S 4 : Phénomène d interférence et de battement

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1 : PCSI I Inerférence : mise en évidence epérimenale 1. Disposiif epérimenal n dispose deu émeeurs ulrasons (f = 40 khz) que l on va brancher sur le même généraeur e d un récepeur qu on va brancher sur l oscilloscope. Avec un seul des émeeurs, on déplace le récepeur dans la pièce : n doi observer que l ampliude varie peu, diminue un peu quand on s éloigne e quand on n es pas en face mais c es ou Avec les deu émeeurs, on observe des zones où l ampliudes es nullegbf Deuième epérience avec de la lumière : on envoie de la lumière sur une lame semi-réfléchissane, puis les miroirs renvoien la lumière vers un écran. Lorsque l on cache l un des deu miroirs l écran es éclairé de façon uniforme. Lorsqu aucun des miroirs n es caché, n voi apparaire des cercles lumineu e des cercles sombres. Dans ces deu epériences, on observe que l inensié à un endroi donné n es pas simplemen la somme des inensiés. C es ce phénomène que l on appelle inerférence enre des ondes. d scilloscope lame semi-réfléchissane d + δ. Inerpréaion qualiaive Lorsqu il a deu ondes avec la même forme qui se propagen, il peu avoir un endroi où la perurbaion n es pas ressenie car les deu conribuions se compensen à chaque insan. B Par eemple le poin B sur le schéma ci-conre. simulaion phon En mean deu émeeurs qui émeen un signal de même forme, on observe des zones qui oscillen e d aures zones qui au conraire n oscille pas du ou. 1

2 II Somme de deu signau de même fréquence 1. Calculs Nous avons vu dans les chapires précédens que l on pouvai eprimer une onde progressive sous la forme s 1 () = S 0 cos(k ω). La propagaion n es plus simplemen unidimensionnel e il fau mainenan remplacer par la disance à la source que l on noera r. Si l on dispose de deu sources de même fréquence, en phase, e de même ampliude, alors en un poin M le signal reçu es : s() = s 1 () + s () = S 0 cos(kr 1 ω) + S 0 cos(kr ω) En uilisan les formules de rigonomérie vue au chapire précéden : ( s() = S 0 cos k r ) ( 1 + r ω cos k r ) 1 r 0 n voi donc apparaire un faceur cos ( ) k r 1 r qui module l ampliude de la somme. Ce faceur es maimum en valeur absolu lorsque k r 1 r = nπ π λ r 1 r = nπ r 1 r = nλ (n Z) n parle d inerférences consrucives (addiion des signau) À l inverse, ce faceur es nul lorsque k r 1 r = π + nπ π r 1 r = π λ + nπ r 1 r = nλ + λ/ (n Z) n parle alors d inerférences desrucives. n voi que la disance au sources n inervien que parle erme r 1 r, on défini l ordre d inerférence p el que p = r 1 r. λ Définiion : n parle d inerférences consrucives lorsque l ordre d inerférence p es un nombre enier. Dans ce cas, les ampliudes des signau incidens s ajouen. n parle d inerférences desrucives lorsque l ordre d inerférence p es un nombre demi-enier. Dans ce cas les ampliudes des signau incidens se compensen. Remarques : Les signau iniiau n on pas nécessairemen la même ampliude, en pariculier, il aurai fallu prendre en compe le fai que l énergie es réparie dans un milieu de plus en plus grand e qu elle doi donc décroire. Dans le cas où les signau ne son pas de même ampliude, le signal ne se compensen pas complèemen : on a pere de conrase. (cf e année PC) L ordre d inerférence prend une forme moins simple lorsque le milieu n es pas homogène, en effe le veceur d onde k n es alors pas le même en ou poin de l espace e il fau en enir compe. (cf e année PC) PCSI Page /8

3 . Représenaion de Fresnel Pour évier des calculs, on peu aussi uiliser la représenaion de Fresnel. Chaque grandeur sinusoïdale s() = S m cos(ω + ϕ) d ampliude S m, de pulsaion ω e de phase insananée ω + ϕ es représenée par S() de module S m e qui forme l angle ω + ϕ avec l ae du plan. à quelconque S() ω ω + ϕ à = 0 S(0) un veceur S m s() S m S m ϕ s(0) S m FIGURE 1 Représenaion de Fresnel de s() Ce angle varie au cour du emps : S() ourne auour de avec une viesse angulaire ω. À = 0 la phase à l origine es ϕ. À ou insan s() es la projecion du veceur S() selon. Remarque : on verra plus ard dans le cours d élecronique que la méhode die des complees es égalemen efficace. Déphasage enre deu signau snchrones : soien les grandeurs sinusoïdales snchrones s 1 () = S 1 cos(ω + ϕ 1 ) e s () = S cos(ω + ϕ ) s () s 1 () T FIGURE Déphasage enre deu signau snchrones La différence ϕ = ϕ ϕ 1 es la différence de phase ou déphasage enre s () e s 1 (), on di que s 1 () es en avance sur s () s il aein son maimum «avan s ()» sur une période. Dans le cas conraire, on di qu il es en reard sur s () PCSI Page 3/8

4 Par eemple sur la figure, le signal s es en reard par rappor à s 1 e donc s 1 es en avance par rappor à s. n a alors = (v,ma ) (v 1,ma ) > 0 e ϕ < 0. Un reard de une période = T correspond à un déphasage ϕ = π une demi-période à = T à un déphasage de ϕ = π. Par uilisaion d une règle de rois on obien facilemen ϕ = π T Somme de deu veceurs : si on désire représener le signal s() = s 1 ()+s () avec s 1 () = S 1 cos(ω+ϕ 1 ) e s () = S cos(ω+ϕ ) s() = S M cos(ω+ϕ M ) avec S M e ϕ M dépenden de S 1, S, ϕ 1 e ϕ, pluô que d uiliser des relaions rigonomériques on peu ravailler avec les veceurs S 1 () e S () e écrire S() = S 1 () + S () à ou insan e en pariculier à = 0. à quelconque S () ϕ S1 () ω à = 0 S() S ϕ S (0) ϕ ϕ 1 S 1 S1 (0) ϕ S M S(0) FIGURE 3 Somme de deu veceurs signau snchrones Rese à lire graphiquemen la valeur de S M, la longueur du veceur. Remarque : si on modifie ϕ 1 e ϕ de la même façon cela ne modifie pas S M, seul compe le déphasage ϕ = ϕ ϕ 1. n a donc ou inérê à prendre nulle la phase à l origine d un des signau ce qui revien juse à changer l origine des emps. Eemple : déerminons l ampliude e la phase à l origine de En uilisan la méhode de Fresnel, ( s() = s 1 () + s () = 3 cos ω + cos ω + π ) 3 PCSI Page 4/8

5 4,4 S (0) ϕ = π 3 S M 4,4 cm θ S(0) S1 (0) FIGURE 4 Mise en applicaion de la méhode de Fresnel e vérificaion. Pour avoir la norme on peu : Soi faire une lecure graphique : S M 4,4 cm Soi uiliser le héorème d Al-Kashi (ou loi des cosinus) : SM = S1 + S S 1 S cos θ S M = cos(π/3) 4,35 (Unié de s) n vérifie l eaciude du résula en raçan effecivemen s() = s 1 () + s (). Cas pariculiers inéressans : Signau en phase : si s 1 () e s () son en phase, ils aeignen leur maimum au même insan, pas de décalage emporel : = 0 ϕ = 0. S(0) S M S (0) S1 (0) S M = S 1 + S ϕ 1 = ϕ ϕ = 0 FIGURE 5 Signau en phase : ϕ = 0 Si ϕ 1 = ϕ (modulo π), l ampliude de la somme es maimale. n a alors simplemen Signau en phase : ϕ 1 = ϕ [π] ϕ = 0 S M = S 1 + S Signau en opposiion de phase : si s 1 () e s () son en opposiion de phase, un des deu aein son maimum lorsque l aure aein son minimum, décalage emporel d une demi période : = T ϕ = ±π. PCSI Page 5/8

6 S1 (0) ϕ = ϕ 1 + π ϕ = π S(0) S M = S 1 S ϕ 1 S M S (0) FIGURE 6 Signau en opposiion de phase : ϕ = π Si ϕ 1 = ϕ + π (modulo π), l ampliude de la somme es minimale. n a alors simplemen Signau en opposiion de phase : ϕ 1 = ϕ + π[π] S M = S 1 S simulaion décomposiion de Fourrier Remarque : L addiion d un signal en opposiion de phase peu donc permere d annuler une onde. Cela peu êre emploé pour réduire les nuisances sonores dans les milieu bruans. n parle alors de ssème acif (car il fau l alimener) par opposiion à des ssèmes passifs qui se baserai uniquemen sur l aénuaion par réfleion ou absorpion III Somme de deu signau de fréquences différenes 1. Avec le calcul Le paragraphe précéden raie du phénomène d inerférence en faisan la somme de deu signau de même fréquence. n peu soulever deu quesions (qui son en fai liées) : 1. Que se passe--il lorsque les signau n on pas eacemen la même fréquence?. Pourquoi n observe--on en général pas d inerférence en opique (par eemple lorsque l on allume les néons au plafond)? Considérons deu signau de pulsaions différenes ω 1 e ω, mais proches, c es-à-dire que l on va poser ω 1 = ω δω e ω = ω + δω. Supposons pour simplifier les calculs que les signau on même ampliude e même phase à l origine. s() = s 1 () + s () = s 0 (cos(ω 1 ) + cos(ω )) En uilisan une fois encore la formule d addiion des cosinus : ( ) ( ) ω1 + ω ω1 ω s() = s 0 cos cos = s 0 cos(ω) cos(δω ) Dans le cas où les deu fréquences son proches, δω ω, c es-à-dire cos(δω ) oscille rès lenemen par rappor à cos(ω). n peu donc voir la formule précédene comme éan celle d un signal sinusoïdal don l ampliude varie lenemen dans le emps : A() cos(ω) avec A() = s 0 cos(δω ) PCSI Page 6/8

7 Eemple : ± cos(δω ) cos(ω) A() A() s() -6 6 (s) = 1 f = π δω Eercice : À parir de l enregisremen de baemens ci-dessus, rouver la différence de fréquence enre s 1 e s. n mesure l inervalle de emps enre deu annulaions : = 4 s. Ce emps correspond à des annulaions du cosinus, donc à une différence de phase de π. n a donc δω = π = π. r δω δω = ω ω 1 = π(f f 1 ) d où 1 = f f 1 = 1 f f 1 (deu faceur deu qui se compensen : on mesure en fai qu une demi-période pour les baemens parce qu on regarde la valeur absolue, e ça correspond à f/) Définiion : Ce phénomène es appelé phénomène de baemens, il apparai lorsque deu signau de fréquences proches se superposen : il a alors une lene modulaion de l ampliude du signal résulan. La fréquence de cee modulaion es direcemen lié à la différence de fréquence enre les deu signau. PCSI Page 7/8

8 Remarques : La pseudo-fréquence du signal résulan es la moenne des deu fréquences. Ce phénomène peu permere de mesurer rès précisémen des fréquences lorsqu elles son proches car plus elles son proches, plus la période du baemen es longue donc facile à mesurer. Si les ampliudes son différenes, le signal ne s annule pas ou à fai simulaion = 1 f f 1 Pour revenir au inerférences en opique, imaginons que f f 1 f 1, alors la fréquence des 1000 f baemens sera elle aussi 1 c es-à-dire une fréquence de l ordre de = Hz, c es à dire 100 milliards d oscillaions par seconde! Le phénomène de baemen es dans ce cas complèemen impercepible, le capeur effecuan une moenne. Ainsi, on peu rajouer comme condiion pour les inerférences : il fau que les fréquences des deu sources soien les mêmes, dans le cas conraire un phénomène de baemen apparai.. Démonsraion sans calcul s = 0 > 0 = T ba / > T ba / = T ba n considère deu signau : s 1 de fréquence f 1, s de fréquence f (légèremen supérieur à f 1 dans mon eemple). n choisi = 0 à un insan où les deu signau son en phases. Dans la représenaion de Fresnel, s ourne légèremen plus vie. Pendan un emps, s 1 fai n 1 () = f 1 ours e s fai n () = f ours. La première fois où les deu signau reviennen en phase, l ampliude redevien maimale : c es la période des baemens = T ba. Puisque c es la première fois qu ils reviennen en phase, c es que s a fai juse un our de plus que s 1. n en dédui : 1 n = n f T ba = f 1 T ba + 1 T ba (f f 1 ) = 1 T ba = f f 1 Ici on a fai l hpohèse que f > f 1, de façon générale : T ba = 1 f f 1 PCSI Page 8/8

9 Table des maières I Inerférence : mise en évidence epérimenale 1. Disposiif epérimenal. Inerpréaion qualiaive II Somme de deu signau de même fréquence 1. Calculs. Représenaion de Fresnel III Somme de deu signau de fréquences différenes 1. Avec le calcul. Démonsraion sans calcul Epériences à moner : 1. Inerférence Ulrason. Michelson en lame d air 3. Baemen avec deu diapason de fréq proche? PCSI Lcée Poincaré