MECA-H-303 Cinématique et dynamique des machines Séance d exercices 1 - Systèmes simples à 1 D.D.L.

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1 MECA-H-303 Cinéatique et dynaique des achines Séance d exercices - Systèes siples à D.D.L. 20 novebre 20 Rearques : Quand un ressort est annoncé coe étant de longueur libre nulle, cela ne signifie pas qu il est plat et ne peut donc pas se coprier davantage. Cela doit être copris tel que dessiné sur le schéa, aucune force n est appliquée par le ressort. Pourquoi peut-on faire l hypothèse d une réponse (sortie) haronique? Parce que nous soes en présence d un systèe linéaire et que nous faisons l hypothèse d une entrée (la force) haronique. Beaucoup de forces dans la nature peuvent être approchées par une haronique. C est toujours ce genre d excitation que nous rencontrerons en MECA-H-303 Et que se passe-t-il si on considère la gravité/le poids? Et bien ça dépend. Si cette gravité apparaît coe un tere constant (ne dépendant pas du DDL considéré), nous ne la considérons pas pour le calcul de la fréquence de résonance car elle n a pour effet que de changer la position d équilibre du systèe, autour de laquelle celui si va osciller. Si au contraire, cette gravité induit un effet variable en fonction du DDL considéré (pensez à un pendule dans lequel la gravité exerce une force de rappel vers la position d équilibre alors cette gravité doit être prise en copte dans le calcul de la fréquence propre. Exercice Quelles sont les raideurs équivalentes k eq des situations a) et b)? (a) k2 k x x 2 (b) k k 2 en série en parallèle

2 Solution: k eq La raideur équivalente est définie coe le rapport entre la force appliquée et le déplaceent résultant ([N/]). On souhaite siplifier les schéas a) et b) pour obtenir la situation ci-contre. Mise en série des ressorts (a) : La figure a) peut-être al interprétée à cause de l origine prise pour x et x 2. Ci-dessous, une réprésentation plus adéquate. L iportant étant toujours de rester cohérent dans les notations utilisées. Soit le systèe a), on définit k eq = x 2. Où est une force appliquée au sytèe. Puisque le systèe est à l équilibre, les forces internes sont auto-équilibrées ; si on établit le diagrae du corps libre, cela correspond à : k2 k x en série x 2 k 2 k 2 2 Or, par définition des ressorts linéaires, et si le systèe est à l équilibre, on a la force de rappel de chacun des ressorts qui équilibre parfaiteent la force qui est appliquée sur ce ressort, au signe près (le ressort tente de se recoprier pour contrer la traction). On a donc : 2 = rap2 = k 2 (x 2 x ) = () = rap = k x = (2) en cobinant ces deux équations, on obtient : et en introduisant ce résultat dans (), on obtient : k x = k 2 x 2 k 2 x x = x 2 k 2 k + k 2 k 2 (x 2 x 2 k 2 k + k 2 ) x 2 k k 2 k + k 2 = = A partir de la définition donnée pour k eq : k eq = x 2 = k k 2 k + k 2 = ( k + k 2 ) Page 2

3 Mise en parallèle des ressorts (b) : Une question judicieuse a été posée au TP : k et k 2 n étant, en toute généralité, pas identique, la barre représentée sur la figure pourrait s incliner et le raisonneent suivant serait erroné. Il faut en fait coprendre que l on ne considère que le DDL vertical. La figure ci-dessous est peut-être oins perturbante ais elle nécessite aussi de ne considérer que le DDL vertical! 2 k 2 k On a toujours k eq = x ais avec x = x 2 = x. On peut réaliser le diagrae du corps libre de la asse et voir que les forces induites par les ressorts copensent la force lorsque le systèe est à nouveau à l équilibre. (On part d une position d équilibre et après l application de la force on arrive à une nouvelle position d équilibre). donc : en parallèle = rap rap2 = ( k x k 2 x 2 ) = (k + k 2 )x k eq = k + k 2 Exercice 2 Pour le systèe asse-ressort aorti à degré de liberté ci-dessous : k f c x a. calculer sa fréquence de résonance, b. établir l expression de la fonction de transfert entre la force f et le déplaceent x, H(ω) = X(ω) (ω). Dessiner une ébauche de H(ω). Solution: Sur base du diagrae de corps libre, on exprie l équilibre des forces (Newton) ẍ = f kx cẋ ẍ + cẋ + kx = f a. Pour calculer une fréquence de résonance, on prend le systèe libre (sans application d excitation) et on ne considère que les éléents conservatifs (forces dérivant d un potentiel donc non dissipatives). La fréquence de résonance ne dépend donc que des asses et des raideurs introduites par la structure. Page 3

4 On a alors ẍ + kx = 0 et puisqu on considère l évolution du systèe sous fore haronique, on a égaleent x(t) = Xe jωt, ce qui nous donne : [k ω 2 ]Xe jωt = 0 t l exponentielle se siplifie car non nulle t X = 0 est une solution qui ne nous intéresse pas, elle correspond au cas statique avec énergie de déforation null k ω 2 = k ω n = b. ẍ+ c ẋ+ k x = f sachant qu on pose que c = 2ξω n, que k = ω2 n, que f(t) = e jωt et donc que x(t) = Xe jωt, on obtient : [(ω 2 n ω 2 ) + j(2ξω n ω)]xe jωt = e jωt H(ω) = X(ω) (ω) = k ( ω2 ω 2 n ) + j2ξ ω ω n Les rearques concernant l aplification statique et l aplification dynaique présentes dans l expression ont été faites au TP. Plus de détails concernant le tracé des courbes de Bode (asyptotiqueent) peuvent être lus sur H [/N] [rad] -40dB/dec] n [rad/s] n [rad/s] Page 4

5 Exercice 3 Les trois structures ci-dessous représentent des portiques constitués de poutres sur lesquelles sont posées des charges assiilées à des asses. On suppose que les asses oscillent horizontaleent. Dans les trois cas proposés, calculer la preière fréquence propre de ces structures, donner une ébauche des fores odales et interpréter physiqueent les différences. a) b) c) encastreent rotule L Dans le cas c), si l on considère que la asse peut vibrer à la fois verticaleent et horizontaleent, établir la condition garantissant que la fréquence naturelle du ode horizontal sera inférieure à celle du ode vertical. Solution: On est en présence d un systèe coplexe qu on voudrait siplifier pour en étudier analytiqueent les propriétés, coe sa preière fréquence propre par exeple. On procède à un enseble d hypothèses basées sur l observation de la structure. La flexion doine par rapport aux autres déforations () On néglige la rotation de la asse (inertie) (2) On considérera que >>> ρal (la asse des poutres est négligeable) (3). De () et (2) on peut tirer qu on considère, dans un preier teps, qu à basse fréquence, la vibration est essentielleent horizontale. De (3), on tire que les poutres se coportent donc uniqueent coe des raideurs. On peut donc replacer les poutres par des ressorts linéaires travaillant horizontaleent. La situation est représentée ci-dessous. L k k 2 k éq x x Dans chaque cas, on doit déteriner k et k 2, les raideurs équivalentes des poutres, afin de pouvoir déteriner la raideur équivalente de l enseble de la structure, notée k eq sur le schéa ci-dessus. Pour cela, on fera l analogie du ressort linéaire en appliquant une force connue et en calculant le déplaceent résultant δ (k eq = δ en [N/]). a. A cause de l encastreent, on s attend à ce que le preier ode préserve les angles Page 5

6 droits entre les poutres et la asse et entre les poutres et le sol. Il est en effet logique de prendre en copte le fait qu un encastreent ne peret pas la rotation. M x 2 Puisque les 2 poutres sont encastrées, on a k = k 2 = δ. Rearquons que l enseble est hyperstatique et que donc, un oent résistant M va apparaître. Cette représentation nous peret l analogie avec la poutre encastrée-libre. En reprenant les forules du cours (Proble /Part, voir ci-dessous) et les notations vues en résistance des atériaux, à savoir : E = odule de Young et I = inertie en flexion, nous obtenons que : δ = L3 3 + ML2 2 φ = L2 2 + ML Pour la poutre bi-encastrée φ doit être = 0 car l angle droit est préservé à l encastreent M = L 2 δ = L3 3 L3 4 = L3 2 k = k 2 = 2 k eq = k + k 2 = 24 b. Nous connaissons aintenant k et nous cherchons le k 2 qui correspond, grâce à la rotule, à une poutre encastrée-libre (isostatique), on se ressert des forules du cours reprises ci-dessus (qui découlent en fait sipleent des intégrales de Mohr vues en résistance des atériaux) et on trouve k 2 = 3 et donc k eq = 5 c. Nous connaissons k et k 2 (ce sont les êes que la seconde poutre du point précédent) et nous trouvons, en les soant : k eq = k + k 2 = 6 L3 Page 6

7 Nous avons donc, puisque ω = k/ : 24 ω a = L 3 5 ω b = L 3 6 ω c = On retrouve donc un résultat assez général : plus il y a de DDL contraints, plus la structure est rigide et plus ses fréquences de résonance sont élevées. Ici, à caractéristiques atérielles identiques, les changeents en tere de cinéatique (CL (Conditions aux Liites) et liens structuraux) odifient la raideur dûe à la géoétrie Notons au passage que, quelles que soient les CL, la raideur équivalente en flexion d une poutre est toujours de la fore : k eq = α avec α dépendant des CL, E dépendant du atériau et E et L n ipliquant que la géoétrie. Bonus sur la question c) : En traction/copression, on peut ontrer que la raideur équivalente de la poutre est k eq = EA L où A est la section de la poutre. En effet, avec x l axe de la poutre : }{{} Section L 0 σ x = Eϵ x L σ x dxda = }{{} 0 Section L = E A ϵ x L }{{} =δ = EA L δ Eϵ x dxda Nous devons établir la condition garantissant que la fréquence naturelle du ode horizontal sera inférieure à celle du ode vertical, soit que : 6 2EA < L 3I L 2 < A [2 ] Page 7

8 Exercice 4 Ecrire l équation du ouveent régissant la vibration de la poutre ci-dessous, de longueur L et de asse et considérée coe infinient rigide ; la longueur libre des ressorts est nulle ; Z représente un déplaceent iposé par rapport à la poutre. Enfin, calculer la fréquence propre du systèe. Z k 2 k L /2 L /2 c Solution: Le systèe tel que représenté sur le schéa est équivalent à un systèe à DDL régi par l équation d Euler : I θ = C Attention : le I est ici l inertie de rotation, cela n a rien à voir avec le I de l exercice 2! On suppose en outre que les vibrations sont de faibles aplitudes (θ << ). On fait le bilan des couples : C k = L 2 k y L/2 = L 2 k L 2 tan θ L 2 k 4 θ C k2 = Lk 2 (y L Z) = Lk 2 (L tan θ Z) Lk 2 (Lθ Z) C c = L 2 c y L/2 = L 2 c L θ 2 cos 2 θ L 2 c 4 θ I }{{} θ + c L 2 θ + [ k L 2 + k 2 L 2 ] θ = Lk 2 Z }{{ 4 }} 4 {{} c k Page 8

9 Or l inertie de rotation I peut se calculer avec : I = }{{} Section L 0 ω = ρx 2 dxda = ρa L3 3 = L2 3 k = 3 k + 4k 2 4 en [kg 2 ] Rearquons qu on aurait aussi pu poser θ(t) = Θe jωt et développer pour arriver au êe résultat. Page 9