INTERFERENCES LOCALISEES : LAMES PRISMATIQUES ET ANNEAUX DE NEWTON.

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1 INTERFERENCES LOCALISEES : LAMES PRISMATIQUES ET ANNEAUX DE NEWTON. PLAN DU COURS. Lames prismatiques..... Les indices de réfraction Epression de la différence de chemins optiques Epression de l ordre d interférence Forme des franges d interférences Interfrange Position des franges Anneau de Newton Epression de la différence de chemins optiques Epression de l ordre d interférence Forme des franges Calcul des rayons des anneau brillants et sombres Observation des anneau Eemples de calculs DESCRIPTION DU CHAPITRE Après avoir étudié les interférences créées par les lames minces d épaisseur constante, on passe à l étude d autres systèmes permettant l observation et l utilisation de phénomènes d interférences. Il s agit ici d étudier les interférences obtenues par des lames minces d épaisseur variable. On envisagera dans ce cours, l étude des interférences produites par une lame prismatique ainsi que l étude des anneau de Newton. On cherchera dans les deu cas, à donner l epression de la différence de marche entre deu rayons qui interfèrent, l epression de l ordre d'interférences, à déterminer la forme des franges d interférences et à calculer les positions de ces franges.

2 . Lames prismatiques. On envoie un faisceau de lumière parallèle sur un prisme de petit angle α. L incidence est normale sur le premier dioptre (les rayons arrivent sur le premier dioptre en faisant un angle de 90 avec le dioptre). On construit alors les deu premiers rayons réfléchis et transmis. On obtient la figure ci-dessous pour la construction des deu premiers rayons réfléchis : R R Rayon incident Dioptre Dioptre T T Le rayon incident arrive au point I du premier dioptre. A cet endroit l épaisseur de la lame prismatique est e = IJ. Si on note la distance de l arête au point I, on obtient e., où α est l angle (eprimé en radian) au sommet du prisme. Sur la figure on a uniquement représenté les deu premiers rayons réfléchis et les deu premiers rayons transmis. La valeur réelle de l angle α a été considérablement eagérée pour rendre les constructions plus lisibles. En réalité les rayons R et R sont très proches l un de l autre et de même pour les deu rayons T et T. D un point vue physique, l onde incidente se divise au point I, pour donner les deu premiers rayons R et R qui vont interférer au point d intersection des droites supportant les rayons R et R. Cette intersection sera présente au voisinage de la lame, plus eactement dans le cas de la figure ci-dessus, dans la lame. La même remarque est valable pour les deu rayons T et T. LES INTERFERENCES OBTENUES PAR DES LAMES PRISMATIQUES SONT LOCALISEES AU VOISINAGE DE LA LAME.

3 3. Les indices de réfraction. On note n i l indice de réfraction du milieu dans le quel se propage le rayon incident. On note n l indice de réfraction de la lame prismatique. On note n t l indice du milieu au-delà du dioptre.. Epression de la différence de chemins optiques. L epression de la différence de chemins optiques géométrique (entre R et R ou entre T et T ) est : géo =.n.e =.n.α. Pour obtenir l epression de la différence de chemins optiques totale, il faut tenir la même discussion que pour les lames d épaisseur constante (chapitre précédent) sur les réfleions vitreuses et ajouter selon les cas étudiés un terme supplémentaire égal à /. Eemple, pour le cas d une lame prismatique de verre dans l air (n i = n t = et n = indice du verre de la lame), la réfleion en I est vitreuse et celle en J est non vitreuse. Conclusion : entre les deu rayons R et R qui interfèrent un chemin optique supplémentaire / sera ajouté à δ géo pour obtenir δ tot. Par contre, pour les deu rayons transmis, les deu réfleions, en J et K, sont de même nature (non vitreuse), donc pas de terme supplémentaire..3 Epression de l ordre d interférence. La définition reste : p tot L epression générale (présence ou pas du terme supplémentaire) de p devient alors : ne n tot n p, où peut prendre les valeurs 0 ou (selon le nombre de réfleions vitreuses)..4 Forme des franges d interférences. Pour déterminer la forme (ou géométrie) des franges d interférences on résout l équation p=constante. Puisque les valeurs de n, α et λ sont constantes, la condition p=constante implique e=constante et donc =constante. Plus précisément, si on considère tous les rayons lumineu incidents sur le dioptre qui arrivent sur ce dioptre de façon à ce que la distance point d incidence-arrête soit la même, ils donneront chacun deu rayons réfléchis (ou transmis) qui seront caractérisés par une même valeur de p.

4 4 Les franges sont rectilignes, parallèles à l arête du prisme et équidistantes (voir démonstration ci-dessous)..5 Interfrange. L interfrange est la distance notée i, séparant deu franges de même nature. Son epression est : i n Démonstration : Soit p l ordre d interférence d une frange située à la distance de l arrête, et p l ordre d interférence de la frange voisine de même nature (par eemple deu franges brillantes successives ou deu franges sombres successives) située, elle à la distance de l arrête. L interfrange i est la distance entre les deu franges, donc i = -. L epression de p est : n p L epression de p est : n ' p ' n ' n n n On écrit la différence p -p : p' p ' i Comme les franges ont même nature et qu elles sont voisines (la première et la deuième brillante Ou encore, la diième et la onzième sombre), p -p =. On en déduit : i n.6 Position des franges. Pour déterminer les positions des franges (en général, on cherche les franges brillantes et sombres) on utilise l epression de l ordre d interférences p. La valeur de p au niveau de l arête est donnée par la condition = 0. On obtient alors :

5 5 n p Pour une lame prismatique de verre dans l air, la valeur de p au niveau de l arête sera égale à 0 en transmission et à 0,5 en réfleion. On en déduit que l arête sera vue brillante en transmission et sombre en réfleion. L epression de p montre que si augmente, p augmente. On en déduit la valeur de p pour la première frange brillante : p =. Les valeurs de n, α et λ étant données, on peut déduire la valeur de donnant la position de la frange brillante N. On fait de même pour la frange brillante N qui sera, elle, caractérisée par l ordre d interférence p =. Pour les franges sombres, la méthode est la même, mais, toujours en prenant l eemple de la lame prismatique de verre dans l air, la frange sombre N en réfleion sera caractérisée par p =,5 (0,5 étant réservé à l arête) et par p = 0,5 en transmission.

6 6. Anneau de Newton. Un des dispositifs permettant l observation des anneau de Newton est le suivant : I R R Seuls les rayons réfléchis ont été représentés (pour des raisons de commodité!). L étude est identique à celle réalisée pour la lame prismatique. On constate que les deu premiers rayons qui interfèrent se coupent (virtuellement) au voisinage de la lame d épaisseur variable. Les interférences sont localisées au voisinage de la lame.. Epression de la différence de chemins optiques. La différence de marche géométrique est géo =.n.e, où n est l indice de la mince lame d épaisseur variable, et e est l épaisseur de la lame définie par le point d incidence du rayon incident (voir le segment en trais épais sur la figure ci-dessus). L epression de l épaisseur e en fonction de est donnée par l epression de la flèche (approchée) : e e0 R où e 0 représente la distance entre le sommet de la face sphérique et le dioptre plan (d ae ) et R représente le rayon de courbure de la face sphérique de la lentille. On en déduit l epression de géo en fonction de : géo n. n. e0 R Pour obtenir l epression de tot il faut encore discuter la présence éventuelle du terme /. n Tot. n. e0 où la valeur de est égale à 0 ou (en fonction du nombre de réfleions R vitreuses).

7 7. Epression de l ordre d interférence. On en déduit l epression de l ordre d interférences :. n. e 0 n p R Prenons l eemple du dispositif d une lame parallèle posée (donc en contact, donc e 0 = 0) sur une lentille plan convee. Entre la lame et la lentille, il y a de l air. En réfleion : p R En transmission : p R.3 Forme des franges. La forme des franges est donnée par la condition p = constante (on utilisera ici l epression de p en fonction de ) : p. n. e 0 n R. Pour que la valeur de p reste constante il faut que reste constant. La symétrie du problème donne le résultat suivant : les franges sont circulaires et centrées sur l ae optique de la lentille : ce sont des anneau. Dans le cas où il y a contact entre la lame à faces planes et parallèles et le dioptre sphérique de la lentille, au centre de la figure, = 0. On en déduit que le centre de la figure est sombre en réfleion et brillant en transmission..4 Calcul des rayons des anneau brillants et sombres. Pour le calcul des rayons (ou diamètres) des anneau on utilise l epression de p en fonction de. Au centre de la figure d interférences, la valeur de p (notée p 0 ) est minimum. Lorsque augmente, p augmente. Donc l ordre d interférence du premier anneau brillant est le premier entier supérieur à p 0. L ordre d interférence du premier anneau sombre est le premier nombre du type k+0,5 (où k est un entier) supérieur à p 0. L ordre d interférence d un anneau étant caractérisé, on peut alors calculer la valeur de qui correspond au rayon de l anneau recherché.

8 8.5 Observation des anneau. Pour observer les interférences, on utilise un instrument d optique de type loupe ou viseur. On peut également prendre une photographie (le plan du négatif étant alors conjugué du plan où sont localisées les franges d interférences). 3. Eemples de calculs. Eemple n : anneau de Newton. On observe en réfleion les interférences produites en éclairant en incidence normale un dispositif d anneau de newton. Le rayon de courbure de la face sphérique est de m. L indice de l air est égal à. Il y a contact entre la lame plane et la lentille. La longueur d onde est =546 nm. Calculer les diamètres des trois premiers anneau brillants. Solution : L ordre d interférence entre les deu rayons réfléchis est : p R Au centre de la figure d interférence, = 0 et p 0 = 0,5. Donc les ordres d interférence des trois premiers rayons sont, et 3. On peut maintenant calculer les diamètres : er anneau : p R le rayon de l anneau est : le rayon de l anneau est : le rayon de l anneau 3 est : 9 R 0, , 5 mm 9 R 5, , 64 mm R, , 83 mm Eemple n : lame prismatique. On considère un prisme de petit angle = 5 d indice,5. Il est éclairé en incidence normale par un faisceau de lumière monochromatique de longueur d onde = 550 nm. L ordre d interférence est : n p en réfleion et n p en transmission. L ordre d interférence calculé sur l arête est 0,5 en réfleion et 0 en transmission. On en déduit que l arête est vue sombre en réfleion et brillante en transmission. En réfleion : La frange n k brillante a pour abscisse : La frange n k sombre a pour abscisse k k.. n k k.. n

9 9 En transmission : La frange n k brillante a pour abscisse : La frange n k sombre a pour abscisse k k k.. n k.. n