Mots clefs : modèle à discontinuités fortes, endommagement, analyse probabiliste, oxydation. Abstract : 1 Contexte et problématique

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1 9 ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 4-8 aoṷt 9 Modélisation de scénarii de rupture des couches d oxyde par la méthode à discontinuités fortes - (fissuration des couches d oxyde et décohésion de l interface) L. LI a, D. BRANCHERIE a, J.FAVERGEON a, J.M. ROELANDT a a. Laboratoire Roberval MR653, niversité de Technologie de Compiègne BP Compiègne Cedex, France Résumé : Dans le contexte de la prévision de la tenue des matériaux en environnement agressif multiphysique, nous présentons un modèle numérique permettant de décrire les scénarii de rupture des couches d oxyde. ne modélisation éléments finis avec la méthode à discontinuités fortes et des éléments d interface permet d évaluer la distance interfissures pour la fissuration traversante périodique dans la couche d oxyde et le décollement de la couche du système Ni-NiO sollicité en traction. Abstract : In the context of the prediction of the durability of materials in multiphysic agressive environments, we present a numerical model able to describe the scenarios of oxide layers rupture. In order to evaluate the caracteristic distance of the periodic crack pattern in the oxide layer as well as the delamination of the oxide/metal interface, we use a finite element model combining strong discontinuity approach and interface elements. We consider the Ni-NiO system subjected to tensile test. Mots clefs : modèle à discontinuités fortes, endommagement, analyse probabiliste, oxydation. Contexte et problématique La présence d une couche de surface, qu elle soit naturelle (oxydation à haute température, film passif en corrosion aqueuse), ou déposée (revêtement) permet de séparer un métal de son environnement externe, et donc contribue à le protéger des phénomènes de corrosion. Dès lors que cette couche est endommagée, son rôle protecteur disparaît et la corrosion de l alliage métallique s accélère. Par ailleurs, les phénomènes d endommagement des couches en proche surface sont très fortement liés aux conditions d élaboration et aux sollicitations environnementales, thermiques et mécaniques. Selon les conditions subies par le matériau, différents modes de rupture peuvent apparaître en particulier, l apparition de fissures traversant la couche d oxyde (et éventuellement le métal) suivie de la décohésion de l interface métal/oxyde menant au décollement de la couche d oxyde [] []. (a) Fissuration périodique du système Ni-NiO [] (b) Décollement des couches du système Zr-ZrO FIG. Modes d endommagement ne description fine des phénomènes d endommagement doit prendre en compte les phénomènes générés par la croissance des couches. Les contraintes et déformations induites peuvent être évaluées [] à partir : d une analyse cristallographique permettant de déterminer les réseaux de plus proche coïncidence associés aux déformations d épitaxie

2 9 ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 4-8 aoṷt 9 d une analyse thermodynamique permettant d évaluer la structure des couches d oxyde et d en déduire les déformations d interphases du suivi de l équilibre thermo-mécanique des couches au cours de leur croissance, incluant les déformations d origine cristallographiques et les conditions aux interphases Les contraintes et déformations résiduelles qui dépendent fortement des conditions d élaboration des couches (température, atmosphère, épaisseurs) peuvent aussi générer la fissuration. Dans les travaux présentés, on ne prend pas en compte les contraintes et déformations résiduelles d élaboration des couches, nous focalisant sur les aspects de l initiation et de la propagation des défauts. Nous décrivons dans la suite le modèle numérique bidimensionnel que nous proposons pour décrire un scénario de rupture des couches d oxyde couramment observé consistant en la fissuration périodique traversante des couches d oxyde suivie de leur décollement. Nous présentons ensuite les résulats obtenus en terme de distances interfissures et d influence du comportement de l interface sur la décohésion. Nous concluons sur la pertinence du modèle et sur ses extensions futures qui doit nous permettre à terme de définir pour un système donné, ses conditions d élaboration admissibles pour une utilisation imposée. Modèle numérique Nous nous proposons de modéliser chacun des phénomènes de rupture : fissuration traversante et décohésion par des approches spécifiques basées sur la méthode des éléments finis. Les méthodes EF classiques imposent que les champs de déplacements et de déformations restent continus dans un même élément. Pour notre problème discontinu, les résultats avec les méthodes EF classiques dépendent fortement de la taille des éléments. Pour s affranchir de ce problème et gérer de façon automatique la propagation de zones à fort endommagement, nous utilisons la méthode à discontinuités fortes[3]. La décohésion des couches d oxyde avec le substrat est représentée, quant à elle, par un modèle d interface [4]. La Figure présente le système étudié ainsi que le chargement et les conditions aux limites utilisées. Les chargements appliqués sont supposés unidirectionnels, les hypothèses des déformations planes sont adoptées et appliquées au domaine et les comportements du métal et de l oxyde sont considérés élastiques isotropes endommageables (la rupture des couches d oxyde est en général de type fragile). couche d oxyde fissuration traversante périodique (éléments à discontinuités fortes) h o interface métal/oxyde décohésion de l interface après fissuration de l oxyde (éléments d interface) Substrat métallique h m L FIG. Le modèle numérique du système métal/oxyde en traction On note h o l épaisseur de la couche d oxyde, h m l épaisseur du substrat métallique et L la longueur de l échantillon considéré.. Description de la fissuration traversante par un modèle à discontinuités fortes Le principe des modèles à discontinuités fortes est basé sur l introduction dans les éléments de discontinuités du champ de déplacement auxquelles sont associées des lois traction / saut de déplacement. FIG. 3 Domaine Ω coupé par une surface de discontunuité Γ s en sous-domaines Ω et Ω + Le champ de déplacement s écrit alors : u(x) = ū(x)+[[u] (x)h Γs (x) où ū(x) correspond à la partie continue du champ de déplacement et [u] (x) correspond au saut de déplacement le long de la surface de discontinuité

3 9 ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 4-8 aoṷt 9 Γ s. H Γs (x) est la fonction de Heaviside qui vaut sur Ω + et sur Ω (voir Figure 3). ne loi de comportement, écrite dans le cadre de la thermodynamique des interfaces, est introduite sur la surface de discontinuité. Cette loi permet de relier le saut de déplacement et la traction sur l interface. Nous utilisons ici un modèle d endommagement surfacique à deux surfaces seuil couplées[3] : fonction seuil (direction normale) : φn (t Γs, q) = t Γs.n ( σ f q) σ fonction seuil (direction tangentielle) : φm (t Γs, q) = t Γs.m ( σ s s σ f q) avec σ f la limite d élasticité en traction, σ s la limite d élasticité en cisaillement et t Γs la traction sur la discontinuité. q est la variable associée à l écrouissage.. Modélisation de la décohésion métal/oxyde : élément d interface Afin de décrire la décohésion à l interface métal/oxyde, nous utilisons un élément d interface à 4 noeuds sans épaisseur tel que présenté à la Figure 4 (les noeuds ( et 4) et ( et 3) sont géométriquement confondus). Les fonctions de formes utilisées sont celles d un élément linéaire à noeuds. Le saut de déplacement associé t Γ m σ s E int E int = 5.77e MPa/mm 4 n m 3 [u]] m FIG. 4 Élément d interface σ s FIG. 5 Cisaillement en fonction du saut de déplacement à l interface métal/oxyde à l interface s écrit alors : [u]](x) = N (ξ)(u 4 u ) + N (ξ)(u 3 u ) avec x = N (ξ)x + N (ξ)x () où u i correspond au déplacement du noeud i écrit dans la base locale (n,m). ne loi d endommagement, écrite dans le cadre de la thermodynamique des interfaces, est associée à l interface. Par rapport aux surfaces seuils de la partie., les deux surfaces seuils en traction/compression et en cisaillement sont indépendantes pour l interface métal/oxyde. La Figure 5 schématise la relation cisaillement/glissement à l interface métal/oxyde. ne loi de comportement du même type est adoptée pour la relation traction/ouverture à l interface. 3 Résultats Le modèle numérique permet de décrire les scenarii de rupture des couches d oxyde couramment observés consistant en la fissuration périodique traversante suivie du décollement des couches. Nous présentons tout d abord les résultats obtenus pour un calcul classique basé sur une méthode de dichotomie et cherchons à évaluer l espacement interfissure, puis nous étudions l influence des champs de contraintes en cisaillement en présence d éléments d interface et décrivons le scénario de décollement de la couche d oxyde au niveau de l interface. Enfin nous comparons la distance interfissure obtenue en utilisant le modèle à discontinuités fortes avec et sans éléments d interfaces. 3. Détermination de la longueur interfissure par une méthode de dichotomie Le calcul par dichotomie est réalisé en considérant un système métal/oxyde, ici Ni/NiO, de longueur L présentant une fissure à chacune des extrémités de la couche d oxyde. Les déplacements imposés aux extrémités libres du substrat sont augmentés jusqu à atteindre la valeur de la contrainte à rupture dans la couche d oxyde. ne fissure est alors introduite au milieu de la longueur L dans la couche d oxyde. Le chargement est poursuivi et la procédure précédente d introduction d une fissure au milieu de deux fissures existantes est répétée jusqu à ce que la couche d oxyde soit totalement en compression. Nous pouvons alors déterminer la distance interfissure. La figure 6 schématise l évolution de la distance interfissure en fonction de la déformation imposée. On distingue 3 zones : la zone où la déformation est inférieure à la déformation critique ε c où se crée les fissures la zone où les fissures se multiplient et par conséquent, leur espacement diminue la zone3 où les valeurs des déformations deviennent importantes et où la disdance interfissure se stabilise. 3

4 9 ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 4-8 aoṷt 9 Comme la fissuration dans la couche d oxyde a très peu d influence sur les champs mécaniques au loin dans le substrat, le modèle est considéré comme quasi-symétrique, nous étudions seulement une partie du modèle (voir la Figure 7). d ε c ε c Zone Zone Zone 3 ε fissure couche d oxyde NiO E ox = 53GPa ho=.mm fissure ν ox =.3 E m = 47GPa ν m =.3 hm/=.5mm Substrat métallique Ni L=.5mm FIG. 6 Distance interfissure en fonction de la déformation appliquée FIG. 7 Modèle de dichotomie No. Min Max Prin. Stress s 4.3E+ 4.76E+ No. Min Max Prin. Stress s 5.36E+ 4.95E+ No. Min Max Prin. Stress s.3e+.74e+ 5.64E+ 9.7E+.44E+ 5.3E+ 7.E+ 3.47E+.6E+.4E+.3E+.7E+ 4.E+ 3.9E+ 3.8E+ 5.8E+ 5.7E+ 4.9E+ 7.49E+ 7.48E+ 6.E+ 9.9E+ 9.7E+ 7.9E+ 8.9E+ 9.8E+.9E+3.6E+3.43E+3.E+3.8E+3.46E+3.4E+3.6E+3.64E+3.5E+3.76E+3.8E+3.6E+3.93E+3.E+3 Time =.9E Time = 4.E Time = 5.E (a) Déplacement imposé u =.9e 4 mm ( fissures) (b) Déplacement imposé u = 4e 4 mm (3 fissures) (c) Déplacement imposé u = 5e 4 mm (5 fissures) FIG. 8 Champs de contrainte σ xx et évolution de la contrainte σ xx le long de la ère couche d éléments de l oxyde pour différents déplacements imposés Nous avons obtenu une distance interfissure finale d=.5mm pour une longueur initiale de.mm. La distance interfissure dépend de la longueur initiale du système considéré : elle s écrit toujours sous la forme d = L initial / n. Nous avons fait varier la longueur initiale du problème ce qui a permis de déterminer une distance interfissure d telle que.6mm < d.3mm. 3. Influence des champs de contraintes en cisaillement avec les éléments d interface Nous avons déterminé la distance interfissure dans la partie précédente pour un déplacement imposé suffisament grand (u = 5e 4 mm pour le cas étudié) pour ne plus avoir de nouvelle fissure. Si le chargement est poursuivi, les contraintes de cisaillement à l interface métal/oxyde augmentent sans limitation (voir Figures 9(b) et 9(f)). Mais en réalité, la couche d oxyde décolle quand le cisaillement à l interface atteind une valeur critique σ xyc. Pour modéliser ce phénomène de décohésion, nous avons introduit des éléments d interface à la frontière métal/oxyde. Nous présentons les champs de contraintes de cisaillement et les valeurs de cisaillement à l interface métal/oxyde dans un domaine autour d une fissure traversant la couche d oxyde avec une interface parfaite et avec des éléments d interface endommageable (voir Figure 9). On constate que, au cours du chargement, la présence des éléments d interface permet de limiter les valeurs du cisaillement à l interface métal/oxyde (voir Figure 9(d)). Ceci a pour conséquence une modification du champs de contrainte dans la couche d oxyde et le substrat conduisant à une modification du scénario de rupture (notamment en terme de distance interfissure). À la fin du chargement, le cisaillement est nul à l interface métal/oxyde, l interface est totalement endommagée. On peut alors conclure au décollement de la couche d oxyde (voir Figure 9(h)). 4

5 9 ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 4-8 aoṷt (a) σ xy avec une interface parfaite pour u = e 4 mm (b) Valeurs de σ xy à l interface avec une interface parfaite pour u = e 4 mm (c) σ xy avec les éléments d interface pour u = e 4 mm (d) Valeurs de σ xy dans les éléments d interface pour u = e 4 mm (e) σ xy avec une interface parfaite pour u =.8e mm x x (f) Valeurs de σ xy à l interface avec une interface parfaite pour u =.8e mm (g) σ xy avec les éléments d interface pour u =.8e mm x (h) Valeurs de σ xy dans les éléments d interface pour u =.8e mm FIG. 9 Evolution de sicaillement σ xy avec et sans les éléments d interface 3.3 Calcul avec éléments à discontinuités fortes et éléments d interface Nous cherchons ici à reproduire tout le scénario de rupture : apparition et dévéloppement des fissures traversantes et et décohésion métal/oxyde. Ceci est réalisé en utilisant des éléments à discontinuités fortes pour la description de la fissuration de la couche d oxyde et des éléments d interface endommageable pour la décohésion. 5

6 9 ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 4-8 aoṷt 9 Tous ces phénomènes d endommagement sont très largement influencés par la présence de défauts dont la distribution dans le matériau est aléatoire. Pour rendre compte des aspects probabilistes, nous associons aux éléments constituant la couche d oxyde et aux éléments d interface des contraintes limites à rupture σ f et σ s distribuées de façon aléatoire. Les valeurs des contraintes limites à rupture de la couche d oxyde sont définies de la façon suivante : σ c = σ c + écart type χ avec σ c valeur moyenne de la contrainte limite à rupture et χ une variable aléatoire qui suit une loi Gaussienne de moyenne nulle et d écart type unitaire. La Figure présente le modèle numérique utilisé pour le calcul et la Figure présente les valeurs d ouverture des fissures [u]] n obtenues en fin de chargement avec une interface parfaite et avec une interface constituée d éléments d interface endommageable. x 5 x Les niveaux d endomagement des elements dans la couche d oxyde Les niveaux d endomagement des elements dans la couche d oxyde (a) fissuration traversante et valeurs d ouverture des fissures [u] n avec une interface parfaite (b) fissuration traversante et valeurs d ouverture des fissures [u]] n avec les éléments d interface FIG. Fissuration traversante périodique dans la couche d oxyde et valeurs d ouverture des fissures [u] n Nous avons obtenu pour un écart type de % de σ c, une longueur interfissure moyenne de.4mm avec une interface parfaite. Ceci est en accord avec les résultats obtenus dans la partie précédente. En présence d éléments d interface, la longueur interfissure moyenne est de.59mm. Ceci est normal, car dès que les éléments d interface sont endommagés, l interface commence à se décoller et les contraintes diminuent dans la couche d oxyde. La distance interfissure est donc plus grande que celle avec une interface parfaite (voir Figure ). 4 Conclusion et perspective Nous avons modélisé les phénomènes d endommagement et de rupture observés dans les couches d oxyde tels que la fissuration traversante des couches et la décohésion des interfaces métal/oxyde avec la méthode à discontinuités fortes et des éléments d interface. La longueur interfissure obtenue avec le modèle numérique présenté ici est en accord avec les résultats obtenus par une méthode de dichotomie. La distance interfissure avec une interface endommageable est plus importante que celle avec une interface parfaite. En perspective, comme les phénomènes d endommagement des couches en proche surface dépendent de nombreux facteurs multiphysiques, le modèle sera étendu pour prendre en compte les conditions d élaboration, la croissance des couches d oxyde et les contraintes résiduelles de croissance. Par ailleurs, une confrontation des résultats numériques aux résultats expérimentaux permettra d identifier l ensemble des paramètres des modèles utilisés. Références [] N.Vallino, L.Gaillet, L.Lahoche, J. M. Roelandt, V. L. Lorman, G. Moulin, S. B. Rochal. Experimental study and numerical modelling of the nickel oxide coating on the Ni(). Surface and Coatings Technology, 35, 98-8,. [] J. Favergeon. Anisotropie dans l oxydation du zirconium et de ses alliages Conséquences cinétiques, texturales et mécaniques. Apports expérimentaux et de modélisation. Thèse de Doctorat, université de Bourgogne,. [3] D. Brancherie. Modèles continus et discrets pour les problèmes de localisation et de rupture fragile et/ou ductile Thèse de Doctorat, LMT-Cachan, n 3/7, 3. [4] G. Alfano, M. A. Crisfield. Finite element interface models for the delamination analysis of laminated composites : mechanical and computational issues International Journal for Numerical Methods in Engineering, 5, 7-736,. 6