Estimation et intervalle de confiance

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Estimation et intervalle de confiance"

Transcription

1 Estimation et intervalle de confiance S. Robin AgroParisTech, dépt. MMIP 8 octobre 2007 A lire : Chapitre 3 Estimation de paramètre du livre Statistique Inférentielle, Daudin, R., Vuillet (2001) 1

2 Estimation d un paramètre 3 exemples d estimation. On souhaite connaître 1. le taux de germination de graines de tournesol ; 2. le viscosité moyenne d un polymère en vue de fabrication de composant électronique, et la variabilité de cette viscosité; 3. la fréquence de l allèle A dans une population. Les quantités d intérêt sont des valeurs théoriques (paramètres) dont les vraies valeurs ne seront jamais connues mais qu on souhaite estimer à partir de données expérimentales. Taux de germination : π = probabilité pour qu une graine de tournesol germe (dans des conditions données). Viscosité : µ = espérance de la viscosité mesurée sur un échantillon de polymère, σ 2 = variance de cette viscosité. Fréquence allélique : p = probabilité qu un allèle pris au hasard dans la population soit un A. 2

3 Expérience. Taux de germination : on dispose n = 40 graines sur du papier buvard humide et on compte le nombre X de graines ayant germé au bout de 8 jours. Viscosité : on extrait n = 10 échantillons de la production et on mesure leur viscosités X 1,...,X 10. Fréquence allélique : on échantillonne n = 100 individus dans la population et on compte le nombre X AA d homozygotes A, le nombre X Aa d hétérozygotes et le nombre X aa d homozygotes aa. Modèle statistique. Taux de germination : le nombre de graine ayant germé suit une loi binomiale X B(n, π) Pr{X = x} = C x nπ x (1 π) n x 3

4 Viscosité : les mesures de viscosité sont Indépendantes et Identiquement Distribuées (i.i.d.) selon une loi normale {X i } i.i.d., X i N(µ,σ 2 ) ; f(x) = 1 ] [ σ 2π exp (x µ)2 2σ 2 Fréquence allélique : si la population est à l équilibre de Hardy-Weinberg (loi de Mendel) le vecteur des effectifs suit une loi multinomiale de probabilités (p 2,2pq, q 2 ) : (X AA,X Aa, X aa ) M(n; p 2, 2pq,q 2 ) en notant q = 1 p, Pr{X AA = x AA,X Aa = x Aa, X aa = x aa } = n! x AA!x Aa!x aa! (p2 ) x AA (2pq) x Aa (q 2 ) x aa 4

5 Estimateur. Définition. Un estimateur est une fonction des variables aléatoires de l expérience, T = f(x 1, X 2,...,X n ). Taux de germination : on propose d estimer la probabilité π par la proportion T = X/n. Viscosité : on propose d estimer l espérance µ par la moyenne n T 1 = 1 n i=1 X i et la variance (théorique) σ 2 par la variance (empirique) T 2 = 1 n 1 n (X i T 1 ) 2 i=1 Fréquence allélique :...? 5

6 Données. Taux de germination : on observe x = 36 graines germées parmi 40 ; Viscosité : on mesure x i = 78, 84, 91,76, 79, 71, 83,84, 75, 90 Fréquence allélique : on observe les effectifs x AA = 5, x Aa = 20, x aa = 75. Estimation. Définition. L estimation est la réalisation de l estimateur lors de l expérience : t = f(x 1,x 2,...,x n ). Taux de germination : on obtient t = 36/40 = 0.9. Viscosité : on obtient Fréquence allélique :...? t 1 = 81.1, t 2 =

7 Propriétés d un estimateur L estimation t fournie par l expérience est une valeur fixe sur laquelle on peut rien dire de plus. L inférence sur la vraie valeur θ du paramètre ne peut se faire qu à partir des propriétés de l estimateur (aléatoire) T. Quelques propriétés d un estimateur. Espérance : on espère que (T) est proche de θ. Biais : (T) = (T) θ mesure l erreur systématique de l estimateur. Variance : on souhaite que l estimateur ne soit pas trop variant, i.e. que Î(T) soit petite. Écart quadratique moyen : c est une mesure synthétique de l erreur d estimation EQM(T) = [ (T θ) 2 ] = [ (T)] 2 + Î(T) Loi : si on arrive a déterminer la loi de T (T F), on connaît tout de son comportement et de ses propriétés. 7

8 Exemples Proportion : (taux de germination) X B(n, π), T = X n, (T) =?, Î(T) =? Moyenne : (taux viscosité) {X i } i.i.d. N(µ, σ 2 ), T 1 = 1 n n X i, (T 1 ) =?, Î(T 1 ) =? i=1 Variance : (taux viscosité) {X i } i.i.d. N(µ, σ 2 ), T 2 = 1 n 1 n (X i T 1 ) 2, (T 2 ) =? i=1 8

9 Exemples Proportion : (taux de germination) X B(n, π), T = X n, (T) = π, Î(T) = π(1 π) n Moyenne : (taux viscosité) {X i } i.i.d. N(µ, σ 2 ), T 1 = 1 n n i=1 X i, (T 1 ) = µ, Î(T 1 ) = σ2 n Variance : (taux viscosité) {X i } i.i.d. N(µ, σ 2 ), T 2 = 1 n 1 n (X i T 1 ) 2, (T 2 ) =? i=1 9

10 Méthode d estimation Maximum de vraisemblance Définition. La vraisemblance V(x 1,...,x n,θ) est la (densité de) probabilité d observer les valeurs x 1,...,x n pour la valeur θ du paramètre. Variables discrètes : V(x 1,...,x n,θ) = P θ (X 1 = x 1,...,X n = x n ) n = P θ (X i = x i ) si X 1,...,X n sont i.i.d. Variables continues : i=1 V(x 1,...,x n, θ) = f θ (x 1,...,x n ) n = f θ (x i ) i=1 densité conjointe de X 1,...,X n si X 1,...,X n sont i.i.d. 10

11 Estimation par maximum de vraisemblance Principe. On prend comme estimation du paramètre inconnu la valeur t qui rend l échantillon observé x 1,...,x n le plus probable, i.e. qui maximise sa vraisemblance : t MV = arg max θ Θ V(x 1,...,x n ;θ) en notant Θ l ensemble des valeurs possibles de θ. t est donc une fonction des données t MV = g(x 1,...,x n ) Définition. L Estimateur du Maximum de Vraisemblance (EMV) est la variable aléatoire définie par T MV = g(x 1,..., X n ). 11

12 Exemples Taux de germination : X B(n, π) Viscosité : X i N(µ, σ 2 ) V(x;n, π) en fonction de π V({x i }; µ,σ 2 ) en fonction de µ et σ 2 n = 40,x = x x V V π µ σ² t = 0.9 t 1 = 81.1, t 2 =

13 Propriétés fondamentales des EMV Hypothèses. On suppose que différentes conditions de régularité (f θ (x) > 0 x,f θ (x) deux fois différentiable par rapport à θ, Θ, intervalle ouvert,...) sont satisfaites. Propriétés asymptotiques. Biais. T MV est asymptotiquement sans biais : lim n + (T) = 0. Information de Fisher. Elle est définie par I(θ) = { } 2 ln[fθ (x)] > 0 θ Loi asymptotique. T MV est asymptotiquement gaussien n(tmv θ) L n + N(0, I(θ) 1 ). Sous certaines conditions de régularité de f aucun estimateur sans biais ne peut avoir de variance inférieure I(θ) 1 (borne de Cramer-Rao). Transformation. T MV EMV de θ φ(t MV ) EMV de φ(θ) si φ est continue. 13

14 Exemple 3 : Loi multinomiale / Fréquence allélique. Il est plus simple de maximiser le logarithme de la vraisemblance ln V(x AA, x Aa,x aa ;n, p) ( ) n! = ln + x AA ln(p 2 ) + x Aa ln(2pq) + x aa ln(q 2 ) x AA!x Aa!x aa! = constante + (2x AA + x Aa ) ln(p) + (x Aa + 2x aa ) ln(1 p) Sa dérivée par rapport à, p vaut (avec q = 1 p) : ln V p = 2x AA + x Aa p x Aa + 2x aa 1 p et s annule pour p = (2x AA + x Aa )/2n. L estimateur du maximum de vraisemblance est donc T = 2X AA + X Aa. 2n 14

15 Estimation. On a observé sur n = 100 individus les effectifs x AA = 5, x Aa = 20, x aa = 75. On obtient donc t = 2x AA + x Aa 2n = = Variance de l estimateur. Pour des proportions empiriques égales, les échantillons de plus grandes tailles donnent un maximum plus accentué, donc une dérivée seconde plus forte (négative), donc une variance plus faible. n x AA x Aa x aa t log(v) p 15

16 Méthode des moments Principe. Les paramètres d une loi de probabilité sont reliés aux moments. Pour une loi à p paramètres, on peut exprimer ces paramètres en fonction des p premiers moments. Méthode. On estime les p premiers moments par les moments empiriques (moyenne, variance,...) et on en déduit les estimateurs des paramètres. Propriétés. Pas de propriétés générales analogues à celles obtenues pour le maximum de vraisemblance. Exemple : Fréquence allélique. Pour une fréquence p, l espérance du nombre d homozygotes AA vaut (X AA ) = np 2. Estimation. La méthode des moments propose comme estimateur de p : T = X AA /n. Estimation. Pour n = 100 et x AA = 5, on obtient t = 5/100 =

17 Ou encore. On peut aussi utiliser l espérance du nombre d homozygotes aa : (X aa ) = n(1 p) 2 qui donne l estimateur T = 1 X aa /n et, pour n = 100 et x aa = 75, l estimation t = 1 75/100 = Remarques. Il faut faire l étude de ces estimateurs pour connaître leurs propriétés (biais, variance, loi). Intuitivement, ils risquent d être moins précis que l EMV car ils n utilisent pas toute l information (seulement X AA ou X aa ). 17

18 Intervalle de confiance Objectifs. En complément de l estimation, on veut donner un intervalle ayant de bonnes chances de contenir la vraie valeur du paramètre. Méthode. On définit deux bornes B 1 = f 1 (X 1,...,X n ) et B 2 = f 2 (X 1,...,X n ) telles que Pr{B 1 θ B 2 } = 1 α où α est petit, typiquement, α = 1% ou 5%. 1 α est la probabilité de recouvrement (et α la probabilité de non-recouvrement). Intervalle de confiance. L intervalle [b 1 ;b 2 ] avec b 1 = f 1 (x 1,...,x n ) et b 2 = f 2 (x 1,...,x n ) est appeler intervalle de confiance (IC) 1 α pour le paramètre θ : IC 1 α (θ) = [b 1 ;b 2 ]. Remarque.L intervalle [b 1 ; b 2 ] est déterministe, il n a donc pas une probabilité 1 α de contenir θ. Seul l intervalle aléatoire [B 1 ; B 2 ] a cette propriété. 18

19 Construction d un intervalle de confiance pour l espérance Cas de la loi normale. On considère un échantillon {X 1,...,X n } i.i.d. N(µ, σ 2 ). On veut construire un intervalle de confiance 1 α pour l espérance µ. Loi de l estimateur de µ. On prend comme estimateur de µ la moyenne X qui suit une loi normale X = 1 n ) X i N (µ, σ2 n n i=1 car c est une combinaison linéaire de variables normales indépendantes. Variance σ 2 connue. On définit la statistique pivotale (i.e. dont la loi ne dépend pas des paramètres) X µ σ/ N(0, 1). n 19

20 Construction de l IC. On note u p le quantile d ordre p de la loi normale N(0, 1) α = 0.05, u = u = 1.96 La loi de X nous assure que 0.25 Pr { u α/2 X µ } σ/ n u 1 α/2 = 1 α α/2 1 α α/2 On en déduit Pr{X + u α/2 σ n }{{} B σ µ X + u 1 α/2 n } = 1 α. }{{} B 2 L intervalle de confiance est donc : IC 1 α (µ) = [x + u α/2 σ n }{{} b 1 ] σ σ ; x + u 1 α/2 n ] = [x ± u 1 α/2 n }{{} b 2 20

21 Largeur de l IC. La largeur de cet intervalle vaut B 2 B 1 = 2u 1 α/2 σ n soit, pour α = 5%, u 1 α/2 2, B 2 B 1 4σ/ n. La largeur dépend de l écart type σ. Elle décroît comme 1/ n. Il faut 4 fois plus de données pour avoir un intervalle 2 fois moins large; 100 fois plus de données pour un intervalle 10 fois moins large. Pour obtenir un intervalle de la forme [x ± δ] (largeur 2δ), il faut prendre n = u 2 σ 2 1 α/2 δ 2. C est une critère pour fixer la taille d un échantillon. 21

22 Variance σ 2 inconnue. On estime l espérance µ par la moyenne X et la variance σ 2 par S 2 = 1 n (X i X) 2. n 1 i=1 On définit la statistique pivotale qui suit une loi de Student à (n 1) degrés de libertés X µ S/ T (n 1). n Intervalle de confiance. En notant t ν,p le quantile d ordre p de la loi T ν, on a S Pr X + t n 1,α/2 n }{{} B 1 B 2 S µ X + t n 1,1 α/2 n = 1 α. }{{} L intervalle de confiance vaut donc : IC 1 α (µ) = [ ] s x ± t n 1,1 α/2 n 22

23 Exemple : Viscosité On a n = 10 mesures x i = 78,84, 91, 76,79, 71, 83, 84,75, 90 et on obtient x = 81.1, s 2 = 41.9 s = Pour une confiance de 95% (α = 0.05), le quantile correspondant vaut t 3,0.975 = On obtient l intervalle IC 95% (µ) = [76.5 ; 85.7]. Echantillon de plus grande taille. Si on avait obtenu la même moyenne et la même variance empirique sur un échantillon de taille n = 100 (t 99,0.975 = 1.984), on aurait obtenu IC 95% (µ) = [79.8 ; 82.4]. 23

24 Intervalle de confiance pour une variance Estimateur. On estime la variance σ 2 par la variance empirique S 2. Loi de l estimateur. La variance empirique suit une loi du Khi-2 à (n 1) degrés de libertés (χ 2 n 1) : α = 0.05,ν = 9 χ 9,0.025 = 2.7, χ 9,0.975 = 19.0 (n 1)S 2 σ 2 χ 2 n α/2 1 α α/ Bornes. On obtient les bornes B 1 = (n 1)s2 χ 2, B 2 = n 1;1 α 2 (n 1)s2 χ 2 n 1; α 2 Exemple : Viscosité. n = 10 mesures, s 2 = 41.9,s = 6.47 : IC 95% (σ 2 ) = [19.8 ; 139.6], IC 95% (σ) = [4.4 ; 11.8]. 24

25 Intervalle de confiance pour une probabilité Estimateurs. On estime la probabilité (de germination) π par la proportion : P = X/n. Intervalle de confiance approché. On reprend l intervalle établi dans le cas gaussien avec variance connue en utilisant la convergence de la loi binomiale vers la loi normale le fait la variance de X dépend de la probabilité π : Î(X) = nπ(1 π). On obtient les bornes B 1 = P u 1 α 2 P(1 P) n P(1 P), B 2 = P + u 1 α 2. n Exemple : Taux de germination. n = 40 graines dont 36 ont germées : IC 95% (π) = [0.81 ; 0.99], 25

26 Références Théorique : Cours de statistique mathématique, A. Monfort, Economica Pratique : Aide-mémoire pratique des techniques, Statistiques Ceresta Généraliste : Probabilités, analyses des données et statistiques, G. Saporta, Technip. 26

Lois de probabilité. Anita Burgun

Lois de probabilité. Anita Burgun Lois de probabilité Anita Burgun Problème posé Le problème posé en statistique: On s intéresse à une population On extrait un échantillon On se demande quelle sera la composition de l échantillon (pourcentage

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

Feuille 6 : Tests. Peut-on dire que l usine a respecté ses engagements? Faire un test d hypothèses pour y répondre.

Feuille 6 : Tests. Peut-on dire que l usine a respecté ses engagements? Faire un test d hypothèses pour y répondre. Université de Nantes Année 2013-2014 L3 Maths-Eco Feuille 6 : Tests Exercice 1 On cherche à connaître la température d ébullition µ, en degrés Celsius, d un certain liquide. On effectue 16 expériences

Plus en détail

Variables Aléatoires. Chapitre 2

Variables Aléatoires. Chapitre 2 Chapitre 2 Variables Aléatoires Après avoir réalisé une expérience, on ne s intéresse bien souvent à une certaine fonction du résultat et non au résultat en lui-même. Lorsqu on regarde une portion d ADN,

Plus en détail

4. Martingales à temps discret

4. Martingales à temps discret Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les

Plus en détail

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,

Plus en détail

Statistiques Décisionnelles L3 Sciences Economiques & Gestion Faculté d économie, gestion & AES Université Montesquieu - Bordeaux 4 2013-2014

Statistiques Décisionnelles L3 Sciences Economiques & Gestion Faculté d économie, gestion & AES Université Montesquieu - Bordeaux 4 2013-2014 Tests du χ 2 Statistiques Décisionnelles L3 Sciences Economiques & Gestion Faculté d économie, gestion & AES Université Montesquieu - Bordeaux 4 2013-2014 A. Lourme http://alexandrelourme.free.fr Outline

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Introduction à la Statistique Inférentielle

Introduction à la Statistique Inférentielle UNIVERSITE MOHAMMED V-AGDAL SCIENCES FACULTE DES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SMI semestre 4 : Probabilités - Statistique Introduction à la Statistique Inférentielle Prinemps 2013 0 INTRODUCTION La statistique

Plus en détail

Quantification Scalaire et Prédictive

Quantification Scalaire et Prédictive Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction

Plus en détail

Le modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un

Plus en détail

Méthodes de Simulation

Méthodes de Simulation Méthodes de Simulation JEAN-YVES TOURNERET Institut de recherche en informatique de Toulouse (IRIT) ENSEEIHT, Toulouse, France Peyresq06 p. 1/41 Remerciements Christian Robert : pour ses excellents transparents

Plus en détail

3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.

3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. 3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32 Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions

Plus en détail

Probabilités III Introduction à l évaluation d options

Probabilités III Introduction à l évaluation d options Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un

Plus en détail

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA

Plus en détail

4 Distributions particulières de probabilités

4 Distributions particulières de probabilités 4 Distributions particulières de probabilités 4.1 Distributions discrètes usuelles Les variables aléatoires discrètes sont réparties en catégories selon le type de leur loi. 4.1.1 Variable de Bernoulli

Plus en détail

Economie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de

Economie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de Economie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de l espérance d utilité Olivier Bos olivier.bos@u-paris2.fr

Plus en détail

Calcul élémentaire des probabilités

Calcul élémentaire des probabilités Myriam Maumy-Bertrand 1 et Thomas Delzant 1 1 IRMA, Université Louis Pasteur Strasbourg, France Licence 1ère Année 16-02-2006 Sommaire La loi de Poisson. Définition. Exemple. 1 La loi de Poisson. 2 3 4

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Cours de méthodes de scoring

Cours de méthodes de scoring UNIVERSITE DE CARTHAGE ECOLE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D ANALYSE DE L INFORMATION Cours de méthodes de scoring Préparé par Hassen MATHLOUTHI Année universitaire 2013-2014 Cours de méthodes de scoring-

Plus en détail

Projet Etienne Marceau Méthodes statistiques en assurance non vie

Projet Etienne Marceau Méthodes statistiques en assurance non vie Trinôme : Carine Sauser, Mélanie Groisne, Xavier Milhaud Projet Etienne Marceau Méthodes statistiques en assurance non vie Méthodes statistiques pour la finance et l assurance ISFA - Décembre 2007 Table

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Exercices corrigés

Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.

Plus en détail

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013 Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

Estimation: intervalle de fluctuation et de confiance. Mars 2012. IREM: groupe Proba-Stat. Fluctuation. Confiance. dans les programmes comparaison

Estimation: intervalle de fluctuation et de confiance. Mars 2012. IREM: groupe Proba-Stat. Fluctuation. Confiance. dans les programmes comparaison Estimation: intervalle de fluctuation et de confiance Mars 2012 IREM: groupe Proba-Stat Estimation Term.1 Intervalle de fluctuation connu : probabilité p, taille de l échantillon n but : estimer une fréquence

Plus en détail

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3

Plus en détail

Modélisation des risques

Modélisation des risques 2 Modélisation des risques 2. Introduction L objectif de ce chapitre est de présenter les modèles de base utilisés pour décrire le comportement aléatoire d un risque en actuariat pour une période xe. Les

Plus en détail

Statistiques Descriptives à une dimension

Statistiques Descriptives à une dimension I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des

Plus en détail

Cours de Tests paramétriques

Cours de Tests paramétriques Cours de Tests paramétriques F. Muri-Majoube et P. Cénac 2006-2007 Licence Ce document est sous licence ALC TYPE 2. Le texte de cette licence est également consultable en ligne à l adresse http://www.librecours.org/cgi-bin/main?callback=licencetype2.

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Modèles et Méthodes de Réservation

Modèles et Méthodes de Réservation Modèles et Méthodes de Réservation Petit Cours donné à l Université de Strasbourg en Mai 2003 par Klaus D Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden D 01062 Dresden E

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles

Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Quantiles En statistique, pour toute série numérique de données à valeurs dans un intervalle I, on définit la fonction quantile Q, de [,1] dans

Plus en détail

Introduction à la statistique non paramétrique

Introduction à la statistique non paramétrique Introduction à la statistique non paramétrique Catherine MATIAS CNRS, Laboratoire Statistique & Génome, Évry http://stat.genopole.cnrs.fr/ cmatias Atelier SFDS 27/28 septembre 2012 Partie 2 : Tests non

Plus en détail

Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA

Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA Soutenance de doctorat, sous la direction de Pr. Bilodeau, M. et Pr. Ducharme, G. Université de Montréal et Université

Plus en détail

Tests du χ 2. on accepte H 0 bonne décision erreur de seconde espèce on rejette H 0 erreur de première espèce bonne décision

Tests du χ 2. on accepte H 0 bonne décision erreur de seconde espèce on rejette H 0 erreur de première espèce bonne décision Page n 1. Tests du χ 2 une des fonctions des statistiques est de proposer, à partir d observations d un phénomène aléatoire (ou modélisé comme tel) une estimation de la loi de ce phénomène. C est que nous

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING»

LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» Gilbert Saporta Professeur de Statistique Appliquée Conservatoire National des Arts et Métiers Dans leur quasi totalité, les banques et organismes financiers

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

TESTS D HYPOTHÈSE FONDÉS SUR LE χ². http://fr.wikipedia.org/wiki/eugénisme

TESTS D HYPOTHÈSE FONDÉS SUR LE χ². http://fr.wikipedia.org/wiki/eugénisme TESTS D HYPOTHÈSE FONDÉS SUR LE χ² http://fr.wikipedia.org/wiki/eugénisme Logo du Second International Congress of Eugenics 1921. «Comme un arbre, l eugénisme tire ses constituants de nombreuses sources

Plus en détail

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver

Plus en détail

Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps?

Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps? Chapitre 3 Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps? On va la plupart du temps se limiter à l étude de couple de variables aléatoires, on peut bien sûr étendre les notions introduites

Plus en détail

Théorie de l estimation et de la décision statistique

Théorie de l estimation et de la décision statistique Théorie de l estimation et de la décision statistique Paul Honeine en collaboration avec Régis Lengellé Université de technologie de Troyes 2013-2014 Quelques références Decision and estimation theory

Plus en détail

Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34

Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34 Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second

Plus en détail

FORMULAIRE DE STATISTIQUES

FORMULAIRE DE STATISTIQUES FORMULAIRE DE STATISTIQUES I. STATISTIQUES DESCRIPTIVES Moyenne arithmétique Remarque: population: m xμ; échantillon: Mx 1 Somme des carrés des écarts "# FR MOYENNE(série) MOYENNE(série) NL GEMIDDELDE(série)

Plus en détail

Les mathématiques de la finance Université d été de Sourdun Olivier Bardou olivier.bardou@gdfsuez.com 28 août 2012 De quoi allons nous parler? des principales hypothèses de modélisation des marchés, des

Plus en détail

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Exemples d application

Exemples d application AgroParisTech Exemples d application du modèle linéaire E Lebarbier, S Robin Table des matières 1 Introduction 4 11 Avertissement 4 12 Notations 4 2 Régression linéaire simple 7 21 Présentation 7 211 Objectif

Plus en détail

Cours (7) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012 LES STATISTIQUES INFERENTIELLES

Cours (7) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012 LES STATISTIQUES INFERENTIELLES LES STATISTIQUES INFERENTIELLES (test de Student) L inférence statistique est la partie des statistiques qui, contrairement à la statistique descriptive, ne se contente pas de décrire des observations,

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

ALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE. SMI AlgoII

ALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE. SMI AlgoII ALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE 1 2 Comment choisir entre différents algorithmes pour résoudre un même problème? Plusieurs critères de choix : Exactitude Simplicité Efficacité (but de ce chapitre)

Plus en détail

Pierre Thérond pierre@therond.fr. Année universitaire 2013-2014

Pierre Thérond pierre@therond.fr. Année universitaire 2013-2014 http://www.therond.fr pierre@therond.fr Institut de Science Financière et d Assurances - Université Lyon 1 Année universitaire 2013-2014 Plan du cours 1 Chapitre 1 - Introduction 2 3 4 Bibliographie principale

Plus en détail

Contents. 1 Introduction Objectifs des systèmes bonus-malus Système bonus-malus à classes Système bonus-malus : Principes

Contents. 1 Introduction Objectifs des systèmes bonus-malus Système bonus-malus à classes Système bonus-malus : Principes Université Claude Bernard Lyon 1 Institut de Science Financière et d Assurances Système Bonus-Malus Introduction & Applications SCILAB Julien Tomas Institut de Science Financière et d Assurances Laboratoire

Plus en détail

La simulation probabiliste avec Excel

La simulation probabiliste avec Excel La simulation probabiliste avec Ecel (2 e version) Emmanuel Grenier emmanuel.grenier@isab.fr Relu par Kathy Chapelain et Henry P. Aubert Incontournable lorsqu il s agit de gérer des phénomènes aléatoires

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

Incertitudes expérimentales

Incertitudes expérimentales Incertitudes expérimentales F.-X. Bally et J.-M. Berroir Février 2013 Table des matières Introduction 4 1 Erreur et incertitude 4 1.1 Erreurs............................................. 4 1.1.1 Définition

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Chapitre VI - Méthodes de factorisation

Chapitre VI - Méthodes de factorisation Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

Projet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR

Projet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR Projet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR Introduction En analyse d images, la segmentation est une étape essentielle, préliminaire à des traitements de haut niveau tels que la classification,

Plus en détail

TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION

TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun

Plus en détail

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien

Plus en détail

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3)

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de

Plus en détail

Statistique : Résumé de cours et méthodes

Statistique : Résumé de cours et méthodes Statistique : Résumé de cours et méthodes 1 Vocabulaire : Population : c est l ensemble étudié. Individu : c est un élément de la population. Effectif total : c est le nombre total d individus. Caractère

Plus en détail

Biostatistiques Biologie- Vétérinaire FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke

Biostatistiques Biologie- Vétérinaire FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke www.fundp.ac.be/biostats Module 140 140 ANOVA A UN CRITERE DE CLASSIFICATION FIXE...2 140.1 UTILITE...2 140.2 COMPARAISON DE VARIANCES...2 140.2.1 Calcul de la variance...2 140.2.2 Distributions de référence...3

Plus en détail

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12 Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 TESTS PARAMÉTRIQUES

UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 TESTS PARAMÉTRIQUES Université Paris 13 Cours de Statistiques et Econométrie I UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 Licence de Sciences Economiques L3 Premier semestre TESTS PARAMÉTRIQUES Remarque: les exercices 2,

Plus en détail

ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE

ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ J.-D. Fouks. École Supérieure d Ingénieurs de Poitiers. 40 avenue du Recteur Pineau, 860 Poitiers

Plus en détail

EPREUVES AU CHOIX DU CANDIDAT. Durée : De 09 h 00 à 12 h 00 (Heure de Yaoundé, TU + 1)

EPREUVES AU CHOIX DU CANDIDAT. Durée : De 09 h 00 à 12 h 00 (Heure de Yaoundé, TU + 1) 1 CYCLE MST-A 30 JUIN 2010 10 ème Promotion 2010 / 2012 CONCOURS D ENTREE A L IIA DROIT EPREUVES AU CHOIX DU CANDIDAT Durée : De 09 h 00 à 12 h 00 (Heure de Yaoundé, TU + 1) Le candidat traitera au choix

Plus en détail

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de

Plus en détail

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions ISTIL, Tronc commun de première année Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques, 2008 2009 Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions Exercice 1 Dans un centre avicole, des études

Plus en détail

Loi d une variable discrète

Loi d une variable discrète MATHEMATIQUES TD N : VARIABLES DISCRETES - Corrigé. P[X = k] 0 k point de discontinuité de F et P[X = k] = F(k + ) F(k ) Ainsi, P[X = ] =, P[X = 0] =, P[X = ] = R&T Saint-Malo - nde année - 0/0 Loi d une

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Corrigé des TD 1 à 5

Corrigé des TD 1 à 5 Corrigé des TD 1 à 5 1 Premier Contact 1.1 Somme des n premiers entiers 1 (* Somme des n premiers entiers *) 2 program somme_entiers; n, i, somme: integer; 8 (* saisie du nombre n *) write( Saisissez un

Plus en détail

Biostatistiques : Petits effectifs

Biostatistiques : Petits effectifs Biostatistiques : Petits effectifs Master Recherche Biologie et Santé P. Devos DRCI CHRU de Lille EA2694 patrick.devos@univ-lille2.fr Plan Données Générales : Définition des statistiques Principe de l

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

DETERMINATION DE L INCERTITUDE DE MESURE POUR LES ANALYSES CHIMIQUES QUANTITATIVES

DETERMINATION DE L INCERTITUDE DE MESURE POUR LES ANALYSES CHIMIQUES QUANTITATIVES Agence fédérale pour la Sécurité de la Chaîne alimentaire Administration des Laboratoires Procédure DETERMINATION DE L INCERTITUDE DE MESURE POUR LES ANALYSES CHIMIQUES QUANTITATIVES Date de mise en application

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN

Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN Table des matières. Introduction....3 Mesures et incertitudes en sciences physiques

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif

Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université

Plus en détail

Probabilités et statistique. Benjamin JOURDAIN

Probabilités et statistique. Benjamin JOURDAIN Probabilités et statistique Benjamin JOURDAIN 11 septembre 2013 2 i ii À Anne Préface Ce livre est issu du polycopié du cours de probabilités et statistique de première année de l École des Ponts ParisTech

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12 ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12 ARTHUR CHARPENTIER 1 Une compagnie d assurance modélise le montant de la perte lors d un accident par la variable aléatoire continue X uniforme sur l intervalle

Plus en détail

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Représentation d une distribution

Représentation d une distribution 5 Représentation d une distribution VARIABLE DISCRÈTE : FRÉQUENCES RELATIVES DES CLASSES Si dans un graphique représentant une distribution, on place en ordonnées le rapport des effectifs n i de chaque

Plus en détail