Trigonométrie dans un triangle rectangle

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1 Trigonométrie dans un triangle rectangle. Introduction La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, «triangulaire», et µέτρον / métron, «mesure») traite des relations entre distances et angles dans les triangles. Elle est utilisée en astronomie et en navigation avec notamment la technique de triangulation. Déjà six cents ans avant l'ère chrétienne, Thalès mit au point cette méthode pour évaluer la distance d d'un bateau en mer à la côte. Pour obtenir une mesure approximative de cette distance, il plaça deux C observateurs A et B sur le rivage, éloignés d'une distance l connue. Chacun d'entre eux devait mesurer A B l'angle que faisait la demi-droite le reliant au bateau avec celle le reliant à l'autre observateur. Ces informations suffisent pour déterminer la distance d. C est un exercice que nous allons faire plus tard. Insistons sur le fait que tous les triangles dans ce chapitre sont rectangles. Considérons deux triangles A et A B C, rectangles en C et tels que leurs angles aigus en A et en A ' sont égaux. Posons C ' respectivement et A A '. fig. Si nous déplaçons les deux triangles dans le plan de façon à ce que leurs angles en A et A ' soient superposés, nous obtenons la figure : fig.

2 Nous remarquons alors que les segments [ ] et [ B ' C '] sont parallèles et donc, d après le théorème de Thalès : AC AC ' ' En échangeant les moyens dans cette égalité, on obtient : Cela signifie que le rapport AC AC ' ' côté adjacent (à l'angle ) hypoténuse ne dépend que de l angle aigu du triangle rectangle choisi. Il est appelé. De même : Donc le rapport : B ' C ' B ' C ' ' ' côté opposé (à l'angle ) hypoténuse ne dépend que de l angle aigu du triangle rectangle choisi. Il est appelé. Et finalement : Donc le rapport : AC B ' C ' B ' C ' AC ' AC AC ' côté opposé (à l'angle ) tan côté adjacent (à l'angle ) ne dépend que de l angle aigu du triangle rectangle choisi. Il est appelé tan.

3 . Définitions et premières propriétés fig. Soit A un triangle rectangle en C. Notons et β les angles aigus en A et B respectivement. Les quatre nombres trigonométriques de l angle  a) le inus de l angle : b) le sinus de l angle : c) la tangente de l angle : d) la cotangente de l angle : côté adjacent AC hypoténuse côté opposé hypoténuse côté opposé tan côté adjacent AC côté adjacent AC cot côté opposé Conséquences et propriétés immédiates : sont : () L angle est mesuré en degrés ( ) mais attention :,, tan et cot n ont pas d unité! Ce sont des rapports de longueurs. () Pour tout angle aigu : 0< < et 0< <. Expliquer pourquoi?.. () On a aussi : tan> 0 et cot> 0, mais tan et cot peuvent être aussi grands qu on veut! Exemple : construire sur la figure ci-dessous un angle tel que tan 5. Que vaut alors cot? Mesurer à l aide de votre rapporteur.

4 (4) Quel est le lien entre tan et cot? tan cot tan cot (5) Calculer à l aide des définitions dans le triangle A de la figure : sin... sin... Retenons donc : tan et cot (6) Angles complémentaires : En appliquant la définition, on obtient les nombres trigonométriques de l angle β, qui est l angle complémentaire de, c.-à-d. + β 90, ou encore β 90 : côté adjacent β hypoténuse côté opposé AC tanβ cot côté adjacent côté opposé AC sinβ hypoténuse côté adjacent cotβ tan côté opposé AC Exemple. Mesurer les angles aigus et les longueurs des côtés du triangle rectangle A ci-dessous, puis compléter :... β sin... tan... cot... β... sin β... tan β... cot β... 4

5 . Usage de la calculatrice (CASIO) Pour commencer, il faut choisir le degré comme unité d angle par défaut en tapant : Un petit s affiche alors en haut de l écran. Il y a 6 fonctions trigonométriques sur votre calculatrice : ) sin, et tan : ces touches permettent de trouver le sinus, le inus et la tangente de tout angle aigu dont on connaît l amplitude. Exemples : c) Comme pour les heures : Remarques : a) On n a pas besoin d entrer derrière l angle puisque l unité par défaut est le degré. b) Pour éviter des erreurs d arrondi trop grands, il faut indiquer au moins 4 chiffres derrière la virgule du sinus, du inus ou de la tangente. degré est subdivisé en 60 minutes : 60' minute est subdivisée en 60 secondes, ' 60'' On entre les minutes et les secondes à l aide de la touche : sin(5 48' 8'') 0,

6 ) sin -, - et tan - : ces fonctions permettent de trouver l amplitude d un angle aigu dont on connaît le sinus, le inus ou la tangente. On peut aussi utiliser les notations : sin Arcsin, Arc, tan Arctan. On accède à ces fonctions en utilisant. Exemples : L angle dont le sinus est 0,5 est 0 L angle dont le inus est 0,7 est 4,9455 Pour convertir l angle en ' '', on tape : 4, '4,87'' 4. Formules a) Relation fondamentale de la trigonométrie Pour tout angle aigu : + sin Remarque : ( ) et sin ( ) Démonstration : Dans le triangle A rectangle en C et tel que  a d après le théorème de Pythagore : AC + /: AC + AC + + sin, on Applications : Cette formule permet de déterminer le sinus d un angle aigu dont on connaît le inus ou inversement, sans utiliser la calculatrice. Par exemple : 4 sin? 5 6

7 Réponse : sin sin sin sin... sin... fig. 4 Remarque : Une valeur approchée de l angle peut être trouvée à l aide de la calculatrice : 4 ( ) ( ) Arc Arcsin 6, b) Relations entre tan, cot et sin,. Rappelons tout d abord que : Pour tout angle aigu : tan et cot Applications : Ces formules permettent de calculer la tangente ou la cotangente d un angle dont on connaît le sinus et le inus. Par exemple, on a vu dans l exemple précédent que : Donc : tan 5 et Pour tout angle aigu : 4 cot tan et sin + tan + tan 7

8 Démonstration : Donc : tan +. sin sin tan rel. fond. En inversant les deux membres de cette égalité on obtient : + tan En utilisant encore une fois la relation fondamentale, on obtient : sin + tan. + tan + tan + tan tan + tan Applications : Ces formules permettent de calculer le sinus et le inus d un angle dont on connaît seulement la tangente, sans utiliser la calculatrice. Par exemple, Réponse : tan? et sin? sin tan 5 tan tan 5 Remarque : Une valeur approchée de l angle peut être trouvée de nouveau à l aide de la calculatrice : Arctan() 6, 4. 8

9 5. Angles remarquables a) 45, sin 45, tan 45 et cot45 On considère le triangle A rectangle et isocèle en C. Alors A ˆ B ˆ 45. tan 45 car AC AC cot 45 tan tan 45 + tan 45 sin 45 sin 45 + tan 45 + b) 60, sin60, tan60 et cot60 On considère le triangle équilatéral A. Alors A ˆ B ˆ C ˆ 60. On note H le pied de la hauteur issue de B. On sait que H mil[ AC ]. 60 AH car AH AC D après la relation fondamentale : sin sin sin 60 tan cot60 tan 60 b) 0, sin 0, tan 0 et cot0 (complémentaire de 60 ) 0 sin60 sin 0 60, tan0 cot60 cot0 tan 60 9

10 En résumé : tan cot 0

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