3. Vérifier que l'expression: q = Q M cos. est solution de l'équation différentielle, si la période propre. T 0 a pour expression T 0 = 2π L.C.

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1 Sujet 1 (R,L,C) Dans cette partie, on étudie une application des oscillations électriques dans le domaine de la météorologie. Pour mesurer le taux d'humidité relative de l'air (noté % d'hr), on peut employer un capteur appelé "humidistance" dont le principe simplifié utilise un condensateur de capacité variant avec l'humidité. Pour mesurer la valeur de la capacité du condensateur, on peut le placer dans le circuit ci-dessous dans lequel la bobine d'inductance L a une résistance négligeable. L'interrupteur est d'abord placé en position 1 pour charger le condensateur, puis basculé en position 2 pour le décharger. Un système informatisé d'acquisition de données permet de relever la tension aux bornes du condensateur au cours de la décharge. 1. Suivant la valeur de la résistance R non nulle, l'évolution du système (R, L, C) se fait suivant deux régimes différents. Tracer l'allure de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps pour ces deux régimes que l'on nommera. 2. On suppose maintenant que la résistance R est nulle ; reproduire la partie du circuit correspondant à la décharge. Établir l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de la charge q du condensateur. 2π t 3. Vérifier que l'expression: q = Q M cos + Φ0 est solution de l'équation différentielle, si la période propre T 0 T 0 a pour expression T 0 = 2π L.C. 4. Le condensateur du capteur d'humidité est introduit dans le circuit précédent. Dans les conditions atmosphériques de l'expérience, la période mesurée vaut T = 31,4 µs. Sachant que l'inductance de la bobine est L = 200 mh, calculer la capacité du condensateur. 5. On lit sur la notice de l'appareil: Caractéristiques du capteur d'humidité: gamme de mesures : 10 à 100 % d'hr. sensibilité: 0,4 pf par % d'hr. capacité à 25 C et à 43% d'hr : 122 pf. température d'utilisation : 0 à 85 C. a) L'expression de la capacité C du capteur est une fonction affine croissante du taux d'hr noté h (exprimé en % d'hr). On peut donc écrire C = a h + b. En vous aidant des caractéristiques du capteur, déterminer les valeurs des constantes a et b positives. b) Dans les conditions expérimentales de la question 4., déterminer le % d'hr de l'atmosphère.

2 Sujet 2 R,L,C Au cours d'une séance de travaux pratiques, un élève réalise le circuit schématisé ci-dessous (figure 1). Ce circuit est constitué des éléments suivants : - un générateur délivrant une tension continue constante de valeur E = 4,0 V ; - une résistance R réglable ; - un condensateur de capacité C = 2,0 µf ; - une bobine d'inductance L et de résistance r. Un commutateur (K) permet de relier le dipôle (RC) soit au générateur, soit à la bobine. L'entrée Y 1 d'une interface, reliée à un ordinateur, est connectée à la borne A ; l'autre entrée Y 2 est connectée à la borne D. La masse de l'interface est connectée à la borne B. Les entrées Y 1, Y 2 et la masse de l'interface sont équivalentes respectivement aux entrées Y 1, Y 2 et à la masse d'un oscilloscope. Figure 1 1. Étude énergétique du condensateur Au cours de cette question, on étudie la charge du condensateur. À l'instant de date t = 0 s, le condensateur est déchargé et on bascule le commutateur en position Tensions Représenter, sur la figure 1 EN ANNEXE À RENDRE AGRAFÉE À LA COPIE, par des flèches : - la tension u DB (t) aux bornes de la résistance ; - la tension u AB (t) aux bornes du condensateur Charge du condensateur Donner, en le justifiant, le signe de la charge q portée par l'armature A du condensateur au cours de sa charge et la relation existant entre la charge q et la tension u AB En tenant compte de l'orientation du circuit, donner la relation vérifiée à chaque instant par l'intensité i(t) du courant et la charge q(t) A partir des expressions des tensions aux bornes des trois dipôles, établir l'équation différentielle vérifiée par u AB (t) Vérifier que l'expression suivante de u AB (t) est solution de cette équation différentielle : t u AB (t) = E. 1 e R.C 1.3. Énergie électrique E e emmagasinée par le condensateur Donner en fonction de u AB (t) l'expression littérale de l'énergie électrique E e emmagasinée par le condensateur En déduire l'expression littérale E e,max de sa valeur maximale et calculer sa valeur.

3 2. Étude énergétique du circuit RLC 2.1. Une fois le condensateur chargé, l'élève bascule rapidement le commutateur (K) de la position 1 à la position 2 : il prend l'instant du basculement comme nouvelle origine des dates. Le condensateur se décharge alors dans la bobine. L'acquisition informatisée des tensions permet de visualiser l'évolution des tensions u AB (t) et u DB (t) en fonction du temps. Après transfert des données vers un tableur-grapheur, l'élève souhaite étudier l'évolution des différentes énergies au cours du temps Exprimer littéralement, en fonction de i(t), l'énergie magnétique E m emmagasinée dans la bobine À partir de l'une des tensions enregistrées u AB (t) et u DB (t), donner l'expression de l'intensité instantanée i(t) En déduire l'expression de l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine en fonction de l'une des tensions enregistrées En déduire l'expression de l'énergie totale E T du circuit en fonction des tensions u AB (t) et u DB (t). 2.2 À partir du tableur-grapheur, l'élève obtient le graphe ci-dessous (figure 2) qui montre l'évolution, en fonction du temps, des trois énergies : E e énergie électrique, E m, énergie magnétique et E T énergie totale. Figure 2 Identifier chaque courbe en justifiant. Quel phénomène explique la décroissance de la courbe 1? 3. Entretien des oscillations Pour entretenir les oscillations, on ajoute en série dans le circuit précédent un dispositif assurant cette fonction. On refait alors une acquisition informatisée Tracer sur la figure 3 EN ANNEXE À RENDRE AGRAFÉE À LA COPIE, les deux courbes manquantes. Préciser ce que chacune des trois courbes représente Pourquoi un tel régime est-il qualifié d'entretenu?

4 1. Étude énergétique du condensateur Figure 1 3. Entretien des oscillations Figure 3

5 Sujet 3 R,L,C 1. Dipôles «résistance et condensateur en série» Pour étudier ce dipôle, on réalise le circuit représenté sur la figure 1. Ce circuit est constitué d un générateur idéal de tension continue de force électromotrice E, d un interrupteur K, d un conducteur ohmique de résistance R et d un condensateur de capacité C. Données : E = 4,0 V ; C = 1,0 µf A u R D K B R E C u C M i Figure On utilise une interface d acquisition reliée à un ordinateur pour observer les tensions u C et E en fonction du temps À quels points A, B, D ou M du circuit doit-on relier les voies 1 et 2 et la masse de l interface pour visualiser u C sur la voie 1 et E sur la voie 2? À t = 0, on déclenche l acquisition en fermant l interrupteur K. Les courbes u C = f(t) et E = f(t) sont données en annexe, document 1 à rendre avec la copie. Qualifier les deux régimes de fonctionnement du circuit en choisissant parmi les adjectifs suivants : périodique, permanent, pseudo-périodique, transitoire. Préciser les dates limitant chacun de ces régimes Quel phénomène physique se produit pendant le premier régime? 1.2. La constante de temps τ est une caractéristique de ce premier régime Déterminer graphiquement la valeur de τ en expliquant la méthode employée Donner l expression littérale de τ en fonction des caractéristiques des éléments du circuit. En déduire la valeur de la résistance R En appliquant la loi d additivité des tensions, donner la relation littérale liant E, u R et u C. Exprimer u R en fonction de i et en déduire une expression littérale de l intensité du courant i en fonction de E, u C et R. À l aide du document 1 de l annexe, calculer i pour t 1 = 0 ms et t 2 = 9 ms Sans considération d échelle, représenter sur la copie l allure de la courbe i = f(t). 2. Dipôle «résistance et bobine en série» Le circuit étudié, représenté sur la figure 2, est constitué d un générateur idéal de tension continue de force électromotrice E, d un interrupteur K, d une bobine de résistance r et d inductance L et d un conducteur ohmique de résistance R. K L, r E R u i Figure 2 Données : E = 4,0 V ; L = 11 mh ; R = 10 Ω ;

6 2.1. À partir de la fermeture de l interrupteur K, on observe la tension u R à l aide d uneinterface d acquisition reliée à un ordinateur. Quel est l intérêt de faire le relevé de cette tension u R? 2.2. Le tableur du logiciel d acquisition nous permet de calculer les valeurs de i et de tracer la courbe i = f(t) donnée en annexe, document 2 à rendre avec la copie. Quel est le phénomène physique mis en évidence dans ce cas? Quel élément du circuit est la cause de ce phénomène? 2.3. En appliquant la loi d additivité des tensions, déterminer l équation différentielle vérifiée par l intensité i du courant dans le circuit en fonction du temps Lorsqu on est en régime permanent, i vaut alors I P. Que devient l équation différentielle? 2.5. En déduire l expression littérale de la résistance r de la bobine puis déterminer sa valeur en utilisant le document 2 de l annexe. 3. Dipôle «bobine et condensateur en série» Le circuit étudié, représenté sur la figure 3, est constitué d un générateur idéal de tension continue de force électromotrice E, d un interrupteur K à deux positions, d un condensateur de capacité C et d une bobine de résistance r et d inductance L. 1 K 2 E C i q u L, r Figure Quel est le phénomène physique se produisant lorsque l interrupteur est placé en position 1? Est-il lent ou instantané? Justifier On bascule alors l interrupteur en position 2 et, à partir de cet instant choisi comme origine des dates, on relève la tension u C en fonction du temps à l aide d une interface d acquisition reliée à un ordinateur. On obtient le graphique ci-dessous. En puisant dans le vocabulaire suivant, décrire le phénomène physique qui se produit dans le circuit : apériodique, annulation, électrique, forcée, mécanique, libre, non amortie, installation, amortie, oscillation On souhaite suivre l évolution énergétique du circuit rlc en fonction du temps. Pour cela il faut calculer, à l aide d un tableur, l énergie électrique E e accumulée dans le condensateur et l énergie magnétique E m accumulée dans la bobine Donner les expressions littérales de E e et E m En respectant les conventions du schéma, exprimer i en fonction de la dérivée de u C par rapport au temps.

7 3.4. Les courbes E e (t) et E m (t) sont données ci-dessous En justifiant chaque réponse, attribuer les grandeurs E e ou E m, aux courbes a et b En utilisant ces courbes, donner les valeurs des deux énergies E e et E m, aux instants de dates t 1 = 0,5 ms et t 2 = 2,0 ms. Comparer les variations simultanées des énergies emmagasinées par le condensateur et la bobine entre ces deux dates Comment évolue l énergie totale du circuit entre les instants de dates t 1 et t 2? À quoi cette évolution est-elle due?

8 ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE Document 1 Document 2

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