5. Exercices et corrigés

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1 5. Exercices et corrigés Rappels et questions-tests p.166 1) ABC est un triangle. Placez les points D et E tels que : BD = AC et AE = BA. Quelle est la nature du quadrilatère ADCE? ) ABC est un triangle. a)construisez les points D, E et F tels que : AD = AB + AC ; AE = BA + AC ; BF = BA AC. b) Démontrez que C est le milieu de [DE]. ) Sur la droite ci-dessus les divisions sont régulières. Complétez les inégalités suivantes : AM =... AB ; AN =... AC ; CP =... CB. 4) Dans un repère (O ;I ;J) on donne les points A( ; ) et B(5; 1). M est un point de coordonnées (x; y). a) Calculez en fonction de x et y les coordonnées de MA et MB. b) Calculez les coordonnées de MB. c) Déduisez-en les coordonnées de M tel que : MA = MB. 5) Dans un repère (O ;I ;J) on donne les points A( ; ), B(1; ), C(9; 1) et D(6; 4). Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Corrigés des rappels et questions-tests p.166 4

2 Exercice A Repassez en vert les vecteurs colinéaires au vecteur u et en rouge les vecteurs colinéaires au vecteur v Corrigé de l exercice A Repassez en vert les vecteurs colinéaires au vecteur u et en rouge les vecteurs colinéaires au vecteur v n 55 p.18 : ABC est un triangle. 1) Construisez le point D tel que : AD = AB + AC. 5 5 ) En écrivant que BD = BA + AD, démontrez que les vecteurs BD et BC sont colinéaires. Corrigé du n 55 p.18 : 1 ) )D après la relation de Chasles : Donc BD et BC sont colinéaires. BD = BA + AD = BA + AB 5 + AC 5 ( = +1 ) BA + AC 5 5 = BA 5 + AC 5 = ( ) BA + AC 5 = 5 BC 5

3 n 46 p.18 : Dans chacun des cas suivants, dites si les vecteurs u et v sont colinéaires. a) u = i j et v = i j. b) u = i + j et v = 1 i 1 j. Corrigé du n 46 p.18 : On utilise la caractérisation xy yx = 0. a) ( 1) ( ) = + = 0 Donc les vecteurs sont colinéaires. b) ( ) ( ) 1 1 = = 0 Donc les vecteurs sont colinéaires. n p.171 : On donne les points A( ; ) et B( 1; 7). Le point M( 6; 11 ) est-il un point de (AB)? Corrigé du n p.171 : (il est pertinent de s aider de l exercice corrigé qui est au-dessus...) Si les vecteurs AB et AM sont colinéaires, alors les points A, B et M sont alignés. Testons cette colinéarité, et calculant tout d abord les coordonnées des vecteurs : AB 1 + = 7 5 AM = 7, 5 Testons à présent la colinéarité : ( 7, 5) 5 ( ) = 0, donc les deux vecteurs sont colinéaires. Par suite, les points A, B et M sont alignés, c est-à-dire M (AB). n 50 p.18 : Les points M, N, P sont tels que : MN = 5 i + j et MP = x i j. 5 Pour quelle valeur de x les points M, N, P sont-ils alignés? Corrigé du n 50 p.18 : Les points M, N et P sont colinéaires ssi Ainsi, les points sont alignés ssi x =. n 5 p.18 : MN et MP sont colinéaires, c est-à-dire ssi : ( 5 ) x 5 = 0 x = 0 x = M est un point de la droite d parallèle à l axe des ordonnées. Les droites (AB) et (CM) sont parallèles. Quelle est l ordonnée de M? 6

4 Corrigé du n 5 p.18 : Le point M appartient à la droite d ssi x M = 5. Notons donc les coordonnées de M comme suit : M(5; y). Par lecture graphique on a CM 5 y ( ) = y + AB, et AB et CM sont colinéaires ssi (y + ) = 0, ce qui équivaut à : y = 0 y = 0 y = 0. Donc le point M a pour coordonnées M(5; 0), i.e. l ordonnée de M est 0. n 88 p a, b, c : P et Q sont deux propositions. Dites chaque fois si P Q, si Q P, et/ou si P Q. a) M et N sont deux points distincts. P : IM = NI Q : I est le milieu de [MN] b) A, B, M sont trois points distincts du plan. P : MA et MB sont opposés Q : MA = MB c) A, B, C sont deux à deux distincts. P : Il existe un réel k tel que CA = k CB Q : Les points C, A, B sont alignés Corrigé du n 88 p a, b, c : a) P Q (donc également P Q et Q P ) b) P Q, car MA = MB M milieu de [AB] MA = MB En revanche Q P car la proposition MA = MB est vraie pour tout point M appartenant à la médiatrice du segment [AB] (M, A et B forment alors un triangle isocèle en M), mais M n est pas forcément le milieu de [AB] ; il faudrait pour cela ajouter la condition M [AB]. c) Q P car C, A, B sont alignés, donc k R : CA = k. CB k R : CA = k.cb. En revanche, P Q car pour trois points A, B, C du plan (B C), en posant k = CA, l égalité P est vraie : il est donc CB inutile d imposer que C, A et B soient alignés. n 57 p.18 : Exprimez les vecteurs u, v, et w en fonction des vecteurs i et j. Corrigé du n 57 p.18 : u = i + j v = i j w = i 4 j 7

5 n 58 p.18 ABC est un triangle. 1) Placez le point D tel que AD = AB AC..a) Exprimez BD en fonction de AB et AC..b) Déduisez-en que BD et BC sont colinéaires. Que dire alors des points B, C et D? Corrigé du n 58 p.18 1 ).a) BD = BA + AD = AB + AB AC = AB AC.b) On a BD = ( AB AC) = ( AB + CA) = CB Dons BD et BC sont colinéaires ( BD = BC). Par suite, les points B, C et D sont alignés. n 64 p.18 : ABCD est un parallélogramme. Les points M et P sont tels que DM = DC et BP = BC. On souhaite démontrer que les points A, M et P sont alignés en choisissant un repère parmi les propositions suivantes : (A; AB; AD) (B; BA; BC) (C; CM; CP ) 1) Quel est le choix qui vous paraît le plus pertinent? Pourquoi? ) Démontrez, en utilisant le repère choisi, que A, M et P sont alignés. Corrigé du n 64 p.18 : 1 ) On choisit le repère (C; CM; CP ), afin d éviter les coordonnées fractionnaires. ) Dans ce repère, on a : A(; ) ; M(1; 0) ; P (0; 1) D où : AM = + et MP = Donc AM = MP, les vecteurs sont colinéaires et par suite les points A, M, P sont alignés. 8

6 Rappels et questions-tests p.166 6) Placez dans un repère (O ;I ;J) les points A(- ;1), B(4 ;), C(- ;-1) et D(-1 ;). Trouvez une équation pour chacune des droites (AB), (AC) et (BD). 7) Dans un repère (O ;I ;J) : a) Construisez la droite d passant par le point A( ;-) et de coefficient directeur m = 4. b) Trouvez une équation de cette droite. Corrigés des rappels et questions-tests p.166 n 68-a p.184 : Trouvez une équation de la droite d définie par le point A( ; 4) et le vecteur u = i + j. Corrigé du n 68-a p.184 : a) On a A( ; 4) et u = b, donc une équation de la droite est de la forme x y + c = 0 (*) 1 = a A d, donc en remplaçant dans (*) par les coordonnées de A, on peut trouver la valeur de c : 4 + c = 0 c = 14. Donc une équation de cette droite est d x y + 14 = 0. n 69-a,c p.184 : La droite d passe par les points A et B. Dans chacun des cas suivants, trouvez une équation de d. a) A(1; 5) et B( ; ). c) A(4; ) et B(4; ). Corrigé du n 69-a,c p.184 : a) A(1; 5) et B( ; ). On pourrait partir d une équation générique ax + by + c = 0, dire que les coordonnées de A et B la vérifient, et aboutir ainsi à un système de deux équations à trois inconnues, mais il y a plus court : AB 4 est un vecteur directeur de d. 9

7 Donc une équation de d est de la forme : x + 4y + c = 0 (*). Or les coordonnées de A vérifient (*) : c = 0, d où c = 17, et une équation de d est : d x + 4y 17 = 0. c) A(4; ) et B(4; ), donc AB 0 5 est un vecteur directeur de d......mais on peut aussi voir que ce sont deux points d abscisse 4 et que l on a donc affaire à la droite d x = 4. n 7-a,c p.184 : Les droites d 1 et d sont définies par une équation. Déterminez pour chacune d elles un point et un vecteur directeur : a) d 1 : x y + 5 = 0 c) d : x + y 1 = 0 Corrigé du n 7-a,c p.184 : a)la droite d 1 a pour équation d 1 : x y + 5 = 0, qui est de la forme ax + by + c = 0, avec a =, b = et c = 5. Un vecteur directeur est donc v 1 b = a = Le point d intersection avec (par exemple) l axe des abscisses est le point d abscisse x tel que : x = 0 x + 5 = 0 x = 5 Donc d 1 est la droite de vecteur directeur v 1, passant par M1( 5 ; 0). b)la droite d a pour équation d : x + y 1 = 0, qui est de la forme ax + by + c = 0, avec a = 1, b = 1 b = 1 Un vecteur directeur est donc v a = 1, ou encore v (v = 6v ) Le point d intersection avec (par exemple) l axe des ordonnées est le point d ordonnée y tel que : et c = 1. Donc d est la droite de vecteur directeur v 0/ + y/ 1 = 0 y/ = 1 y =, passant par M(0; ). n 8 p.185 : ABC est un triangle. A et C sont deux points tels que : A est le symétrique de A par rapport à C, et C est le symétrique de C par rapport à A. Le point K est le milieu du segment [BC]. La droite (A K) coupe (AB) en I, et la droite (C K) coupe (AB) en J. On choisit le repère (A; AB; AC). 1) Trouvez une équation de (A K) puis de (C K). a) Déduisez-en les coordonnées de I et de J. b) Quel lien existe-t-il entre les vecteurs AJ, JI, IB? Corrigé du n 8 p.185 : On travaille dans le repère (A; AB; AC). 1 ) On a, dans ce repère : A (0; ) ; C (0; 1) ; B(1; 0). Rappel : les coordonnées du milieu K d un segment [BC] sont : x k = x B+x C et y k = y B+y C (on peut retenir qu il s agit de la moyenne des coordonnées des extrémités du segment). 0

8 Ainsi, le point K a pour coordonnées K( 1 ; 1 ). D où les coordonnées des vecteurs : A K 1 et C K Donc l équation de (A K) est de la forme : x 1 y + c = 0, c est-à-dire x y + c = 0. Or A (A K), donc c = et par suite (A K) x + y = 0. De la même manière, (C K) x y 1 = 0..a) I appartient à l axe des abscisses et à (A K), donc y I = 0. De plus, x I vérifie : x I = 0, donc I( ; 0). De même, y J = 0 et x J vérifie : x J 1 = 0, donc J( 1 ; 0)..b) AJ ; JI 0 ; Donc AJ = JI = IB. n 8 p.185 : IB (O; i; j) est un repère. Trouvez une équation de la droite passant par le point A( 1; 4) et parallèle à la droite d d équation :. x y + 1 = 0 Corrigé du n 8 p.185 : d x y + 1 = 0 ax + by + c = 0, or d et sont parallèles ssi elles ont un vecteur directeur en commun, donc le vecteur de coordonnées (; ) est directeur de D où le droite possède une équation cartésienne de la forme : x y + c = 0 Or A( 1; 4), donc 8 + c = 0, i.e. c = 11. Une équation de est donc x y + 11 = 0. n 87-a p.185 : Dites si les droites d et d sont confondues, parallèles distinctes ou sécantes. Si ces droites sont sécantes, calculez les coordonnées de leur point d intersection. { x y + 5 = 0 x 5y + 6 = 0 Corrigé du n 87-a p.185 : a)utilisons la carctérisation analytique du parallélisme (i.e. calculons ab a b ) : ( 5) ( 1) = 7 0. Ces droites sont donc sécantes. Pour trouver leur point d intersection, on résout le système : { x y + 5 = 0(E1) x 5y + 6 = 0(E ) { x y + 5 = 0(E1) 7x 19 = 0(E ) 5(E 1) ) Donc le point d intersection a pour coordonnées ( 19 7 ; 7 n 88-d p.186 : P et Q sont deux propositions. Dites si P Q, si Q P, et/ou si P Q. d) d et d sont deux droites d équations respectives : d mx + y 1 = 0 et d x + ny + 1 = 0. P : d//d Q : mn = 1 Corrigé du n 88-d p.186 : (d)//(d ) ssi m n 1 1 = 0, i.e. (d)//(d ) mn = 1 On a donc P Q, donc a fortiori P Q et Q P. { y = x + 5 x = 19 7 { y = 7 7 x = 7 1

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