Estimation et intervalle de confiance

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1 Estimation et intervalle de confiance S. Robin AgroParisTech, dépt. MMIP 8 octobre 2007 A lire : Chapitre 3 Estimation de paramètre du livre Statistique Inférentielle, Daudin, R., Vuillet (2001) 1

2 Estimation d un paramètre 3 exemples d estimation. On souhaite connaître 1. le taux de germination de graines de tournesol ; 2. le viscosité moyenne d un polymère en vue de fabrication de composant électronique, et la variabilité de cette viscosité; 3. la fréquence de l allèle A dans une population. Les quantités d intérêt sont des valeurs théoriques (paramètres) dont les vraies valeurs ne seront jamais connues mais qu on souhaite estimer à partir de données expérimentales. Taux de germination : π = probabilité pour qu une graine de tournesol germe (dans des conditions données). Viscosité : µ = espérance de la viscosité mesurée sur un échantillon de polymère, σ 2 = variance de cette viscosité. Fréquence allélique : p = probabilité qu un allèle pris au hasard dans la population soit un A. 2

3 Expérience. Taux de germination : on dispose n = 40 graines sur du papier buvard humide et on compte le nombre X de graines ayant germé au bout de 8 jours. Viscosité : on extrait n = 10 échantillons de la production et on mesure leur viscosités X 1,...,X 10. Fréquence allélique : on échantillonne n = 100 individus dans la population et on compte le nombre X AA d homozygotes A, le nombre X Aa d hétérozygotes et le nombre X aa d homozygotes aa. Modèle statistique. Taux de germination : le nombre de graine ayant germé suit une loi binomiale X B(n, π) Pr{X = x} = C x nπ x (1 π) n x 3

4 Viscosité : les mesures de viscosité sont Indépendantes et Identiquement Distribuées (i.i.d.) selon une loi normale {X i } i.i.d., X i N(µ,σ 2 ) ; f(x) = 1 ] [ σ 2π exp (x µ)2 2σ 2 Fréquence allélique : si la population est à l équilibre de Hardy-Weinberg (loi de Mendel) le vecteur des effectifs suit une loi multinomiale de probabilités (p 2,2pq, q 2 ) : (X AA,X Aa, X aa ) M(n; p 2, 2pq,q 2 ) en notant q = 1 p, Pr{X AA = x AA,X Aa = x Aa, X aa = x aa } = n! x AA!x Aa!x aa! (p2 ) x AA (2pq) x Aa (q 2 ) x aa 4

5 Estimateur. Définition. Un estimateur est une fonction des variables aléatoires de l expérience, T = f(x 1, X 2,...,X n ). Taux de germination : on propose d estimer la probabilité π par la proportion T = X/n. Viscosité : on propose d estimer l espérance µ par la moyenne n T 1 = 1 n i=1 X i et la variance (théorique) σ 2 par la variance (empirique) T 2 = 1 n 1 n (X i T 1 ) 2 i=1 Fréquence allélique :...? 5

6 Données. Taux de germination : on observe x = 36 graines germées parmi 40 ; Viscosité : on mesure x i = 78, 84, 91,76, 79, 71, 83,84, 75, 90 Fréquence allélique : on observe les effectifs x AA = 5, x Aa = 20, x aa = 75. Estimation. Définition. L estimation est la réalisation de l estimateur lors de l expérience : t = f(x 1,x 2,...,x n ). Taux de germination : on obtient t = 36/40 = 0.9. Viscosité : on obtient Fréquence allélique :...? t 1 = 81.1, t 2 =

7 Propriétés d un estimateur L estimation t fournie par l expérience est une valeur fixe sur laquelle on peut rien dire de plus. L inférence sur la vraie valeur θ du paramètre ne peut se faire qu à partir des propriétés de l estimateur (aléatoire) T. Quelques propriétés d un estimateur. Espérance : on espère que (T) est proche de θ. Biais : (T) = (T) θ mesure l erreur systématique de l estimateur. Variance : on souhaite que l estimateur ne soit pas trop variant, i.e. que Î(T) soit petite. Écart quadratique moyen : c est une mesure synthétique de l erreur d estimation EQM(T) = [ (T θ) 2 ] = [ (T)] 2 + Î(T) Loi : si on arrive a déterminer la loi de T (T F), on connaît tout de son comportement et de ses propriétés. 7

8 Exemples Proportion : (taux de germination) X B(n, π), T = X n, (T) =?, Î(T) =? Moyenne : (taux viscosité) {X i } i.i.d. N(µ, σ 2 ), T 1 = 1 n n X i, (T 1 ) =?, Î(T 1 ) =? i=1 Variance : (taux viscosité) {X i } i.i.d. N(µ, σ 2 ), T 2 = 1 n 1 n (X i T 1 ) 2, (T 2 ) =? i=1 8

9 Exemples Proportion : (taux de germination) X B(n, π), T = X n, (T) = π, Î(T) = π(1 π) n Moyenne : (taux viscosité) {X i } i.i.d. N(µ, σ 2 ), T 1 = 1 n n i=1 X i, (T 1 ) = µ, Î(T 1 ) = σ2 n Variance : (taux viscosité) {X i } i.i.d. N(µ, σ 2 ), T 2 = 1 n 1 n (X i T 1 ) 2, (T 2 ) =? i=1 9

10 Méthode d estimation Maximum de vraisemblance Définition. La vraisemblance V(x 1,...,x n,θ) est la (densité de) probabilité d observer les valeurs x 1,...,x n pour la valeur θ du paramètre. Variables discrètes : V(x 1,...,x n,θ) = P θ (X 1 = x 1,...,X n = x n ) n = P θ (X i = x i ) si X 1,...,X n sont i.i.d. Variables continues : i=1 V(x 1,...,x n, θ) = f θ (x 1,...,x n ) n = f θ (x i ) i=1 densité conjointe de X 1,...,X n si X 1,...,X n sont i.i.d. 10

11 Estimation par maximum de vraisemblance Principe. On prend comme estimation du paramètre inconnu la valeur t qui rend l échantillon observé x 1,...,x n le plus probable, i.e. qui maximise sa vraisemblance : t MV = arg max θ Θ V(x 1,...,x n ;θ) en notant Θ l ensemble des valeurs possibles de θ. t est donc une fonction des données t MV = g(x 1,...,x n ) Définition. L Estimateur du Maximum de Vraisemblance (EMV) est la variable aléatoire définie par T MV = g(x 1,..., X n ). 11

12 Exemples Taux de germination : X B(n, π) Viscosité : X i N(µ, σ 2 ) V(x;n, π) en fonction de π V({x i }; µ,σ 2 ) en fonction de µ et σ 2 n = 40,x = x x V V π µ σ² t = 0.9 t 1 = 81.1, t 2 =

13 Propriétés fondamentales des EMV Hypothèses. On suppose que différentes conditions de régularité (f θ (x) > 0 x,f θ (x) deux fois différentiable par rapport à θ, Θ, intervalle ouvert,...) sont satisfaites. Propriétés asymptotiques. Biais. T MV est asymptotiquement sans biais : lim n + (T) = 0. Information de Fisher. Elle est définie par I(θ) = { } 2 ln[fθ (x)] > 0 θ Loi asymptotique. T MV est asymptotiquement gaussien n(tmv θ) L n + N(0, I(θ) 1 ). Sous certaines conditions de régularité de f aucun estimateur sans biais ne peut avoir de variance inférieure I(θ) 1 (borne de Cramer-Rao). Transformation. T MV EMV de θ φ(t MV ) EMV de φ(θ) si φ est continue. 13

14 Exemple 3 : Loi multinomiale / Fréquence allélique. Il est plus simple de maximiser le logarithme de la vraisemblance ln V(x AA, x Aa,x aa ;n, p) ( ) n! = ln + x AA ln(p 2 ) + x Aa ln(2pq) + x aa ln(q 2 ) x AA!x Aa!x aa! = constante + (2x AA + x Aa ) ln(p) + (x Aa + 2x aa ) ln(1 p) Sa dérivée par rapport à, p vaut (avec q = 1 p) : ln V p = 2x AA + x Aa p x Aa + 2x aa 1 p et s annule pour p = (2x AA + x Aa )/2n. L estimateur du maximum de vraisemblance est donc T = 2X AA + X Aa. 2n 14

15 Estimation. On a observé sur n = 100 individus les effectifs x AA = 5, x Aa = 20, x aa = 75. On obtient donc t = 2x AA + x Aa 2n = = Variance de l estimateur. Pour des proportions empiriques égales, les échantillons de plus grandes tailles donnent un maximum plus accentué, donc une dérivée seconde plus forte (négative), donc une variance plus faible. n x AA x Aa x aa t log(v) p 15

16 Méthode des moments Principe. Les paramètres d une loi de probabilité sont reliés aux moments. Pour une loi à p paramètres, on peut exprimer ces paramètres en fonction des p premiers moments. Méthode. On estime les p premiers moments par les moments empiriques (moyenne, variance,...) et on en déduit les estimateurs des paramètres. Propriétés. Pas de propriétés générales analogues à celles obtenues pour le maximum de vraisemblance. Exemple : Fréquence allélique. Pour une fréquence p, l espérance du nombre d homozygotes AA vaut (X AA ) = np 2. Estimation. La méthode des moments propose comme estimateur de p : T = X AA /n. Estimation. Pour n = 100 et x AA = 5, on obtient t = 5/100 =

17 Ou encore. On peut aussi utiliser l espérance du nombre d homozygotes aa : (X aa ) = n(1 p) 2 qui donne l estimateur T = 1 X aa /n et, pour n = 100 et x aa = 75, l estimation t = 1 75/100 = Remarques. Il faut faire l étude de ces estimateurs pour connaître leurs propriétés (biais, variance, loi). Intuitivement, ils risquent d être moins précis que l EMV car ils n utilisent pas toute l information (seulement X AA ou X aa ). 17

18 Intervalle de confiance Objectifs. En complément de l estimation, on veut donner un intervalle ayant de bonnes chances de contenir la vraie valeur du paramètre. Méthode. On définit deux bornes B 1 = f 1 (X 1,...,X n ) et B 2 = f 2 (X 1,...,X n ) telles que Pr{B 1 θ B 2 } = 1 α où α est petit, typiquement, α = 1% ou 5%. 1 α est la probabilité de recouvrement (et α la probabilité de non-recouvrement). Intervalle de confiance. L intervalle [b 1 ;b 2 ] avec b 1 = f 1 (x 1,...,x n ) et b 2 = f 2 (x 1,...,x n ) est appeler intervalle de confiance (IC) 1 α pour le paramètre θ : IC 1 α (θ) = [b 1 ;b 2 ]. Remarque.L intervalle [b 1 ; b 2 ] est déterministe, il n a donc pas une probabilité 1 α de contenir θ. Seul l intervalle aléatoire [B 1 ; B 2 ] a cette propriété. 18

19 Construction d un intervalle de confiance pour l espérance Cas de la loi normale. On considère un échantillon {X 1,...,X n } i.i.d. N(µ, σ 2 ). On veut construire un intervalle de confiance 1 α pour l espérance µ. Loi de l estimateur de µ. On prend comme estimateur de µ la moyenne X qui suit une loi normale X = 1 n ) X i N (µ, σ2 n n i=1 car c est une combinaison linéaire de variables normales indépendantes. Variance σ 2 connue. On définit la statistique pivotale (i.e. dont la loi ne dépend pas des paramètres) X µ σ/ N(0, 1). n 19

20 Construction de l IC. On note u p le quantile d ordre p de la loi normale N(0, 1) α = 0.05, u = u = 1.96 La loi de X nous assure que 0.25 Pr { u α/2 X µ } σ/ n u 1 α/2 = 1 α α/2 1 α α/2 On en déduit Pr{X + u α/2 σ n }{{} B σ µ X + u 1 α/2 n } = 1 α. }{{} B 2 L intervalle de confiance est donc : IC 1 α (µ) = [x + u α/2 σ n }{{} b 1 ] σ σ ; x + u 1 α/2 n ] = [x ± u 1 α/2 n }{{} b 2 20

21 Largeur de l IC. La largeur de cet intervalle vaut B 2 B 1 = 2u 1 α/2 σ n soit, pour α = 5%, u 1 α/2 2, B 2 B 1 4σ/ n. La largeur dépend de l écart type σ. Elle décroît comme 1/ n. Il faut 4 fois plus de données pour avoir un intervalle 2 fois moins large; 100 fois plus de données pour un intervalle 10 fois moins large. Pour obtenir un intervalle de la forme [x ± δ] (largeur 2δ), il faut prendre n = u 2 σ 2 1 α/2 δ 2. C est une critère pour fixer la taille d un échantillon. 21

22 Variance σ 2 inconnue. On estime l espérance µ par la moyenne X et la variance σ 2 par S 2 = 1 n (X i X) 2. n 1 i=1 On définit la statistique pivotale qui suit une loi de Student à (n 1) degrés de libertés X µ S/ T (n 1). n Intervalle de confiance. En notant t ν,p le quantile d ordre p de la loi T ν, on a S Pr X + t n 1,α/2 n }{{} B 1 B 2 S µ X + t n 1,1 α/2 n = 1 α. }{{} L intervalle de confiance vaut donc : IC 1 α (µ) = [ ] s x ± t n 1,1 α/2 n 22

23 Exemple : Viscosité On a n = 10 mesures x i = 78,84, 91, 76,79, 71, 83, 84,75, 90 et on obtient x = 81.1, s 2 = 41.9 s = Pour une confiance de 95% (α = 0.05), le quantile correspondant vaut t 3,0.975 = On obtient l intervalle IC 95% (µ) = [76.5 ; 85.7]. Echantillon de plus grande taille. Si on avait obtenu la même moyenne et la même variance empirique sur un échantillon de taille n = 100 (t 99,0.975 = 1.984), on aurait obtenu IC 95% (µ) = [79.8 ; 82.4]. 23

24 Intervalle de confiance pour une variance Estimateur. On estime la variance σ 2 par la variance empirique S 2. Loi de l estimateur. La variance empirique suit une loi du Khi-2 à (n 1) degrés de libertés (χ 2 n 1) : α = 0.05,ν = 9 χ 9,0.025 = 2.7, χ 9,0.975 = 19.0 (n 1)S 2 σ 2 χ 2 n α/2 1 α α/ Bornes. On obtient les bornes B 1 = (n 1)s2 χ 2, B 2 = n 1;1 α 2 (n 1)s2 χ 2 n 1; α 2 Exemple : Viscosité. n = 10 mesures, s 2 = 41.9,s = 6.47 : IC 95% (σ 2 ) = [19.8 ; 139.6], IC 95% (σ) = [4.4 ; 11.8]. 24

25 Intervalle de confiance pour une probabilité Estimateurs. On estime la probabilité (de germination) π par la proportion : P = X/n. Intervalle de confiance approché. On reprend l intervalle établi dans le cas gaussien avec variance connue en utilisant la convergence de la loi binomiale vers la loi normale le fait la variance de X dépend de la probabilité π : Î(X) = nπ(1 π). On obtient les bornes B 1 = P u 1 α 2 P(1 P) n P(1 P), B 2 = P + u 1 α 2. n Exemple : Taux de germination. n = 40 graines dont 36 ont germées : IC 95% (π) = [0.81 ; 0.99], 25

26 Références Théorique : Cours de statistique mathématique, A. Monfort, Economica Pratique : Aide-mémoire pratique des techniques, Statistiques Ceresta Généraliste : Probabilités, analyses des données et statistiques, G. Saporta, Technip. 26

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