1 L ensemble des entiers naturels. 2 Diviseurs - Multiples. Denis Vekemans

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1 Arithmétique dans l ensemble des entiers natures : diviseurs, multiples, division euclidienne, PGCD, PPCM, nombres premiers, décomposition en produit de facteurs premiers Denis Vekemans 1 L ensemble des entiers naturels Définition naïve : 0 est un entier naturel ; et, si n est un entier naturel, alors n + 1 aussi. Ainsi, comme 0 est entier naturel, = 1 aussi ; puis, comme 1 est entier naturel, = 2 aussi ; puis, comme 0 est entier naturel, = 3 aussi ;... Remarque : l ensemble des entiers naturels est de cardinal infini. 2 Diviseurs - Multiples Définition : S il existe un entier naturel k tel que a = k b, alors on dit que a est multiple de b ; et/ou b est un diviseur de a. Remarque importante : si a est un multiple de b, alors b est un diviseur de a ; réciproquement, si b est un diviseur de a, alors a est un multiple de b. Exemple : 21 = 3 7, donc 21 est un multiple de 3 et/ou 3 est un diviseur de 21. Exercice 1 10 est-il multiple de 4? 5 est-il diviseur de 25? 252 est-il multiple de 9? 18 est-il diviseur de 9? Quel est l ensemble des multiples de 5? Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; Calais cedex ; France 1

2 Quel est l ensemble des diviseurs de 48? Soit n un entier naturel. 0 est-il un multiple de n? Soit n un entier naturel non nul. 0 est-il diviseur de n? Solution 1 Non, 10 = 2, 5 4, mais 2, 5 n est pas un entier naturel. Oui, car 25 = 5 5, et 5 est bien un entier naturel. Oui, car 252 = 28 9 et 28 est bien un entier naturel. Non, car 9 = 1 18 et 1 n est pas un entier naturel , 5, 10, 15, 20,... Cet ensemble est de cardinal infini. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, et 48. Cet ensemble est de cardinal fini. Oui, car 0 = 0 n. Non, car 0 k = 0 n. Théorème 2.1 Propriété additive : si a est multiple de c et b est multiple de c, alors a + b est multiple de c, et si, de plus, a b, alors a b est multiple de c. Exemple : 49 = 7 7 et 21 = 7 3 sont multiples de 7, donc = 70 et = 28 sont aussi multiples de 7 (en effet, 70 = 7 10 et 28 = 7 4). Démonstration Il existe un entier naturel k tel que a = k c (car a est multiple de c). Il existe un entier naturel l tel que b = l c (car b est multiple de c). Ainsi, par somme, a + b = k c + l c = (k + l) c. Puis, a + b est multiple de c (on a pu trouver un entier naturel k + l qui, multiplié par c, donne a + b). Et, par différence, a b = k c l c = (k l) c. Puis, a b est multiple de c (on a pu trouver un entier k l qui, multiplié par c, donne a + b ; et k l 0 car a b > 0 et c 0 donnent k l 0 d après a b = (k l) c). Théorème 2.2 Propriété de transitivité : si a est multiple de b et b est multiple de c, alors, a est multiple de c. Exemple : 63 = 21 3 est multiple de 21 et 21 = 7 3 est multiple de 7, donc 63 est multiple de 7 (en effet, 63 = 7 9). Démonstration Il existe un entier naturel k tel que a = k b (car a est multiple de b). Il existe un entier naturel l tel que b = l c (car b est multiple de c). Ainsi, par substitution, a = k b = k (l c) = (k l) c (par associativité de la multiplication). Puis, a est multiple de c (on a pu trouver un entier naturel k l qui, multiplié par c, donne a). Exercice 2 2

3 Vrai ou faux (justifié) : si a est multiple de b et a est multiple de c, alors, a est multiple de b + c. Vrai ou faux (justifié) : si c est diviseur de a, si b est diviseur de a et si c b, alors, c b est diviseur de a. Vrai ou faux (justifié) : on peut trouver un multiple de 14 qui ne soit pas un multiple de 7. Vrai ou faux (justifié) : je connais un diviseur de 24 qui ne soit pas un diviseur de 12, ni 24, lui-même. Vrai ou faux (justifié) : on peut trouver un multiple de 7 qui ne soit ni un multiple de 14, ni un multiple de 21, ni le nombre 7, lui-même. Vrai ou faux (justifié) : je connais un diviseur de 124 qui ne soit pas un diviseur de 248. Solution 2 Faux! 21 est multiple de 3 et de 7, mais pas de = 10. Faux! 7 et 3 sont des diviseurs de 21, mais pas 7 3 = 4. Faux! D après la propriété de transitivité, comme 14 est multiple de 7, tout multiple de 14, l est de 7. Vrai! 8. Vrai! Par exemple, 35, 49,... Faux! D après la propriété de transitivité, comme 124 est diviseur de 248, tout diviseur de 124, l est de Division euclidienne Définition : pour a (entier naturel quelconque) et b (entier naturel non nul quelconque), il existe un entier naturel q et un entier naturel r tels que a = b q + r, où 0 r < b. Dans ce cas, on parle de division euclidienne de a (le dividende) par b (le diviseur) où q est un quotient et r un reste. Théorème 3.1 Dans la division euclidienne de a par b, le quotient et le reste sont définis de façon unique. Note : le quotient provenant de la division euclidienne de a par b est souvent appelé quotient euclidien pour le distinguer du quotient a/b. Exemple : dans la division euclidienne de 356 par 15, le quotient est 23 et le reste est 11 ; cela s écrit : 356 = L algorithme d Euclide pour la division euclidienne 3

4 Le voici sur l exemple de la division euclidienne de 3562 par 23. Il permet d obtenir le reste (20) et le quotient (154) de cette division euclidienne La technique opératoire dans la division euclidienne de a par b est la suivante : 1. On écrit au brouillon la table utile des multiples de b (1 b, 2 b,..., 9 b). 2. On considère a 1 le plus petit nombre constitué des premiers chiffres de a tel que a 1 b. On effectue la division euclidienne de a 1 par b dont le quotient est noté q 1 et dont le reste est noté r 1. q 1 est le premier chiffre du quotient (d où l utilité de l écriture au brouillon de la table des multiples de b). 3. Tant qu il existe encore des chiffres à considérer dans a, on effectue (la première fois, i vaut 2, puis il est incrémenté à chaque fois de 1) : (a) On considère a i le nombre formé des chiffres de r i 1 suivis du premier chiffre de a qui n ait pas encore été considéré. (b) On effectue la division euclidienne de a i par b dont le quotient est noté q i et dont le reste est noté r i. q i est le ième chiffre du quotient (d où encore l utilité de l écriture au brouillon de la table des multiples de b). 4. Les restes r 1, r 2,... sont appelés les restes partiels et les quotients q 1, q 2,... sont appelés les quotients partiels (ce sont des chiffres). Le reste de la division euclidienne de a par b est le dernier reste partiel obtenu ; le quotient de cette division est le nombre formé des quotients partiels. Exercice 3 [Créteil, Paris, Versailles (2004)] Sachant que = , donner le quotient de la division euclidienne de par Solution 3 On peut écrire = ( ) = Le quotient de la division euclidienne de par vaut donc et le reste 812 (on a bien 812 < 3 748). 4

5 Exercice 4 [Besançon (1998)] Quels sont les entiers naturels a et b tels que a 2 b 2 = 255? Solution 4 De a 2 b 2 = (a b) (a + b), on déduit que, comme a 2 b 2 > 0 et a + b > 0, a b > 0. D autre part, de a 2 b 2 = (a b) (a + b) et comme a et b sont des entiers naturels, on déduit aussi que a b (qui est positif d après la remarque précédente) et a + b sont aussi des entiers naturels. De (a b) (a + b) = 255, on déduit que 255 s écrit donc comme produit de deux entiers naturels (à savoir, comme produit de a b par a + b avec a b < a + b). Cependant, on ne peut écrire 255 comme produit de deux entiers naturels que de quatre façons quand on impose que le facteur de gauche est inférieur au facteur de droite et chacune de ces façons nous fournit une solution : 1. Première façon : 255 = On déduit alors le système d équations suivant : a b = 1 (L 1 ) a + b = 255 (L 2 ) a b = 1 (L 1 ) 2 b = 254 (L 2 ) (L 1 ) b = 254 = a = b + 1 = 128 Première solution : a = 128 et b = Deuxième façon : 255 = 3 85 On déduit alors le système d équations suivant : a b = 3 (L 1 ) a + b = 85 (L 2 ) a b = 3 (L 1 ) 2 b = 82 (L 2 ) (L 1 ) b = 82 = 41 2 a = b + 3 = 44 Deuxième solution : a = 44 et b = Troisième façon : 255 = 5 51 On déduit alors le système d équations suivant : a b = 5 (L 1 ) a + b = 51 (L 2 ) a b = 5 (L 1 ) 2 b = 46 (L 2 ) (L 1 ) b = 46 = 23 2 a = b + 5 = 28 Troisième solution : a = 28 et b = Quatrième façon : 255 = On déduit alors le système d équations suivant : a b = 15 (L 1 ) a + b = 17 (L 2 ) a b = 15 (L 1 ) 2 b = 2 (L 2 ) (L 1 ) b = 2 = 1 2 a = b + 15 = 16 Quatrième solution : a = 16 et b = 1. 5

6 Exercice 5 non nul. Compléter les par des chiffres en convenant qu un chiffre situé en première position est Indiquer toutes les manières possibles pour compléter ces. Solution 5 La table des 36 est : 1 36 = 36 ; 2 36 = 72 ; 3 36 = 108 ; 4 36 = 144 ; 5 36 = 180 ; 6 36 = 216 ; 7 36 = 252 ; 8 36 = 288 ; 9 36 = 324. Comme le seul élément de la table de 36 dont le premier chiffre est un 3 est 324 = 9 36, le nombre en deuxième ligne à gauche de la potence est 324 et le premier chiffre du quotient est 9. On complète la potence : En troisème ligne à gauche de la potence, le 6 de la première ligne est abaissé et le chiffre des unités de est 3. On complète la potence : Toujours en troisième ligne à gauche de la potence, le nombre 3 (obtenu par 7 324) est un reste partiel et est donc compris entre 0 (inclus) et 36 (exclu). En tenant compte aussi du fait qu "un chiffre situé en première position est non nul", en troisième ligne à gauche de la potence, le nombre 3 (obtenu par 7 324) ne peut être que 13, 23 ou 33. Premier cas : en troisième ligne à gauche de la potence, le nombre 3 (obtenu par 7 324) est 13. On complète alors d abord la première ligne à gauche de la potence : comme = 13, 7 =

7 Ensuite, comme 136 = = , le nombre en quatrième ligne à gauche de la potence est 108, le nombre en cinquième ligne à gauche de la potence est 28 et le deuxième chiffre du quotient est Deuxième cas : en troisième ligne à gauche de la potence, le nombre 3 (obtenu par 7 324) est 23. On complète alors d abord la première ligne à gauche de la potence : comme = 23, 7 = 347. Ensuite, comme 236 = = , le nombre en quatrième ligne à gauche de la potence est 216, le nombre en cinquième ligne à gauche de la potence est 20 et le deuxième chiffre du quotient est Troisième cas : en troisième ligne à gauche de la potence, le nombre 3 (obtenu par 7 324) est 33. On complète alors d abord la première ligne à gauche de la potence : comme = 33, 7 = 357. Ensuite, comme 336 = = , le nombre en quatrième ligne à gauche de la potence est 324, le nombre en cinquième ligne à gauche de la potence est 12 et le deuxième chiffre du quotient est 9. Cependant, le nombre en cinquième ligne à gauche de la potence a 2 comme premier chiffre et il est donc impossible que ce soit 12. Ce troisième cas ne fournit pas de solution. Exercice 6 [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poiriers, La Réunion (2000)] Les lettres a et a désignent des entiers naturels. Dans la division euclidienne de a par 11, le reste est r. Dans la division euclidienne de a par 11, le reste est r. 1. Déterminer le reste dans la division euclidienne de a + a par Déterminer le reste dans la division euclidienne de 3 a par 11. Solution 6 Soit q le quotient dans la division euclidienne de a par 11 et q le quotient dans la division euclidienne de a par 11, on a a = 11 q + r 0 r 10 et 7 a = 11 q + r 0 r 10

8 1. Dès lors, on a : a + a = 11 q + r + 11 q + r = 11 (q + q ) + (r + r ) 0 r + r 20 Premier cas : r + r 10. Dans ce cas, a + a = 11 q + r + 11 q + r = 11 (q + q ) + (r + r ) 0 r + r 10 Ainsi, le quotient est q + q et le reste est r + r. Deuxième cas : 11 r + r 20. Dans ce cas, a + a = 11 q + r + 11 q + r = 11 (q + q ) + (r + r ) = 11 (q + q + 1) + (r + r 11) 0 r + r 11 9 Ainsi, le quotient est q + q + 1 et le reste est r + r Dès lors, on a : Premier cas : 3 r 10. Dans ce cas, 3 a = 3 (11 q + r) = 11 (3 q) + (3 r) 0 3 r 30 3 a = 3 (11 q + r) = 11 (3 q) + (3 r) 0 3 r 10 Ainsi, le quotient est 3 q et le reste est 3 r. Deuxième cas : 11 3 r 21. Dans ce cas, 3 a = 3 (11 q + r) = 11 (3 q) + (3 r) = 11 (3 q + 1) + (3 r 11) 0 3 r Ainsi, le quotient est 3 q + 1 et le reste est 3 r 11. Troisième cas : 22 3 r 30. Dans ce cas, 3 a = 3 (11 q + r) = 11 (3 q) + (3 r) = 11 (3 q + 2) + (3 r 22) 0 3 r 22 8 Ainsi, le quotient est 3 q + 2 et le reste est 3 r 22. 8

9 Exercice 7 Dans la division euclidienne de a par b, le quotient est q et le reste est r. On donne a 3 000, q = 60, r = 47. Trouver toutes les valeurs possibles pour a et b. Solution 7 On écrit a = b < b Ainsi, la plus petite valeur possible de b est 48 et la plus petite valeur possible de a est = a = et b = 48 est possible. La valeur suivante pour b est b = 49, et la valeur de a correspondante est = a = et b = 49 est possible. Mais, si b 50, alors a = b = ne peut être inférieur ou égal à b 50 n est donc pas possible. Exercice 8 Dans la division euclidienne de a par b, le quotient est q et le reste est r. On donne q = r = 37. Trouver la plus petite valeur possible que peut prendre a. Solution On écrit a = b < b Ainsi, la plus petite valeur possible de b est 38 et la plus petite valeur possible de a est = Exercice 9 Dans la division euclidienne de a par b, le quotient est q et le reste est r. On donne a = α 2 où α est entier naturel, b = 8. Donner r pour α = 1. Donner r pour α = 3. Donner r pour α = 5. Montrer que si α est impair, alors r = 1. Solution 9 On écrit a = α 2 = 8 q + r 0 r < 8 Pour α = 1, a = α 2 = 1 Pour α = 3, a = α 2 = 9 Pour α = 5, a = α 2 = 25 1 = = = ,, q = 0 q = 1 q = 3 r = 1 r = 1 r = 1 Plus généralement, quand α est impair, alors, on peut l écrire sous la forme 2 k + 1 pour un certain entier naturel k. Alors, a = α 2 = (2 k + 1) 2 = 4 k k + 1 = 4 k (k + 1)

10 Cependant, k et k + 1 sont deux entiers naturels consécutifs, donc l un des deux est pair et l autre est impair, et le produit k (k + 1) est forcément pair. Comme il est pair, on peut l écrire sous la forme 2 κ pour un certain entier naturel κ. Ainsi, a = 4 k (k + 1) + 1 = 4 (2 κ) + 1 = 8 κ + 1. De cette dernière écriture, il vient que dans la division euclidienne de a par 8, le quotient est κ et le reste est l. Exercice 10 On cherche un nombre naturel de trois chiffres, multiple de 9 et dont le quotient dans la division euclidienne par 21 est 33. Déterminer le (ou les) nombre (ou nombres) solution (ou solutions). Solution 10 Soit a ce nombre entier naturel de trois chiffres. Comme le quotient dans la division eclidienne par 21 est 33, on a a = r = r 0 r < 21 Comme a est multiple de 9 et 693 = 9 77 aussi, alors, par différence, r aussi. Ainsi, r est multiple de 9 et 0 r < 21, ce qui donne trois possibilités : r = 0 auquel cas a = 693 ; r = 9 auquel cas a = 702 ; et r = 18 auquel cas a = 711. Les trois solutions sont a = 693, a = 702 et a = 711. Théorème 3.2 Soit a et a deux entiers naturels tels que a < a et b un entier naturel non nul. Le nombre de multiples de b qui sont inférieurs ou égaux à a et non nuls est le quotient dans la division euclidienne de a par b. Le nombre de multiples de b qui sont compris entre a (exclu) et a (inclus) et non nuls est le quotient dans la division euclidienne de a par b diminué du quotient dans la division euclidienne de a par b. Exemples. Les multiples de 6 inférieurs ou égaux à 30 et non nuls sont 6, 12, 18, 24 et 30. Ils sont au nombre de 5 et le quotient dans la division euclidienne de 30 par 6 est 5 (car 30 = ). Les multiples de 10 inférieurs ou égaux à 34 et non nuls sont 10, 20 et 30. Ils sont au nombre de 3 et le quotient dans la division euclidienne de 34 par 10 est 3 (car 34 = ). Les multiples de 9 compris entre 100 (exclu) et 120 (inclus) sont 108 et 117. Ils sont au nombre de 2 et le quotient dans la division euclidienne de 120 par 9 (qui est 13 car 120 = ) diminué du quotient dans la division euclidienne de 100 par 9 (qui est 11 car 100 = ) est 2 (car 2 = 13 11). Les multiples de 12 compris entre 70 (exclu) et 140 (inclus) sont 72, 84, 96, 108, 120 et 132. Ils sont au nombre de 6 et le quotient dans la division euclidienne de 140 par 12 (qui est 11 car 10

11 140 = ) diminué du quotient dans la division euclidienne de 70 par 12 (qui est 5 car 70 = ) est 6 (car 6 = 11 5). Exercice 11 [Lyon (1998)] Les multiples de 21 dont l écriture décimale nécessite deux chiffres exactement, sont : 21, 42, 63, 84. Pour écrire cette liste, il faut 8 caractères d imprimerie. Combien en faut-il pour écrire la liste des multiples de 21 dont l écriture décimale nécessite trois chiffres exactement? Même question avec cinq chiffres. Solution 11 Le nombre de multiples de 21 dont l écriture nécessite deux chiffres est le nombre de multiples de 21 compris entre 9 (exclu) et 99 (inclus), c est donc le quotient dans la division euclidienne de 99 par 21 (qui est 4 car 99 = ) diminué du quotient dans la division euclidienne de 9 par 21 (qui est 0 car 9 = ) qui est 4 (car 4 = 4 0). Le nombre de caractères nécessaires est 4 2 = 8. Le nombre de multiples de 21 dont l écriture nécessite trois chiffres est le nombre de multiples de 21 compris entre 99 (exclu) et 999 (inclus), c est donc le quotient dans la division euclidienne de 999 par 21 (qui est 47 car 999 = ) diminué du quotient dans la division euclidienne de 99 par 21 (qui est 4 car 99 = ) qui est 43 (car 43 = 47 4). Le nombre de caractères nécessaires est 43 3 = 129. Le nombre de multiples de 21 dont l écriture nécessite cinq chiffres est le nombre de multiples de 21 compris entre (exclu) et (inclus), c est donc le quotient dans la division euclidienne de par 21 (qui est car = ) diminué du quotient dans la division euclidienne de par 21 (qui est 476 car 99 = ) qui est (car = ). Le nombre de caractères nécessaires est = Exercice 12 [Lyon, Grenoble (1999)] On considère la suite croissante de tous les naturels non multiples de 7 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17,...). 1 est de rang 1, 2 est de rang 2, 3 est de rang 3, 4 est de rang 4, 5 est de rang 5, 6 est de rang 6, 8 est de rang 7, 9 est de rang 8, 10 est de rang 9, 11 est de rang 10, 12 est de rang 11, Quel est le rang de 47? Quel est le rang de 741? 2. Quel est le terme de rang 26? Quel est le terme de rang 52? Quel est le terme de rang 136? Solution Comment calculer le rang rang(n) d un nombre N donné? Pour les nombres de 1 à 6, le rang est égal au nombre : rang(n) = N, c est parce qu avant ces nombres, on n a rencontré aucun multiple de 7 non nul, 11

12 pour les nombres de 8 à 13, le rang est égal au nombre diminué de 1 : rang(n) = N 1, c est parce qu avant ces nombres, on a rencontré un unique multiple de 7 non nul, c est-à-dire 7, pour les nombres de 15 à 20, le rang est égal au nombre diminué de 2 : rang(n) = N 2, c est parce qu avant ces nombres, on a rencontré deux multiples de 7 non nul, c est-à-dire 7, et 14,... En fait, pour trouver le rang d un nombre N, il suffit de lui soustraire le nombre de multiples de 7 non nuls rencontrés jusqu à N. Ainsi, le rang d un nombre N est le nombre N dimminué du quotient dans la division euclidienne de N par 7. Ainsi, comme 47 = , le rang de 47 est 47 6 = 41. Et, comme 741 = , le rang de 741 est = Comment calculer le terme N de rang rang(n) donné? Pour les rangs de 1 à 6, le nombre est égal au rang : N = rang(n), pour les rangs de 7 à 12, le nombre est égal au rang augmenté de 1 : N = rang(n) + 1, pour les rangs de 13 à 18, le nombre est égal au rang augmenté de 2 : N = rang(n) + 2,... En fait, pour trouver le nombre N de rang rang(n) il suffit de lui ajouter 0 pour le premier groupe de 6 rangs (rangs de 1 à 6), de lui ajouter 1 pour le deuxième groupe de 6 rangs (rangs de 7 à 12), de lui ajouter 2 pour le troisième groupe de 6 rangs (rangs de 13 à 18),... Ainsi, le nombre d un rang rang(n) est le rang rang(n) augmenté du quotient dans la division euclidienne de rang(n) 1 par 6. Ainsi, comme 25 = , le nombre de rang 26 est = 30. Comme 51 = , le nombre de rang 52 est = 60. Et, comme 135 = , le rang de 136 est = 158. Exercice 13 [Reims, Strasbourg (1999)] Vous comptez de 7 en 7, à partir de 38, jusqu au plus grand nombre inférieur ou égal à Quel est le dernier nombre atteint? 2. Combien y a-t-il de nombres atteints (38 y compris)? 3. Par quels nombres puis-je remplacer 365 sans modifier les deux réponses précédentes? Solution 13 Les nombres visités sont de la forme k avec k entier naturel. 1. Le dernier nombre visité est donc celui associé à la plus grande valeur de k et tel que 38+7 k 365 ou encore tel que k , 7. Comme k est entier naturel, c est celui associé à k = 46 et c est donc = Le premier nombre visité correspond à k = 0, le deuxième nombre visité correspond à k = 1,..., et le quarante-septième correspond à k = 46. Il y a 47 nombres atteints. 12

13 3. On veut donc que le dernier nombre atteint soit toujours 360 et que 47 nombres soient atteints. Tant que l on permet d atteindre le quarante-septième visité qui est 360 et qu on interdit de visiter un quarante-huitième qui serait 367, on ne modifie pas les réponses précédentes, on peut donc modifier le 365 en 360, 361, 362, 363, 364, 365 ou 366, mais pas 367 car sinon, on visiterait un quarante-huitième nombre qui serait 367. Exercice 14 Soit a un entier naturel. Dans la division euclidienne de a par 7, on obtient un quotient double du reste. Quelles sont les valeurs de a possibles? Solution 14 On écrit a = 7 (2 r) + r = 15 r 0 r < 7 Chacune des valeurs de r fournit une valeur de a : quand r = 0, a = 0 ; quand r = 1, a = 15 ; quand r = 2, a = 30 ; quand r = 3, a = 45 ; quand r = 4, a = 60 ; quand r = 5, a = 75 ; et quand r = 6, a = 90. Analyse de productions d élèves [Lyon (1998)] Sujet Solution Volet didactique [d après Guadeloupe, Guyane (2001)] Sujet Solution Volet didactique [Toulouse (2000)] Sujet Solution 4 Les nombres premiers Définition : on dit qu un nombre entier naturel est premier s il possède exactement deux diviseurs distincts. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11,... Ni 0 (qui possède une infinité de diviseurs), ni 1 (qui ne possède qu un diviseur), ne sont des nombres premiers. Le crible d Eratosthène Cette méthode permet de décrire tous les entiers premiers inférieurs (au sens large) à un nombre donné N. 1. J écris tous les entiers naturels de 1 à N. 2. Je barre J itère "j entoure le suivant et je barre ses multiples", jusqu à avoir barré ou entouré tous les nombres écrits. 13

14 Exemple : N = Les nombres premiers entre eux Définition : on dit que deux nombres sont premiers entre eux s ils ont 1 comme seul diviseur commun. Exemple : 21 et 32 sont premiers entre eux car les diviseurs de 21 sont {1, 3, 7, 21} et les diviseurs de 32 sont {1, 2, 4, 8, 16, 32} et 1 est leur seul diviseur commun. 21 et 35 ne sont pas premiers entre eux car les diviseurs de 21 sont {1, 3, 7, 21} et les diviseurs de 35 sont {1, 5, 7, 35} et 1 et 7 sont leurs diviseurs communs. Théorème 5.1 (de Gauss) Si a et b sont premiers entre eux et si a est un diviseur du produit b c, alors a est un diviseur de c. Exemples : comme vu précédemment, 21 et 32 sont premiers entre eux et 21 est un diviseur de = (en effet, = ), donc, d après le théorème précédent, 21 est un diviseur de 147 (en effet, 147 = 21 7) ; (pour montrer l importance de l hypothèse "premiers entre eux") comme vu précédemment, 21 et 35 ne sont pas premiers entre eux et même si 21 est un diviseur de 35 3 = 105 (en effet, 105 = 21 5), ce n est pas pour autant que 21 est un diviseur de 3. Théorème 5.2 (de Gauss -autre formulation-) Si a et b sont premiers entre eux et si a et b sont deux diviseurs de c, alors a b est un diviseur de c. Exemples : comme vu précédemment, 21 et 32 sont premiers entre eux et 21 est un diviseur de (en effet, = ) et 32 est un diviseur de (en effet, = ), donc, d après le théorème précédent, = 672 est un diviseur de (en effet, = 672 7) ; 14

15 (pour montrer l importance de l hypothèse "premiers entre eux") comme vu précédemment, 21 et 35 ne sont pas premiers entre eux et même si 21 est un diviseur de 105 (en effet, 105 = 21 5) et si 35 est un diviseur de 105 (en effet, 105 = 35 3), ce n est pas pour autant que = 735 est un diviseur de Décomposition d un entier naturel en produit de facteurs premiers Théorème 6.1 Soit n un entier naturel. Alors, on peut écrire n = p 1 p 2... p k où les entiers naturels p 1, p 2,..., p k sont premiers. De plus, cette écriture est unique si p 1 p 2... p k. Exemple : 24 = Recherche systématique de cette décomposition : soit n l entier naturel à décomposer en produit de facteurs premiers ; je cherche le plus petit entier naturel premier p qui divise n ; j écris alors n = p m et je recommence en faisant jouer à m le rôle de n. Exemple : 120 = 2 60 = = = Remarque : une écriture abrégée de cette décomposition eut été : 120 = Ceci mène à une autre éciture du théorème 6.1. Théorème 6.2 Soit n un entier naturel. Alors, on peut écrire n = p α 1 1 p α p α k k où les entiers naturels p 1, p 2,..., p k sont premiers et distincts, et où α 1, α 2,..., α k sont des nombres naturels. De plus, cette écriture est unique si p 1 < p 2 <... < p k. Utilisation de cette écriture : pour dénombrer les diviseurs d un entier naturel n donné. Théorème 6.3 Soit n un entier naturel tel que n = p α 1 1 p α p α k k où les entiers naturels p 1, p 2,..., p k sont premiers et distincts, et où α 1, α 2,..., α k sont des nombres naturels. Alors, le nombre de diviseurs de n est (α 1 + 1) (α 2 + 1)... (α k + 1). Exemple : 120 = , donc le nombre de diviseurs de 120 est (3 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 16. Ceci peut s expliquer à l aide d un arbre! Exercice 15 Quel est le plus petit entier naturel qui possède exactement 15 diviseurs? Solution 15 Le nombre de diviseurs est donné par une écriture multiplicative de facteurs qui sont tous distincts de 1. Sans utiliser le 1, les deux écritures multiplicatives de 15 sont : 15 ou 3 5 (à l ordre des facteurs près). 15

16 En utilisant la première écriture multiplicative, tout nombre s écrivant p 14 où p est un nombre premier possède exactement 15 = diviseurs. En utilisant la seconde écriture multiplicative, tout nombre s écrivant q 2 r 4 où q et r sont des nombres premiers possède exactement 15 = (2 + 1) (4 + 1) diviseurs. Parmi tous ces nombres, il s agit de trouver le plus petit... Le plus petit parmi ceux qui s écrivent p 14 où p est un nombre premier est celui qui utilise le plus petit nombre premier (i.e. 2) ; il vaut donc 2 14 = Le plus petit parmi ceux qui s écrivent q 2 r 4 où q et r sont des nombres premiers est celui qui utilise le plus petit nombre premier (i.e. 2) le plus de fois possible et aussi le deuxième plus petit nombre premier (i.e. 3) ; il vaut donc = 144. En conclusion, 144 est le plus petit nombre qui possède exactement 15 diviseurs. Exercice 16 Montrer que si a (non nul et distinct de 1) est un nombre entier naturel non premier, alors il possède un diviseur distinct de 1 qui soit inférieur ou égal à a. Solution 16 Si le nombre de départ a n est pas premier, c est qu il possède un diviseur distinct de 1 et de a (voir la définition des nombres premiers). Appelons b ce diviseur distinct de 1 et de a. On peut donc écrire a = b c où comme b 1, c a et comme b a, c 1. Premier cas : b a. Dans ce cas, b est bien un diviseur de a distinct de 1 qui est inférieur ou égal à a. Deuxième cas : b > a. On va montrer par l absurde que c a. À supposer que c > a, comme b > a, on obtient a = b c > a a = a, ce qui est absurde. Par conséquent, dans ce cas, c est bien un diviseur de a distinct de 1 qui est inférieur ou égal à a. Exercice 17 [Amiens (2003)] Je suis un nombre à trois chiffres qui possède exactement trois diviseurs. La somme de mes chiffres est de treize. Qui suis-je? Solution 17 Le nombre de diviseurs est donné par une écriture multiplicative qui n utilise pas le nombre 1. Sans utiliser le nombre 1, il n existe que l écriture multiplicative (à un seul facteur) de 3 qui est 3. De là, seuls les nombres s écrivant p 2 où p est un nombre premier possèdent exactement 3 = diviseurs. Le nombre cherché est le carré d un nombre premier et il est compris entre 100 (inclus) et 999 (inclus). Il s agit donc de 11 2 = 121, de 13 2 = 169, de 17 2 = 289, de 19 2 = 361, de 23 2 = 529, de 29 2 = 841, ou de 31 2 = 961. La somme des chiffres de 121 est 4, celle de 169 est 16, celle de 289 est 19, celle de 361 est 10, celle de 529 est 16, celle de 841 est 13, et celle de 961 est 16. Le nombre que je cherche est donc

17 7 Plus grand commun diviseur de deux entiers naturels Définition : on appelle plus grand commun diviseur des deux entiers naturels a et b le plus grand entier naturel qui soit diviseur à la fois de a et de b (comme son nom l indique). On le note PGCD(a, b). Remarque : on ne parle pas de PGCD(a, b), lorsque a et b sont conjointement nuls. Exemple : les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18 ; les diviseurs communs à 12 et à 18 sont 1, 2, 3, 6 ; le plus grand de ces diviseurs communs est donc 6 et par suite, P GCD(12, 18) = 6. Théorème 7.1 Soit a un entier naturel tel que a = p α 1 1 p α p α k k où les entiers naturels p 1, p 2,..., p k sont premiers et distincts, et où α 1, α 2,..., α k sont des nombres naturels. Soit b un entier naturel tel que b = p β 1 1 p β p β k k où les entiers naturels p 1, p 2,..., p k sont premiers et distincts, et où β 1, β 2,..., β k sont des nombres naturels. Alors, PGCD(a, b) = p min(α 1,β 1 ) 1 p min(α 2,β 2 ) 2... p min(α k,β k ) k. Exemple 1 : 12 = et 18 = 2 3 3, puis PGCD(12, 18) = 2 min(2,1) 3 min(1,2), et enfin, PGCD(12, 18) = 2 3 = 6. Exemple 2 : 120 = et 108 = , puis PGCD(120, 108) = 2 min(3,2) 3 min(1,3) 5 min(1,0), et enfin, PGCD(12, 18) = = 12. Théorème 7.2 Soient a et b deux entiers naturels. Alors, les diviseurs communs à a et à b sont les diviseurs du PGCD(a, b). Algorithme d Euclide pour la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres Théorème 7.3 Soient a et b deux entiers naturels. Alors, PGCD(a, b) = PGCD(b, a). 1 Théorème 7.4 Pour tout entier naturel a non nul, PGCD(0, a) = a. 2 Théorème 7.5 On considère deux entiers naturels a et b tels que a b. Alors, PGCD(a, b) = PGCD(b, a b). 3 Les théorèmes 7.3, 7.4 et 7.5 permettent de donner le plus grand commun diviseur de deux entiers naturels. 1. Cela découle directement de la définition du PGCD de deux nombres 2. a est le plus grand diviseur de a et il divise aussi Soit d le plus grand diviseur commun de a et b. d divise alors aussi a b, d après un exercice déjà vu. d est donc diviseur commun de b et de a b, mais on ne sait pas encore s il est le plus grand. On va alors raisonner par l absurde et supposer qu il existe d un diviseur commun de b et de a b qui soit plus grand que d. Dans ce cas, d est diviseur aussi de a = b + (a b), d après le théorème??. d est par conséquent diviseur de a et de b et est plus grand que d, ce qui est absurde car d est défini comme étant le plus grand diviseur commun de a et de b. 17

18 Exemple 1 : P GCD(120, 108) = P GCD(108, 12) = P GCD(96, 12) = P GCD(84, 12) = P GCD(72, 12) = P GCD(60, 12) = P GCD(48, 12) = P GCD(36, 12) = P GCD(24, 12) = P GCD(12, 12) = P GCD(12, 0) = 12. Exemple 2 : PGCD(154, 49) = PGCD(105, 49) = PGCD(56, 49) = PGCD(49, 7) = PGCD(42, 7) = PGCD(35, 7) = PGCD(28, 7) = PGCD(21, 7) = PGCD(14, 7) = PGCD(7, 7) = PGCD(7, 0) = 7. Les soustractions itérées peuvent être remplacées par des divisions euclidiennes, rendant l algorithme plus expert. Théorème 7.6 On considère deux entiers naturels a et b tels que a b. Alors, PGCD(a, b) = PGCD(b, r) où r est le reste dans la division euclidienne de a par b. 4 Exemple 1 : PGCD(120, 108) =PGCD(108, 12) =PGCD(12, 0) =12. Exemple 2 : PGCD(154, 49) =PGCD(49, 7) =PGCD(7, 0) =7. Plus grand commun diviseur de plusieurs nombres Soient a, b et c trois entiers naturels, le plus grand commun diviseur de a, b et c, noté PGCD(a, b, c) vérifie la propriété PGCD(a, b, c) = PGCD(PGCD(a, b), c) = PGCD(PGCD(a, c), b) = PGCD(PGCD(b, c), a). On peut étendre cette propriété au plus grand commun diviseur des n nombres entiers naturels a 1, a 2,..., a n. 8 Plus petit commun multiple de deux entiers naturels Définition : on appelle plus petit commun multiple des deux entiers naturels a et b le plus petit entier naturel non nul qui soit multiple à la fois de a et de b (comme son nom l indique). On le note PPCM(a, b). Remarque : on ne parle pas de PPCM(a,b) si l un des deux parmi a et b est nul ; le PPCM(a, b) est un diviseur de a b. Exemple : les multiples de 12 sont 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,... ; les multiples de 18 sont 0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126,... ; les multiples communs à 12 et à 18 sont 0, 36, 72,... ; le plus petit de ces multiples communs (qui soit non nul) est donc 36 et par suite, PPCM(12, 18) = 36. Théorème 8.1 Soit a un entier naturel tel que a = p α 1 1 p α p α k k où les entiers naturels p 1, p 2,..., p k sont premiers et distincts, et où α 1, α 2,..., α k sont des nombres naturels. Soit b un entier naturel tel que 4. Soit d le plus grand diviseur commun de a et b. d divise alors aussi a b q = r, où q est le quotient dans la division euclidienne de a par b, d après un exercice déjà vu. d est donc diviseur commun de b et de r, mais on ne sait pas encore s il est le plus grand. On va alors raisonner par l absurde et supposer qu il existe d un diviseur commun de b et de r qui soit plus grand que d. Dans ce cas, d est diviseur aussi de a = b q + r, d après le théorème??. d est par conséquent diviseur de a et de b et est plus grand que d, ce qui est absurde car d est défini comme étant le plus grand diviseur commun de a et de b. 18

19 b = p β 1 1 p β p β k k où les entiers naturels p 1, p 2,..., p k sont premiers et distincts, et où β 1, β 2,..., β k sont des nombres naturels. Alors, PPCM(a, b) = p max(α 1,β 1 ) 1 p max(α 2,β 2 ) 2... p max(α k,β k ) k. Exemple 1 : 12 = et 18 = 2 3 3, puis PPCM(12, 18) = 2 max(2,1) 3 max(1,2), et enfin, PPCM(12, 18) = = 36. Exemple 2 : 120 = et 108 = , puis PPCM(120, 108) = 2 max(3,2) 3 max(1,3) 5 max(1,0), et enfin, PPCM(12, 18) = = Théorème 8.2 Soient a et b deux entiers naturels. Alors, les multiples communs à a et à b sont les multiples du PPCM(a, b). Théorème 8.3 Soient a et b deux entiers naturels. Alors, 5 a b = PGCD(a, b) PPCM(a, b). Exercice 18 [Rouen (1) (1998)] Histoire de boîtes... L histoire se limite aux boîtes parallélépipédiques dont les dimensions sont des nombres entiers de centimètres. L histoire dit qu une boîte Q pave une boîte P si la boîte P est exactement et parfaitement remplie avec un nombre entier (strictement supérieur à un) d exemplaires de la boîte Q (après remplissage, il n y a pas de trou et rien ne dépasse). Deux boîtes B 1 et B 2 ont les dimensions suivantes : Boîtes Dimensions en centimètres B B (a) Est-il possible de placer une de ces boîtes entièrement dans l autre? (b) Est-ce qu une des boîtes pave l autre? Si oui, avec combien d exemplaires? (c) Est-ce qu une des boîtes est un agrandissement de l autre? Si oui, à quelle échelle? Vous justifierez vos réponses. 2. Trouvez toutes les boîtes cubiques qui pavent B 1. Combien en faut-il à chaque fois pour paver B 1? Quelle est celle de plus grand volume? Vous justifierez vos réponses. 3. Trouvez toutes les boîtes cubiques qui pavent à la fois B 1 et B 2. Combien en faut-il à chaque fois pour paver B 2? Vous justifierez vos réponses. 5. Cette propriété découle directement des théorèmes 7.1 et

20 4. Quelle est la notion mathématique sous-jacente aux questions 2 et 3? Solution (a) Oui, il est possible de placer B 1 dans B 2. En effet, 36 < 40, 48 < 60 et 72 < 80. (b) Non, B 1 ne pave pas B 2. Il faudrait au minimum que 40 puisse s écrire sous la forme 40 = a 36 + b 48 + c 72 où a, b et c seraient des entiers naturels. Ce n est évidemment pas le cas, car i. si a = 0, b = 0 et c = 0, alors a 36 + b 48 + c 72 = 0 40 ; ii. si a = 1, b = 0 et c = 0, alors a 36 + b 48 + c 72 = ; iii. et si a > 1, ou si b > 0 ou encore si c > 0, alors a 36 + b 48 + c 72 > 40. (c) Non, B 2 n est pas un agrandissement de B 1. Le tableau n est pas un tableau de proportionnalité (en effet, la règle du produit en croix n est pas satisfaite car ) et si l on avait eu proportionnalité sur deux grandeurs positives, l ordre sur les deux grandeurs aurait été respecté. 2. (a) Il faut ainsi trouver toutes les dimensions qui divisent à la fois 36, 48 et 72. Or, on a 36 = , 48 = et 72 = , donc les diviseurs communs à ces trois nombres s écrivent 2 α 3 β où α est 0, 1 ou 2 et où β est 0 ou 1. Il résulte de tout cela que les boîtes cubiques qui pavent B 1 sont de 1 centimètre de côté, de 2 centimètres de côté, de 3 centimètres de côté, de 4 centimètres de côté, de 6 centimètres de côté ou de 12 centimètres de côté. (b) Taille des boîtes (en cm) Nombre de boîtes pour paver B (c) Celle de plus grand volume est évidemment celle de plus grand côté : 12 cm de côté, cm 3 de volume. 3. (a) Il suffit de trouver les boîtes cubiques pavant B 1 qui pavent également B 2. Ce n est pas le cas de la boîte de 3 centimètres de côté (car 20 n est pas multiple de 3), ni de la boîte de 6 centimètres de côté (car 20 n est pas multiple de 6), ni de la boîte de 12 centimètres de côté (car 20 n est pas multiple de 12). 20

21 Par contre, les trois autres boîtes conviennent : celle de 1 centimètre de côté, celle de 2 centimètres de côté, celle de 4 centimètres de côté. (b) Combien en faut-il à chaque fois pour paver B 2? Taille des boîtes (en cm) Nombre de boîtes pour paver B Plusieurs notions mathématiques sont sous-jacentes aux questions 2 et 3 : diviseurs (ou multiples), diviseurs communs à plusieurs nombres, et probablement aussi le plus grand diviseur commun à plusieurs nombres. Exercice 19 [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poiriers, La Réunion (2000)] Le service des espaces verts veut border un espace rectangulaire de 924 m de long sur 728 m de large, à l aide d arbustes régulièrement espacés. Un arbuste sera planté à chaque angle du terrain. La distance entre deux arbustes doit être un nombre entier de mètres. 1. Déterminer toutes les valeurs possibles de la distance entre deux arbustes. 2. Déterminez, dans chaque cas, le nombre d arbustes nécessaires à la plantation. Solution 19 Soit d mètres la distance séparant deux arbustes (d N). Soit m le nombre d arbustes situés sur le côté de 924 mètres (incluant les deux arbustes de coin) et n le nombre d arbustes situés sur le côté de 728 mètres (incluant les deux arbustes de coin). On a alors 924 = d (m 1) et 728 = d (n 1). Ainsi, d est un diviseur commun à 924 et 728. Comme les diviseurs communs à 924 et 728 sont les diviseurs du PGCD(924, 728), on calcule le P GCD(924, 728) (ici, à l aide de l algorithme d Euclide). P GCD(924, 728) = P GCD(728, 196) = P GCD(196, 140) = P GCD(140, 56) = P GCD(56, 28) = PGCD(28, 0) = 28. La distance d est donc de 1 mètre, de 2 mètres, de 4 mètres, de 7 mètres, de 14 mètres, ou de 28 mètres. 21

22 Distance entre deux arbustes (en m) Nombre d arbustes Exercice 20 Pour son anniversaire, Charlie a reçu des timbres. - Il y en avait moins de Si on les répartit en tas de 2, il n en reste pas. - Si on les répartit en tas de 8, il n en reste toujours pas. - Si on les répartit en tas de 14, il n en reste pas, non plus. - Mais si on les répartit en tas de 5, il en reste 3. Combien de timbres Charlie a-t-il reçus pour son anniversaire? Solution 20 Soit n le nombre de timbres que possède Charlie. "Si on les répartit en tas de 8, il n en reste pas", donc n est un multiple de 8. "Si on les répartit en tas de 14, il n en reste pas", donc n est un multiple de 14. Ainsi, n est un multiple de 8 = 2 3 et de 14 = 2 7, il est donc multiple de = 56 (donc de 2 aussi et le renseignement "si on les répartit en tas de 2, il n en reste pas" est inutile). On cherche les multiples de 56 inférieurs à 200 (car "il y en avait moins de 200") : 0, 56, 112 et 168. On regarde enfin ce qu il reste quand on les répartit en tas de 5 et d après le dernier renseignement, il doit rester 3 (car "si on les répartit en tas de 5, il en reste 3") : 0 = ne convient pas. 56 = ne convient pas. 112 = ne convient pas. 168 = convient. Conclusion : Charlie possède 168 timbres. 22