Quelle est parmi les 2 configurations proposées ci-dessous celle qui conduira aux mouvements les plus importants.

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Yvonne Legaré
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1 IUP Génie Mécanique et Productique 2 année Mars 2003 ption Conception Eaen Partiel de Vibrations 1 Eercice: n veut réaliser un TP ettant en oeuvre un oscillateur linéaire aorti de caractéristiques, c et. n dispose d un chariot de asse = 400 g et d un aortisseur de caractéristique c=0.8 N/s -1. e choi du ressort doit se faire entre les 5 valeurs proposées par le fournisseur: N/. c u Choisir le ressort qui convient pour que la fréquence propre soit supérieure à 9 Hz et que le tau d aortisseent δ soit supérieur à Eercice: n veut réaliser un TP ettant en oeuvre un oscillateur linéaire non aorti. n dispose d un chariot de asse = 400 g et de 2 ressorts de raideur 1 = 3000 N/ et 2 = 2000 N/. e sstèe est ecité à une fréquence de 12.5 Hz par un petit oteur onté sur le chariot. Quelle est pari les 2 configurations proposées ci-dessous celle qui conduira au ouveents les plus iportants. 1 2 u 1 2 u 3 Eercice: Un vérin de corps 1 et de tige 2 est utilisé pour ettre en ouveent de rotation un sstèe pendulaire 3. es paraètres de configuration sont: - U(t) (déplaceent de la tige 2 ) - θ(t) (rotation du pendule 3 ). Ces déplaceents sont supposés petits dans l étude qui suit θ(t) U(t) T.S.V.P.

2 n s intéresse à l étude des vibrations libres. e sstèe est odélisé ci-dessous par 2 asses et 2 ressorts: - M représente la asse en translation avec la tige, - représente la asse supposée ponctuelle en ouveent pendulaire, - 1 représente la raideur hdraulique du vérin, - 2 représente la raideur de la tige et de la liaison. Calculer l énergie cinétique, l énergie potentielle élastique et l énergie potentielle de pesanteur. Eprier les atrices de asse et de raideur. au repos, U = θ = 0 et les ressorts 1 et 2 ont leur longueur naturelle. M = 5. Kg = 100. Kg 1 = N/ 2 = N/ a= 0.5 g= 10 s -2 a U(t) θ(t) 1 2 M 1 2 M a atrice [M] -1 [K] est donnée: Calculer les pulsations propres. quels ouveents correspondent-elles?

3 IUP Génie Mécanique et Productique 2 année Juin 2003 Eaen de Vibrations Un outil à copier (fig1) est assiilable à une poutre encastrée-appuée (fig2) de longueur. a section est circulaire de diaètre D. D e atériau est caractérisé par un odule E et une asse voluique ρ. n se propose d eprier la preière fréquence propre en fonction de E, D, ρ et : -par la éthode de Raleigh, -par la éthode des éléents finis, -par la dnaique des poutres. pplication Nuérique: E= 210 GPa D= 6 ρ= 7800 Kg. 3 = 50 fig 1 fig 2-1- éthode de Raleigh: Choisir pari les 3 polnoes proposés ci-dessous le ieu adapté pour représenter la déforée du ode fondaental de fleion: f ( ) = a ( ), f( ) = a 2 ( ), f( ) = a ( 2 2 ) Eprier la pulsation fondaentale en fonction de E, D, ρ et par la éthode de Raleigh. pplication Nuérique. -2- éthode des éléents finis: outil est odélisé (fig3) par un éléent de fleion -B. B fig 3 es degrés de liberté sont désignés par: { U} t = V θ V B θ B

4 n rappelle les epressions de l énergie élastique W et de l énergie cinétique Ec. W = { U } t EI { U} Ec 1 = -- { U } t ρs { U } Eprier la pulsation fondaentale en fonction de E, D, ρ et par la éthode des éléents finis. pplication Nuérique. -3- dnaique des poutres: a déforée étant représentée par la fonction vt (, ) = f ( ) gt (). avec f ( ) = α cos( λ) + β sin( λ) + γ ch( λ) + δ sh( λ) et λ 4 = ρsω2 EI Ecrire l équation au pulsations (déterinant du sstèe 44). 5π a preière racine de cette équation est: ( λ) Eprier la preière pulsation. pplication Nuérique. Un autre odèle (fig4) consiste à prendre en copte la raideur K au contact outil/pièce. K Epliquer (sans calculer) quelle sera la conséquence: -sur la éthode de Raleigh, -sur la éthode des éléents finis, -sur la éthode de la dnaique des poutres. fig 4

5 Maîtrise de Technologie Mécanique Septebre 2003 Eaen de Vibrations Un plancher est odélisé par 3 barres hoogènes de longueur et de asse, articulées entre elles et reposant en B et en C sur 2 appuis élastiques de raideur (fig 1). B C es paraètres de configuration sont les allongeents 1 et 2 supposés petits des ressorts par rapport à la situation de repos horizontale (fig 2). fig 1 B 2 1 C fig 2 Montrer que l énergie cinétique et l énergie élastique s écrivent: E c = --- ( 2 et ) E p = ( ) En déduire les atrices de asse [M] et de raideur [K]. Trouver les pulsations ω 1 < ω 2. a barre est ecitée par un effort vertical et le sstèe devient: [M] { } 1 2 [K] { } 1 + = 2 { } F.cos(ωt) 0 { = { } n pose: 1 2} 1. Calculer 1 et 2 en fonction de ω.cos(ωt) 2 puis caractériser la pulsation d antirésonance ( 1 =0)

6 Maîtrise de Technologie Mécanique Mars 2004 IUP GMP 2 Eaen Partiel de Vibrations -1- Un plancher est odélisé par une barre indéforable, articulée en et reposant en sur un appui élastique de raideur (N/) (fig 1). =0,4 oent d inertie par rapport à : I z (Kg. 2 ) fig 1 e paraètre de configuration est la rotation Θ(t) supposée petite du plancher esurée par rapport à la situation de repos horizontale (fig 2). Θ(t) fig 2 Ecrire l équation du ouveent en vibrations libres. Montrer que si on dispose une asse ponctuelle =0,2 Kg en, l équation du ouveent devient: I oz , Θ Sans la asse ponctuelle, on esure une pulsation propre ω 0 = 272 rd/s vec la asse ponctuelle, on esure une pulsation propre ω 1 = 222 rd/s En déduire les valeurs nuériques de I z et , Θ = 0

7 -2- Un plancher est odélisé par une barre indéforable, articulée en et reposant en sur un appui odélisé par une raideur de N/ et un coefficient d aortisseent visqueu de 1 Ns/ (fig 3). =0, N/ 1. Ns/ oent d inertie par rapport à : I z = 0,065 Kg. 2 fig 3 e paraètre de configuration est la rotation Θ(t) supposée petite du plancher esurée par rapport à la situation de repos horizontale (fig 4). Θ(t) fig 4 Montrer que l équation du ouveent en vibrations libres s écrit: 0, 065 Θ + 0, 16 Θ Θ = 0 En déduire le tau d aortisseent réduit δ de ce sstèe. e plancher est ecité par un effort vertical eercé au niveau de l appui et d intensité: F.cos(Ωt) Que devient l équation du ouveent en vibrations forcées? n pose la solution sous la fore: Θ(t)=α. cos(ωt - φ) Pour quelle valeur de Ω se produit la résonance? Calculer à la résonance le facteur d aplification dnaique (FD) : α θ statique

8 Maîtrise de Technologie Mécanique 11 Juin 2004 IUP GMP 2 Eaen Terinal de Vibrations Soit la poutre (fig 1) de longueur, de odule élastique E, de asse voluique ρ, encastrée à l origine et souise à l etréité à l action d un ressort de raideur. E,S,,ρ u(,t) E,S,,ρ a. ES fig 1 E=70 GPa ρ=2700 Kg/ 3 =50 c n s intéresse à l étude des vibrations longitudinales caractérisées par la fonction u(,t)=f().g(t). n pose = a. ES ( a est un coefficient sans diension ). -1- Calculer les 2 preières pulsations sans le ressort (cas encastré/libre) par la dnaique des poutres. pplication nuérique. -2- Que devient la condition liite en = avec le ressort? Montrer que l équation au pulsations s écrit: tan(λ)=- λ a avec λ=ω. ρ E. -3- En eploitant la courbe tan(λ) donnée (fig 2), calculer le coefficient a pour que la preière pulsation ω soit de l ordre de rd/s. Quelle est, pour cette valeur de a, la deuièe pulsation? -4- Que devient la preière pulsation quand le ressort est: - très souple ( a 0) - très raide ( a ) tan(λ) λ fig 2

9 a poutre de longueur, de odule élastique E, de asse voluique ρ est discrétisée. n la odélise (fig 3) par 2 ressorts de raideur 2ES et 2 asses ponctuelles ρs et ρs. 2 4 C est un sstèe à 2 DD: u 1 (t) et u 2 (t). -5- Justifier ce odèle. u(,t) E,S,,ρ 2ES ρs 2 2ES ρs 4 a. ES u 1 (t) u 2 (t) fig 3-6- Eprier la atrice de asse (22) et la atrice de raideur (22) de ce sstèe discret. -7- Montrer que la atrice [M] -1.[K] s écrit: 4E 2-1 ρ a -8- Calculer la preière pulsation pour a= 0.5 et a= 1. Que peut-on en déduire pour la valeur de a cherchée question 3? -9- Caractériser les 2 odes dans le cas a=1.

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