SERIE 1 : CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL

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1 SERIE 1 : CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL EXERCICE 1 : DEPASSEMENT MOUVEMENT UNIFORME Un automobile de longueur l = 5 m, roulant à la vitesse Va = 90 Km.h -1 arrive derrière un camion de longueur L=10m, roulant à une vitesse Vc = 72 Km.h -1. Les deux véhicules conservent des vitesses constantes. L'automobile va donc doubler le camion. en admettant que le dépassement commence quand l'avant de l'automobile est à la distance d 1 = 20m de l'arrière du camion et se termine quand l'arrière de l'automobile est à la distance d 2 = 30m de l'avant du camion. Calculer 1. La durée du dépassement. 2. La distance parcourue sur la route par la voiture pendant le dépassement. EXERCICE 2 : RENCONTRE DE DEUX VEHICULES Deux voitures A et B roulent dans le même sens et dans le même couloir sur une autoroute rectiligne. Elles roulent à la même vitesse de 108km.h -1. La distance qui les sépare est de 50m. A se trouve devant B. A la date t = 0 le chauffeur de la voiture A freine. L accélération de son mouvement est alors en valeur absolue égale à 3,80m.s -2. Le chauffeur de la voiture B, un peu distrait ne freine que 2s plus tard. 1) Ecrire l équation horaire du mouvement de A. L origine des espaces est la position de A à la date t = 0. Trouver la durée du mouvement de freinage de A. 2) B freine avec la même accélération que A. Montrer que la voiture B en restant dans le même couloir ne peut éviter de heurter la voiture A. 3) Trouver les vitesses de chacune des voitures au moment où le choc se produit. EXERCICE 3 : IL FAUT PARTIR A TEMPS OU FAIRE UNE COURSE POUSSUITE Un élève en retard pour son cours de physique, alors qu il se trouve à la distance d = 30m de la station, voit son autobus démarrer. L autobus est animé d un mouvement rectiligne uniformément varié d accélération a 1= 1,0m.s -2. L élève court à la vitesse v 2= 6,0m.s -1. L élève rattrapera-t-il l autobus? Si oui, calculer la durée de sa course et la distance qu il a parcourue. Sinon quelle sera la distance minimale séparant l élève de cet autobus. EXERCICE 4 : VOYAGEUR EN RETARD Un voyageur en retard court le long du quai à la vitesse constante V= 6 m.s -1. Quand il est à 20m du dernier wagon du train qui démarre avec une accélération constante a = +1 m.s -2 (le train et le voyageur ont des trajectoires rectilignes parallèles.) 1. Définir le repère dans lequel le mouvement est étudié. Préciser sur le schéma les positions, les dates et les vitesses connues. 2. Ecrire dans un même repère les équations horaires du voyageur et du dernier wagon considérés comme des points matériels. 3. Montrer que le voyager ne peut pas rattraper le train. 4. Quelle sera la distance minimale entre le voyageur et le dernier wagon? EXERCICE 5 : L AUTOMOBILISTE ET LE MOTARD DE GENDARME Un automobiliste roule à la vitesse constante VA = 90 km. h -1 sur une route où la vitesse est limitée à 60 km. h -1. Un motard de la gendarmerie part à sa poursuite. Il démarre au moment précis où le motard passe devant lui. Le motard est animé d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré tel qu'il atteint la vitesse de 108 km. h -1 en 10 secondes. 1) Calculer la durée de la poursuite. 2) Calculer la distance d parcourue par le motard lorsqu'il rattrape l'automobiliste. Que vaut alors la vitesse V M du motard? EXERCICE 6 : COORDONNEES DU VECTEUR VITESSE ET ACCELERATION Les équations horaires d un mouvement sont : a) Quelle est la nature de la trajectoire? Page 1

2 b) Déterminer la norme du vecteur vitesse. c) Déterminer les composantes du vecteur accélération dans le repère cartésien et dans le repère de Frenet. d) En déduire que le module du vecteur accélération est indépendant du repère d étude EXERCICE 7 : DETERMINATION D UNE EQUATION CARTESIENNE Le vecteur position d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d'un repère orthonormé (O,, ) est : (x et y en mètres et t en secondes) 1) Montrer que le mobile se déplace dans un plan et définir ce plan. 2) Établir l'équation cartésienne de la trajectoire du mobile, quelle est la nature de la trajectoire? 3) A quel instant le mobile passe-t-il au point d'abscisse x = 10 m? calculer sa vitesse à cet instant. 4) A l'instant t = 0, le mobile se trouve à son point de départ. En combien de temps parcourt-il la distance d = 5 m? EXERCICE 8 : DETERMINATION D UNE EQUATIONCARTESIENNE Les équations paramétriques (en unités S.I.) d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d'un repère orthonormé (O,, ) sont : x = 3t et y = - t 2 +2t 1) Établir l'équation cartésienne de la trajectoire du mobile, quelle est la nature de la trajectoire? 2) Calculer la vitesse du mobile au sommet de sa trajectoire. 3) Calculer la vitesse du mobile au point d'ordonnée y = 1 m. 4) Calculer l'accélération du mobile. Pour quelle(s) valeur(s) de t le mouvement est-il accéléré? retardé? EXERCICE 9 : COMPOSANTES DE L ACCELERATION DANS LA BASE DE FRENET Les équations paramétriques (en unités S.I.) d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d'un repère orthonormé (O,, ) sont : x = 3t et y = t 2-1 1) Calculer la vitesse du mobile à l' instants t = 2 s. 2) Calculer les composantes tangentielle a T et normale a N de l'accélération du mobile dans la base de Frenet (M,, ) à l' instants t = 2 s. En déduire la valeur du rayon de courbure ρ de la trajectoire à t = 2 s. EXERCICE 10 : MOUVEMENT ACCELERE SUR UN AXE On étudie le mouvement d'un mobile ponctuel sur un axe (O ; ). Ses caractéristiques sont : accélération constante : 4 ms - ²; abscisse initiale: 1 m; vitesse initiale : -3 ms Quelle est la nature de ce mouvement? Ecrire l'équation de la vitesse V(t) et l'équation horaire x (t) 2. Déterminer les dates auxquelles le mobile passe à l'origine 0. Quelle est alors la vitesse? Que peuton déduire sur le mouvement du mobile? 3. Au cours de son évolution, le mobile change-t-il de sens de parcours? Si oui, donner la date et la position correspondant à ce changement? EXERCICE 11 : MOUVEMENT EN TROIS PHASES Un point M animé d un mouvement rectiligne part sans vitesse. Le démarrage se fait avec une accélération égale 0,8m.s -2. Puis le point M dès qu il atteint la vitesse de 8m.s -1 parcourt 24m à cette vitesse. Enfin au cours du freinage M parcourt 8m d un mouvement uniformément retardé jusqu à l arrêt. 1- Former les équations horaires des 3 phases dans le même repère (t = 0 instant de départ de M et x = 0 position de M au démarrage). Donner les équations des vitesses. 2- Tracer les diagrammes d accélération, de vitesse et d espace pour les 3 phases. EXERCICE 12 : FREINAGE SUR AUTOROUTE Sur une autoroute 2 voitures roulent sur la même file avec une vitesse de 40m/s. Le pare chocs avant A de la seconde voiture est à 40m derrière le pare chocs arrière B de la première voiture. Le véhicule B freine avec une décélération de 5 m/s². Le véhicule A distrait freine 2s après avec la même décélération. 1. Quelle distance parcourt le deuxième véhicule avant de commencer à freiner? 2. Quelle distance parcourt le premier véhicule pendant ce même temps? Page 2

3 3. Quelle est la distance séparant A et B lorsque le second véhicule commence à freiner? 4. Quelle est la vitesse du premier véhicule à ce moment? 5. En prenant comme origine des dates l'instant où débute le freinage du second véhicule et comme origine des espaces la position où il se trouve alors, établir les équations horaires des mouvements de A et B. 6. Un choc aura t il lieu? Si oui à quelle date? EXERCICE 13 : MOUVEMENT EN TROIS PHASES Sur une portion rectiligne ABCD d une voie ferrée, un train arrive en A avec une vitesse de 108km.h -1.Il aborde la marche suivante : de A à B (AB = 800m), son mouvement est uniformément retardé. Au passage en B, sa vitesse est de 54km.h -1. de B à C, pendant une minute et demie, son mouvement est uniforme. de C à D, son mouvement est uniformément accéléré durant 40s. La vitesse du train au passage en D est de 108km.h -1. 1) Etablir les équations horaires des mouvements et des vitesses des trois phases. 2) Calculer en Km, la longueur du trajet AD. EXERCICE 14 : ETUDE GRAPHIQE D UN MOUVEMENT SUR PLAN INCLINE On enregistre une partie du mouvement d une bille sur un plan incliné, le mouvement se fait suivant la ligne de plus grande pente. On prend comme origine des abscisses la première position enregistrée de la bille et comme date t = 0 la date correspondante. On obtient les résultats suivants : t(s) 0 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 x(m) 0 0,17 0,40 0,69 1,04 1,45 1- Montrer que le mouvement est rectiligne uniformément varié. Quelle est la valeur de l accélération? 2- Trouver la vitesse de la bille au moment du premier enregistrement. 3- Trouver la distance parcourue par la bille entre l instant du début du mouvement et l instant du premier enregistrement. On suppose que la bille est lâchée sans vitesse. EXERCICE 15 : ETUDE GRAPHIQUE I ) Sur un axe, un point mobile M est repéré par son abscisse x = - 4t 2 + 6,4t 1. Quelles sont les coordonnées du vecteur vitesse, du vecteur accélération? 2. Quelle est la vitesse initiale? 3. Déterminer les intervalles de temps durant lesquels 4. le mouvement est accéléré ou retardé. 5. Déterminer la position du point de rebroussement. II ) Un véhicule se déplace sur un trajet rectiligne. Sa vitesse est caractérisée par le diagramme ci contre. Indiquer sur les 5 intervalles de temps : 1. la valeur algébrique de l'accélération a. 2. l'expression V= f(t) on utilisera au début de chaque phase un nouveau repère de temps. 3. la nature du mouvement. Page 3

4 EXERCICE 16 : ETUDE GRAPHIQUE Le diagramme temporel de la vitesse d'un point décrivant une trajectoire rectiligne est donné par le diagramme ci- contre. Déterminer graphiquement la distance parcourue par le point mobile pendant les deux premières secondes. Pour cela montrer que la distance correspond à la valeur de l'aire limitée par OA, l'axe des abscisses et l'ordonnée du point A. 2) Calculer également la distance totale parcourue aux dates t = 3 s et t = 4 s. 3) Déterminer les accélérations (éventuelles) du point et tracer le diagramme a = f(t). EXERCICE 17 : LA VOITURE ET LE PIETON Une voiture de largeur L = 1,4 m se déplace à vitesse constante v = 72 km h -1 en suivant le bord de la route de largeur 2L. Un piéton est à la distance d=50 m devant la voiture, au bord de la route. Il veut traverser à vitesse constante notée u. (α = 45 ) 1. Quelle est la valeur minimale de u afin que le piéton ne soit pas touché. 2. Pour quelle valeur de α, la vitesse minimale du piéton est-elle minimale? Quelle est sa valeur? EXERCICE 18 : LE TOURISTE SAUVETEUR Un touriste (A) se promène au bord d'un lac ; il aperçoit une personne qui se noie (B). Pour venir à son aide il court sur la rive à la vitesse v constante et nage à la vitesse kv constante (k< 1). Déterminer la relation liant les angles i 1 et i 2 afin que la durée du trajet soit minimale. L'abscisse de M est notée x. EXERCICE 19 : LE SECOURISTE Un secouriste A arrêté sur la plage aperçoit un enfant B en train de se noyer dans un lac. Le secouriste A veut porter secours à l enfant le plus rapidement possible. Pour y parvenir, deux possibilités s offrent à lui : 1 ère possibilité : se jeter immédiatement à l eau (trajet AB), 2 ème possibilité : se rapprocher de l enfant en courant sur la berge avant de se lancer à l eau. (trajet ACB). La personne A nage à la vitesse V 1 = 3,6 km. h -1 et peut se déplacer en courant sur le bord de l'eau à la vitesse V 2 = 18 km. h -1. On donne : AH = 16 m et HB =12 m Parmi ces deux possibilités laquelle permet de sauver le plus rapidement possible l enfant? Indication : On déterminera la distance minimale x qu il doit parcourir sur le bord de l'eau avant de se jeter à l eau. Cette distance x doit correspondre au trajet le plus court (de durée minimale). Pour vérifier, comparer le durée du trajet pour chacune des possibilités. EXERCICE 20 : COMPOSITION DE VITESSES Une petite fusée est lancée, moteur coupé, avec une vitesse V 0 = 40 m.s -1 suivant une direction faisant un angle α = 30 avec l'horizontale. 1) Déterminer le temps nécessaire à la fusée pour atteindre son altitude maximale (encore appelée flèche du tir). Calculer son altitude maximale H. 2) Lorsque la fusée atteint sa flèche, son moteur se déclenche et éjecte des gaz, ce qui la propulse horizontalement. La vitesse de translation de la fusée par rapport au repère terrestre vaut V 1 = 100 m.s -1. La vitesse Page 4

5 d'éjection des gaz par rapport à la fusée vaut V 2 = 30 m.s -1. Calculer la vitesse V d'éjection des gaz par rapport au repère terrestre. EXERCICE 21 : MOUVEMENT RECTILIGNE SINUSOIDAL Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne sinusoïdal d'amplitude X m = 15 cm et de période T = 2s. A l'instant t = 0, le mobile est à sa position d'élongation maximale. 1) Écrire l'équation horaire du mouvement. 2) Calculer l'élongation, la vitesse et l'accélération du mobile à l'instant t = 0,5 s. 3) A quels instants le mobile passe-t-il pour la première fois, pour la deuxième fois, pour la troisième fois au point d'abscisse x = -7,5 cm? Calculer la vitesse du mobile et son accélération à ces différents instants. EXERCICE 22 : MOUVEMENT RECTILIGNE SINUSOIDAL I) Un mobile se déplace sur un segment de droite de longueur L = 4cm. Il est animé d un mouvement rectiligne sinusoïdal et met 0,1s pour parcourir ce segment. 1) A la date t = 0, le mobile se trouve à l élongation maximale positive. Ecrire l équation horaire du mouvement du mobile. 2) A quelles dates le mobile passe-t-il par l élongation x = 1cm? II) Une particule effectue un mouvement rectiligne sinusoïdale tel que son accélération à la fin de sa trajectoire ait une intensité de m.s -2 et que sa vitesse à la position d équilibre soit de 4m.s-1 en valeur absolue. Trouver pour ce mouvement : 1) La fréquence N. 2) L amplitude Xm. 3) L équation horaire, sachant qu à la date t = 0s elle passe par la position d élongation x = - en allant dans le sens négatif. III) Un mobile est animé d un mouvement rectiligne sinusoïdale sur un axe x x. Son élongation à la date t est : x (t) = A cosωt + B sinωt, x est en mètres et t en secondes. A la date t = 0s, le mobile passe par l élongation x = 4m, se déplace dans le sens positif avec une vitesse initiale V o = 15m.s -1 et une accélération initiale d intensité 10 2 m.s -2. 1) Déterminer les valeurs numériques de A, B et ω. 2) Mettre l équation horaire du mouvement sous la forme x (t) = Xm cos (ωt + φ). 3) A quelle date t 1, le mobile passe-t-il pour la première fois par l abscisse x 1 = 2,5m en allant dans le sens positif? 4) Le mouvement du mobile à la date t 1 est-il accéléré ou retardé? 5) Exprimer en fonction de n, la date à laquelle le mobile passe par l abscisse x 1 = 2,5m pour la n ième fois en allant le sens négatif. EXERCICE 23 : MOUVEMENT RECTILIGNE SINUSOIDAL 19 Un mobile est animé d un mouvement rectiligne sinusoïdal sur l axe x x. Son élongation à la date t est donnée par x(t) = Acos(ωt) + Bsin(ωt). x est en mètres et t en secondes. A la date t = 0 le mobile passe par l élongation x = 4 cm à la vitesse V 0 = 6 π cm. s -1 et se déplace dans le sens positif de l axe x x. L accélération du mobile à cette date t = 0 est a = -16 π2 cm. s -2. 1) Calculer la valeur de A, B et ω. 2) Mettre l équation horaire du mouvement sous la forme x(t) = Xm cos(ωt + ϕ). Donner son expression numérique. 3) Calculer l accélération a du mobile à la date t = 1 s. EXERCICE 24 : VITESSE, ACCELERATION, REPERE DE FRENET On donne les équations paramétriques de la trajectoire plane d'un point mobile par rapport à un référentiel : x = 2t et y= 4t²- 4t 1. Déterminer l'équation de la trajectoire. 2. Calculer la vitesse du mobile. 3. Montrer que son accélération est constante. Page 5

6 4. Déterminer les composantes normale et tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet. En déduire le rayon de courbure EXERCICE 25 : TRAJECTOIRE CIRCULAIRE Le plan est rapporté à un repère orthonormé xoy d'origine O et de base ( ; ). Les coordonnées s et y d'un point M mobile dans le plan (O ; ; ) varient avec le temps suivant : x = 2 cos (5t) et y = 2 sin (0,5 t). 1. Déterminer la nature de la trajectoire. 2. Déterminer les composantes du vecteur vitesse. 3. Déterminer l'expression de la vitesse ds/dt ainsi que de l'abscisse curviligne s du point M à l'instant t, en prenant comme condition initiale s=0 quand t=0 4. Déterminer les composantes normale et tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet. 5. En déduire le rayon de courbure de la trajectoire. 6. La trajectoire reste la même, mais maintenant le point M subit une accélération angulaire d²θ/dt²=θ" = 0,2 t. A quelle date le point M atteint-il une vitesse de 10 m/s, sachant qu'il est parti du repos. Quelle distance a-t-il alors parcouru? EXERCICE 26 : MOUVEMENT CIRCULAIRE Les équations horaires du mouvement d un mobile sont : x = Acos4πt y = Acos (4πt π/2) avec A = 50cm 1- Montrer que la valeur du vecteur vitesse est constante. La calculer. 2- Même question pour le vecteur accélération. 3- Quelle est la nature de la trajectoire de M? Que représente A pour cette trajectoire? 4- Préciser la direction et le sens du vecteur accélération. EXERCICE 27 : MOUVEMENT CIRCULAIRE On donne les équations horaires du mouvement d'un mobile par rapport au repère (O,, ) 1) Montrer que la vitesse du mobile est constante et la calculer. 2) Montrer que l'accélération du mobile est constante et la calculer. 3) Quelle est la nature de la trajectoire du mobile? donner ses caractéristiques. 4) Quels sont les direction et sens du vecteur accélération? EXERCICE 28: MOUVEMENT CIRCULAIRE Un point M décrit un arc de cercle OA de rayon R = 2,7m. La trajectoire est orientée de O vers A. Le mobile part de O à la date t = 0 avec une vitesse v o. A la date t, son abscisse curviligne est s = OM = - 0,6t 2 + 3t. 1- Donner l expression de la vitesse v. Calculer v o. 2- En A la vitesse du mobile s annule. Déterminer l abscisse curviligne de ce point. 3- Déterminer le vecteur accélération du point à t = 1s ainsi que sa norme. 4- Déterminer l équation horaire relative à l abscisse angulaire θ = f(t). EXERCICE 29 : MOUVEMENT CIRCULAIRE RETARDE Un disque tourne autour d un axe perpendiculaire à son plan et passant par son centre à raison de 20 tours/s. Il freine à partir de la date t = 0s, son mouvement est alors uniformément varié. Il s immobilise au bout de 10s. 1) Calculer l accélération angulaire. 2) Trouver le nombre de tours effectués entre le début du freinage et l immobilisation complète. Page 6