LIMITES EXERCICES CORRIGES

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "LIMITES EXERCICES CORRIGES"

Transcription

1 ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : 4) 5) 5 6) ( ) Déterminez les ites suivantes 7) ( ) 8) ( 4 ) 9) ( ) ) ) 4 ) ( ) ) ( t( t 4) ) 4) t Etudier le comportement de lorsque tend vers a avec : 5), a 6) a, 7) ( ), a Eercice n Déterminer les ites de en et - ( )( ) Eercice n Déterminez les ites suivantes ) en ) g cos en Eercice n 4 Vrai ou Fau? ) Si une onction est strictement croissante et positive sur [ [ ;, alors ) Si une onction a pour ite en, alors, à condition de prendre suisamment grand, tous les nombres réels () sont de même signe ) Si une onction a pour ite - en, alors, à condition de prendre suisamment grand, tous les nombres réels () sont de même signe Eercice n 5 est une onction numérique dont l'epression est a b Déterminer a et b sachant que et 5 Eercice n 6 Déterminez les ites suivantes : ) ) 4 5 ) 4) ) li m 6) 4 li m 7) 9 9 Eercice n 7 Trouver deu onctions et g telles que et g et telles que : ) g ) li m 7 g Page /8

2 ours et eercices de mathématiques M UAZ, Eercice n 8 Déterminez les ites suivantes : ) ) 4 ( ) Eercice n 9 ) Soit une onction telle que pour tout, Déterminer ) Soit une onction telle que pour tout, Déterminer Les propriétés suivantes permettent-elles de conclure concernant et ) 4) ( )? Eercice n On considère la onction déinie sur [ ; [ par 4 ) Déterminer () ) Montrer que pour tout [ ; [ Eercice n Soit la onction déinie sur [ ; [ D par ) Démontrer que, pour tout de D, on a : ) Démontrer que, pour tout ] ; [ : ) En déduire la ite de la onction en Eercice n On considère la onction numérique déinie par sin ) Montrer que pour tout réel ) En déduire les ites de lorsque tend vers et lorsque tend vers Eercice n Déterminer, à l'aide des théorèmes de comparaison, les ites en et en de chacune des onctions suivantes (si cos sin elles eistent): ) ) ; Eercice n 4 ² On veut trouver la ite en de : ) Montrer que pour, < < ) En déduire pour un encadrement de () ) En déduire la ite de en Eercice n 5 Soit un réel de ; Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct ( Oi ; ; j), on considère les points A(;), M(cos ;sin ), P(cos ;) et T(;tan ) Soit A l'aire du triangle OAM, A l'aire du secteur de disque OAM et A l'aire du triangle OAT ) En comparant ces aires, prouver que : sin tan ) En déduire que cos < sin < ) Déterminer la ite de sin en (étudier les cas < et ) Page /8

3 ours et eercices de mathématiques M UAZ, Eercice n 6 En utilisant le résultat li m sin (c eercice précédent), étudiez les ites en des onctions : ) sin5 ) ) sin 5 4) tan sin sin 4 Eercice n 7 En utilisant la déinition du nombre dérivé, déterminer Eercice n 8 tan Déterminer 6 sin cos 6 6 cos Eercice n 9 Retrouver les ites de () à partir du graphique connaissant les asymptotes Eercice n Dans chacun des cas ci-dessous, on donne trois onctions et la représentation graphique de l une d entre elles Retrouver celle qui est représentée, en justiiant (qu'est-ce qui permet d'éiner les autres?) er cas ou ou ème cas g ( ) ( ) ou g ou g ( ) Eercice n Rechercher les asymptotes parallèles au aes que peuvent présenter les courbes des onctions suivantes : ) ) ) 4) 5) 4 ² Page /8

4 ours et eercices de mathématiques M UAZ, Eercice n Soit la onction Etudier le comportement de en, et, en précisant les asymptotes à la courbe représentative de et les positions relatives de la courbe et de chaque asymptote Eercice n Soit la onction c ) Déterminez trois nombres réels a,b et c tels que a b pour ) Etudier le comportement de en (ite, asymptote sur la courbe) Eercice n 4 Montrer que la droite d équation y est asymptote en à la courbe représentative de la onction déinie par Eercice n 5 Montrer que la droite d équation y est asymptote pour à la courbe représentative de la onction déinie sur par Eercice n 6 4 On considère la onction déinie par ) Quel est l ensemble de déinition D de? c ) Déterminez trois réels a, b et c tels que pour tout de D, on ait : a b ) Déterminer : li m ; ; ; ; ( ( a b)) < 4) Soit g la onction numérique déinie par : g 4 Etudier le signe de g suivant les valeurs de En déduire les positions relatives des courbes suivant les valeurs de Eercice n 7 ( ) Pour tout réel non nul, on considère la onction déinie par 5 5 A l aide de la calculatrice, remplir le tableau suivant :,6,5,4,,,, Valeur approchée de ( ) ) Peut-on conjecturer la ite de en zéro? ) ) En développant ( 5, simpliier l epression de () pour alculer alors la ite de en zéro Surprenant, non? Eercice n 8 Déterminer les ites suivantes : ln ) ( ) ln 6) ) 7) ln 8) ln ) ( ln ln ) 4) ( 4 ln ) 5) ln ln (Poser ln( ) X ) 9) (Poser X ) Eercice n 9 Déterminer les ites suivantes : ) ( e ) ) ( 4e ) ) li m e Page 4/8

5 ours et eercices de mathématiques M UAZ, Eercice n Etudiez les ites de la onction donnée au bornes de son ensemble de déinition D, et trouver les asymptotes éventuelles à la courbe représentative de ) e 4 ) ( ) ) e 4) e e Eercice n e On considère la onction numérique déinie sur par () e ) Déterminer la ite de () quand tend vers ) Montrer que (), et calculer la ite de () quand tend vers e ) En déduire l eistence de deu asymptotes de la courbe Page 5/8

6 ours et eercices de mathématiques LIMITES ORRETION M UAZ, Eercice n ) donc par quotient, c est à dire 4 4 ) donc par multiplication, c est à dire ( ne pas conondre 4 et 4 4 ) ) donc par somme, c est à dire 4) donc par produit, c est à dire 5) donc par somme 5 5, c est à dire 5 6) donc par composition avec la onction racine,, c est à dire 7) et donc par somme 8) et donc par somme ( 4 ) 9) et donc par somme ( ) ) 4 donc par quotient, 4 ) donc De plus Par quotient, ) et donc par produit t ( t t t ( t 4 )) ) t et 4 donc par produit t 4) et (car ) donc par produit 5) (car ) donc par quotient, De la même manière (car < < ) donc par quotient, li m < Les ites «à gauche» et «à droite» de dièrent < 6) (car ) donc par quotient (attention à la règle des signes!), De la même manière (car < < ) donc par quotient, < 7) Puisque pour tout réel on a, on a donc ainsi que Les ites à gauche et à droite de sont ici identiques < < < donc ainsi que Page 6/8

7 ours et eercices de mathématiques M UAZ, Eercice n Il est clair que ( )( ) ainsi que ( )( ), mais encore aut-il connaître le signe de l epression D ( ) ( ) Un tableau de signes nous ournit : ; D < si ] [ D si ] ; [ ] ; [ < < Ainsi, ( )( ) omme, on conclut, par quotient, que ( )( ) ( )( ), donc par quotient, ( )( ) < ( )( ) omme, on conclut, par quotient, que ( )( ) < ( )( ), donc par quotient, li m ( )( ) Eercice n ) En notant u on a donc u et puisque u composant, on obtient ) En notant u on a donc u et puisque cos( u), en composant, on obtient u < < Eercice n 4 ) FAUX Par eemple, la onction déinie sur [ ; [ par ( ) est strictement croissant sur [ ; [, positive, et pourtant cos vériie (par encadrement, voir eercice n ), et pourtant sa courbe ) FAUX Par eemple, la onction déinie sur ] ; [ par «oscille» autour de ela signiie que les nombres réels () ne sont pas tous de même signe u, en cos ) VRAI Si, cela signiie que tout intervalle centré en contiendra toutes les valeurs de () pour suisamment grand Ainsi, pour suisamment grand, on aura, par eemple seront tous de même signe,5,5 donc les nombres () Eercice n 5 Puisque a, pour avoir, il est nécessaire d avoir b b, donc b Ainsi, pour tout, a et l inormation 5 (5) 5a 5 a 5 a b, c est-à-dire ournit l indication Page 7/8

8 ours et eercices de mathématiques M UAZ, Eercice n 6 ) Puisque et, on est en présence d une orme indéterminée Il eiste (au moins) deu manières de rédiger : ère manière : Puisque, on peut supposer Alors (actorisation par le terme de plus haut degré puis simpliication) Puisque et, on a, par somme, et puisque, on conclut, par produit, que, c est à dire Remarque : Plutôt que de mettre en acteur dans l epression, on aurait pu mettre en acteur, de sorte que On raisonne de la même manière, à savoir et donc, et puisque, on conclut, par produit, que, c est à dire ère manière : On utilise un résultat du cours stipulant que «la ite en ou en d un polynôme est la même que celle de son terme de plus haut degré» On écrit donc ) Puisque 4 et 5, on se retrouve dans le cas d une orme indéterminée Le résultat du cours nous indique que ) On eamine les numérateurs et dénominateurs On trouve 4 et On se trouve dans le cas d une orme indéterminée Il eiste (au moins) deu manières de rédiger : ère manière : Factorisation des deu membres par leur terme de plus haut degré : Puisque, on peut supposer Alors 4 Puisque (par somme), et (par somme), on déduit, par quotient, que 4 4 c est à dire ère manière : On utilise un résultat du cours stipulant que «la ite en ou en d une raction rationnelle (quotient de deu polynômes) est la même que celle du quotient simpliié de leurs termes de plus haut degrés respectis» 4 On écrit donc Page 8/8

9 ours et eercices de mathématiques M UAZ, 4) Puisque 8 et 4 6, on se retrouve dans le cas d une orme indéterminée Le résultat du cours nous indique que ) Puisque et li m, on se retrouve dans le cas d une orme indéterminée «Il va alloir transormer l écriture de pour «résorber» la orme indéterminée 9 Pour tout, grâce au calcul de ( ) 4 ( ) 9 on détermine les racines du trinôme : et 9 La orme actorisée du trinôme nous permet de simpliier la raction : ( )( ) donc On conclut que 6) Puisque et li m, on se retrouve dans le cas d une orme indéterminée «Grâce au calculs des discriminants, on peut actoriser numérateur et dénominateur : ( )( ) 4 4 Pour tout, donc ( ) 7) Puisque et 9, on se retrouve dans le cas d une orme indéterminée «9 9» Il va alloir transormer l écriture de pour «résorber» la orme indéterminée 9 Pour tout,, donc Eercice n 7 ) On peut par eemple prendre et g ) On peut par eemple prendre 7 et g Eercice n 8 ) Puisque et, on est en présence d une orme indéterminée Pour résorber cette orme indéterminée, on utilise la technique de multiplication par la quantité conjuguée : Pour tout ;, [ [ ( )( ) Puisque et c est à dire, on déduit que, et par quotient,»», Page 9/8

10 ours et eercices de mathématiques ) Puisque 4 M UAZ, (car 4 ) et ( ), on est en présence d une orme indéterminée Pour résorber cette orme indéterminée, on utilise la technique de multiplication par la quantité conjuguée : Pour tout ;, [ [ 4 4 ( 4 ( ) ) 4 ( ) ( 4 ) ( ) Puisque et, on déduit que, c est à dire ( ) 4 4, et par quotient, Eercice n 9 ) Puisque et, d après le théorème d encadrement «des gendarmes», on a ) Puisque et, d après le théorème d encadrement «des gendarmes», on a ) Si, puisque, on en conclut, par utilisation du théorème de minoration, que ( ) On ne peut rien conclure de plus 4) Si, puisque, on en conclut, par utilisation du théorème de minoration, que ( ) On peut également utiliser ce théorème lorsque En eet puisque, on en conclut, par utilisation du théorème de minoration, que On ne peut rien conclure de plus Eercice n ) Pour tout [;, on calcule [ ( ) Un carré étant toujours positi ou nul, on en déduit que pour tout [ ; [ ) Puisque, on en conclut, par utilisation du théorème de minoration, que Eercice n ) Par multiplication par la quantité conjuguée, pour tout D, ( ) ( ) ( ) ( ) Page /8

11 ours et eercices de mathématiques M UAZ, ) Pour tout ]; [, on a clairement car De plus, ) Puisque, en application du théorème d encadrement «des gendarmes», on a Eercice n ) Pour tout réel sin sin ) Puisque, on conclut, en utilisant le théorème de minoration, que Puisque, on conclut, en utilisant le théorème de minoration, que Eercice n ) Puisque pour tout réel, on a cos, alors pour tout, on a cos cos, et par cos cos division par qui est, on déduit que Puisque, en application du théorème d encadrement «des gendarmes», on a ) ommençons par la ite lorsque On peut donc supposer que sin Puisque pour tout réel, on a sin, alors pour tout, on a Puisque, et puisque, en application du théorème d encadrement dit «des gendarmes», on conclut que La ite lorsque se traite à l identique : on peut donc supposer que < sin Puisque pour tout réel, on a sin, alors pour tout <, on a (l inégalité est en sens inverse de la prcédente) Puisque, et puisque, en application du théorème d encadrement dit «des gendarmes», on conclut que Eercice n 4 ) Pour < < De plus ) La onction racine étant strictement croissante sur [ [ < < < < car L encadrement est ainsi démontré ;, on déduit de l encadrement < < ( ) que Ne pas oublier que Puisque et, on a donc < <, et enin par division par, < < < < ) Puisque, en application du théorème «des gendarmes», on conclut que Page /8

12 ours et eercices de mathématiques M UAZ, Eercice n 5 ) On a clairement A < A < A OA PM sin On calcule : A, puis par proportionnalité de l aire et de la mesure du secteur angulaire, A (car un angle de rad correspond à une aire de r cm, donc un angle de rad correspond à une aire de OA AT tan tan ) Enin A sin tan Puisque A < A < A alors < < En multipliant les trois membres de l inégalité par, on obtient le résultat attendu sin ) En utilisant les deu premiers termes de l inégalité, on a sin < < (car ) sin sin En utilisant les deu derniers termes de l inégalité, on a < tan < cos cos < (car ) ) Puisque pour tout, cos < sin <, et puisque cos, on en conclut en application du théorème sin d encadrement dit «des gendarmes», que 4) si <, la coniguration des triangles et des secteurs angulaires reste la même, mais les mesures de l aire (qui doivent sin tan être positives!) sont alors égales à A, A et A sin tan On a donc, pour <, < < sin < < tan sin sin En utilisant les deu premiers termes de l inégalité, on a sin < < < (car -) En utilisant les deu derniers termes de l inégalité : sin sin sin on a < tan < cos < cos < (car -) cos La conclusion de l eercice reste la même Eercice n 6 sin 5 sin sin5 sin u ) On écrit, pour tout, En posant u 5, on a u, et puisque li m, 5 5 u u sin5 sin5 5 on en déduit donc que li m, donc par produit li m 5 ) On écrit, pour tout, Puisque sin, on a aussi, donc en particulier sin sin sin (quitte à poser u ), d où, par produit, sin sin sin5 sin sin 5 4 ) On écrit, pour tout, sin 4 5 sin sin 4 Encore une ois, puisque sin5 et 5 4 sin5 5, on conclut, par produit, que li m sin 4 sin 4 4 tan sin sin sin 4) On écrit, pour tout, Puisque et puisque cos donc cos cos tan, on conclut que cos Page /8

13 ours et eercices de mathématiques M UAZ, Eercice n 7 ) Si on pose 6, déinie sur [ 6; [, puisque 6 6 9, la ite li m se réécrit Or est dérivable sur ] 6; [ et pour tout ] 6; [, 6 donc sin ) Si on pose ( ) sin, déinie sur, puisque sin, la ite se réécrit li m Or sin est dérivable sur et pour tout, cos donc cos sin Ainsi cos ) Si on pose ( ) cos, déinie sur, puisque cos, la ite se réécrit ( ) Or est dérivable sur et pour tout, sin donc cos cos sin Ainsi Eercice n 8 tan tan ) - Si on pose tan, alors, et ainsi tan Puisque est dérivable en, tan ) li m - Si on pose ( ), alors (), et ainsi Puisque est dérivable en, () cos cos cos cos ) - On commence à écrire Pour étudier , on pose 6 6 cos cos 6 Ainsi cos, et ainsi Puisque est dérivable en, sin , cos et ainsi 6 6 Page /8

14 ours et eercices de mathématiques M UAZ, Eercice n 9 ) Sur le premier graphique, on «lit» que la droite d équation y est asymptote horizontale à en et en ela signiie que et De plus, la droite d équation est asymptote verticale à les ites dièrent à droite et à gauche de - ela signiie que ( ) et ( ) ) Sur le deuième graphique, on «lit» que la droite d équation y est asymptote horizontale à <, et en et en ela signiie que et De plus, la droite d équation est asymptote verticale à, et les ites à droite et à gauche de sont identiques ela signiie que ( ) et li m ) Sur le troisième graphique, on «lit» que la droite d équation y est asymptote horizontale à uniquement en ela signiie que De plus, la courbe possède deu asymptotes verticales : les droites d équation et Les ites à droite et à gauche de ces valeurs sont diérentes ela signiie que ( ) Eercice n ainsi que et < ) La première courbe correspond à ( )( ) < et < car elle présente deu asymptotes verticales synonymes de valeurs interdites égales à et, ce qui ne correspond pas à De plus, la courbe se situant en dessous de l ae des abscisses en et en, on devrait avoir une onction «négative» dans ces deu voisinages, ce qui n est pas le cas de ( ) ) La ite en et en de la onction étant égale à, on peut éiner directement g et g, pour ne garder que g( ) Eercice n ) Pour tout, On a donc la droite d équation y est asymptote horizontale à en De même, donc la droite d équation y est asymptote horizontale à en De plus, et l im donc la droite d équation < < (l ae des ordonnées) est asymptote verticale à ) On a et donc la droite d équation y (l ae des abscisses) est asymptote horizontale à en et en De plus et donc la droite d équation (l ae des ordonnées) est asymptote verticale à ) On a et en et en De plus verticale à < < donc la droite d équation y (l ae des abscisses) est asymptote horizontale à et donc la droite d équation est asymptote Page 4/8

15 ours et eercices de mathématiques M UAZ, 4) On a et donc la droite d équation y (l ae des abscisses) est asymptote horizontale 4 4 à en et en De plus et 4 4 donc la droite d équation < < Enin et li m 4 4 donc la droite d équation est asymptote verticale à est asymptote verticale à 5) On a et de même donc la droite d équation y (l ae des abscisses) est asymptote horizontale à en et en Les racines du dénominateur sont et On a donc < < et donc la droite d équation est asymptote verticale à et Eercice n Puisque et, on conclut, par somme, que ou < donc la droite d équation est asymptote verticale à ou Enin La droite d équation (l ae < des ordonnées) est asymptote verticale à Puisque et, alors Puisque et, alors ( ) De plus, pour tout, ( ) ( ) Ainsi De la même manière ( ) On en conclut que la droite D d équation y est asymptote oblique à en et en Pour connaître la position relative de D et, on étudie le signe de ( ) Pour tout, ( ), donc pour tout, eci signiie que sur tout son ensemble de déinition, est au dessus de D Eercice n ) est déinie si et seulement si donc D Pour tout D, ] ; [ ] ; [ ( ) c a b c a a b b c a a b b c a b c a ( a b) b c Donc a b si et seulement si a a a b b Ainsi, pour tout D, b c c donc si et seulement si Page 5/8

16 ours et eercices de mathématiques M UAZ, ) A partir de l écriture, on déduit que, et < Mais surtout, puisque, pour tout, ( ) ( ), on a ( ) et, donc la droite D d équation y est asymptote oblique à en et en De plus, pour tout, ( ), donc est au dessus de D sur ] ; [, et pour tout <, ( ) <, donc est en dessous de D sur ] ; [ Eercice n 4 On calcule, pour tout réel, Ainsi et donc la droite D d équation y est asymptote oblique à en et en Puisque, pour tout, <, et pour tout <,, on en conclut que est au dessus de D sur ] ;[ et en dessous de D sur ] ; [ Eercice n 5 On calcule, pour tout réel, ( ) Et comme, on conclut que la droite d équation y est asymptote à en Eercice n 6 ) est déinie si et seulement si donc D ] ; [ ] ; [ ( a b )( ) c c a a b b c ) Pour tout D, a b c a a b b c 4 Donc a b si et seulement si a a a 8 b 4 Ainsi, pour tout D, 4 b 4 c 8 b c ) A partir de l écriture 4, on déduit que ; ; 8 8 soustraction car ) et < donc si et seulement si (par 8 8 4) Pour tout D, ( 4) 4 ( 4) omme 8 ±, on déduit l eistence d une PARABOLE ASYMPTOTE à en et en 8 De plus, si -, < 8, et pour tout <-,, on en conclut que est au dessus de sur ] ; [ et en dessous de sur ] ; g g [ Page 6/8

17 ours et eercices de mathématiques Eercice n 7 La calculatrice ournit, grâce au menu TABLE : On est donc tenté de conjecturer que M UAZ, Or, pour tout, e qui permet de conclure que! Eercice n 8 ) et ln, donc par somme, ( ln ) ) et ln, donc par produite, ) ln donc par soustraction, Page 7/8 ( ) ( ln ln ) ln 4) 4 4 et ln donc par somme 4 ln 5) Puisque, on pose u, et puisque ln u u on conclut que ln ( ) ln 6) ln et on conclut par quotient que 7) Puisque et ln, nous sommes en présence d une orme indéterminée On transorme ln ln ln l écriture : ln omme (ite connue), on déduit successivement que, ln puis par produit, que li m, c est-à-dire que ln 8) Puisque et ln ln(), nous sommes en présence d une orme indéterminée En posant X, puisque X, la ite cherchée devient ln ( X ) Or un résultat du cours nous indique X X ln ( X ) que donc ln X X ln( ) ln( X ) ln ( X ) 9) En posant X, la ite cherchée devient Et puisque, on X X X ln( X ) ln( ) conclut que li m, c est-à-dire X Eercice n 9 ) et e, donc par somme, ( e ) ) et 4e (car e ), donc par somme, ) et e, donc par soustraction, ( 4e ) e Eercice n ) Puisque e u ( e où on a posé u ), on déduit que 4 donc la droite d équation y 4 u est asymptote horizontale à en De plus e donc par somme ( ) ) Puisque e, on déduit, par somme et quotient, que, donc la droite d équation y est asymptote horizontale à en

18 ours et eercices de mathématiques M UAZ, Puisque e, on déduit, par somme et quotient, que, donc la droite d équation y (l ae des abscisses) est asymptote horizontale à en ) Puisque e et, alors par produit e Puisque, alors par somme, Puisque e (ite du cours) et, alors par somme, Mais comme e, on en déduit que la droite d équation y est asymptote oblique à en 4) Puisque e, on déduit, par diérence et quotient, que, donc la droite d équation y est asymptote horizontale à Puisque e en, on déduit, par diérence et quotient, que, donc la droite d équation y (l ae des abscisses) est asymptote horizontale à en Enin, puisque e (car < e < e < ), on déduit que < e (car e e ), on déduit que e ordonnées) est donc asymptote verticale à Eercice n ) Puisque e, on déduit, par somme et quotient, que, e e ) On transorme l epression : Pour tout réel, e e e e e u ( e où on a posé u ), on déduit, par somme et quotient que u ) La courbe admet donc deu asymptotes horizontales : La droite d équation y en et la droite d équation y en Et puisque e < La droite d équation (l ae des Puisque e Page 8/8

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Dérivation : Résumé de cours et méthodes

Dérivation : Résumé de cours et méthodes Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

SINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases

SINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases SINE QUA NON Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases Sine qua non est un logiciel «traceur de courbes planes» mais il possède aussi bien d autres fonctionnalités que nous verrons tout

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation

Plus en détail

Mais comment on fait pour...

Mais comment on fait pour... Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

LE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» )

LE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» ) SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ. Exercice 1

ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ. Exercice 1 ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ OLIVIER COLLIER Exercice 1 Le calcul de la banque. 1 Au bout de deux ans, la banque aurait pu, en prêtant la somme S 1 au taux d intérêt r pendant un an, obtenir

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe

Plus en détail

Séquence 8. Fonctions numériques Convexité. Sommaire

Séquence 8. Fonctions numériques Convexité. Sommaire Séquence 8 Fonctions numériques Conveité Objectifs de la séquence Introduire graphiquement les notions de fonctions convees et de fonctions concaves. Établir le lien entre le sens de variation d une fonction

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0. FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Logistique, Transports

Logistique, Transports Baccalauréat Professionnel Logistique, Transports 1. France, juin 2006 1 2. Transport, France, juin 2005 2 3. Transport, France, juin 2004 4 4. Transport eploitation, France, juin 2003 6 5. Transport,

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

Mathématiques et petites voitures

Mathématiques et petites voitures Mathématiques et petites voitures Thomas Lefebvre 10 avril 2015 Résumé Ce document présente diérentes applications des mathématiques dans le domaine du slot-racing. Table des matières 1 Périmètre et circuit

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode

Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Rappel : Distributivité simple Soient les nombres, et. On a : Factoriser, c est transformer une somme ou une différence de termes en

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Lecture graphique. Table des matières

Lecture graphique. Table des matières Lecture graphique Table des matières 1 Lecture d une courbe 2 1.1 Définition d une fonction.......................... 2 1.2 Exemple d une courbe........................... 2 1.3 Coût, recette et bénéfice...........................

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

Maple: premiers calculs et premières applications

Maple: premiers calculs et premières applications TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent

Plus en détail

Priorités de calcul :

Priorités de calcul : EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Exercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2

Exercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2 Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la

Plus en détail

Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.

Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

TP 7 : oscillateur de torsion

TP 7 : oscillateur de torsion TP 7 : oscillateur de torsion Objectif : étude des oscillations libres et forcées d un pendule de torsion 1 Principe général 1.1 Définition Un pendule de torsion est constitué par un fil large (métallique)

Plus en détail

Union générale des étudiants de Tunisie Bureau de l institut Préparatoire Aux Etudes D'ingénieurs De Tunis. Modèle de compte-rendu de TP.

Union générale des étudiants de Tunisie Bureau de l institut Préparatoire Aux Etudes D'ingénieurs De Tunis. Modèle de compte-rendu de TP. Union générale des étudiants de Tunisie Modèle de compte-rendu de TP Dipôle RC Ce document a été publié pour l unique but d aider les étudiants, il est donc strictement interdit de l utiliser intégralement

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007

Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer

Plus en détail

Chapitre. Chapitre 12. Fonctions de plusieurs variables. 1. Fonctions à valeurs réelles. 1.1 Définition. 1.2 Calcul de dérivées partielles

Chapitre. Chapitre 12. Fonctions de plusieurs variables. 1. Fonctions à valeurs réelles. 1.1 Définition. 1.2 Calcul de dérivées partielles 1 Chapitre Chapitre 1. Fonctions e plusieurs variables La TI-Nspire CAS permet e manipuler très simplement les onctions e plusieurs variables. Nous allons voir ans ce chapitre comment procéer, et éinir

Plus en détail

Mathématiques I Section Architecture, EPFL

Mathématiques I Section Architecture, EPFL Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Taux d évolution moyen.

Taux d évolution moyen. Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.

Plus en détail

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008) Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008

Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation

Plus en détail

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R 2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications

Plus en détail

Développer, factoriser pour résoudre

Développer, factoriser pour résoudre Développer, factoriser pour résoudre Avec le vocabulaire Associer à chaque epression un terme A B A différence produit A+ B A B inverse quotient A B A opposé somme Écrire la somme de et du carré de + Écrire

Plus en détail