Algorithmique avancée : Les algorithmes de Tri

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Bernard Jacques
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1 Ecole Supérieure d Economie Numérique Algorithmique avancée : Les algorithmes de Tri Dr.Chiheb-Eddine Ben N Cir chiheb.benncir@gmail.com chiheb.benncir@isg.rnu.tn

2 Outline 1 Tri à bulles 2 Tri Selection 3 Tri Insertion 4 Tri Fusion 5 Tri Rapide 6 Tri Denombrement 7 Tri par Parquets Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

3 Tri à bulles Algorithme du tri à bulles static void tribulle(int T[]) { boolean permut; do { permut = false; for (int i = 0; i < T.length - 1; i++) { if (T[i] > T[i + 1]) { swap(t, i, i + 1); permut = true; while (permut); 3 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

4 Tri Selection Algorithme du Tri Selection static void triparselection(int T[]) { for (int j = 0; j < T.length - 1; j++) { int min = j; for (int i = j + 1; i < T.length; i++) { if (T[i] < T[min]) { min = i; swap(t, j, min); 4 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

5 Tri Insertion Algorithme Tri Insertion public static void triparinsertion(int []T) { int cpt; int element; for (int i = 1; i < T.length ; i++) { element = T[i]; cpt = i - 1; while(cpt >= 0 & & T[cpt] > element) { T[cpt + 1] = T[cpt]; cpt ; T[cpt + 1] = element; 5 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

6 Tri Fusion Principe Tri Fusion 6 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

7 Tri Fusion Algorithme Tri Fusion public static int[] trifusion(int[] tab) { int taille = tab.length; if(taille<=1) return tab; else { int mileu = taille/2; int[] gauche = copie(tab,0,mileu-1); int[] droite = copie(tab,mileu,taille-1); return fusion(trifusion(gauche),trifusion(droite)); 7 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

8 Tri Fusion Suite Tri Fusion public static int[] fusion(int [] tab1, int [] tab2) { int taille g=tab1.length; int taille d =tab2.length; int [] res=new int[taille g + taille d ]; int i g=0; int i d =0; for(int i=0;i g<taille g & & i d <taille d ;i++) if(tab1[i g] <= tab2[i d ]) res[i]=tab1[i g++]; else res[i]=tab2[i d ++]; on copie le reste du tableau de gauche (s il reste) while(i g<taille g) res[i++]=tab1[i g++]; while(i d <taille d ) / pareil pour le tableau de droite res[i++]=tab2[i d ++]; return res; 8 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

9 Tri Fusion Suite Tri Fusion public static int[] copie(int [] tab, int debut, int fin) { int[] res=new int[fin-debut+1]; //Pareil, on indique la longueur for(int i=debut;i<=fin;i++) { res[i-debut]=tab[i]; return res; 9 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

10 Tri Rapide Principe Tri Rapide 10 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

11 Tri Rapide Principe Tri Rapide 11 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

12 Tri Rapide Tri Rapide public static void quicksort(int [] tableau, int début, int fin) { if (début < fin) { int indicepivot = partition(tableau, début, fin); quicksort(tableau, début, indicepivot); quicksort(tableau, indicepivot+1, fin); 12 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

13 public static int partition (int [] tableau, int debut, int fin) { int compteur = debut; int pivot = tableau[debut]; int i; for(i=debut+1; i<=fin; i++) { if(tableau[i]<pivot) si élément inférieur au pivot { compteur++; incrémente compteur cad la place finale du pivot int temp = tableau[compteur]; tableau[compteur]= tableau[i]; tableau[i] = temp; élément positionné int temp = tableau[compteur]; le pivot est placé tableau[compteur]= tableau[debut]; tableau[debut] = temp; return compteur; 13 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23 Tri Rapide Suite Tri Rapide

14 Tri Rapide Donner les etapes du Tri Rapide sur l exemple suivant 14 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

15 Tri Rapide Application du Tri Rapide 15 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

16 Tri Rapide Tri Rapide dans la pratique Le temps d exécution du tri rapide dépend du caractère équilibré ou non du partitionnement, qui dépend à son tour des éléments utilisés pour le partitionnement. Si le partitionnement est équilibré, l algorithme s exécute asymptotiquement aussi vite que le tri par fusion. En revanche, si le partitionnement n est pas équilibré, le tri risque d etre aussi lent que le tri par insertion. 16 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

17 Tri Rapide Tri Rapide ou Tri insertion Les banques enregistrent souvent les transactions dans l ordre chronologique, mais de nombreuses personnes aiment recevoir leurs relevés avec les chèques triés par numéros. En général, les gens signent les chèques dans l ordre des numéros et les commerçants les encaissent dans l ordre d arrivée. Le problème consistant à passer d un ordre chronologique à un ordre basé sur les numéros de chèque relève donc du problème du tri de données presque triées. L algorithme TRI-INSERTION ou l algorithme TRI-RAPIDE est plus rapide sur ce problème? expliquer 17 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

18 Tri Denombrement Tri en temps linéaire: Tri par Denombrement Le principe du tri par dénombrement est de déterminer, pour chaque élément x de l entrée, le nombre d éléments inférieurs à x. Cette information peut servir à placer l élément x directement à sa position dans le tableau de sortie. Par exemple, s il existe 17 éléments inférieurs à x, alors x se trouvera en sortie à la position 18. Il faut ajouter aussi la gestion des éléments qui apparaissent plusieurs fois detail de l Implementation On suppose que l entrée est un tableau A[1..n] et que longueur [A] = n. Deux autres tableaux : le tableau B[1..n] contient la sortie triée et le tableau C[0..k] sert d espace de stockage temporaire. 18 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

19 Tri Denombrement Tri par denombrement TRI-DÉNOMBREMENT(A, B, k) 1 pour i de 0 à k faire 2 C[i] 0 3 pour j de 1 à longueur[a] faire 4 C[A[j]] C[A[j]] /* C[i] contient maintenant le nombre d éléments égaux à i. 6 pour i de 1 à k faire 7 C[i] C[i] + C[i 1] 8 /* C[i] contient maintenant le nombre d éléments inférieurs ou égaux à i. 9 pour j de longueur[a] jusqu à 1 faire 10 B[C[A[j]]] A[j] 11 C[A[j]] C[A[j]] 1 19 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

20 (a) Le tableau A et le tableau auxiliaire C après la ligne 4. (b) Le tableau C après la ligne 7. (c)-(e) Le tableau en sortie B et le tableau auxiliaire C après une, deux et trois itérations de la boucle des lignes Seules les cases en gris clair du tableau B ont été remplies. (f) Le tableau résultant final B. 20 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23 Exemple Tri Denombrement Tri Denombrement

21 Tri par Parquets Principe Trie par Paquets on divise l intervalle[0, 1) en m sous-intervalles de même taille, ou paquets, puis on distribue les n nombres de l entrée dans les différents paquets. Comme les entrées sont distribuées de manière uniforme sur [0, 1), on n escompte pas qu un paquet contienne beaucoup de nombres. Pour produire le résultat, on se contente de trier les nombres de chaque paquet, puis de parcourir tous les paquets, dans l ordre, en énumérant les éléments de chacun. Detail de l implementation l entrée est un tableau à n éléments A et que chaque élément A[i] du tableau satisfait à 0 A[i] 1. Le code exige un tableau auxiliaire B[0..n 1] de listes chaînées (paquets) et suppose qu il existe un mécanisme pour la gestion de ce genre de listes. 21 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

22 Tri par Parquets Exemple Tri par paquets (a) Le tableau en entrée A[1..10]. (b) Le tableau B[0..9] de listes (paquets) triées, après la ligne 5 de l algorithme. Le paquet i contient des valeurs appartenant à l intervalle semi-ouvert [i/10, (i + 1)/10). Le tableau trié consiste en une concaténation ordonnée des listes B[0], B[1],..., B[9]. 22 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

23 Algorithme Tri par paquets Tri par Parquets TRI-PAQUETS (A) 1 n longueur[a] 2 pour i de 1 à n faire 3 insérer A[i] dans liste B[mA[i]] 4 pour i de 0 à n 1 faire 5 trier liste B[i] via tri par insertion 6 concaténer les listesb[0], B[1],..., B[n 1] dans l ordre 23 Chiheb-Eddine Ben N Cir (ESEN) les algorithmes de tri / 23

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