L'atelier scientifique MATh.en.JEANS Collège Jules-VERNE d'angoulême Une variante non élémentaire du jeu de NIM

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1 L'atelier scientifique MATh.en.JEANS Collège Jules-VERNE d'angoulême Une variante non élémentaire du jeu de NIM Une introduction Dans cet article, nous allons vous présenter ce que nous avons fait dans le cadre d'un atelier scientifique MATh.en.JEANS. Pour ce travail, nous étions jumelés avec des élèves des collèges Marguerite-DE-VALOIS et LA-FONTAINE. Nous nous sommes rencontrés plusieurs fois pour confronter ce que nous avions trouvé. En début d'année, deux chercheurs de l'université de Bordeaux, Charles DOSSAL et Frédéric MAZOIT sont venus nous présenter plusieurs sujets de recherche. Parmi ces sujets, ceux qui nous ont beaucoup plu sont «Le jeu de NIM» que nous allons vous présenter et «La grippe A/H1N1 attaque». Nous avons commencé à chercher une heure par semaine pendant un an avec nos professeurs qui ne connaissaient pas les réponses. Les premières semaines, nous avons essayé de bien comprendre les règles du jeu. Nous avons donc beaucoup joué pour essayer de comprendre quelles stratégies il fallait avoir pour gagner. En décembre, les chercheurs sont revenus au collège pour voir où nous en étions dans notre recherche. En jouant avec nous (ils gagnaient tout le temps), ils ont vérifié que nous avions bien compris les règles du jeu et ils nous ont donné quelques indices pour avancer et pour pouvoir gagner à ce jeu. Au début du mois de mars, Frédéric MAZOIT et Charles DOSSAL sont revenus voir où nous en étions dans nos recherches pour que l'on puisse bien préparer notre intervention au congrès de Grenoble. Il fallait que l'on puisse finir vite notre diaporama. Ce dernier était déjà bien avancé et nous leur avons présenté pour qu'ils puissent nous dire ce qu'ils en pensaient. Ensuite nous nous sommes répartis la présentation finale du diaporama. Enfin, nous nous sommes rendus à l'université de Grenoble pour présenter notre travail. Il y avait beaucoup de collégiens et de lycéens qui montraient aussi leurs recherches sur des sujets divers et variés. Enfin, nous avons consacré les semaines suivantes à écrire cet article que vous lisez en ce moment. Nous avons aussi présenté notre recherche : dans un lycée de Saint-Maixent pour les professeurs de mathématiques de l'académie ; à l'iufm d'angoulême pour les professeurs des écoles de Charente qui étaient nombreux ; pour les parents d'élèves du collège à la soirée «portes ouvertes». Les règles du jeu C'est un jeu qui se joue à deux. On dispose d'un tas d'allumettes ou de cailloux. Chaque joueur enlève a son tour un nombre variable d'allumettes. Celui qui prend la dernière allumette a gagné. Le premier qui joue peut en prendre autant qu'il le souhaite sauf la totalité. Ensuite chaque joueur peut prendre entre 1 et n allumettes, où n est le nombre d'allumettes pris par l'autre joueur au tour précédent. On nous a posé les questions suivantes : Trouver la meilleure stratégie pour gagner en fonction du nombre N d'allumettes au départ. Qui va gagner si les deux joueurs connaissent la meilleure stratégie?

2 Nos premières constatations Lorsqu on a commencé les recherches, on utilisait des allumettes pour jouer. Après, nous sommes passés au papier. On dessinait au début des allumettes, puis rapidement nous n écrivions plus que le nombre d allumettes restantes à chaque tour sur nos brouillons. Pendant plus d un mois, nous avons joué avec une vingtaine d allumettes au maximum. Nous avons remarqué qu il y avait des positions gagnantes avec les nombres suivants : 1, 3,,, 13. C est-à-dire que si on laissait 3 allumettes à l adversaire, ou ou ou 13 allumettes, nous gagnions à coup sûr. Nous nous sommes souvenus que ces nombres appartenaient à une suite étudiée en 6 ième lors de la préparation du rallye mathématiques de Poitou-Charentes qui portait sur le nombre d or. Lorsqu on a abordé ce nombre, on a parlé de la suite de FIBONACCI. Une «petite» biographie de Léonardo FIBONACCI Léonardo FIBONACCI, italien, également appelé Léonard DE PISE est né en 117 à Pise, et est mort en 1 dans cette même ville. Il est le premier grand mathématicien de l'ère chrétienne du monde occidental. Il rejoint son père qui l'initie à l'art du calcul indoarabe. Il entreprend de nombreux voyages où il apprend les algorithmes et les savoirs orientaux. Il retourne dans sa ville natale où il étudie pendant ans les travaux et connaissances collectés jusque là. On possède peu d'ouvrages de FIBONACCI, et c'est dans l'un d'eux, le «Liber abaci» (qui parle de la numérotation indo-arabe) que figure la célèbre suite de Fibonacci, concernant la reproduction des lapins. La suite de FIBONACCI Voici le problème : possédant au départ un couple de lapins, combien de couples de lapins obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence? FIBONACCI obtient que le nombre de couples de lapins est donné par la suite : 1, 1,, 3,,, 13, 1, 3,, etc... Dans cette suite, on obtient un nombre en additionnant les deux nombres précédents. Par exemple, pour obtenir le nombre, on additionne les deux nombres précédents 1 et 3 : 1+3=.

3 Des exemples de parties Un premier exemple avec 1 allumettes au départ : Le premier joueur qu'on appelle le joueur A prend allumettes, Il en reste. Le deuxième joueur qu'on appelle le joueur B peut en prendre jusqu'au double, c'est-à-dire : 1,, 3 ou. Le deuxième joueur B prend allumettes. Il en reste 6. Le premier joueur prend 1 allumette. Il en reste. Le deuxième joueur prend 1 allumette. Il en reste. Le joueur A prend 1 allumette. Il en reste 3. Le joueur B prend 1 allumette. Il en reste. Le premier joueur peut prendre les dernières allumettes et il gagne la partie. On peut présenter cette partie à l'aide du tableau suivant : Un deuxième exemple, avec 1 allumettes au départ : Le joueur A commence et on utilise cette fois seulement la représentation du tableau

4 3 Pour le dernier coup, le joueur B a pris les deux dernières allumettes et il a donc gagné. Un troisième exemple avec 36 allumettes au départ : Le joueur A a donc pris les dernières allumettes et il gagne donc la partie. Explication de notre stratégie Nous allons jouer au départ avec un nombre d'allumettes qui est un nombre de la suite de FIBONACCI. Il faut absolument laisser (par pure politesse bien sûr) son adversaire commencer. Nous avons remarqué qu'il ne pourra plus nous laisser jouer avec un nombre de la suite de FIBONACCI. Jouons par exemple avec 3 allumettes. Nous laissons l'adversaire commencer. Il ne peux pas prendre 13 allumettes pour nous laisser jouer avec 1 allumettes car sinon nous pouvons finir puisque le double de 13 est 6. Nous supposons qu'il en prend et nous devons jouer avec 3 allumettes. Nous ne pouvons en prendre que au maximum ce qui ne permet pas de le faire jouer avec 1 allumettes. Nous adoptons alors à chaque fois la technique suivante. Nous décomposons alors 3

5 comme la somme de nombres de la suite de FIBONACCI, les plus grands possibles : 3=1++3. Et nous allons prendre 3 allumettes. Notre adversaire doit alors jouer avec 9 allumettes et il ne peux en prendre que jusqu'à 6. Dans notre décomposition de 3, nous avons remarqué que 3 est plus petit que la moitié de et que est plus petit que la moitié de 1. On continue cette technique à chaque fois en faisant bien sûr les calculs de tête et on est sûr de gagner. Si maintenant le nombre d'allumettes au départ n'est pas un nombre de la suite de FIBONACCI. Il faut convaincre l'adversaire de nous laisser jouer ou bien prier pour qu'il ne sache pas jouer. On applique alors la technique que nous avons décrit précédemment. Par exemple, jouons avec 1 allumettes. 1= Il faudra prendre 1 allumette et laisser jouer l'adversaire avec allumettes. Il ne peut plus faire comme nous puisque = Il ne peux pas prendre 3 allumettes puisqu'il ne peux prendre au maximum que le double de 1 allumette. Une conclusion L'atelier scientifique MATh.en.JEANS a été très enrichissant grâce à la venue des chercheurs qui nous ont proposé de nombreux sujets, dont «Le jeu de NIM». Au départ, nous cherchions la solution a un problème ludique que nous ne trouvions pas forcément mathématiques. Ce qui était aussi intéressant, c'est que nos professeurs, M. PERIERS et M. PEYROT cherchaient avec nous sans connaître la solution apparemment. Nous nous enrichissions aussi des idées de tout le monde et des élèves des autres collèges. C'était un très gros travail d'équipe. Après toutes les recherches que nous avions faites sur ce sujet, nous sommes partis à Grenoble pour présenter nos travaux. C' était très impressionnant de parler devant de nombreuses personnes mais c'était très bien et très riche. Nous avons compris comment bien jouer à ce jeu, et nous avons constaté que la connaissance de la suite de FIBONACCI permettait de gagner à chaque fois si on choisit qui commence. Nous ne pensions pas que derrière ce jeu pourtant simple se cachait des mathématiques. Cela nous donne envie de continuer cet atelier l'année prochaine en découvrant de nouveaux sujets. L'aventure mathématiques continue...