Distance entre deux points du plan Géométrie plane Exercices corrigés

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Distance entre deux points du plan Géométrie plane Exercices corrigés"

Transcription

1 Distance entre deux points du plan Géométrie plane Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : lire les coordonnées d un point dans un repère du plan et placer des points dans un repère Exercice 2 : calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé Exercice 3 : montrer qu un triangle est équilatéral Exercice 4 : montrer qu un triangle est isocèle en un point Exercice 5 : montrer qu un triangle est rectangle en un point et calculer l aire d un triangle Exercice 6 : calculer le périmètre d un quadrilatère quelconque Exercice 7 : déterminer les coordonnées du milieu d un segment et calculer le rayon d un cercle Exercice 8 : montrer que trois points sont alignés Exercice 9 : démontrer le théorème établissant la distance entre deux points Exercice 10 : trouver la valeur d un paramètre pour obtenir une distance donnée Exercice 11 : écrire un algorithme permettant de calculer la distance entre deux points Exercice 12 : vérifier qu un point appartient à un cercle ou qu il se trouve à l intérieur ou à l extérieur Exercice 13 : préciser si un point appartient à la médiatrice d un segment Exercice 14 : étudier la distance d un point à une droite Exercice 15 : étudier un régionnement du plan Accès direct au site 1

2 Exercice 1 (6 questions) Niveau : facile On considère le repère ( ) du plan. Dans cet exercice, on laissera les traits de construction apparents. 1) Comment qualifie-t-on précisément le repère ( )? 2) Donner les coordonnées des points,,, et. 3) Placer dans le repère les points ( ) et ( ). 4) Donner les coordonnées des points et, symétriques respectifs des points et par rapport à l axe des abscisses. 5) Donner les coordonnées des points et, symétriques respectifs des points et par rapport à l axe des ordonnées. 6) Quelles sont les coordonnées des points et, symétriques respectifs de et par la symétrie de centre? Correction de l exercice 1 1) Montrons que le repère ( ) est un repère particulier du plan. Comme ( ) ( ), on en déduit tout d abord que ( ) est un repère orthogonal. De plus, les unités d axes sont égales ; en effet,. ( ) est donc également un repère normé. De ces deux affirmations il découle que le repère ( ) est un repère orthonormé. Rappel : Repère orthonormé du plan Un repère orthonormé (ou orthonormal) ( ) du plan est un repère orthogonal et normé, c est-àdire tel que : ( ) ( ) unité de longueur commune Remarque : Dans un repère orthonormé ( ), on appelle unité d aire (abrégée ) l unité de mesure des aires telle que. 2

3 2) Donnons les coordonnées des points,,, et. Rappel : Coordonnées d un point dans un repère quelconque Soit un repère quelconque ( ) (ou ( )) du plan). Alors tout point du plan est repéré par un unique couple de réels ( ). Ce couple ( ) est appelé coordonnées du point. Par ailleurs, désigne l abscisse du point et désigne l ordonnée du point. Remarque : On lit l abscisse sur l axe des abscisses (très souvent horizontal) et on lit l ordonnée sur l axe des ordonnées (très souvent vertical). Comme ( ) est le repère du plan, est en définitive l origine du repère ; par conséquent, a pour coordonnées ( ). D autre part, est l unité de l axe des abscisses ; par conséquent, a pour coordonnées ( ). Enfin, est l unité de l axe des ordonnées ; par conséquent, a pour coordonnées ( ). Le point a pour abscisse et pour ordonnée. Donc a pour coordonnées ( ). Le point a pour abscisse et pour ordonnée. Donc a pour coordonnées ( ). Astuce pour ne pas confondre abscisse et ordonnée : La queue du a (première lettre de «abscisse») se prolonge horizontalement vers le bas donc l «abscisse» désigne l axe horizontal d un repère. La boucle du o (première lettre de «ordonnée») se prolonge verticalement vers le haut donc l «ordonnée» désigne l axe vertical d un repère. 3

4 3) Plaçons dans le repère les points ( ) et ( ). 4) Donnons les coordonnées des points et, symétriques respectifs des points et par rapport à l axe des abscisses. Rappel : Coordonnées du symétrique d un point par rapport à l axe des abscisses (symétrie axiale) Soit un repère quelconque ( ) (ou ( )) du plan). Alors tout point ( ) symétrique du point ( ) par rapport à l axe des abscisses a la même abscisse que celle et a une ordonnée opposée à celle de. Autrement dit, et. 4

5 est le symétrique du point par rapport à l axe des abscisses donc et. Finalement, a pour coordonnées ( ). est le symétrique du point par rapport à l axe des abscisses donc et. Finalement, a pour coordonnées ( ). 5) Donnons les coordonnées des points et, symétriques respectifs des points et par rapport à l axe des ordonnées. Rappel : Coordonnées du symétrique d un point par rapport à l axe des ordonnées (symétrie axiale) Soit un repère quelconque ( ) (ou ( )) du plan). Alors tout point ( ) symétrique du point ( ) par rapport à l axe des ordonnées a une abscisse opposée à celle et a la même ordonnée que celle de. Autrement dit, et. est le symétrique du point par rapport à l axe des ordonnées donc et. Finalement, a pour coordonnées ( ). est le symétrique du point par rapport à l axe des ordonnées donc et. Finalement, a pour coordonnées ( ). 6) Déterminons les coordonnées des points et, symétriques respectifs de et par la symétrie de centre. Rappel : Coordonnées du symétrique d un point par rapport à l origine du repère (symétrie centrale) Soit un repère quelconque ( ) (ou ( )) du plan). Alors tout point ( ) symétrique du point ( ) par rapport à l origine du repère a une abscisse opposée à celle et a une ordonnée opposée à celle de. Autrement dit, et. 5

6 est le symétrique du point par rapport à l origine du repère donc et. Finalement, a pour coordonnées ( ). est le symétrique du point par la symétrie de centre donc et. Finalement, a pour coordonnées ( ). 6

7 Exercice 2 (3 questions) Niveau : facile Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( ). On donne les points ( ), ( ) et ( ). 1) Calculer. 2) Calculer la distance entre les points et. 3) Quelle est la mesure du segment [ ]? Correction de l exercice 2 Rappel : Distance entre deux points du plan dans un repère orthonormé Soit un repère orthonormé du plan et soient ( ) et ( ) deux points du plan. Alors la distance entre les points et, notée ou, est ( ) ( ) ( ) ( ). Remarque importante : Cette égalité n est valable que dans un repère orthonormé ; elle ne l est plus dans un repère quelconque du plan. Soient les points ( ), ( ) et ( ) dans un repère orthonormé ( ) du plan. 1) Calculons. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Remarque : Sauf indication contraire, toujours privilégier une valeur exacte (ici ) à une valeur approchée (ici ). Dès lors qu on donne une valeur approchée, en préciser l approximation (ici à près par défaut). 2) Calculons la distance entre les points et. Rappel : Identités remarquables ( ) ( ) ( )( ) 7

8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3) Calculons la mesure du segment [ ], c est-à-dire calculons. Utilisons pour ce faire une méthode quelque peu différente. En effet, calculons dans un premier temps puis déduisons-en. ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Comme, il vient que ( ) 8

9 Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( ). On donne les points ( ), ( ) et ( ). Démontrer que le triangle est équilatéral. Correction de l exercice 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ainsi, donc le triangle est équilatéral. 9

10 Exercice 4 (1 question) Niveau : facile Dans le plan rapporté au repère orthonormé ( ), on considère les points ( ) et ( ). Montrer que le triangle est isocèle. Correction de l exercice 4 D après la figure, le triangle semble isocèle en. Montrons-le par le calcul. ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Comme, on en déduit que le triangle est isocèle en. Vérifions désormais que le triangle n est pas équilatéral. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Or, donc le triangle équilatéral mais bien isocèle en. n est pas 10

11 Exercice 5 (3 questions) Niveau : moyen On rapporte le plan à un repère orthonormé ( ), dans lequel on place les points ( ), ( ) et ( ). 1) Construire le triangle. 2) Montrer que ce triangle est rectangle. 3) En déduire son aire. Correction de l exercice 5 1) Construisons le triangle. 2) Montrons que le triangle est rectangle. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Or, est rectangle en. donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle 11

12 Rappel : Réciproque du théorème de Pythagore Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. Autrement dit, si l égalité suivante est respectée : ( ) ( ) ( ) Alors, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. Exemple : 1 er autre côté plus grand côté 2 e autre côté Si, alors d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle est rectangle en et [ ] désigne l hypoténuse du triangle. 3) Calculons l aire du triangle. Comme le triangle est rectangle en, il vient que : Or, d après la question précédente, d une part, donc et, d autre part,, donc. Par conséquent, il vient que : 12

13 Exercice 6 (1 question) Niveau : facile Dans le plan rapporté au repère orthonormé ( ), on place les points ( ), ( ), ( ) et ( ). Donner la valeur exacte du périmètre du quadrilatère. Correction de l exercice 6 Calculons le périmètre du quadrilatère. Alors. Calculons donc la longueur de chaque côté du quadrilatère. ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) Par conséquent, on obtient que : 13

14 Exercice 7 (2 questions) Niveau : facile On considère le repère orthonormé ( ) du plan. ( ) et ( ) sont deux points du plan. 1) Déterminer les coordonnées du point, milieu de [ ]. 2) En déduire la mesure du rayon du cercle de centre et passant par le point. Correction de l exercice 7 1) Déterminons les coordonnées du point, milieu de [ ]. Rappel : Coordonnées du milieu d un segment dans un repère orthonormé du plan Soit un repère orthonormé du plan et soient ( ) et ( ) deux points du plan. Alors les coordonnées du milieu du segment [ ] sont ( ). Or, a pour coordonnées ( ) avec et. ( ) Le point a donc pour cordonnées ( ). 2) Calculons la mesure du rayon du cercle de centre et passant par le point. Autrement dit, calculons la distance. ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) Remarque : Il aurait été plus judicieux d utiliser ici une autre méthode ne faisant pas intervenir les coordonnées du point car la moindre erreur à la question précédente aurait également induit une erreur à cette question. Utilisons cette autre méthode. D après l énoncé, le point est le milieu de [ ]. Ainsi, le cercle de centre et passant par le point est aussi le cercle de diamètre [ ]. Calculons. 14

15 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) Or, le rayon d un cercle est égal à la moitié du diamètre de ce cercle donc le rayon recherché est égal à. Suite de la remarque : Néanmoins, la formulation de la deuxième question invitait fortement à employer la première méthode. 15

16 Exercice 8 (3 questions) Niveau : moyen On considère les points ( ), ( ) et ( ), placés dans un repère orthonormé ( ) du plan. 1) Placer les points, et. Quelle conjecture peut-on émettre? 2) Calculer les distances, et. 3) En déduire l alignement des points, et. Correction de l exercice 8 1) Plaçons les points, et dans un repère orthonormé ( ) du plan. On peut conjecturer que les points, et sont alignés dans cet ordre. 2) Calculons les distances, et. ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) 16

17 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 3) Montrons que les points, et sont alignés. On vient de montrer que, et. Or,, c est-à-dire. Par conséquent, les points, et sont alignés dans cet ordre, ce que l on peut aussi noter [ ]. Remarque : La conjecture émise à la première question est donc vérifiée. 17

18 Exercice 9 (1 question) Niveau : difficile Soit ( ) un repère orthonormé du plan et soient ( ) et ( ) deux points distincts du plan. Montrer que la distance entre les points et, notée, est égale à ( ) ( ). Correction de l exercice 9 Représentons un repère orthonormé ( ) du plan et plaçons-y deux points quelconques et distincts, de coordonnées respectives ( ) et ( ). Notons alors le projeté orthogonal de sur l axe ( ) et le projeté orthogonal de sur l axe ( ). Notons par ailleurs le projeté orthogonal de sur l axe ( ) et le projeté orthogonal de sur l axe ( ). Appelons enfin le point d intersection des droites ( ) et ( ). Comme le repère ( ) est orthonormé, le triangle est rectangle en. Par conséquent, d après le théorème de Pythagore, il résulte que. Or, d une part, et, d autre part,. Ainsi, ( ) et ( ). Finalement, comme, il vient que ( ) ( ). Chacun des termes de cette somme étant positif, il découle finalement que ( ) ( ). Remarque : Trois autres cas de figure sont à envisager, mais qui conduisent à un raisonnement similaire et à un résultat identique. Les cas à considérer sont précisément lorsque : 1) et (cas étudié ci-dessus) 2) et 3) et 4) et 18

19 Exercice 10 (2 questions) Niveau : difficile Dans un repère orthonormé ( ) du plan, on donne les points ( ) et ( ). 1) Montrer que, pour tout réel, ( ). 2) Préciser la(les) valeur(s) du réel pour que la distance entre les points et soit égale à 4. Correction de l exercice 10 1) Montrons que, pour tout réel, ( ). Pour tout réel, ( ) 2) On sait que ( ) ( ) et que, par conséquent, ( ) ( ). Or, d après l énoncé, on souhaite que. Ainsi, en remplaçant d une part par 4 et d autre part les coordonnées des points par leurs valeurs respectives dans la dernière expression ci-dessus, il vient l égalité ( ) ( ). Résolvons cette équation d inconnue. Pour tout réel, ( ) ( ) ( ) ( ) Or, d après la première question, pour tout réel, ( ). Ainsi, pour tout réel, ( ). Finalement, pour tout réel, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ). (* En effet, un produit de facteurs est nul si et seulement si l un des facteurs au moins est nul.) On vient de montrer que. En conclusion, pour que la distance entre les points et soit égale à 4, doit prendre la valeur ou la valeur. En d autres termes, il existe deux points et d abscisse 5 tels que la distance qui les sépare du point soit égale à 4. Ces points ont pour coordonnées respectives ( ) et ( ). 19

20 20

21 Exercice 11 (1 question) Niveau : moyen Ecrire un algorithme permettant de calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé du plan. Correction de l exercice 11 Ecrivons un algorithme permettant de calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé du plan, avec le logiciel AlgoBox. 1 VARIABLES 2 xa EST_DU_TYPE NOMBRE 3 ya EST_DU_TYPE NOMBRE 4 xb EST_DU_TYPE NOMBRE 5 yb EST_DU_TYPE NOMBRE 6 distance EST_DU_TYPE NOMBRE 7 DEBUT_ALGORITHME 8 AFFICHER "Saisir l'abscisse du point A : " 9 LIRE xa 10 AFFICHER xa 11 AFFICHER "Saisir l'ordonnée du point A : " 12 LIRE ya 13 AFFICHER ya 14 AFFICHER "Saisir l'abscisse du point B : " 15 LIRE xb 16 AFFICHER xb 17 AFFICHER "Saisir l'ordonnée du point B : " 18 LIRE yb 19 AFFICHER yb Algorithme écrit avec le logiciel AlgoBox Quelques explications : 20 distance PREND_LA_VALEUR sqrt(pow(xb-xa,2)+pow(yb-ya,2)) 21 AFFICHER "La distance AB est : " 22 AFFICHER distance 23 FIN_ALGORITHME Dans la mesure où il est nécessaire de connaitre les coordonnées de deux points pour calculer la distance entre ces points, il faut 4 variables ; il s agit des variables xa, ya, xb et yb. Bien qu elle ne soit pas indispensable, la variable appelée distance est également introduite pour une meilleure compréhension de l algorithme. sqrt(x) permet de calculer la racine carrée de x pow(x,n) permet de calculer x n le résultat retourné en sortie par l algorithme est un arrondi. Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox Premier exemple ***Algorithme lancé*** Saisir l'abscisse du point A : 0 Saisir l'ordonnée du point A : -2 Saisir l'abscisse du point B : -3 Saisir l'ordonnée du point B : 0 La distance AB est : ***Algorithme terminé*** Deuxième exemple ***Algorithme lancé*** Saisir l'abscisse du point A : -1 Saisir l'ordonnée du point A : 2 Saisir l'abscisse du point B : 3 Saisir l'ordonnée du point B : -4 La distance AB est : ***Algorithme terminé*** 21

22 Exercice 12 (3 questions) Niveau : moyen Soit ( ) un repère orthonormal du plan et soit le cercle de centre ( ) et passant par ( ). 1) Montrer que le point appartient au cercle. 2) Montrer que le point ( ) se trouve à l intérieur du cercle. 3) Montrer que le point ( ) se trouve à l extérieur du cercle. On complètera la figure au fur et à mesure de l exercice. Correction de l exercice 12 Tout d abord, commençons par analyser l énoncé. Le cercle a pour centre le point ( ) et passe par le point ( ). Par conséquent, [ ] est un rayon du cercle. 1) Montrons que le point ( ) appartient au cercle. Pour ce faire, montrons que [ ] est aussi un rayon du cercle, c est-à-dire que. Or ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Finalement, donc le point appartient au cercle. 2) Montrons que le point ( ) se trouve à l intérieur du cercle, c est-à-dire montrons que. D une part, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). D autre part, d après la question précédente, ( ). 22

23 Finalement,, c est-à-dire (toute distance étant un nombre positif). Le point se trouve bien à l intérieur du cercle. 3) Montrons enfin que le point ( ) se trouve à l extérieur du cercle, c est-à-dire montrons que nous avons l inégalité stricte. D une part, ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ). D autre part, nous avons montré que. Ainsi, et en particulier. Le point se trouve bien à l extérieur du cercle. Remarque : On pouvait calculer autrement. En effet, comme les points et ont la même abscisse, à savoir, la distance est égale à (puisque ), c est-à-dire à. 23

24 Exercice 13 (1 question) Niveau : facile Soit ( ) un repère orthonormal du plan. On considère les points, et de coordonnées respectives ( ), ( ) et ( ). Le point appartient-il à la médiatrice du segment [ ]? Correction de l exercice 13 Rappel : Médiatrice d un segment (définition et propriété) La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. Tout point se trouvant sur la médiatrice d un segment est équidistant des extrémités de ce segment, et réciproquement. Le point appartient à la médiatrice du segment [ ] si et seulement si. Comparons ces deux distances. ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) donc le point n appartient pas à la médiatrice du segment [ ]. Remarque : Il était possible de proposer une écriture simplifiée de, à savoir, mais la comparaison des deux distances aurait été moins immédiate puisqu il aurait fallu comparer 5 et. 24

25 Exercice 14 (4 questions) Niveau : moyen Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( ). On appelle ( ) la droite d équation. On donne ( ) un point quelconque du plan n appartenant pas à ( ) et ( ) un point de ( ). La distance du point à la droite ( ) est alors la distance minimale. 1) Exprimer en fonction de. 2) Vérifier que, pour tout réel, ( ). 3) En déduire les coordonnées du point pour lesquelles est minimale. 4) Conclure quant à la distance du point à la droite ( ). Correction de l exercice 14 1) Exprimons en fonction de. ( ) donc les coordonnées du point vérifient l équation de la droite ( ). Ainsi, a pour coordonnées ( ). Il vient alors que : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2) Vérifions que, pour tout réel, ( ). Pour tout réel, ( ). 3) Déterminons les coordonnées du point pour lesquelles la distance est minimale. D après la première question, ( ). De plus, d après la deuxième question, ( ). Ainsi, [( ) ]. Or, est minimale si et seulement si ( ), c est-à-dire si et seulement si. De plus, comme a pour coordonnées ( ), en remplaçant par 1, on trouve que a finalement pour coordonnées ( ). Distance du point à la droite ( ) 25

26 4) Calculons enfin la distance du point à la droite ( ). Cette distance est la distance. D après la question précédente, [( ) ] d où, en remplaçant par 1, [( ) ], c est-à-dire. En définitive,. La distance du point à la droite ( ) est égale à. 26

27 Exercice 15 (1 question) Niveau : moyen On place dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ) le point ( ). Représenter graphiquement l ensemble des points ( ) du plan tels que : leur abscisse soit positive leur ordonnée soit négative Correction de l exercice 15 Les points ( ) du plan tels que leur abscisse soit positive sont les points situés sur l axe des ordonnées et à droite de l axe des ordonnées. Ils sont représentés ci-contre en vert. Les points ( ) du plan tels que leur ordonnée soit négative sont les points situés sur l axe des abscisses et en-dessous de l axe des ordonnées. Ils sont représentés ci-contre en rouge. 27

28 Les points ( ) du plan tels que sont les points situés sur le cercle de centre et de rayon et à l intérieur de ce cercle. Ils sont représentés ci-contre en bleu. Remarque : On peut également dire que les points ( ) du plan tels que sont les points du disque de centre et de rayon. Par conséquent, l ensemble des points ( ) recherchés est l intersection de ces 3 ensembles vert, rouge et bleu. Il s agit du domaine noirci ci-contre. Ensemble des points ( ) recherchés. 28

Généralités sur les fonctions Image d un nombre Exercices corrigés

Généralités sur les fonctions Image d un nombre Exercices corrigés Généralités sur les fonctions Image d un nombre Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : calcul de l image d un nombre par une fonction

Plus en détail

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : montrer qu une fonction est continue en un point

Plus en détail

Exercices supplémentaires Géométrie plane

Exercices supplémentaires Géométrie plane Exercices supplémentaires Géométrie plane Partie A : Coordonnées de vecteurs, colinéarité Exercice 1 Dans un repère, on considère 6; 1, ; 1, 15; 4 et ; 2. 1) Les points, et sont-ils alignés? Justifier.

Plus en détail

Intégrale d une fonction continue positive Intégration Exercices corrigés

Intégrale d une fonction continue positive Intégration Exercices corrigés Intégrale d une fonction continue positive Intégration Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice y accéder directement) Exercice 1 : intégrale d une fonction continue positive

Plus en détail

Sujets de bac : Géométrie dans l espace 1

Sujets de bac : Géométrie dans l espace 1 Sujets de bac : Géométrie dans l espace Sujet n : La Réunion juin 23 On considère un cube d arête. Le nombre désigne un réel strictement positif. On considère le point de la demi-droite défini par. ) Déterminer

Plus en détail

Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan

Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan nde hapitre 1 - Repérage et configurations du plan 01-013 hapitre 1 - Repérage et configurations du plan ctivités d approche 1. (a) Deux points et ont pour abscisses 7 3 et. alculer la distance. et sur

Plus en détail

Fonction exponentielle Dérivation Exercices corrigés

Fonction exponentielle Dérivation Exercices corrigés Fonction exponentielle Dérivation Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : continuité et dérivabilité en Exercice 2 : opérations de

Plus en détail

Repère et coordonnées

Repère et coordonnées 2nde. ours - Géométrie plane repérée Les planisphères et les cartes géographiques maritimes sont construits dans un repère comprenant l axe vertical des latitudes et l axe horizontal des longitudes. La

Plus en détail

Réciproque du théorème de Pythagore Exercices corrigés

Réciproque du théorème de Pythagore Exercices corrigés Réciproque du théorème de Pythagore Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercices 1 et 2 : montrer qu un triangle est rectangle Exercice 3 : montrer que deux droites sont parallèles Exercice

Plus en détail

Triangles rectangles et trigonométrie

Triangles rectangles et trigonométrie Chapitre 6 Triangles rectangles et trigonométrie I] Rappels a) Définition Un triangle qui a un angle droit est un triangle rectangle. Le côté opposé à l angle droit est l hypoténuse, c est le plus grand

Plus en détail

Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie

Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Les outils collège : Tous les axiomes d Euclide, les résultats sur les angles ; les quadrilatères particuliers ; les triangles isocèles ; équilatéraux

Plus en détail

I Rappels sur les symétries :

I Rappels sur les symétries : I Rappels sur les symétries : I. 1 Symétrie axiale : On note I le milieu de [ AB ]. On appelle médiatrice du segment [ AB ] la droite perpendiculaire en I à ( AB ). Propriétés : La médiatrice de [ AB ]

Plus en détail

Chapitre 2. Repérage. 2.1 Repère d une droite. Sommaire

Chapitre 2. Repérage. 2.1 Repère d une droite. Sommaire Chapitre 2 Repérage Sommaire 2.1 Repère d une droite...................................... 11 2.2 Repère d un plan....................................... 12 2.2.1 Définitions.........................................

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace

Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace Dans tous les exercices, sauf quand cela est précisé, on considère un repère orthonormal de l espace ; ; ;. Partie A : Repère et vecteurs coplanaires

Plus en détail

Repérage dans le plan

Repérage dans le plan Repérage dans le plan I Les repères a) Définition Définition : Un repère du plan est défini par la donnée de trois points distincts non alignés O, I et J. Le repère est alors noté (O ; I ; J). Le point

Plus en détail

64 = + (b ( 5)) 2 = Pour que le triangle soit équilatéral il faut en plus, par exemple, que AB = BC. Ce qui donne 3 =

64 = + (b ( 5)) 2 = Pour que le triangle soit équilatéral il faut en plus, par exemple, que AB = BC. Ce qui donne 3 = 1ES Correction du problème sur les paraboles. Dans tout ce qui suit le plan sera muni du repère orthonormé (O, ı, j). 1. Soient A(3, 5), B( 8, ) et C ( 1 3, 5) trois points du plan. Calculer les distances

Plus en détail

Théorème de Pythagore Exercices corrigés

Théorème de Pythagore Exercices corrigés Théorème de Pythagore Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : calcul de la longueur de l hypoténuse Exercice 2 : calcul de la longueur d un côté adjacent à l angle droit Exercice

Plus en détail

I. Propriétés de géométrie analytique.

I. Propriétés de géométrie analytique. I. Propriétés de géométrie analytique. Activité 1 Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), a. Distance entre deux points. Dans un repère orthonormée (O ; I ; J) on considère deux point A(2 ; 1) et B(5 ;

Plus en détail

Géométrie. δmaths BAC MATHS. M. Ezeddine ABDA DeltaMaths

Géométrie. δmaths BAC MATHS. M. Ezeddine ABDA DeltaMaths Géométrie BAC MATHS δmaths M. Ezeddine ABDA DeltaMaths Nombres complexes * +. Si, alors il existe un unique couple tel que. est la forme algébrique du nombre complexe. : la partie réelle de. : la partie

Plus en détail

Géométrie analytique lycée

Géométrie analytique lycée axe des ordonnées Géométrie analytique lycée I. Rappels 1) Vocabulaire En géométrie analytique, tous les points sont décrits dans un repère par un couple de coordonnées: l'abscisse qui se lit sur l'axe

Plus en détail

Coordonnées du milieu d un segment dans un repère Exercices corrigés

Coordonnées du milieu d un segment dans un repère Exercices corrigés Coordonnées du milieu d un segment dans un repère Exercices corrigés Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : lire graphiquement les coordonnées du

Plus en détail

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Continuité Exercices corrigés

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Continuité Exercices corrigés Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires

Plus en détail

Réciproque du théorème de Thalès Exercices corrigés

Réciproque du théorème de Thalès Exercices corrigés Réciproque du théorème de Thalès xercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : xercices 1 et 2 : montrer le parallélisme de deux droites xercice 3 : problème de géométrie avec théorème de Pythagore

Plus en détail

Repérage dans le plan, cours pour la classe de seconde

Repérage dans le plan, cours pour la classe de seconde F.Gaudon 15 juillet 2009 Table des matières 1 Coordonnées dans un repère du plan 2 2 Coordonnées de vecteurs 3 3 Milieu d un segment et distance dans un repère orthonormé 4 1 1 Coordonnées dans un repère

Plus en détail

1 x. 5 2x 5 2x. 2 nde A EXAMEN BLANC de MATHEMATIQUES Nom : Mme Hobraiche

1 x. 5 2x 5 2x. 2 nde A EXAMEN BLANC de MATHEMATIQUES Nom : Mme Hobraiche 2 nde A EXAMEN BLANC de MATHEMATIQUES Nom : Avril 2013 Durée : 2h Mme Hobraiche Prénom : La calculatrice est autorisée. Le sujet, noté sur 30, comporte 4 exercices indépendants les uns des autres. La note

Plus en détail

Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan. Table des matières. Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan. Table des matières. Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Coordonnées d un point du plan TLE DES MTÈRES page -1 Chapitre Coordonnées d un point du plan Table des matières Exercices -1 1................................................ -1................................................

Plus en détail

TS - Maths - Révisions Nombres complexes

TS - Maths - Révisions Nombres complexes TS - Maths - Révisions Nombres complexes Exercice 1 LIBAN 01 On considère la suite de nombres complexes z n définie par z 0 = i et pour tout entier naturel n : z n+1 = 1 + iz n. Les parties A et B peuvent

Plus en détail

Seconde chap1 Géométrie plane 1/6 GEOMETRIE PLANE.

Seconde chap1 Géométrie plane 1/6 GEOMETRIE PLANE. Seconde chap Géométrie plane /6 GEOMETRIE PLNE. I. Repère et coordonnées. oordonnées. Si O, I et J sont trois points non alignés du plan, alors (O I J) est un repère du plan d origine O. Si (OI) et (OJ)

Plus en détail

Chapitre n 1 : Points et plan. Objectifs. Activités d'approche n 1.

Chapitre n 1 : Points et plan. Objectifs. Activités d'approche n 1. 1/23 - Chapitre n 1 : Points et plan Chapitre n 1 : Points et plan. Objectifs. a) Repérer un point du plan, placer un point connaissant ses coordonnées. b) Calculer la distance entre deux points. c) Calculer

Plus en détail

CONTRÔLE N 2. Exercice 2 : (sur la copie double)

CONTRÔLE N 2. Exercice 2 : (sur la copie double) NOM : Prénom : Classe : 2nde CONTRÔLE N 2 Consignes : - l utilisation de la calculatrice est autorisée - sauf mention contraire, toutes les réponses devront être soigneusement justifiées. Le tableau suivant

Plus en détail

Olympiades de mathématiques 2014 EUROPE AFRIQUE ASIE EXERCICE 1 : FIGURES EQUILIBRÉES. Éléments de correction

Olympiades de mathématiques 2014 EUROPE AFRIQUE ASIE EXERCICE 1 : FIGURES EQUILIBRÉES. Éléments de correction Olympiades de mathématiques 014 EUROPE AFRIQUE ASIE EXERCICE 1 : FIGURES EQUILIBRÉES Éléments de correction 1 Voici un graphe équilibré ayant 7 points et 5 segments, puis un graphe équilibré ayant 9 points

Plus en détail

CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES

CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES Configurations du plan Le théorème de Pythagore s applique à un triangle rectangle ; le théorème de Thalès, à une figure qui comprend des droites parallèles

Plus en détail

Correction du devoir commun de Seconde : Mathématiques

Correction du devoir commun de Seconde : Mathématiques Correction du devoir commun de Seconde : Mathématiques Exercice 1 5 points On se place dans un repère orthonormé, on donne les points suivants : Enfin, I est le milieu du segment 1 ) Faire une figure soignée

Plus en détail

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2010

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2010 UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL Géométrie et géométrie analytique Enoncés et solutions de l examen de première session 010 Enoncés On demandait de résoudre trois questions

Plus en détail

Thème : Géométrie analytique

Thème : Géométrie analytique Thème : Géométrie analytique Introduction : Programmes : «A l'école élémentaire, les élèves ont acquis une première expérience des figures et des solides usuels, en passant d'une reconnaissance perceptive

Plus en détail

Exercices supplémentaires Dérivation

Exercices supplémentaires Dérivation Exercices supplémentaires Dérivation Partie A : Lecture graphique et tracé de tangente Exercice Lire graphiquement le coefficient directeur s il existe de chacune des droites représentées ci-dessous. -

Plus en détail

DEVOIR «PASSERELLE» DE MATHEMATIQUES 2009 Lycées Emiland Gauthey et Hilaire de Chardonnet CHALON SUR SAÔNE. Problème 1

DEVOIR «PASSERELLE» DE MATHEMATIQUES 2009 Lycées Emiland Gauthey et Hilaire de Chardonnet CHALON SUR SAÔNE. Problème 1 DEVOIR «PASSERELLE» DE MATHEMATIQUES 009 Lycées Emiland Gauthey et Hilaire de Chardonnet CHALON SUR SAÔNE Ce devoir est obligatoire. Il doit être rendu au professeur principal de nde le jour de la rentrée

Plus en détail

P R O D U I T S C A L A I R E.

P R O D U I T S C A L A I R E. ère S 00/005 Produit scalaire J TAUZIEDE P R O D U I T S C A L A I R E I- DEFINITION ET PREMIERES PROPRIETES ) Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Définition Soit u et v deux vecteurs colinéaires

Plus en détail

Comment démontrer que deux droites sont parallèles

Comment démontrer que deux droites sont parallèles F1 Comment démontrer que deux droites sont parallèles P : Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l une est parallèle à l autre. P : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième,

Plus en détail

Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé

Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Métropole Juin 2006 (6 points) 1) Soit la fonction définie sur par. On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé d unité graphique 2cm. a)

Plus en détail

Vecteurs et droites. u = 0 et on dit que

Vecteurs et droites. u = 0 et on dit que Vecteurs et droites ) Rappels sur les vecteurs Généralités Définitions : ) Un vecteur u ou B est défini par : une direction (la droite (B)) un sens (de vers B) une longueur : la norme du vecteur u ou B

Plus en détail

Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan. Table des matières. Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan. Table des matières. Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan TLE DES MTÈRES page -1 Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan Table des matières Exercices -1 1................................................ -1 2................................................

Plus en détail

GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN

GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN WORKBOOK PCD -GEOMETRIE ANALYTIQUE DU PLAN 016 GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN 1 Déterminer l'équation du cercle centré en C et de rayon r si : a) C (0; 0) et r = 1; b) C = (1; ) et r c) C (3; -4) et

Plus en détail

Session avril 2015 BACCALAUREAT BLANC. Série : S. Épreuve : Mathématiques ( candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité )

Session avril 2015 BACCALAUREAT BLANC. Série : S. Épreuve : Mathématiques ( candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité ) BACCALAUREAT BLANC Session avril 2015 Série : S Épreuve : Mathématiques ( candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité ) Durée de l'épreuve : 4 heures coefficient : 7 MATERIEL AUTORISE OU NON

Plus en détail

Kooli Mohamed Hechmi

Kooli Mohamed Hechmi Equations à coefficients complexes 4 eme Sc Expérimentales Dans tous les exercices le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct,,. Exercice 1 Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes

Plus en détail

EXERCICES DE GEOMETRIE BASES

EXERCICES DE GEOMETRIE BASES EXERES E GEETRE SES Exercice n 1 p. 222 Puisque et sont de même mesure, il en est de même pour les angles L et N. Notons x cet angle. Par suite, NL = N = 180 (90 + x) = 90 x. e même, NL = L = 180 (90 +

Plus en détail

Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : calculs dans l ensemble des nombres complexes (addition, soustraction, multiplication,

Plus en détail

Utiliser les propriétés des symétries axiale ou centrale.

Utiliser les propriétés des symétries axiale ou centrale. Chapitre 4 Éléments de Géométrie Ce que dit le programme CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Coordonnées d un point du plan Abscisse et ordonnée d un point dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

Plus en détail

CHAPITRE 6 : PRODUIT SCALAIRE

CHAPITRE 6 : PRODUIT SCALAIRE CHPITRE 6 : PRODUIT SCLIRE I. Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan 1. Généralités Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan non nuls, et, B, C trois points du plan tels que Le produit scalaire

Plus en détail

L essentiel des notions

L essentiel des notions L essentiel des notions Sésamath Troisième L essentiel des notions http://www.sesamath.net/ Association Sésamath http://manuel.sesamath.net/ Adaptation réalisée par Marie-Laure Besson Table des matières

Plus en détail

Repérage dans le plan (début)

Repérage dans le plan (début) Repérage dans le plan (début) I/ Repère Def: un repère du plan est la donnée de trois points non alignés O, I et J. Def: si les axes ( OI ) et ( OJ ) sont perpendiculaires et si les distances OI et OJ

Plus en détail

1 ère S Exercices de trigonométrie

1 ère S Exercices de trigonométrie ère S Exercices de trigonométrie Soit x un réel quelconque. Calculer cos x sin x cos x sin x 4 4 4 4 ; B cos x sin x cos x sin x ; C sin x cos x cos x. Dans chaque cas, donner le signe de cos x et sin

Plus en détail

GEOMETRIE ANALYTIQUE EQUATIONS DE DROITES

GEOMETRIE ANALYTIQUE EQUATIONS DE DROITES GEOMETRIE ANALYTIQUE EQUATIONS DE DROITES Géométrie analytique C est Descartes (1596-1650) qui a développé l idée de représenter les figures géométriques dans un repère, les points du plan étant définis

Plus en détail

ABCD est un carré donc les distances des côtés sont égales. On note.

ABCD est un carré donc les distances des côtés sont égales. On note. Exercice 1 ABCD est un carré donc les distances des côtés sont égales. On note. Pour construire E et F, on a tracé un quart de cercle de centre D passant par B. On peut ainsi noter car ils correspondent

Plus en détail

Exercice (4 points) Deux bateaux et sont au large d une île et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. Ils constatent qu ils sont séparés de 80

Exercice (4 points) Deux bateaux et sont au large d une île et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. Ils constatent qu ils sont séparés de 80 Les exercices présentés sont soit des 0 02 0 04 05 exercices DST DE MATHEMATIQUES de brevet, soit extraits d ouvrages Mardi Mars 205 Nom : Prénom ( : Nathan et Hatier je crois ). Classe :. Le copyright

Plus en détail

Nouvelle Calédonie. Mars Enseignement spécifique. Corrigé

Nouvelle Calédonie. Mars Enseignement spécifique. Corrigé Nouvelle Calédonie. Mars 2016. Enseignement spécifique. Corrigé EXERCICE 1 Partie A 1 Représentons la situation par un arbre de probabilités. 1/4 A 6/10 /10 1/10 B L S /4 D 4/10 6/10 0 B L S a La probabilité

Plus en détail

Correction des Exercices

Correction des Exercices DAEU-B Maths UGA 016-017 Correction des Exercices Géométrie plane : la méthode des coordonnées. Exercice n o 1 Soit (D) la droite d équation y = x 1. a. Les points A(1, 3) et B(4, 9) appartiennent-ils

Plus en détail

La fonction carré est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=x 2

La fonction carré est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=x 2 Lcée JANSON DE SAILLY I FONCTION CARRÉ DÉFINITION La fonction carré est la fonction définie pour tout réel par f)= 2 PROPRIÉTÉS Un carré est toujours positif ou nul. Pour tout réel, on a 2 0. Un nombre

Plus en détail

COMPLEXES. Sujets. septembre Antilles-Guyane. novembre Amérique du Sud. avril Pondichéry. mai Liban.

COMPLEXES. Sujets. septembre Antilles-Guyane. novembre Amérique du Sud. avril Pondichéry. mai Liban. COMPLEXES Sujets septembre 01 novembre 01 avril 01 mai 01 Antilles-Guyane Amérique du Sud Pondichéry Liban Formulaire COMPLEXES 1 Antilles-Guyane septembre 01. EXERCICE Le plan complexe est rapporté à

Plus en détail

Angles et parallélisme Exercices corrigés

Angles et parallélisme Exercices corrigés Angles et parallélisme Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : montrer que deux angles sont complémentaires Exercice 2 : trouver l angle complémentaire à un angle Exercice 3 : montrer

Plus en détail

GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE

GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE On se place dans un repère orthonormal du plan ( O ; i, j, k ) I Équation de plan Exercice 1 : On considère le point A ( 0;1;4) et le vecteur n ( ;3; ) Déterminer une équation du

Plus en détail

Chapitre 7 : Trigonométrie

Chapitre 7 : Trigonométrie Chapitre : Trigonométrie I. Longueur d arc de cercle Par cœur : Le périmètre d un cercle de rayon R : R L aire d un disque de rayon R : R Savoir-faire : calculer la longueur d un arc de cercle Le cercle

Plus en détail

Chapitre Bissectrice Cercle inscrit Distance d un point à une droite Tangente

Chapitre Bissectrice Cercle inscrit Distance d un point à une droite Tangente Chapitre issectrice Cercle inscrit Distance d un point à une droite Tangente Connaître et utiliser la définition de la bissectrice. Utiliser différentes méthodes pour tracer : La médiatrice d un segment.

Plus en détail

LA LOGIQUE EST TOUJOURS PRÉSENTE MÊME SI ELLE N EST PAS TOUJOURS EXPLICITÉE

LA LOGIQUE EST TOUJOURS PRÉSENTE MÊME SI ELLE N EST PAS TOUJOURS EXPLICITÉE VOCABULAIRE ET GÉOMÉTRIE Groupe de travail Géométrie 6 e - Nathalie Lauquin - Nadine Gérald (professeurs de mathématiques) - Frédérique Le Bret (professeur de français) - juin 2013 DANS LES DÉMONSTRATIONS

Plus en détail

Cours 09 Les fonctions de référence

Cours 09 Les fonctions de référence Seconde Lycée Desfontaines Melle Cours 09 Les fonctions de référence I. Fonctions affines. Définition : On appelle fonction affine toute fonction f définie sur IR par f()=m+p où m et p sont des réels donnés.

Plus en détail

Renforcer ses compétences en mathématiques Devoir n 1

Renforcer ses compétences en mathématiques Devoir n 1 Renforcer ses compétences en mathématiques Devoir n 1 I. Conseils pour mieux réussir Le devoir 1 porte sur les notions des chapitres I, II, III, IV et V. EXERCICE 1 Voir la division euclidienne. Il peut

Plus en détail

1.1 Réviser ses gammes

1.1 Réviser ses gammes 1 Géométrie plane TD Seconde 1.1 Réviser ses gammes vant toute chose, vous pouvez reprendre vos fiches sur les connaissances du collège. Gamme n 1 Nombres relatifs.......................................................................................

Plus en détail

I. Repère du plan. Chapitre 2 Repérage dans le plan

I. Repère du plan. Chapitre 2 Repérage dans le plan Chapitre Repérage dans le plan. Repère du plan Définition Un repère du plan est constitué de trois points non alignés, et. Considérons le repère du plan noté ( ;, ) le point est appelé origine du repère

Plus en détail

Troisièmes : formulaire de révision pour le brevet et la seconde. Cours disponibles sur le net :

Troisièmes : formulaire de révision pour le brevet et la seconde. Cours disponibles sur le net : Troisièmes : formulaire de révision pour le brevet et la seconde. Cours disponibles sur le net : http://titaile.free.fr (sans le www) I. Calcul. Revoir impérativement «développer, factoriser, résoudre

Plus en détail

EXERCICES : TRIGONOMÉTRIE

EXERCICES : TRIGONOMÉTRIE Chapitre wicky-math.fr.nf Trigonométrie EXERCICES : TRIGONOMÉTRIE Exercice 1. Sur le cercle trigonométrique C de centre O ci-dessous, les points A et B sont tels que : ÎOA=5 et ÎOB= 10 Donner une mesure

Plus en détail

Seconde Repères Quelques démonstrations :... 5

Seconde Repères Quelques démonstrations :... 5 Index I- Sur un axe, droite graduée... 1 I-1- La droite graduée... 1 Exemple... 1 I-- Distance sur un axe gradué, distance entre deux nombres... 1 I-3- Abscisse du milieu sur un axe gradué.... II- Repère

Plus en détail

en effectuant un pliage le long de la droite, les figures se superposent. en effectuant un demi-tour autour de ce point, les figures se superposent.

en effectuant un pliage le long de la droite, les figures se superposent. en effectuant un demi-tour autour de ce point, les figures se superposent. 1 Symétrie par rapport à une droite JETIF 1 ÉFINITIN ire que deux figures sont symétriques par rapport à une droite signifie que, en effectuant un pliage le long de la droite, les figures se superposent.

Plus en détail

Progression 4e - MATHEMATIQUES

Progression 4e - MATHEMATIQUES PREMIER TRIMESTRE ADDITION ET SOUSTRACTION DES NOMBRES RELATIFS (Chap1) I) Addition de deux nombres relatifs II) Soustraction de deux nombres relatifs III) Notation simplifiée Activités : CALCUL MENTAL,

Plus en détail

1) Existe-t-il une position de M telle que l aire de la surface rose pale soit

1) Existe-t-il une position de M telle que l aire de la surface rose pale soit Exercice 1 : On considère un demi-cercle de diamètre AB = 5. M est un point du segment [AB]. On construit les demi-cercles de diamètres [AM] et [MB] comme l indique la figure ci-dessous. 1) Existe-t-il

Plus en détail

Equations à coefficients Complexes. Dans tous les exercices le plan P complexe est rapporté à un repère orthonormé direct,,.

Equations à coefficients Complexes. Dans tous les exercices le plan P complexe est rapporté à un repère orthonormé direct,,. Equations à coefficients Complexes 4 ème Mathématiques Dans tous les exercices le plan P complexe est rapporté à un repère orthonormé direct,,. Exercice 1 1) Résoudre dans C l équation : 3 + + 2 + 2 3

Plus en détail

ANGLES ORIENTÉS - TRIGONOMETRIE

ANGLES ORIENTÉS - TRIGONOMETRIE hapitre 04 Angles orientés - Trigonométrie ANGLES RIENTÉS - TRIGNETRIE I- esure d un angle en radians Soit, A, B trois points du plan distincts deux à deux. n considère le cercle de centre et de rayon

Plus en détail

A retenir : Chapitre 1

A retenir : Chapitre 1 A retenir : Chapitre 1 C1 * 1 et * 2 Définition de division euclidienne et vocabulaire Effectuer la DIVISION EUCLIDIENNE de D par d non nul, c est trouver le quotient q et le reste r tel que : D = d. q

Plus en détail

Sommaire. Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel

Sommaire. Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du

Plus en détail

Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan. Table des matières. Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan. Table des matières. Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan TLE DES MTÈRES page -1 Chapitre 2 Coordonnées d un point du plan Table des matières Exercices -1 1................................................ -1 2................................................

Plus en détail

Contrôle commun de Seconde - 26/01/ Sujet A

Contrôle commun de Seconde - 26/01/ Sujet A NOM :................................................................................................................ Contrôle commun de Seconde - 6/1/16 - Sujet A Calculatrice autorisée. Rédigez clairement

Plus en détail

I. Fonction de référence

I. Fonction de référence I. Fonction de référence Fonction x x 2 x x 3 x x x x Nom Domaine de définition x 3 2,5 2,5 0,5 0 0,5,5 2 2,5 3 Tableau de valeurs x² x 3 x /x Graphes Extremum Eléments de symétrie de la courbe Fonctions

Plus en détail

Ch 1 : Repérage. I Repère d'une droite. A Distance sur une droite graduée. B Abscisse du milieu d'un segment sur une droite graduée

Ch 1 : Repérage. I Repère d'une droite. A Distance sur une droite graduée. B Abscisse du milieu d'un segment sur une droite graduée Ch 1 : Repérage Repère d'une droite Définition : Un repère d'une droite est constitué de deux points distincts et pris dans cet ordre. Ce repère est noté ( ;). Propriété : Dans un repère ( ;), a pour abscisse

Plus en détail

DISTANCE DE DEUX POINTS. dans un repere orthonormal

DISTANCE DE DEUX POINTS. dans un repere orthonormal THEME : DISTNCE DE DEUX POINTS dans un repere orthonormal Dans tout ce chapitre, nous travaillerons dans un repère orthonormal ( O, I, J ) Un repère ( O, I, J ) est dit orthonormal ( ou orthonormé ) lorsque

Plus en détail

Copyright 2012 PLANETE WORK

Copyright 2012 PLANETE WORK Page 1 sur 36 TABLE DES MATIÈRES CALCUL LITTÉRAL... 5 DÉVELOPPER UNE EXPRESSION LITTÉRALE... 5 FACTORISER UNE EXPRESSION LITTÉRALE... 6 SUPPRESSION DE PARENTHÈSES DEVANT DES SOMMES ALGÉBRIQUES... 6 RÉDUCTION

Plus en détail

I) Angle orienté formé par deux vecteurs du plan

I) Angle orienté formé par deux vecteurs du plan CHAPITRE Angles orientés, trigonométrie Capacités au programme : Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour : déterminer les cosinus et sinus d angles associés ; résoudre dans R les équations d

Plus en détail

Stéphane Guyon Correction Plan de Travail équations de droites - pnuméro de page/statistiques Lycée Bellevue

Stéphane Guyon Correction Plan de Travail équations de droites - pnuméro de page/statistiques Lycée Bellevue Correction Plan de travail équations de droites : Calcul du coefficient directeur d une droite Exercice 10: On considère (O; i ; j) un repère du plan. Déterminer, si possible, le coefficient directeur

Plus en détail

Par hasard, par abole. Tâche 1- Vous tenterez de répondre expérimentalement à la question 1 à l aide d un logiciel de géométrie

Par hasard, par abole. Tâche 1- Vous tenterez de répondre expérimentalement à la question 1 à l aide d un logiciel de géométrie Par hasard, par abole Thèmes. Parabole, probabilités continues. Classe. Terminale S. Logiciels. Logiciel de géométrie dynamique. Tableur. Énoncé Soient a et b deux nombres réels distincts de l intervalle

Plus en détail

«Pour que R et R ' aient le même périmètre, il suffit (il est suffisant) qu ils aient les mêmes dimensions».

«Pour que R et R ' aient le même périmètre, il suffit (il est suffisant) qu ils aient les mêmes dimensions». Condition nécessaire/condition suffisante Cours Dans ce chapitre, nous allons approfondir la notion de phrase conditionnelle (fondamentale en logique mathématique) et préciser le vocabulaire attaché à

Plus en détail

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ;

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ; Sujets de bac : Ln Sujet n 1 : extrait de Liban juin 2004 Partie A Soit la fonction définie sur 0; par 2 ln. 1) Etudier les variations de sur 0; et préciser ses ites en 0 et en. a. Montrer que l équation

Plus en détail

EXERCICES CORRIGES DE MATH

EXERCICES CORRIGES DE MATH EXERCICES CORRIGES DE MATH PAR Ahmed Mowgli, PROFESSEUR DE MATH ET PHYSIQUE-CHIMIE Ce document est la propriété de son auteur, vous avez le droit de l utiliser, de le lire et même de le travailler! Je

Plus en détail

Epreuve de Mathématiques - Durée : 4 heures.

Epreuve de Mathématiques - Durée : 4 heures. Lycée Saint-Exupéry BAC BLANC - Février 04 - Terminales S Epreuve de Mathématiques - Durée : 4 heures. Le sujet est composé de exercices communs à tous les candidats, d un exercice réservé aux candidats

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie Exercices corrigés

Angles orientés et trigonométrie Exercices corrigés Angles orientés et trigonométrie Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : conversion d un angle en degrés ou en radians Exercice 2 : cercle trigonométrique et repérage de points

Plus en détail

Classeur de géométrie 4 ème

Classeur de géométrie 4 ème - 1 - lasseur de géométrie 4 ème Pour démontrer que. Un point est le milieu d un segment Un point est sur un cercle Un point est l image d un autre par es distances sont égales eux angles ont la même mesure

Plus en détail

2 e Exercices sur les équations de droites

2 e Exercices sur les équations de droites e Exercices sur les équations de droites Dans le plan muni d un repère orthonormé, I, J, on considère les droites D d équations réduites respectives y x et y 4 x. ) Tracer ces droites sur un graphique

Plus en détail

Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore Théorème de Pythagore C H A P I T R E 6 Énigme du chapitre. Objectifs du chapitre. Tom veut rejoindre l école le plus rapidement possible. Il doit traverser une rivière de 1 mètre de large. Où faut-il

Plus en détail

THEOREMES DE GEOMETRIE

THEOREMES DE GEOMETRIE THEOREMES DE GEOMETRIE DROITES REMARQUABLES D'UN TRIANGLE Hauteurs : On appelle hauteur d'un triangle une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au coté opposé à ce sommet.

Plus en détail

LEÇONS MEMO CYCLE 3 GEOMETRIE

LEÇONS MEMO CYCLE 3 GEOMETRIE LEÇONS MEMO CYCLE 3 GEOMETRIE en rouge en bleu en vert leçons CE2 nouvelles leçons CM1 nouvelles leçons CM2 SOMMAIRE DE GEOMETRIE G/1 A Utilisation de la règle p. 3 G/1 B Instruments et vocabulaire géométrique

Plus en détail

Contrôle du vendredi (45 minutes) 1 ère S1. 3 ) Démontrer que l ensemble C d équation cartésienne x y x 4y

Contrôle du vendredi (45 minutes) 1 ère S1. 3 ) Démontrer que l ensemble C d équation cartésienne x y x 4y 1 ère S1 Contrôle du vendredi 17--015 (5 minutes) Prénom et nom : Note : / 0 Dans les deux exercices, le plan est muni d un repère orthonormé, i, j 3 ) Démontrer que l ensemble C d équation cartésienne

Plus en détail

TS Exercices sur les nombres complexes (2)

TS Exercices sur les nombres complexes (2) TS Exercices sur les nombres complexes () Calculer les modules des nombres complexes suivants i ; i ; 6i. Calculer le module des nombres complexes suivants en utilisant les propriétés des modules. 6 i

Plus en détail