Polynésie 2012 BAC S Correction

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1 Polynési 1 BAC S Corrction 1 / 6 Exrcic 1 1. a. L point B appartint à la courb Γ donc f() c'st-à-dir a + b Par conséqunt a + b 1 t donc a + b L point C appartint à la courb Γ donc f(5) 5 c st-à-dir 5 + b 5 5a Par conséqunt 5a + b -1/ t donc 5a + b - 1 a + b L coupl (a ;b) st donc solution du systèm 5a + b - 1. b. On résout donc c systèm. a + b b -a b -a 5a + b - 1 5a - a - 1-5a - 1 a Donc f(x) x,1x 1.,1x donc lim x +,1x 1 +. lim x + lim x + x +. Donc par produit ds limits, lim x + b -a 1 f(x) +. b -1 1 a 3. a. f(x) x,1x 1,1x,1x -1,1x,1x. b. On sait qu lim t - tt donc ici n posant t,1x, on n déduit qu lim f(x) x - 4. La fonction f st un produit t composé d fonctions dérivabls sur R ; ll st donc égalmnt dérivabl sur R. f (x),1x 1 +,1x,1x 1 (1 +,1x),1x 1 L sign d f (x) n dépnd qu d clui d 1 +,1x. Par conséqunt : x f (x) - + f Pour étudir ls positions rlativs d Γ t (D) on étudi l sign d f(x) x. f(x) x x(,1x 1 1) or,1x 1 1,1x 1 x On obtint donc l tablau d signs suivant : x - + x - + +,1x f(x) x La courb Γ st donc au-dssus d (D) sur ]- ;] [ ;+ [ t au-dssous sur [ ;]

2 Polynési 1 BAC S Corrction / 6 6. a. f(x) dx,1 x,1x dx,1 x,1x dx posons u(x) x u (x) 1 t v (x),1,1x v(x),1x f(x) dx [ x,1x ] -,1x dx - [,1x ] b. A A 5 - x - f(x) dx x dx - f(x) dx x² - Exrcic 1. Calculons b - c -3-6i i (-4-6i)(-3 - i) 1 + 8i + 18i - 1 6i a - c - + i i 3² i b - c st donc un imaginair pur. L triangl ABC st donc rctangl n C. a - c. a. L écritur complx d ctt rotation st : z i iπ/ (z i) soit z i(z i) 3 6i b. z A i(- + i i) 3 6i i(1 + 8i) 3 6i i 8 3 6i -11 5i -11-5i - + i -13-3i c. s d. L triangl ABC st rctangl n C, donc l miliu D d l hypoténus [AB] st l cntr d son crcl circonscrit. L rayon d c crcl st AB. - + i - 3-6i -5-4i z D AB -3 6i + i -1 8i 65 DS s d -13-3i -5-4i i 65 AB Donc S appartint au crcl circonscrit au triangl ABC s - q p - a - 3i - 1-5i -7-4i -i(4-7i) -i. - 5i + - i 4-7i 4-7i Par conséqunt arg(-i) - π t QS AP -i 1 Ls droits (AP) t (QS) sont prpndiculairs t ls sgmnts [AP] t [QS] sont d mêm longuur i i 4. Calculons q - b p - s - 5i i 3,5 + 8,5i 8,5-3,5i i. Par conséqunt [BQ] t [PS] sont prpndiculairs t d mêm longuur.

3 Polynési 1 BAC S Corrction 3 / 6 s - c p - q -13-3i - 1-5i - 1-5i -15-3i 3-15i -i. par conséqunt [SC] t [PQ] sont prpndiculairs t d mêm longuur. Dans l triangl QSP, ls droits (PA), (QB) t (SC) sont donc ds hauturs. Ells sont par conséqunt concourants. Exrcic 3 Parti A Voici ls différnts valurs priss par U n fonction ds valurs d k k 1 U Quand N 3 alors ct algorithm affich 9 n sorti. Parti B 1. u 1 3u u 3 u a. Initialisation : u. La propriété st vrai au rang n. Hérédité : Supposons qu u n n. Alors u n+1 3 u n n + 3 3n n + 3 C st-à-dir u n+1 n + 3 n + 1. La propriété st donc vrai au rang n + 1. Conclusion : La propriété st vrai au rang. En la supposant vrai au rang n, ll st ncor vrai au rang suivant. Par conséqunt, pour tout ntir naturl n, u n n. b. La suit (u n ) st donc minoré par la suit d trm génériqu n dont la limit st +. La suit (u n ) tnd donc égalmnt vrs + d après l théorèm ds croissancs comparés. 3. u n+1 u n 3u n n + 3 u n u n n + 3 n n + 3. La suit (u n ) st donc croissant. 4. a. v n+1 u n+1 (n + 1) + 1 3u n n + 3 n 3u n 3n + 3 3v n. La suit (v n ) st donc un suit géométriqu d raison 3 t d prmir trm v 1 Pour tout ntir naturl n, on a donc v n 3 n. b. Par conséqunt 3 n u n n + 1 soit u n 3 n + n a. La suit (u n ) st croissant t sa limit st +. Donc qulqu soit l rél x, il xist un rang n à partir duqul tous ls trms d la suit sont supériur à x. Si x 1 p, il xist donc un ntir naturl n tl qu, pour tout n n, u n 1 p b. u 3p 3 3p + 3p 1 7 p + 3p 1. Or, d après l énoncé, p 1. Donc 3p Et 7 p 1 p Donc u 3p 1 p t n 3p. c. A l aid d la calculatric, on constat qu u t u Donc n 7. d.

4 Polynési 1 BAC S Corrction 4 / 6 Entré Saisir l nombr ntir naturl p Traitmnt Affctr à N la valur Tant qu 3 N + N 1 < 1 p N prnd la valur N+1 Fin tant qu Sorti Affichr N Exrcic 4 (candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité) Parti A 1. D après la formul ds probabilités totals : p(losang) P(Losang blu) + P(Losang roug),6, +,4x,1 +,4x. P(Etoil) P(Etoil blu) + P(Etoil roug),6,4 +,4(,8,1x),4 +,3,4x,56,4x. On vut donc qu,1 +,4x,56,4x Par conséqunt,8x,44 t x Dux évènmnts A t B sont indépndants si t sulmnt si p(a B) p(a)p(b) p(cub blu Cub marqué d un Losang),6,,1 p(cub blu),6 P(Cub marqué d un Losang),1 +,4x. On vut donc qu,1,6 (,1 +,4x) soit,1,7 +,4x. Donc,4x,48 t x. 4. P Loang (Blu) Parti B p(losang blu) p(losang),1,1 +,4 5, p(au moins un cub roug) 1 p(aucun cub roug) 6 p(aucun cub roug) p(3 cubs blus) donc p(au moins un cub roug),788 au millièm près.. p(mêm coulur) p(3 cubs rougs) + p(3 cubs blus) (car cs évènmnts sont incompatibls) 4 p(3 cubs rougs) donc p(mêm coulur) 44,73 au millièm près. 1617

5 Polynési 1 BAC S Corrction 5 / On a 4 crcls blus t 8 crcls rougs. il y a donc n tout 3 cubs marqués d un crcl. 3 p(un cub marqué d un crcl) ,451 au millièm près Exrcic 4 (candidats ayant suivi l nsignmnt d spécialité) Parti A Donc (13 ;3) st bin solution d (E).. Soit (x ;y) un autr coupl solution d (E). On a donc 5x 18y 1 t Par différnc 5(x 13) 18(y 3) Soit 5(x 13) 18(y 3) 5 t 18 sont prmirs ntr ux (5 st sulmnt divisibl par 5 t 18 n l st pas!) donc d après l théorèm d Gauss, il xist un ntir rlatif k tl qu : x 13 18k t y 3 5k c st-à-dir x k t y 3 + 5k. Parti B Réciproqumnt, vérifions qu ls coupls d la form ( k ;3 + 5k) sont solutions d (E). 5 ( k) 18 (3 + 5k) k k Donc ls solutions d (E) sont ls coupls d la form ( k ;3 + 5k) pour tous ls ntirs rlatifs k. 1. x a [7] donc x a [7] d mêm x a [19] Comm 7 t 19 sont prmirs ntr ux alors x a [7 19] C st-à-dir x a [133]. a. a n st pas un multipl d 7. 7 st un nombr prmir donc d après l ptit théorèm d Frmat, on a a 7-1 a 6 1 [7] Par conséqunt a 18 ( a 6 ) [7] soit a 18 1 [7]. ( a 5 ) g a 5g a c a a 18c a ( a 18 ) c a [7] b. a st un multipl d 7 alors a [7] par conséqunt a 5 [7] t ( a 5 ) g [7] On a bin alors ( a 5 ) g a [7] c. On sait qu ( a 5 ) g a [7] t qu ( a 5 ) g a [19] donc d après la qustion B.1 ( a 5 ) g a [133]

6 Polynési 1 BAC S Corrction 6 / 6 Parti C 1. a 5 r [133] t r 13 r 1 [133] donc ( a 5 ) 13 r 1 [133] On sait d après B..c qu ( a 5 ) g a [133] où g st un ntir naturl tl qu 5g 18c 1 L coupl (13 ;3) st solution d ctt équation. Donc ( a 5 ) 13 a [133] par conséqunt a r 1 [133]. D après la qustion précédnt on sait qu a r 1 [133] où r 13 r 1 [133]. Il suffit donc d détrminr à qul nombr st congru r 13 modulo or [133] [133] Donc [133] or [133] [133] Donc [133] L mssag st donc : 3