Gabriel Scherer TS3 LE PENDULE ÉLASTIQUE

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1 Gabriel Scherer TS3 LE PENDULE ÉLASTIQUE

2 1 Étude manuelle d un pendule élastique vertical Schéma : Ressort constante de raideur k M asselote M asse m Support Table S chém a du m ontage utilisé TPP6odt 2/17

3 11Détermination statique de la raideur k du ressort élastique On fait varier la masse m suspendue au ressort élastique, et on mesure à chaque fois l allongement x = l l0, avec l = longueur du ressort, et l0 = longueur du ressort à vide On remplit le tableau suivant : m (g) ,196 0,392 0,588 0,784 0,98 1, ,8 19,8 29,3 mg (N) x=l lo (cm) On montre que le module de la tension F du ressort est égale au module du poids P = mg de la masse m suspendue au ressort On trace le graphe F = f(x) : TPP6odt 3/17

4 On modélise cette courbe passant par l origine On vérifie bien que l on a la relation F = P = kx On peut déterminer à l aide du graphe la constante de raideur k du ressort : k = 5,42 N/m 12Détermination dynamique de la raideur k du ressort élastique On fait varier la masse m suspendue au ressort élastique et on fait osciller le ressort On mesure à chaque fois 10 périodes T, et on remplit le tableau suivant : m ( g) 10 T (s) T (s) ,74 6,35 8,39 10,29 11,44 0,374 0,365 0,839 1,029 1,144 On trace le graphe T = f(m) et on modélise avec le modèle «puissance» : On en déduit que T = Bm, avec : n n 05 TPP6odt 4/17

5 On a donc : T = B m On remplit le tableau suivant, avec T², ce qui permet de supprimer la racine de l expression trouvée précédemment: m (*10 3 kg) T (s) 0 0,374 0,365 0,839 1,029 1,144 T2(s2) 0 0,139 0,4 0,7 1,06 1,31 On trace le graphe T² = f(m) : On modélise cette courbe passant par l origine On a bien la relation T² = Am, et on a donc : B² = A On peut donc calculer A : A 6 75 TPP6odt 5/17

6 Sachant que T = 2π m, on peut trouver une relation entre A et k : k A= 4π² k On a donc : k= 4 π² 4 π² =5, 85 = 6, 75 A On peut comparer les valeurs de la constante de raideur k du ressort déterminée par les deux méthodes différentes : Les deux valeurs de k trouvées sont assez proches, mais on peut supposer que la valeur trouvée avec le ressort statique sont plus proches de la valeur réelle, car les mesures sont beaucoup plus faciles à réaliser 2 Étude d un pendule élastique horizontal à l aide d une table à digitaliser 21Rappel des formules du pendule horizontal (avec frottements négligeables) Période : T = 2π Équation horaire : m k 2πt 2π x = xmaxsin( T φ ), avec ω= T Vitesse : 2 πt 2π V = Vmaxcos( T φ ), avec Vmax = T x max Energie cinétique : Ek = 0,5mV² Energie potentielle élastique (pour un pendule élastique oscillant dans un plan horizontal) : Epp = 0,5kx² TPP6odt 6/17

7 Energie mécanique (pour un pendule élastique oscillant dans un plan horizontal) : Em = Ek + Epp 22Expérience Schéma du dispositif expérimental : S c h é m a d u m o n ta g e à l é q u ilib re T a b le h o rizo n ta le M o b ile a u to p o rte u r R e sso rt, co n sta n te d e ra id e u r k S c h é m a d u m o n ta g e lo rs d e l e x p é rie n c e T a b le h o rizo n ta le M o b ile a u to p o rte u r R e sso rt, co n sta n te d e ra id e u r k TPP6odt 7/17

8 Photo d une table à digitaliser Les ressorts restent tendus au cours du mouvement oscillatoire suivant l axe du ressort 23Enregistrement du mouvement en utilisant la table à digitaliser et le logiciel Digwin On choisit dans le logiciel Digwin d avoir un nombre de points par seconde maximum, c'est à dire de 192 Pour réaliser un enregistrement, on lance le pendule élastique avant d accepter le déclenchement automatique sur le logiciel Après avoir réalisé les enregistrements, on les enregistre au format Regressi pour pouvoir les exploiter par la suite 24Exploitation des enregistrements 241Faible amplitude On vérifie que l on a pour l enregistrement : 2πt x = xmaxsin( T φ ) b TPP6odt 8/17

9 Courbe : On détermine xmax, T, φ et b par modélisation : xmax = 43,77mm T = 0,9s φ = 0,37 rad b = 0,046 mm b représente la force de frottements On créé la nouvelle variable X = x b Cette variable représente la véritable variation d abscisse de la masse La donnée xmax représente la valeur de l amplitude maximum du mouvement La variable φ représente la phase du mobile au départ de l enregistrement On peut comparer la valeur de T trouvée expérimentalement avec celle déduite des données de m et k : T= 2π m =1,032s k Les deux valeurs de T sont peu éloignées l une de l autre TPP6odt 9/17

10 242Grande amplitude Courbe : On peut modéliser la courbe par : 2πt ht X = Xmaxe sin( T ' φ ) On peut déterminer Xmax, h, T et φ par modélisation de la courbe : Xmax = 78,6 mm h = 0,72 T = 0,73s φ = 0,46 rad Les frottements considérés sont de forme fluides, puisque le mobile est placé sur une table à coussin d air Les frottements solides sont donc quasiment nuls TPP6odt 10/17

11 Portrait de phase V X dx On crée sous Regressi les grandeurs V = dt, Vr = ω x et Xr = x max max On trace la courbe Vr = f(xr) : Les points se rapprochent petit à petit de l origine sous l influence des frottements, mais ceux ci sont encore assez faibles, et le rapprochement est lent Étude énergétique Pour ce même enregistrement, on créé les nouvelles variables Ek = 0,5mV², Epé = 0,5kX² et Em = Ek + Epp En fonction du temps t On trace les graphes Epé et Ek en fonction de t : TPP6odt 11/17

12 La période T1 de Ek et de Epp est de : T1 = 0,45s On trace Em en fonction de t : Em baisse, ce qui prouve la présence de frottements fluides En fonction de l élongation X TPP6odt 12/17

13 On trace les graphes Ek, Epp et Em en fonction de X La cuvette de potentiel a une forme parabolique, les frottements ont peu d influence Les barrières de potentiel sont atteintes pour x = 0,08m et x = 0,08m 3 Étude des oscillations d un pendule élastique vertical à l aide d une webcam 31Enregistrement, film, et numérisation du mouvement A l aide d une webcam et du logiciel IPI, on filme le mouvement d une masse au bout d un pendule élastique TPP6odt 13/17

14 Schéma : M obile aux différents ins tants du film ( t étant égal à la durée de pers is tanc e d une im age s ur la c am éra, on av ait t= 0,04 s ) R ègle graduée ( pour l éc helle ) 0t 1t O rdinateur + logic iel d aquis ition et de traitem ent v idéo ( IP I) 2t E c ran P lan de la c am éra W ebc am Schém a du dispositif expérim ental Photo d un pendule élastique à l état d équilibre On fait osciller le pendule librement, et on réalise l enregistrement TPP6odt 14/17

15 Après avoir sélectionné les images «intéressantes» du film que nous venons de réaliser, c'est à dire celle où l on voit le pendule osciller, on pointe sur chacune des images du film la position de la masse, avec le plus grand point possible, pour numériser le mouvement Une fois cette opération réalisée, on exporte les données vers Regressi pour pouvoir exploiter les résultats 32Exploitation des résultats 321Équation horaire On admettra que le mouvement peut être considéré comme vertical, pour plus de simplicité (On peut le vérifier à partir des données envoyées sous Regressi) On créé une nouvelle variable Y avec Y = Y1 Y1o avec Y1o ordonnée de O, point d équilibre du pendule, l axe des ordonnées étant orienté vers le bas On trace Y = f(t), et on modélise le mouvement par une fonction sinusoïdale : On constate que les frottements sont négligeables, puisque Ymax ne semble pas diminuer au cours du temps On modélise donc par : 2πt ht Y = Ymaxe sin( T φ ) TPP6odt 15/17

16 On peut déterminer à partir de cette nouvelle modélisation la valeur de la période T : T = 0,702s TPP6odt 16/17

17 322Portrait de phase dy On crée la variable Y = dt 2π Y' On créé ensuite la variable B = ω, avec ω= T, et avec pour T la valeur trouvée précédemment On trace le graphe B = f(y) : Les points sont presque sur un cercle de rayon constant : on peut donc considérer les frottements comme négligeables 4 Conclusion Ce TP a permis de mieux comprendre les mécanismes liés au pendule élastique, on constate que le comportement général est similaire à celui du pendule simple vu précédemment, et ce par des montages simples et des études de courbe TPP6odt 17/17

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