Chap. II. Symétrie centrale

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1 Chap. II. Symétrie centrale I. Symétrie axiale ( rappels) Définition Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si, en pliant suivant la droite, les deux figures se superposent. La droite est appelée axe de symétrie. Exemple : Sur le dessin, les deux polygones sont symétriques par rapport à (d). Si A' est le symétrique de A par rapport à la droite (d) alors (d) est la médiatrice du segment [AA']. Deux points distincts sont symétriques par rapport à une droite quand cette droite est la médiatrice du segment formé par ces deux points. de construction pour la symétrie axiale :

2 II. Symétrie centrale Définition : Deux figures sont symétriques par rapport à un point si elles se superposent par un demi-tour autour de ce point. Le point est appelé centre de symétrie. Exemple : Sur le dessin, les deux polygones sont symétriques par rapport à O. Si A' est le symétrique de A par rapport à O alors O est le milieu de [AA']. Deux points sont symétriques par rapport à un point quand ce point est le milieu du segment formé par ces deux points. Conséquence : de construction par la symétrie centrale :

3 III. Symétriques particuliers 1. symétrique d'un segment Le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. Pour construire le symétrique d un segment [AB] par rapport à O : construction On construit les symétriques A et B de A et B. On trace le segment [A B ]. 2. symétrique d'une droite Le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle. Pour construire le symétrique d une droite (d) par rapport à O : On choisit deux points de la droite (ici C et E). On construit les symétriques C et E de C et E. On trace la droite (C E ) qui représente (d ). 3. symétrique d'un cercle Le symétrique d un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon. Pour construire le symétrique d un cercle C de centre F par rapport à O : On construit le symétrique F du centre F. On trace le cercle de centre F et de même rayon. 4. symétrique d'un polygone Le symétrique d un polygone par rapport à un point est un polygone de même forme et de mêmes mesures (longueurs, angles). Pour construire le symétrique du triangle GHI par rapport à O : On construit les symétriques G, H et I. On relie les points G, H et I.

4 Propriétés ( «Si...alors») Propriétés 1 : La symétrie centrale conserve : 1. la mesure des angles : Si deux angles sont symétriques par rapport à un point alors ils ont la même mesure. 2. Les longueurs : Si deux segments sont symétriques par rapport à un point alors ils pnt la même longueur. 3. Les périmètres et les aires : Si deux figures sont symétriques para rapport à un point alors elles ont même aire et même périmètre. 4. L'alignement : Si trois points sont alignés alors leurs symétriques par rapport à un point sont également alignés. Propriété 2 : Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles. Exemple : Les droites (d) et (d ) sont symétriques par rapport à O. Montrer que (d) et (d ) sont parallèles. (d) On sait que : (d) et (d') sont symétriques par rapport à O x O (d') Or, Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles. Donc (d) et (d') sont parallèles. V. Centre de symétrie d'une figure Définition : Un point est un centre de symétrie d'une figure lorsque le symétrique de cette figure par rapport à ce point est la figure elle même. Exemple : Un segment, un cercle et un carré possèdent un axe de symétrie. Si un point est le centre de symétrie d'un segment alors il est le milieu d'un segment. Propriété réciproque : Si un point est le milieu d'un segment alors il est le centre de symétrie de ce segment. Remarque : les deux propriétés précédents sont réciproques l'une de l'autre. La condition et la conclusion sont inversées.

5 Chapitre 2 : objectifs Construire le symétrique d'une figure par rapport à une droite. Construire le symétrique d'une figure par rapport à un point. Connaître et utiliser les propriétés de la symétrie centrale. Déterminer les axes de symétrie d'une figure. Déterminer le centre de symétrie d'une figure.

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