COINCIDENCES DES DATES D ANNIVERSAIRES Jean François Kentzel Lycée Pardailhan à Auch (32)
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- Emmanuelle Larouche
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1 COINCIDENCES DES DATES D ANNIVERSAIRES Jea Fraços Ketzel Lycée Pardalha à Auch (32) Remercemets à Marte Babllot-Coragga qu m a erms de smlfer la reuve doée à la f de cet artcle (e y découvrat ue faute) as qu à Lauret Buquet qu m a adé our l utlsato du tableur Excel. L a derer, j a fat le ar avec les élèves d ue classe qu l y avat robablemet arm eux deux ersoes ayat la même date d aversare. Il y avat trete quatre élèves das cette classe mas o avat u costater qu l y avat aucue telle coïcdece de date. UNE QUESTION CLASSIQUE Le calcul effectf de la robablté d ue coïcdece de dates d aversares das u groue de ersoes eut être effectué e classe de remère. Désgat ar A l évéemet «l y a au mos ue coïcdece,» et ar B l évéemet cotrare, o obtet faclemet, e suosat l équrobablté des dates d aversares et e lassat de coté le 29 févrer qu e chage as grad chose (car la robablté de so aarto est, e remère aroxmato, 1/( )) : P (B ) = 365!. (365 )!365 Pour obter toutes ces robabltés, ar exemle jusqu à = 50,sur ue feulle Excel, l sufft d staller ue coloe comteur (1,2,3 etc.) et d utlser la formule P (B ) = P (B -1 ).(365-(-1))/365, formule utlsable auss avec certaes calculatrces, qu est as justfable ar u calcul de robablté e remère (les robabltés codtoelles état as coues) mas l est algébrquemet. Cet exercce est vramet téressat car o obtet des résultats étoats (o eut sster sur ce ot e demadat aux élèves, sas sster our obter ue réose! car ce est as ue questo séreuse, l dée qu ls ot de certas résultats avat d effectuer les calculs), ar exemle P (A ) déasse 0.5 quad déasse 22 et vaut evro 0.8 our = 34 (l tuto «avec 34 dates, o va utlser, e gros, u dxème du caledrer» est tout à fat fausse). L assstat grahque doe le dess ccotre. Cet exercce est roosé das luseurs lvres de remère S mas l est s téressat qu l eut être traté, malgré sa dffculté, das d autres séres (ar exemle, das ue classe de remère STT, ue boe dzae d élèves ot trouvé la formule d Excel qu doe le
2 grahque c-dessus). Il e est questo das u des artcles de la rubrque «Statstques E Lge» du CD ROM d accomagemet du rogramme de termale. SIMULATION J a effectué e classe quelques smulatos sur ce thème. Cette actvté a beaucou lu aux élèves qu avaet été trgués ar ce ar que j avas erdu. Le mauel Terracher Hachette roose, age 278, ue rocédure our le fare : das la cellule A1 o tae «= ENT (365*ALEA()+1)», qu smule ue date d aversare et o le recoe (33 fos das mo cas) sur ue coloe. Les évetuelles coïcdeces e sautet as aux yeux et le lvre de Perre-Her Terracher roose our les redre lus vsbles d ordoer (tr crossat) ces ombres, ce qu écesste de les «bloquer»avat le tr e cochat l oto Sur ordre das le meu Outl-Otos-Calcul.. Ce blocage dot être effectué avat chaque ouvelle smulato. Je roose doc ue autre rocédure, lus rademet exécutable, ce qu eut être utle car les résultats obteus heurtet l tuto et u assez grad ombre de smulatos eut être écessare s o veut être covacat. Des élèves, même assez famlers d Excel, ot robablemet eu de chaces de dever cette rocédure qu cosste à recoer la coloe des dates e lges us à effectuer des soustractos et à comter les 0 qu corresodet aux coîcdeces. Cocrètemet, das la cellule A2 o tae «= ENT (365*ALEA()+1) qu o recoe jusqu à A35. Pour recoer sur la remère lge les 34 ombres obteus, l sufft de sélectoer us coer la coloe de dates us de sélectoer le bloc-lge B1-AI1 (34 cellules). O etre alors e B1 la formule = TRANSPOSE(A2 :A35), ce qu se fat à la ma ou à l ade du meu des foctos. Il faut alors valder e auyat smultaémet sur les tros touches Ctrl, Majuscule et Etrée. Ce derer ot est essetel our ouvor utlser esute la touche F9. O a alors lus qu à etrer e B2 «: = $A2-B$1» qu o recoe fos. Il sufft alors de taer»= ( NB.SI(B2 :AI35 ;»=0»)-34 )/2» qu doe drectemet le ombre c de coïcdeces à chaque fos qu o tae F9. O e s téresse as c à la moyee des ombres c (qu est as sas térêt) mas au ombre de c o uls. Le défaut de cette méthode est qu o e vsualse as be les coïcdeces. CAS GENERAL (SANS EQUIPROBABILITE DES DATES D ANNIVERSAIRES) O eut se demader s l équrobablté des dates d aversare est u héomèe réel. Je a as su trouver cette formato sur le ste de l INSEE mas quelques etts sodages m ot covacu que ce est as tout à fat le cas. Il me semble qu l y a, das mo déartemet, u eu lus de assaces au rtems (exercce cocret de termale sur le aragrahe «adéquato de doées statstques à ue lo équréarte» : trater les doées relatves aux mos de assace obteues das ue materté doée), ce héomèe état mos marqué qu l e l a été. Je me sus alors demadé s c état ue des causes de ma mésaveture. Ce qu sut rouve que o. O désge ar la robablté (quelcoque) our qu ue assace at leu le ème jour de l aée (our tout etre 1 et 365) et ar P la lo de robablté assocée. Exresso de P (B ) Pour tout k etre 1 et et tout etre 1 et 365, désgos ar E k, l évéemet :la k- ème ersoe aît le ème jour de so aée de assace. P (E k, ) e déed as de k et vaut.
3 Ω= UU... U( I... E1, E 2,, 1 E où les réuos successves sot dsjotes. 2 = 1 = 1 = B s écrt de la même faço avec la codto sulémetare que les k sot tous dstcts. Les évéemets E sot déedats doc P ( k, k E I 1, 1 E... E ) est le rodut 2,, 2 des P ( E ), c est à dre le rodut des k, k k doc , 12 1, 2,... 1 ( 1 et la robablté de o- coïcdece P (B ) vaut... 2 (les sommes successves état rses à ror de 1 à 365). Ce ombre est écessaremet féreur ou égal à P (B ) calculée das le cas de l équrobablté, c est à dre (365!/(365-)! ). 1/365 Voc ue reuve élémetare de cette affrmato (qu, das le cas = 365 est, au facteur 365! rès, l égalté arthmétco-géométrque qu dt que s o fxe u réel strctemet ostf S et u eter o ul, le rodut de réels ostfs de somme S est S majoré ar ( ), c est à dre qu l est maxmum s ces réels sot tous égaux à S ) : Notatos Sot E l esemble des 365-ulets de réels ostfs dot la somme vaut 1. E est e fat l esemble de toutes les los de robabltés ossbles d ue varable aléatore ouvat redre 365 valeurs. Das E l y a (1/365..1/365), oté e, qu est l équréartto Sot u = ( 1, 2, 365 ) u élémet de E. La somme multle c-dessus est otée N (u). Das la stuato étudée, c est la robablté de o-coïcdece des dates d aversares our ersoes quad o a la dstrbuto u des dates our la oulato cosdérée) Défto : Sot u, = ( 1, 2, 365 ) u élémet de E. Soet et j deux eters fxés dstcts tels que 1/365 et 1/365. Deux tels eters exstet écessaremet. Sot x u réel strctemet ostf vérfat x et j +x 1. O déft la «trasosto» t ((,j), x), arfos otée t, de la faço suvate : c est l alcato d ue arte de E (déedat de et j, c est à dre de u) das E lassat varats 363 ombres et e modfat que et j : est remlacé ar x et j est remlacé ar j +x. Notos que t ((,j), x) «éloge. de l équréartto» les élémets de E sur lesquels elle eut agr. O vot qu l sufft de rouver les deux lemmes : ) Lemme 1 : soet u et v das E et t = t ((,j), x) ue «trasosto». S v = t (u), alors N (v) N (u). (autremet dt : les «trasostos» fot basser la somme N)
4 Lemme 2 : sot v, dfféret de e, das E. Alors o eut asser de e = (1/365..1/365) à v ar u rodut de «trasostos» défes comme c-dessus. PREUVE DU LEMME 1 : O désge le rodut (... ) 1 2 ar A. C est le terme gééral de la somme multle format N (u). O regarde commet ce terme est trasformé quad o asse de u à v ar t. Il y a tros cas à cosdérer : S et j aarasset as das A, A est as modfée. S et j aarasset das A, alors A s écrt ( j C) qu est trasformé e A = ( x)( j +x)c et A -A= C(( x)( j +x)- j ) = C(( - j )x x 2 ) qu est strctemet égatf. O a doc A < A. S seul est das la remère arethèse.(ce qu sut état correct s c est j qu est das ce cas), cette arethèse s écrt sous la forme r = (w ) qu devet r = (w( -x)) Das tous les termes dot N (u ) est la somme, l y a auss s = (w j )qu va dever s = (w( j +x)). Les termes de ce tye sot e ombre ar (e fat, chaque terme fgure! fos das N (u) ) et o eut les regrouer tous deux ar deux : (r+s) devet (r + s ) mas ces ombres sot égaux ( à w( + j ))et la somme N (u) est as modfée avec les termes A de ce tye. PREUVE DU LEMME 2 Sot v = ( 1, 2, 365 ) fxé das T, v dfféret de e. Soet I = { / <1/365} et S = { / >1/365}. Sur les deux desss c-dessous, les extrémtés des segmets vertcaux sot les extrémtés suéreures de «bâtos» rerésetat les ; La drote d équato y = 1/365 est tracée et les tels que I sot lacés à gauche, les tels que S sot lacés à drote. La somme des logueurs des segmets vertcaux lacés à gauche est égale à la somme des logueurs des segmets vertcaux lacés à drote. Premère étae Sot k das I (I est o vde car v e). Sot = k. ( rce o commece ar trasformer 1/365 e, évetuellemet e luseurs étaes das le cas de la fgure 2, c est à dre à l ade de luseurs des ombres r avec r das S s ces ombres r sot tous tro roches de 1/365. O va «équlbrer» le segmet de gauche à l ade d u, ou luseurs (fgure 2), segmet(s) de drote, sas déasser les valeurs r,avec r das S, our être sur que chaque «trasosto» utlsée éloge be le 365-ulet de l équréartto.) O a: 1/365 ( 1/ 365 ) = ( 1/ 365) I S S l exste a das S tel que a 1/365 >1/365 ( vor la fgure 1 où a est otée _a) alors o utlse t ((k, a), 1/365-). Das le cas verse (fgure 2), our tout de S, 1/365 1/365- et l exste ue arte de S otée S et u dce o das S mas o das S tels que :
5 S ' ( 1/ 365) 1/365 ( S ' 1/ 365) + - 1/ ( L exstece de S et de o, qu e sot as uques, est évdete à cause de : 1/365 ( 1/ 365) S et de : our tout de S, 1/365 1/365- (qu rouve que l esemble S est as vde)) Das ce cas, le rodut de comosto (commutatf, ce qu est sas mortace) de toutes les trasostos t ((k, ), -1/365), arcourat S et de t ((k, o ), 1/ ( -1/365)) ermet de trasformer 1/365 e k. S ' O a seulemet «équlbré» 1/365 avec (card S +1) ombres r où les r sot das S. Deuxème étae (s card I déasse 1) O rocède as our chaque dce k de I. I état f, le rodut (commutatf) de toutes les «trasostos» obteues est le rodut cherché. Précsos : A l ssue de la remère étae, o a obteu u élémet de E tel que our certas dces de S, 1/365 a été trasformé e avec. Pour la deuxème étae, cosstat à «équlbrer u évetuel l où l est das I, l k, o rocède comme our la remère étae mas e remlaçat les utlsés à la remère étae ar. O oursut as tat que c est écessare. Les étaes sot au ombre de card (I), chacue d elles doat, das le re des cas, card (S) trasostos. ON A DONC PROUVE QUE C EST DANS LE CAS DE L EQUIPROBABILITE QU IL Y A LE MOINS DE COÏNCIDENCES. Remarques : c est tutvemet «évdet» s o ese à des cas extrêmes du tye «toutes les assaces ot eu leu e deux mos ou be le même mos» et o eut doc le dre aux élèves s ls oset des questos à ce sujet. Ce qu récède ermettrat faclemet de rouver que la robablté de ocoïcdece dmue lorsqu o «s éloge de e» e assat d ue dstrbuto de robabltés u à ue dstrbuto de robabltés v ar u rodut de «trasostos» mas e dt re our u élogemet quelcoque etre u et e qu serat mesuré ar 1/ 365 ar exemle CONCLUSION Ce qu récède motre que ous ouvos cotuer à oser sereemet «l exercce des aversares» e l agrémetat de sodages ; quelle que sot la classe cosdérée, la robablté d au mos ue coïcdece est au mos celle esérée, même s ça emêche as que, quas-fatalemet, u d etre ous, ou u de os successeurs, assera u jour ue heure etère à se rdculser e doat des rédctos toutes fausses, évetuellemet metées de smulatos toutes aberrates! Il y a des mauvas jours, eu ombreux.
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