou eie uel 1, S u S u 1 Aisi le deuième plceme es oujous plus vgeu e) Au bou d'ue ée de plceme, o obie S 1 = 1 µi M1 º 1 511, 6 euos O eouve bie que 1 511, 6 > 1 5 doc que le ième plceme es plus vgeu que le pemie 3) Posos S k ' l somme plcée u débu de l Hk + 1L-ième péiode pou k L somme S k ' es doc l somme S k-1 ' ugmeée des iéês gééés p le u % pou 1 k - 1 Aisi pou ou k, 1 k - 1, o S k ' = S k-1 ' K1 + 1 O, suie géoméique de iso K1 + O e de pemie 1 eme S 1

4 4 Devoi Suveillé, Temile S eme S O e dédui doc, comme à l quesio pécédee que S k ' = S K1 + 1 O k e doc que l somme obeue u bou d'u de plceme, c'es à die péiodes, es S ' = S K1 + 1 O b) O veu doc déemie el que S ' = S K1 + O e dédui doc lk1 + 1 O = lk1 + lj1+ N 1 = 1-1 Remque: 1 O, c'es à die el que K1 + 1 O 1 O d'où lk1 + 1 O = li1 + O peu ussi écie = ou = K O l 1+ 5 c) O obie 1 H5 %L = = 1 K lh1,5l 1-1O º, M = K1 + 1 O puis 1 + lj1+ N 1 = 1 e doc Pie III Plcemes vec u d'iéê isé vible 1) O suppose que pou ou o ihl = b œ R P suie l focio S esue focio déivble soluio de l'équio difféeielle y ' = b y O si doc que l focio S es de l fome SHL = C b vec C œ R Comme de plus SHL = S los o e dédui doc C bµ = S d'où C = S Aisi S es l focio défiie p SHL = S b ) Comme i es coiue o si que l focio I : # IHL = ihl es l'uique pimiive de i qui s'ule e Pou ou IHL = ihl b) L focio S es déivble p hypohèse De plus comme I es ue pimiive de i los I es déivble e I ' = i Efi l focio epoeielle es déivble su R doc p composée -I es déivble e p podui j = -I µs es déivble Pou ou éel j' HL = -ihl -IHL SHL + IHL S ' HL = IHL H-iHL SHL + S ' HLL O p hypohèse, S es soluio de l'équio difféeielle y ' = ihl y doc S ' HL = ihl SHL d'où -ihl SHL + S ' HL = P suie pou ou j' HL = L focio j es doc cose Aisi pou ou éel jhl = jhl = -IHL SHL = S = S O e dédui doc que pou ou éel -IHL SHL = S e comme ¹ pou ou éel, SHL = S -IHL = S IHL 3) O sihl - = vhl u ' HL vec O obie los vhl = sihl u ' HL = - v ' HL = coshl uhl = - - vec u, v déivbles e u ', v ' coiues doc d'pès l fomule d'iég-

5 Devoi Suveillé, Temile S 5 io p pies, sihl - - D + coshl - = -sihl - + coshl - E iég à ouveu p pies, coshl - - D - sihl - O e dédui sihl - = -sihl - coshl sihl - d'où sihl - = - H1 - coshl - sihll e fileme sihl - = 1 - H1 - coshl - sihll b) O si que SHL = S IHL vec IHL = ihl e ihl = bh1 + sihl - L O doc IHL = Ÿ bh1 + sihl - L = biÿ 1 + Ÿ sihl - M p liéié de l'iégle D'pès l quesio pécédee, o e dédui doc IHL = bk + - H1 - coshl - sihllo P suie SHL = S bi+ -H1-cosHL-siHLLM Pie IV 1) L pesoe uméo 1 décide d'ivesi ds ce plceme Alos p 1 = 1 O l'be de pobbilié: p R +1 R q=1-p p R +1 1-p q=1-p R +1 R p R +1 Soi u eie uel 1 Remquos que R +1 = HR R +1 L IR R +1 M e que les évéemes R e R so évidemme compibles Alos p +1 = phr +1 L = phr R +1 L + pir R +1 M P suie p +1 = phr L p R HR +1 L + phr L p R HR +1 L O oé p = phr L e isi phr L = 1 - phr L = 1 - p D'ue p, o si que l pesoe H + 1L fi le même choi que l pesoe vec l pobbilié p doc p R HR +1 L = p e e fi ps le même choi vec l pobbilié 1 - p d'où p R HR +1 L = 1 - p Fileme o obie doc p +1 = p µ p + H1 - p L H1 - pl d'où p +1 = p µ p p - p H1 - pl = p H p - H1 - pll p e doc p +1 = H p - 1L p p ) O suppose p = 1 O obie los pou ou eie uel >, p +1 = µ 1-1 p = 1 Aisi p 1 = 1 e p = 1 pou > 1

6 6 Devoi Suveillé, Temile S L suie H p L es doc sioie à pi du g Le choi de l pesoe pécédee ' doc ps d'ifluece su le choi de l pesoe suive 3) Soi > w +1 = p +1-1 = H p - 1L p p - 1 = H p - 1L p p Remquos los que 1 - p = - 1 H p - 1L O obie doc w +1 = H p - 1L p - 1 H p - 1L = H p - 1L p - 1 = H p - 1L w L suie Hw L es doc géoméique de iso H p - 1L e de pemie eme w 1 = p 1-1 = 1-1 = 1 b) Comme l suie Hw L es doc géoméique de iso H p - 1L e de pemie eme w 1 = 1, los o si que pou ou eie uel >, w = 1 H p - 1L-1 Esuie comme p = w + 1, o obie doc p = H p - 1L-1 pou ou eie uel > c) O < p < 1 doc < p < e isi -1 < p - 1 < 1 O si los que Lim H p - 1 Ø+ 1L-1 = e o e dédui doc Lim Ø+ + 1 H p - 1L-1 = 1 c'es à die Lim p = 1 Ø+ Fileme, pès qu'u gd ombe de pesoes ie ou 'ie ps ivesi ds le plceme e e ie plé à ue ue pesoe, l pobbilié que l pesoe suive décide d'ivesi ou o ds ce plceme es égle à 1, comme si ue pesoe décidi d'ivesi ou o 1 fois su, ss qu'elle iee compe du choi de l pesoe qui lui e ple 4) O p =, 8 e doc p = Hµ, 8-1L19 º, 518 b) O cheche l'eie el que, p, 5 1 doc el que -, 1 1 H, 16-1L, 1 d'où el que -, H-, 84L, Si es pi o H-, 84L =, 84 doc il fu <, 84, Si es impi, H-, 84L = -H, 84L doc il fu -, -, 84 < d'où <, 84, lh, L Ds ous les cs il fu <, 84, d'où lh, 84L lh, L e doc puisque lh, 84L lh, 84L < lh, L Comme > 6 e es u eie uel, o e dédui que le plus eie uel el que lh, 84L -, p, 5 1 es = 63

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