SUJET. Avant de commencer. Exercice 1 (8 points) MATHÉMATIQUES STT SUJETS COMPLETS CORRIGÉS SUJET 2 A.C.A.-A.C.C. GRÈCE JUIN 2003 SUJET 2

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1 SUJET SUJET 2 A.C.A. A.C.C. GRÈCE JUIN 3 Avant de commencer EXERCICE 1 Thèmes du programme Pourcentages ; Calculs de probabilités. Analyse de l exercice Exercice sans difficulté proposant des calculs de pourcentages et de probabilités à partir d un tableau donnant, selon la catégorie socioprofessionnelle, le nombre de ménages équipés d un ordinateur. EXERCICE 2 Thèmes du programme Nuage de points ; Point moyen ; Ajustement affine ; Estimation ; Fonction polynôme. Analyse de l exercice Exercice ayant pour but d effectuer des prévisions de ventes en utilisant deux types d ajustement d un nuage de points : l un par une droite passant par le point moyen et l autre par une parabole. Exercice 1 (8 points) Le but de ce travail est d étudier le développement de l informatique en France ces dernières années. En 1999, dans un village du sud-ouest, comptant ménages, on étudie selon la catégorie socioprofessionnelle, l équipement en ordinateurs des ménages. On obtient le tableau suivant : Ménages ayant un ordinateur Ménages n ayant pas d ordinateur TOTAL Agriculteurs Artisans, commerçants, chefs d entreprises Cadres, professions intellectuelles Professions intermédiaires Employés Ouvriers Autres inactifs Ensemble des ménages D autre part, 14 parmi les ménages ayant un ordinateur sont connectés à Internet. 108

2 En indiquant le calcul effectué, et en donnant les résultats arrondis à l unité : 1. a. Quel est le pourcentage des ménages, toutes catégories socioprofessionnelles confondues, ayant un ordinateur? b. Quel est le pourcentage des ménages de la catégorie socioprofessionnelle «employés» ayant un ordinateur? Ce pourcentage est appelé par l INSEE, taux d équipement en ordinateur des ménages employés. Rechercher quelle est la catégorie socioprofessionnelle pour laquelle le taux d équipement en ordinateur dépasse 50 %. c. Quel est le pourcentage des ménages, toutes catégories socioprofessionnelles confondues, connectés à Internet? 2. On choisit au hasard un ménage parmi la population des ménages recensée dans le tableau précédent. On suppose que tous les ménages ont la même probabilité d être choisis. Soit N l événement «le ménage choisi n a pas d ordinateur». Soit A l événement «le ménage choisi est dans la catégorie des artisans». a. Traduire par une phrase l événement A N et l événement A N. b. Calculer les probabilités p( N), p( A), p( A N), p( A N). Les résultats seront donnés au millième près. 1. a. Quel est le pourcentage des ménages, toutes catégories socioprofessionnelles confondues, ayant un ordinateur? (1 point) b. Quel est le pourcentage des ménages de la catégorie socioprofessionnelle «employés» ayant un ordinateur? Ce pourcentage est appelé par l INSEE, taux d équipement en ordinateur des ménages employés. Rechercher quelle est la catégorie socioprofessionnelle pour laquelle le taux d équipement en ordinateur dépasse 50 %. (2 points) c. Quel est le pourcentage des ménages, toutes catégories socioprofessionnelles confondues, connectés à Internet? (1 point) 109

3 2. On choisit au hasard un ménage parmi la population des ménages recensée dans le tableau précédent. On suppose que tous les ménages ont la même probabilité d être choisis. Soit N l événement «le ménage choisi n a pas d ordinateur». Soit A l événement «le ménage choisi est dans la catégorie des artisans». a. Traduire par une phrase l événement A N et l événement A N. (1 point) b. Calculer les probabilités p( N), p( A), p( A N), p( A N). (3 points) Les résultats seront donnés au millième près. Exercice 2 (12 points) En cinq ans, de 1995 à 0, les ventes d une firme automobile ont presque triplé. Le tableau suivant donne l évolution du nombre de véhicules vendus (en milliers) de 1995 (année 0) à 0 (année 5). Rang de l année x i Nombre de véhicules y i vendus en milliers ,5 38, a. Représenter le nuage de points ( x i ; y i ) associés à cette série double dans un repère orthogonal. On prendra comme échelle, 2 cm sur l axe des abscisses pour représenter une année et 1 cm sur l axe des ordonnées pour représenter véhicules. b. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage. c. Donner une équation de la droite ( ) de coefficient directeur 5,4 passant par G. d. On admet que la droite est un ajustement linéaire convenable du nuage de points. Suivant ce modèle, combien vendra-t-on de véhicules en 5? 2. La forme du nuage étant incurvée, on se propose de faire un ajustement à l aide de la parabole P représentant la fonction f définie sur [ 0; 10] par fx ( ) = 065x, x,

4 a. Vérifier que les points A0; ( 14), B1; ( 22) et C5; ( 41) appartiennent à la parabole P. b. Suivant ce modèle, combien vendra-t-on de véhicules en 5? c. Calculer la dérivée f ( x), puis étudier son signe sur [ 0; 10]. Justifier que la fonction est croissante sur [ 0; 6] et décroissante sur [ 7; 10]. d. Suivant ce modèle, vendra-t-on plus de véhicules en 2 ou en 5? Justifier. 1. a. Représenter le nuage de points ( x i ; y i ) associés à cette série double dans un repère orthogonal. On prendra comme échelle, 2 cm sur l axe des abscisses pour représenter une année et 1 cm sur l axe des ordonnées pour représenter véhicules. (1 point) b. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage. (1 point) c. Donner une équation de la droite ( ) de coefficient directeur 5,4 passant par G. (1,5 point) 111

5 d. On admet que la droite est un ajustement linéaire convenable du nuage de points. Suivant ce modèle, combien vendra-t-on de véhicules en 5? (1 point) 2. La forme du nuage étant incurvée, on se propose de faire un ajustement à l aide de la parabole P représentant la fonction f définie sur [ 0; 10] par fx ( ) = 065x, x, a. Vérifier que les points A0; ( 14), B1; ( 22) et C5; ( 41) appartiennent à la parabole P. (1,5 point) b. Suivant ce modèle, combien vendra-t-on de véhicules en 5? (1 point) c. Calculer la dérivée f ( x), puis étudier son signe sur [ 0; 10]. Justifier que la fonction est croissante sur [ 0; 6] et décroissante sur [ 7; 10]. (3,5 points) 112

6 d. Suivant ce modèle, vendra-t-on plus de véhicules en 2 ou en 5? Justifier. (1,5 point) SUJET CORRIGÉ 2 Exercice a = % des ménages, toutes catégories socioprofessionnelles confondues, ont un ordinateur. 11 b = % des ménages de la catégorie socioprofessionnelle «employés» ont un ordinateur. La catégorie socioprofessionnelle pour laquelle le taux d équipement en ordinateur dépasse 50 % est celle qui compte plus de ménages ayant un ordinateur que de ménages n en ayant pas. Il s agit donc de la catégorie «cadres, professions intellectuelles». 14 c = 7 7 % des ménages, toutes catégories socioprofessionnelles confondues, sont connectés à Internet. 2. a. A N est l événement «le ménage choisi est dans la catégorie artisans et n a pas d ordinateur». A N est l événement «le ménage choisi est dans la catégorie artisans ou n a pas d ordinateur». 156 b. p( N) = p( N) = 078,. 20 p( A) = p( A) = 01,. 15 p( A N) = p( A«N) = 0, 075. p( A N) = p( A) + p( N) p( A N) d où p( A» N) = 0, 805. suite page

7 Exercice 2 1. a. Évolution du nombre de véhicules vendus de 1995 à 0 44 y i (Nombre de véhicules vendus en milliers) x i (Rang de l année) b. G a pour abscisse = 25, et pour ordonnée 6 G25; (, 295, ). c. L équation réduite de ( ) est de la forme y = 54x, + b. G ( ) donc 29, 5 = 54, 25, + b d où b = 29, 5 54, 25, = 16. ( ) a pour équation réduite y = 54x, d. 5 est l année de rang , = 70 On peut donc prévoir que l on vendra véhicules en a. f( 0) = 065, , 0+ 14= 14 donc A P. f( 1) = 065, , 1+ 14= 22 donc B P. f( 5) = 065, , 5+ 14= 41 donc C P. b. f( 10) = 065, , = 35, 5 On peut donc prévoir que l on vendra véhicules en 5. c. f ( x) = 065, 2x + 865, 1+ 0 f ( x) = 13x, + 865,. 865, 173 f ( x) 0 13x, + 865, 0 1, 3x 865, x x , , , = 29, 5 6

8 D où : Pour tout x de 0; , f ( x) > 0. f = Pour tout x de ; 10, f ( x) < 0. On en déduit que f est croissante sur 0; et décroissante sur ; , donc f est croissante sur [ 0; 6] et décroissante sur [ 7; 10]. d. 2 et 5 sont les années de rangs respectifs 7 et 10. f est décroissante sur [ 7; 10] donc f( 7) f( 10). On peut donc prévoir que l on vendra plus de véhicules en 2 qu en