Exercices sur la valeur moyenne, la valeur efficace et la puissance

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1 Exercces sur la valeur moyenne, la valeur cace e la pussance Ce documen es une complaon des exercces posés en devors survellés d élecrcé au déparemen Géne Elecrque e Informaque Indusrelle de l IU de Nanes. Ces devors se son déroulés généralemen sans documens, sans calculee e sans éléphone porable Les devors d une durée de 8 mn son noés sur pons. Donc chaque pon proposé au barème correspond approxmavemen à une acvé de 4 mn. Ces exercces corresponden aux chapres 9 e 1 de la ressource Baselecpro sur le se IUenlgne. Un corrgé avec barème de correcon es rems aux éudans en sore du devor (C es souven le seul momen où ls von réfléchr à ce qu ls on su (ou pas su) fare dans ce devor) Personnellemen, je me refuse à manpuler le barème d un devor lors de la correcon dans le bu d obenr une moyenne présenable. (n rop n rop peu ) La moyenne d un devor do refléer l adéquaon enre les objecfs de l ensegnan e les résulas des éudans. Les documens proposés c son délvrés dans un forma qu perme ou assemblage/désassemblage ou modfcaon à la convenance de l ulsaeur. Les dessns e les équaons on éé réalsés avec Word97. Nos éudans dsposen d une masse consdérable d nformaons sur nerne. Les ensegnans son manenan souceux de leur apprendre à ulser nellgemmen ce mmense champ de connassance. Ils leur apprennen noammen à cer les sources Ressource proposée sur le se Inerne IUenlgne Copyrgh : dros e oblgaons des ulsaeurs L aueur ne renonce pas à sa qualé d'aueur e aux dros moraux qu s'y rapporen du fa de la publcaon de son documen. Les ulsaeurs son auorsés à fare un usage non commercal, personnel ou collecf, de ce documen noammen dans les acvés d'ensegnemen, de formaon ou de losrs. oue ou pare de cee ressource ne do pas fare l'obje d'une vene - en ou éa de cause, une cope ne peu pas êre facurée à un monan supéreur à celu de son suppor. Pour ou exra de ce documen, l'ulsaeur do manenr de façon lsble le nom de l aueur Mchel Pou e la référence au se Inerne IU en lgne. La dffuson de oue ou pare de cee ressource sur un se Inerne aure que le se IU en lgne es nerde Une verson de Baselecpro es dsponble sous forme d un lvre aux édons Ellpses dans la collecon echnosup sous le re ÉLECRICIÉ GÉNÉRALE Les los de l élecrcé Mchel PIOU - Agrégé de géne élecrque IU de Nanes France

2 able des maères 1 Quesons de cours... 1 Déermnaon d une valeur moyenne (esmaon + calcul par une négrale)... 4 Valeur moyenne e cace (Esmaon, calcul d are, négrale) (6 ps) Pussance dans dfférens ypes de dpôles Valeur moyenne d un sgnal rapézoïdal (1 p) Valeur moyenne graphquemen avec des carreaux ( ps) Valeur moyenne e valeur cace d un sgnal recangulare 1 (4 ps) Valeur moyenne e valeur cace d un sgnal recangulare (4 ps) Calcul de pussance en régme alernaf snusoïdal 1 (4 ps) Calcul de pussance en régme alernaf snusoïdal Calcul de pussance en régme alernaf snusoïdal (7 ps) Harmonques e pussance acve Pussance dans un onduleur monophasé. (,5 ps) Pussance nsananée (graphe) e pussance acve (calcul) (4,5 ps) Pussance e val. cace dans une phase d un redresseur rphasé (5 ps) Pussances e valeurs caces dans un flre d onduleur (4ps) Pussances e valeurs caces dans un flre d onduleur Varane ( ps) Valeur moyenne e valeur cace dan un redresseur à hyrsors ( ps) Valeur moyenne, valeur cace e pussance dans un onduleur (5 ps)... 7 Hacheur almenan une machne à couran connu en régme pérodque. (Problème de synhèse) Sgnaux dans une almenaon à découpage (7 ps)... Peres joule dans un moeur en fonconnemen cyclque. (5 ps)... 5 Convenons d écrure : Pour la valeur moyenne d une foncon pérodque f ( ), on adopera les écrures < F > ou Fmoy Pour la valeur cace d une foncon pérodque f ( ), on adopera l écrure F

3 - 1-1 Quesons de cours Défnr la pussance apparene dans un dpôle. Réponse : S U. I Défnr le faceur de pussance d une lgne monophasée ou d un dpôle (cas général). Réponse : k P S < u( ).( ) > U. I Assocaon de dpôles. A v1 v v B So le monage c-conre assocan en sére deux dpôles quelconques, avec v1( ), v ( ) e ( ) de même pérode. Répondre par ou ou par non: (réponse juse:+,5p, réponse fausse:-,5p): Es-ce que, dans ous les cas, V > < V 1 > + < V >? < Es-ce que, dans ous les cas, V V 1 + V? Es-ce que, dans ous les cas, < v( ).( ) > < v1 ( ).( ) > + < v( ).( ) >? Réponses : Ou, la valeur moyenne d une somme es la somme des valeurs moyennes Non la valeur cace d une somme n es pas la somme des valeurs caces (sauf cas parculer) Ou la pussance acve d une somme es la somme des pussances acves (se démonre avec la lo de conservaon de l énerge) Que d le héorème de Bouchero lorsque les ensons e les courans son alernafs snusoïdaux de même fréquence? Réponses : La pussance acve d une somme de dpôles es la somme (algébrque) des pussances acves de chaque dpôle. La pussance réacve d une somme de dpôles es la somme (algébrque) des pussances réacves de chaque dpôle. So un dpôle parcouru par un couran pérodque () de pérode e soums à une enson u() de même pérode. u Les quesons suvanes son ndépendanes. Aucune démonsraon n es demandée. Pour les quesons d) à k), donner l expresson parculère à chaque cas. a) Exprmer la pussance nsananée dans ce dpôle. b) Exprmer l énerge consommée par ce dpôle sur un nervalle de emps [o,1] c) Exprmer la pussance acve dans ce dpôle dans le cas général. d) Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s u() Uo consane.

4 e) Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s () Io consane. - - f) Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s () I.cos(ω) e u() U.cos(ω + ϕ). g) Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s celu-c es une réssance de valeur R. h) Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s celu-c es un condensaeur de capacé C. ) Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s celu-c es une nducance de valeur L. j) Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s celu-c es un dpôle lnéare d mpédance Z Z. e j.ϕ parcouru par un couran ( ) I..cos(. ) ω. k) Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s celu-c es un dpôle lnéare d mpédance Z Z. e j.ϕ soums à une enson u( ) U..cos( ) ω.. l) répondre par ou ou par non La pussance acve dans ce dpôle es-elle, dans ous les cas, égale à < v ( ).( ) >? La pussance acve dans ce dpôle es-elle, dans ous les cas, égale à [ < ( ) >. < ( ) > ] Réponses : o Exprmer la pussance nsananée dans ce dpôle. p( ) u( ). ( ) v? o Exprmer l énerge consommée par ce dpôle sur un nervalle de emps [o,1] are sous la courbe p() sur l nervalle W [ o,1] are sous la courbe p() sur l nervalle [ o,1] ou W [ ] 1 o,1 p( ). d ou W o [ ] 1 o,1 v( ).( ). d o o Exprmer la pussance acve dans ce dpôle dans le cas général. o+ o+ 1 1 P p( ) moy ou < p( ) ou P p ( ). dou P u ( ). ( ). d ( ) > o o o Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s u() Uo consane. P Uo. < I > o Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s () Io consane. P Io. < U > o Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s () I.cos(ω) e u() U.cos(ω + ϕ). I. U P I. U.cos( ϕ).cos( ϕ) o Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s celu-c es une réssance de valeur R. U P R. I U. I R o Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s celu-c es un condensaeur de capacé C. P

5 - - o Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s celu-c es une nducance de valeur L. P o Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s celu-c es un dpôle lnéare d mpédance Z parcouru par un couran ( ) I..cos(. ) U ω. Z. I P I. U.cos( ϕ) Z. I.cos( ϕ) o Exprmer la pussance acve dans ce dpôle s celu-c es un dpôle lnéare d mpédance Z soums à une enson u( ) U..cos( ) U ω.. U Z. I P I. U.cos( ϕ).cos( ϕ) Z o répondre par ou ou par non La pussance acve dans ce dpôle es-elle, dans ous les cas, égale à < v ( ).( ) >? OUI, c es la défnon de la pussance acve (ou pussance moyenne) La pussance acve dans ce dpôle es-elle, dans ous les cas, égale à [ < v ( ) >. < ( ) > ]? NON car la valeur moyenne d un produ n es pas le produ des valeurs moyennes Z. e j.ϕ Z. e j.ϕ So un sgnal () pérodque de pérode. Défnr sa valeur cace en radusan «R.M.S» par une phrase. Pus défnr sa valeur cace au moyen d une négrale. Commen se sue la valeur cace d un sgnal par rappor à sa valeur moyenne e sa valeur? Assocaon de dpôles. Réponses : RMS Roo Mean Square (Racne-Moyenne-Carré): Racne carrée de la valeur Moyenne du sgnal au carré. o ) o Valeur cace d une foncon pérodque f ( ) de pérode : + F f ( ) d < f ( > < F > F F

6 Déermnaon d une valeur moyenne (esmaon + calcul par une négrale) Verson 1 (ps): I So le couran pérodque () c-conre (en ra gras). Esmer sa valeur moyenne < I > en hachuran les ares convenables. Exprmer cee esmaon de < I > en foncon de. I - /6 +/6 5/6 Sachan que ( ) es consué de morceaux de snusoïde (vor la courbe en ponllé) Exprmer < I > sous forme d une négrale, pus résoudre celle-c pour obenr la valeur moyenne en foncon de I. Verson (,5 ps): I So le couran pérodque () c-conre (en ra gras). a) Esmer sa valeur moyenne < I > en hachuran les ares convenables. Exprmer cee esmaon de < I > en foncon de. I - /6 +/6 5/6 b) Calcul de < I >. S on chos une échelle en seconde, la courbe en ponllé es le graphe d une foncon I. cos.. S on chos une échelle en radan, la courbe en ponllé es le graphe d une foncon I. cos( ). S vous chosssez, compléer l échelle graduée en ( ) I. cos. radan c-conre de façon que ( ) Après avor repéré la pérode e les bornes d négraon, exprmer < I > sous forme d une négrale, pus résoudre celle-c pour obenr la valeur moyenne en foncon de.( 1 ) I ( 1 ) Le DS se déroulan sans calculee, on pourra lasser dans la réponse des valeurs elles que ou ou

7 Corrgé : I On peu fare une esmaon : Le résula es comprs dans la fourchee : I I < < I > < 4 - /6 +/6 5/6 I Avec une graduaon en emps : < I > I.cos.. d 6 - /6 +/6 5/6 Graduaon en rad - / +/ 5/ ou: Avec une graduaon en radan : + 1 I < I > I.cos.d I. < I >,76 I ( )..sn

8 - 6 - Valeur moyenne e cace (Esmaon, calcul d are, négrale) (6 ps) mn 1 Représener sur le graphe c-conre la valeur moyenne de 1( ) e hachurer les surfaces approprées en guse de jusfcaon. Exprmer cee valeur moyenne (sans calcul). a. Calculer la valeur moyenne de ( ) (sans ulser d négrale). mn a. So une foncon () pérodque de pérode, elle que ( ) I.cos. sur l nervalle, e ( ) nulle sur l nervalle + 6, Représener c-conre, le graphe de (). Calculer la valeur moyenne de (). I MP - /6 +/6 5/6 Calculer la valeur cace de la foncon () précédene. ( ) ( ) On rappelle que [ cos( )] (. ) 1 + cos

9 Corrgé : mn 1 Par la premère méhode («are au-dessus» «are au-dessous») : + mn,5 p I1 moy a. Pour que les deux rangles soen égaux, la valeur moyenne do êre à égale dsance de mn e. Il n es donc pas nécessare de fare le mondre calcul! Par la seconde méhode («are sous la courbe sur un nervalle d une pérode») : mn a. I 1 p + mn.a. I + mn.a moy Un rasonnemen sur l are d un rapèze ou sur l are du recangle hachuré suff. Par la rosème méhode (calcul de l are sous la courbe sur un nervalle d une pérode au moyen d une négral) :,5 p - /6 +/6 5/6 Avec une graduaon en emps : I I moy.cos.. d 6 1 p Graduaon en rad - / +/ 5/ ou: Avec une graduaon en radan : + 1 I I moy I ( ) d.cos...sn I moy I. 1 p

10 - 8-4 Pussance dans dfférens ypes de dpôles Verson 4 Les ros dpôles suvans son raversés par un même couran ( ) 1.sn( ω. ). Calculer la pussance acve dsspée dans chacun. R 1 Ω E connu V + - E connu V R 1 Ω + - Lω Ω dpôle 1 dpôle dpôle Verson 14 Les ros dpôles suvans son raversés par même couran pérodque ( ). R 1 Ω E connu V + - E connu V R 1 Ω + - L mη En ulsan les propréés vues en cours, déermner l expresson lérale de la pussance acve dsspée dans chaque dpôle en foncon de sa naure e de < ( ) >, I, I ou I. Sachan que ( ) 1.sn( 1. ), calculer la valeur numérque de la pussance acve consommée par chaque dpôle. Dpôle R Dpôle E Dpôle E R - L Expresson lérale de la pussance acve Expresson numérque de la pussance acve mn Corrgé : 1 PR R.I 1. 5 W ; PE E.I moy. W ; PERL PR + PE + PL W

11 5 Valeur moyenne d un sgnal rapézoïdal (1 p) Calculer la valeur moyenne du sgnal pérodque cconre Corrgé : I moy..1 4 A Varane (1 p) 14 1 Calculer la valeur moyenne du sgnal pérodque cconre. Seulemen le calcul ; pas de commenare. 1 4 Corrgé : I moy..1 4 A 1 1 4

12 - 1-6 Valeur moyenne graphquemen avec des carreaux ( ps) 6 A Déermner la valeur moyenne du couran pérodque () c-conre (sachan que celu-c es consué de segmens de droe). ( ms) Réponse : 6 A On peu fare une esmaon : Le résula es comprs dans la fourchee : 15 A < Imoy < 19 A ( ms) Il y a exacemen de carreaux sous la courbe sur un nervalle d une pérode. Chaque carreau vau A.ms. Donc : I moy 16, 67 A Valeur moyenne e valeur cace d un sgnal recangulare 1 (4 ps) Io a) Rappeler la défnon de la valeur cace d un sgnal pérodque (pas nécessaremen alernaf snusoïdal). b) Exprmer la valeur moyenne e la valeur cace du couran pérodque () c-conre en foncon de Io. Jusfer en quelques mos. -Io Corrgé a) Valeur cace Racne carré de la valeur moyenne de la foncon au I ( ) (1p) carré (RMS): ( ) moy c) Ce couran es applqué à une source de enson connue de valeur «E». Exprmer la pussance acve P échangée dans cee source en foncon de Io e E. E E connu + - b) I I moy are sous la courbe sur un nervalled' une pérode ( Io ) Io moy (1p) Pérode Io.1 +.Io Io I moy (1p) c) P Io E. Imoy E. (1p) E

13 Valeur moyenne e valeur cace d un sgnal recangulare (4 ps) A - 1 Corrgé : a) Rappeler la défnon de la valeur cace d un sgnal pérodque (pas nécessaremen alernaf snusoïdal). b) Calculer la valeur moyenne e la valeur cace du couran pérodque () c-conre. ( ) c) Ce couran es le couran dans une source de enson connue «E» de valeur 1 V. Exprmer la pussance acve P E échangée dans cee source. E connu + - a) Valeur cace Racne carré de la valeur moyenne de la foncon au carré (RMS): (1p) I ( ( ) ) moy b) I moy are sous la courbe sur un nervalled' une pérode Pérode I moy 1 A (1p) (on peu l obenr graphquemen) valeur moyenne de la foncon ( ) : ( ) 1, 7 A I moy (1p) c) PE E. Imoy W (1p) ( ) On rappelle que 1, 414 e 1, 7

14 - 1-9 Calcul de pussance en régme alernaf snusoïdal 1 (4 ps) Un dpôle es parcouru par le couran 5 pérodque ( ) d amplude A e 4 soums à la enson pérodque u( ) u d amplude 4 V, représenés c-conre. a) Précser la valeur numérque de u 1 I, U e du déphasage de u( ) par rappor à ( ) ( 4 ) b) En vous référan aux relaons du cours sur les pussances en régme alernaf snusoïdal, déermner la valeur numérque de la pussance acve, la pussance réacve e la pussance apparene consommée par ce dpôle. Corrgé : I I A,5p U 4 ; U V ; ϕ rad 6 I U 4 P I U..cos 6 ( ) ϕ.. cos( ϕ).. cos 6.. W,5p,5p,5p,5p I ( ) U 4 Q I U..sn ϕ.. sn( ϕ).. sn VAR (aenon au sgne -) 6 S I U 4 I U... 6 VA ou S P + Q ( ) + ( ) 6 VA,5p ( 4 ) Le devor se déroulan sans calculee, les résulas numérques pourron conenr des expressons elles que ou. Rappel : cos ; cos ; cos ; sn ; sn 6 4 ; sn

15 - 1-1 Calcul de pussance en régme alernaf snusoïdal a) Un dpôle es parcouru par le 5 W couran pérodque ( ) u d amplude A e soums à la enson pérodque u( ) d amplude V, représenés c-conre. 1 u 1 W Sur le même graphe, avec W l échelle de droe, représener l allure de la foncon pussance nsananée p ( ) u( ). ( ) dans ce dpôle e esmer graphquemen la pussance acve (ou moyenne). Consel : Repérer les pons où ou + 1 ou 1 e ceux où u ou + 1 ou 1. (On rappelle que + * + +, + *, * + e * + ) b) En vous référan aux relaons du cours sur les pussances en régme alernaf snusoïdal, déermner la pussance acve, la pussance réacve e la pussance apparene consommée par ce dpôle. Précser son faceur de pussance. Corrgé : 1 p u u 5 W 1 W W P I U..cos ( ϕ) I U P.. cos P.. cos P 15 W Q I U..sn ( ϕ) I U Q.. sn Q.. sn Q 6 VAR ( ϕ) ( ϕ) I U S I U... VA ou S P + Q VA Faceur de pussance cos ( ϕ ) cos, 5

16 Calcul de pussance en régme alernaf snusoïdal (7 ps) u a) Un dpôle es parcouru par le couran pérodque ( ) e soums à la enson pérodque u ( ) représenés c-conre. u Sur le même graphe e avec la même échelle, représener l allure de la foncon pussance nsananée p ( ) u( ). ( ) dans ce dpôle e esmer graphquemen la pussance acve (ou moyenne). (On rappelle que + * + +, + *, * + e * + ) Consel : Repérer les pons où ou + 1 ou 1 e ceux où u ou + 1 ou 1. Généralsaon : b) Soen ( ) I. cos( + α ) e ( ) U. cos( + β ) u avec I, U, α e β consans Exprmer la pussance acve dans le dpôle sous forme d une négrale comporan le erme p ( ). c) Sachan que : cos( a). cos( b) cos ( a + b) + cos( a b) l négrale d une somme es la somme des négrales l négrale d une foncon alernave snusoïdale sur un nombre ener de pérodes es nulle, Résoudre l négrale précédene afn d exprmer la pussance acve en foncon de U, I e de ( α β ) d) En vous référan aux relaons du cours sur les pussances en régme alernaf snusoïdal, déermner la pussance acve, la pussance réacve e la pussance apparene consommée par ce dpôle. Précser son faceur de pussance.

17 Corrgé : p 1,5 p 1 p a) u P b) P ( ( ). u( )) ( p( )) moy moy Il exse pluseurs façons d exprmer cee valeur moyenne. Par exemple : P 1 1. p. ( ).d ( ). u( ).d 1 p 1 +. d c) P. I.cos( + α ). U.cos( β ) P P I. U cos. ( + α + β ) + cos( α β ). d I. U I.. ( α β ) ( α β ) cos cos. U d d cos( α β ).. 1,5 p. cos ( α β ) I U P. ) On rerouve :. cos( α β ) I U.. cos(ϕ,. ϕ 1 Q I U..sn ϕ.. cos 1,5,5 d) P I U..cos( ).. cos. cos( 1,5) 1,61W ( ) ( ) VAR,5 p,5 p S I U.. VA ou S P + Q VA Faceur de pussance k cos( cos( 1,5) ), 56 ϕ,5 p,5 p

18 Harmonques e pussance acve u b) Un dpôle es parcouru par le couran pérodque ( ) e soums à la enson pérodque u ( ) représenés c-conre. Sur le même graphe e avec la même échelle, représener l allure de la foncon pussance nsananée dans ce dpôle e esmer graphquemen la pussance acve (ou moyenne). Repérer les pons où ou + 1 ou 1 e les pons où u ou + 1 ou 1. (On rappelle que + * + +, + *, * + e * + ) Généralsaon : u avec I, U, α e β consans Exprmer la pussance acve dans le dpôle sous forme d une négrale comporan le erme p ( ). Soen ( ) I.cos( + α ) e ( ) U. cos( + β ) Sachan que : cos( a). cos( b) cos ( a + b) + cos( a b) l négrale d une somme es la somme des négrales l négrale d une foncon alernave snusoïdale sur un nombre ener de pérodes es nulle, Résoudre l négrale précédene afn d exprmer la pussance acve dans ce dpôle (le résula peu surprendre)

19 Corrgé : p 1,5 p u b) Graphquemen : P 1 p P ( ( ). u( )) moy 1 P d : Il exse pluseurs façons d exprmer cee valeur moyenne. Par exemple. ( ). u( ). 1 P. I.cos( + α ). U.cos( + β ). d 1 p P I. U cos. ( 4 + α + β ) + cos( + α β ). d I. U P. cos ( 4 + α + β ). d + cos( + α β ). d 1,5 p

20 1 Pussance dans un onduleur monophasé. (,5 ps) v s s Î s +E -E v s s / Le dpôle c-conre es almené par la enson v s ( ). Il es raversé par un couran s ( ). a) Représener le graphe de la pussance nsananée ps ( ) reçue par ce dpôle. En dédure la pussance acve Ps qu l reço en foncon de E e Iˆ s. b) Calculer le faceur de pussance de ce dpôle. Corrgé : Î s E.Î s +E -E p ( ) a) La pussance acve (ou pussance moyenne) es la valeur moyenne de la pussance nsananée : 1 E.Î P ( ) s [ ( )] E.Î s.sn.d cos E.Î s.e. P cos + cos Î s [ ( ) ( )] b) La défnon du faceur de pussance es P k V.I s s.e.î s Î E. s.,9 k P S

21 Pussance nsananée (graphe) e pussance acve (calcul) (4,5 ps) + E u En régme pérodque, un dpôle es le u sège de la enson u e du couran c-conre : - E I *Représener le graphe de la pussance nsananée p( ). En dédure une esmaon graphque de la pussance acve «P» dans ce dpôle. *Exprmer ( ). E.I p *Exprmer p ( ) sur l nervalle [ ; ] *A parr d une négrale, exprmer la pussance acve «P» en foncon de E e de I.

22 Corrgé : Graphe de p( ) (1p). E.I En hachuran les ares, on peu esmer l ordre de grandeur de la pussance moyenne à. (1p) Mas pour avor une valeur exace, nous devons recourr à un calcul négral. + E E I E.I p u E.I P - - La pussance nsananée éan consuée de morceaux de snusoïdes, l es judceux de graduer l axe des abscsses en, en chosssan la valeur pour la pérode de la foncon alernave snusoïdale de base (c en ponllé). ( ) I.sn + (,5 p) ; : Sur l nervalle [ ] p ( ).I.sn + E (,5 p) 1 P E.I.sn d + (1 p) E.I E.I 4 P cos +. cos + cos E.I E.I,14 (1 p)

23 Pussance e val. cace dans une phase d un redresseur rphasé (5 ps) So le dpôle:. v () e v() son pérodques e son représenés c-dessous. v V / I o p Compléer c-dessus le graphe de la pussance nsananée. En foncon de V e de I o, déermner la pussance acve P consommée par ce dpôle, la valeur cace de v() e la valeur cace de () Corrgé : V.Io Pussance nsananée : p ( ) v( ).( ) Avec la graduaon en radan c-dessus: + 1 V.Io ( ) [ ( ) ] + V.Io V.Io P V.Io.cos.d. sn. sn sn. + V.Io. P

24 v ( ) es une foncon alernave snusoïdale, donc V V. Io. I ( ) < > Io Pussances e valeurs caces dans un flre d onduleur (4ps) Le dpôle A-B c-conre fonconne en régme alernaf snusoïdal de fréquence 5 Hz. A L On dspose des données suvanes : R 115 Ω ; 1 Ω Cω ; L ω, 6 Ω R L 5 V. R. ( ) C A parr du cours, d un calcul ou d une esmaon graphque, déermner les valeurs numérques de I R, I, I e les valeurs numérques des pussances acves P dans R, P dans C, e P dans le dpôle C AB. Corrgé : L R C AB v R R C B P V R I L I R I C R 115 Ω ; 1 Ω Cω ; L ω, 6 Ω ; V R.. VR VR I R A I 1,15 A C R 115 1,5 p, 5 p Cω L, A (graphquemen avec le dagramme de Fresnel c-conre). I ou avec le héorème de Pyhagore : I L + 1, A V R R.I R VR.I R 46 W ; P C ; PAB PR + PC + PL W R R,5 p,5 p 1 p 1 p ( 5 ) ; 1, 15 ; 8 115,6

25 Pussances e valeurs caces dans un flre d onduleur Varane ( ps) Le dpôle A-B c-conre fonconne en régme alernaf snusoïdal de fréquence 5 Hz. On dspose des données suvanes : R., R A, IC A, V I A parr du cours, d un calcul ou d une esmaon graphque, déermner la valeur numérque de I e les valeurs numérques des pussances acves P dans «R», P dans «C», e L dans le dpôle AB. Corrgé : R A C L L R C v R R C P AB B I L + 8 A ou..1,414,8 A I L (graphquemen avec le dagramme de Fresnel c-conre). 1 p V R I L I R I C PR V.I. R R 4 W,5 p P C,5 p PAB PR + PC + PL W 1 p

26 18 Valeur moyenne e valeur cace dan un redresseur à hyrsors ( ps) V v So une foncon pérodque v( ) représenée en ras gras. a) Représener une esmaon de sur le graphe de v( ) c-conre. (Hachurer les ares concernées en guse de jusfcaon). V moy b) Calculer mahémaquemen la valeur moyenne de en foncon de V. v( ) v 4 c) A parr d un rasonnemen smple, d une consrucon graphque ou d un calcul mahémaque, déermner la valeur cace V de v( ) en foncon de V. (Explquer la démarche) Varane c) Donner la défnon de la valeur cace d un sgnal pérodque (qu peu ne pas êre snusoïdal) en radusan la sgnfcaon des ros leres R M S. d) Représener c-conre l allure de v. En dédure la valeur de V en foncon de V. e) La enson v es applquée à un dpôle qu es alors raversé par un couran consan Io. Exprmer la pussance acve dsspée dans ce dpôle en foncon de e Io. V f) La enson v es manenan applquée à une réssance ohmque de valeur «R». Exprmer la pussance acve dsspée dans ce dpôle en foncon de e R. V Varane e) La enson v() es applquée à un dpôle qu es alors raversé par un couran consan Io. Exprmer la pussance acve dsspée dans ce dpôle en foncon de Io e de (au chox) V ou V ou V ou. moy f) La enson v es manenan applquée à une réssance ohmque de valeur «R». Exprmer la pussance acve dsspée dans ce dpôle en foncon de R e de (au chox) V ou Vmoy ou V ou.

27 Corrgé V v V v V V moy 1 p 4 4 V moy 1 4. V.sn ( ). d 4. V [ ( )] V 4. V 1 1 V V moy cos cos cos p 1 p ) La valeur cace es la racne carrée de la valeur moyenne de la foncon au carré. ( F ( f ( ) ) moy Le carré de la foncon alernave snusoïdale (en ponllé) e le carré de la foncon v() en ra plen son denques. Leur valeur moyenne es donc denque e de même, la racne carrée de leur valeur moyenne. Les valeurs caces son donc denques. V La valeur cace d une foncon alernave snusoïdale es égale à e c es donc la même valeur pour la foncon v() en ra plen. 1,5 p d) La valeur moyenne de v( ) vau V (comme pour une foncon alernave snusoïdale au carré). V Donc V Vor la jusfcaon dans le paragraphe.5 f) du cours chapre 1 de Baselecpro sur le se IUenlgne

28 V v e) La enson v() es applquée à un dpôle qu es alors raversé par un couran consan Io. V.Io Lorsque le couran es consan, P < V >.Io. f) Pour une réssance ohmque de valeur «R». V donc c, on peu égalemen écrre P R V P, R v V V

29 19 Valeur moyenne, valeur cace e pussance dans un onduleur (5 ps) u a) Calculer la valeur cace de la enson pérodque Uo c-conre Uo b) Un dpôle soums à la enson u( ) c-conre absorbe le couran pérode. ( ) I.sn. de même I Représener c-conre l allure ( ) e de la pussance nsananée p() échangée dans ce dpôle. Avec une négrale, calculer la pussance acve échangée dans ce dpôle en foncon de U o e I. : p U o. I

30 Corrgé : U o Uo u -Uo p u,5 p U o. I 1 p Graphquemen : ( u( ) ) moy U U o ( u( ) ) moy U. o U o. 1,5 p Uo.I Graphquemen : P Par calcul: 1 p 1 U.I P. Uo.I.sn Uo.I 1 U. o.i P ( ) o.d.[ cos( )] 1 p

31 Hacheur almenan une machne à couran connu en régme pérodque. (Problème de synhèse) e V e V (connu) Hacheur s v s L (1 mh) v RL R ( Ω) E (75 V) (connu) Aucune connassance des hacheurs ou des machnes à couran connu n es nécessare pour répondre aux quesons. Les pares A, B, C e D de ce exercce son ndépendanes. (élecronque de pussance) v s V α. 1 ms Io s Une source de enson connue V e de V almene un conversseur «hacheur» qu produ en sore une enson carrée v s (). La enson v s () es un sgnal carré de pérode 1 ms avec un rappor cyclque α varable (vor la courbe v s () c-conre) Cee enson v s () es applquée un dpôle L.R.E. consué d une nducance L de 1 mh en sére avec une réssance de Ω e une source de enson connue de 75 V. Il en résule un couran s (). A) Valeurs moyennes (,5ps) Calculer < V s > e < I s > en foncon du rappor cyclque α. B) Régmes ransores (,5ps) Quelle es la valeur de la enson, α.? l nervalle de emps [ ] v RL sur Le couran s () prend la valeur Io à l nsan e à l nsan. Sur l nervalle [, α. ], le couran s () es exponenel crossan du ype : o ( f ( o ) FF ). e τ FF f ( ) + es un sgnal pérodque qu Sachan que s ( ) Io, en dédure l expresson de () sur l nervalle e τ par leurs valeurs respecves pour ce nervalle). s [,. ] α. (Remplacer, f ), Compléer le graphe de s () en ndquan par un ponllé les valeurs des asympoes de s () pour le morceau de courbe sué sur l nervalle [, α. ] e pour le morceau de courbe sué sur l nervalle [ α., ] (Indquer les valeurs numérques de ces asympoes). o ( o F F

32 C) Pussances e valeurs caces. (6ps) On se place manenan dans le cas parculer où le rappor cyclque α vau ½. - - s L (1 mh) v s v s R ( Ω) E (75 V) (connu) V,5 ms On admera que le couran () es peu dfféren de s ( ) 1,5.cos... (Cee approxmaon perme de smplfer les calculs). s Représener le graphe de s () dans le cadre de cee approxmaon. (Ne pas oubler de graduer les axes) 1111 s ( ) Déermner les valeurs numérques de I, < I > e s s ( 6 ). I s Calculer la pussance acve P E absorbée par la source «E», la pussance acve «R» e la pussance acve P LRE absorbée par l ensemble du dpôle L,R,E. P R absorbée par la réssance D) Conservaon de la pussance acve. (1ps) e V e V (connu) Hacheur s v s L (1 mh) v RL R ( Ω) E (75 V) (connu) Dans cee queson, on admera que la pussance acve absorbée par le dpôle L.R.E es P LRE 15 W. On consdèrera que le hacheur es déal e donc qu l ne consomme aucune pussance. En ulsan la conservaon de la pussance acve, en dédure I emoy ( 6 ) Aenon, sauf cas parculer, la valeur cace n es pas On rappelle que I < I > + I al Valeur.

33 Corrgé hacheur A) < V > α V.. α s s vs ( ) vl( ) + vr ( ) + E La valeur moyenne d une somme de foncons de même pérode es la somme des valeurs moyennes de chaque foncon < v > < v > + < v > E s R L + La valeur moyenne de la enson aux bornes d une nducance es nulle. La valeur moyenne de la enson aux bornes de la réssance «R» es < v R > R. < IS > < vs > R. < Is > + + E < v E. 75 I S > α < S > 1. α 7.5 R B) Pour l éude des régmes ransores du premer ordre, on peu se reporer au chapre 1 de la ressource Baselecpro sur le se IUenlgne v sur l nervalle de emps [,. ] RL α : vrl V E 75 15V s L (1 mh) I s F 6,5 A L Source à zéro R ( Ω) Régme lbre τ L 5 ms R V Régme forcé R 15 V 75 V s L (1 mh) V s v RL R ( Ω) Io L V (connu) E (75 V) (connu) V + R 75 V Condon nale Sur l nervalle o s sf sf [, α. ], ( ) ( Io I ).e τ + I ( Io 6,5).e 6, 5

34 C) - - v s V α. 1 ms I s 6,5 A Io -7,5 A V 1V V 15 Valeur : 14,5 A 1 5 v s Approxmaon de s( ) 1,5.cos.. ( ) Valeur moyenne 1,5 A ms.5ms 1ms 1.5ms ms La courbe du couran s () en ponllé (obenue par smulaon) es peu dfférene de l approxmaon ( ) 1,5.cos... s Avec l approxmaon : I s mn I s 1,5 + ( ) 1,5 1,5 A ; 14,5 A < I s > 1,5 A ; I s 1,5 + 1,58 A PE E. < Is > 75.1,5 97,5 W car la source «E» es une enson consane ; PR R. I.1,58 16,5 W ; s P LRE P L + P R + P E + 97,5 + 16,5 154W D) La pussance acve fourne par la source V e es égale à la somme de la pussance acve consommée par le hacheur e la pussance consommée par la charge «LRE» Ve.. < Ie >. < Ie > < Ie > 6,7 A ou < Ie > 6,5 A

35 1 Sgnaux dans une almenaon à découpage (7 ps) - - k L vl E v1 E consane posve v 1 L C C R R v s consane α. L almenaon à découpage c-dessus reço son énerge élecrque d une source de enson consane «E.» Cee enson E es découpée pérodquemen (pérode ) avec un rappor cyclque α pour réalser la enson v 1( ) (vor c-conre) La enson v 1( ) engendre le couran L () (vor c-conre) a) Exprmer V 1 en foncon de α e E. moy b) Exprmer I L moy en foncon des paramères de L ( ). c) Représener c-conre la pussance nsananée (au nveau de v 1 e L ) : p e () e calculer la pussance acve P e en foncon de I, I mn, α e E. I L I mn α. p e () α. d) Le condensaeur C s oppose aux varaons de la enson v s à ses bornes. On suppose sa valeur suffsammen grande pour qu à la fréquence de fonconnemen du monage on pusse consdérer v s presque consan égal à V Vs. On en dédu qu on peu fare l approxmaon s R ( ) I R ce I moy R R Exprmer R () en foncon de L () e C (). En dédure I R en foncon de I Lmoy pus en foncon de I mn e I (explquer la démarche) moy e) La pussance acve dans R es P R Vs. I R (Pussance en couran connu). En applquan la lo de conservaon de la pussance acve, en dédure la relaon enre la pussance acve la pussance acve P R (explquer). De la relaon précédene, en dédure l expresson de Vs en foncon de E e α f) Rerouver le résula précéden à parr de la relaon enre V s, V Lmoy e V 1moy P e e

36 Corrgé : E I I mn E.I v1 α. L α. p e () 1 p a) V1 moy b) c) Are sous la courbe sur un nervalle d' une pérode pérode E. α..e,5 p V1 moy α I L moy I mn + I,5 p 1 p E. I + E. Imn. α. I.. + I P E mn e α d) R ( ) L ( ) C ( ),5 p I R moy I L moy IC moy I L moy,5 p E.I mn α. I R moy I L moy I mn + I,5 p e) D après la lo de conservaon de la pussance acve : P e P { L + P { C + PR PR I P E. α. e + I mn P R V s.i R I V. s mn + I I I I I E.. + mn V. mn + α s V s E. α 1 p 1 p,5 p f) vs( ) v1( ) vl( ) Vs moy V1 moy VL moy Vs α. E 1

37 - 5 - Peres joule dans un moeur en fonconnemen cyclque. (5 ps) a) Rappeler la relaon qu exse enre la valeur moyenne d une foncon e l are sous la courbe sur un o ; o + : nervalle d une pérode [ ] b) Rappeler la défnon de la valeur cace d une foncon sous forme d une phrase en franças radusan «RMS» Remarque préalable A On a représené c-conre le couran pérodque () dans un conduceur. pérode 4 A On a représené c-conre le graphe de ( ). On remarque que l are hachurée sous la courbe ( ) en ponllé. es égale à l are du recangle Le bobnage d un moeur à couran alernaf peu êre modélsé par une réssance nerne «R» en sére avec une f.e.m. alernave snusoïdale : m R Ce moeur fonconne de manère pérodque avec une phase de démarrage suve d une phase de régme éabl (à vesse consane) pus d une phase d arrê. Son couran pérodque m () es représené c-dessous. m (A) démarrage régme éabl pérode arrê

38 - 6 - c) Rappeler l expresson de la pussance acve dans une réssance «R» parcourue par un couran pérodque m (). (Cee expresson ne fera pas nervenr la enson). Défnr claremen le ou les paramères ulsés. (Par exemple : m () ; < I m > ; I m ; I m mn ; I m ) m d) On a représené c-dessous la foncon ( ) du moeur. 4 A En ulsan la remarque préalable c-dessus, déermner la valeur numérque de la valeur moyenne de m ( ). On la noera < m ( ) > d) Déermner la pussance acve dsspée dans la réssance nerne du bobnage sachan que R Ω. Corrgé : are sous la courbe sur a) valeur moyenne pérode [, ] o o +,5 p b) RMS : Roo Mean Square : La valeur cace d une foncon es la racne carrée de la valeur moyenne de la foncon au carré I m m c) P R. avec I < ( ) > d) m,5 p 1 p [, ] * +.5* 5 are sous la courbe sur < m ( ) >,85 A 1 p P R. Im R < m ( ) >.,85 1,7 W 1 p

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