Système vibratoire à un degré de liberté sans amortissement Système MK. 1 Présentation du modèle. Hypothèses d'étude

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1 Cours GP2.aldonado Vibrations à 1 ddl Système vibratoire à un degré de liberté sans amortissement Système K 1 Présentation du modèle Par dénition, un système possède un seul degré de liberté lorsque la position de ce système par rapport à un repère de référence ne dépend que d'un seul paramètre cinématique indépendant. Une représentation simple d'un tel système correspond l'utilisation d'un ensemble masse+ressort, pour lequel le paramètre y(t) correspond au déplacement vertical de la masse (voir gure). Intuitivement, on devine la réponse dynamique de ce système... k y(t) Figure 1 système K Hypothèses d'étude Nous supposerons dans ce paragraphe que : 1. le système est conservatif, en particulier sur le ressort ce qui est évidemment réellement faux, sinon, le mouvement une fois initiée serait perpétuel! 2. Les déformations des pièces sont petites ou du moins limitées, le domaine élastique limite en eet les déformations : ceci est en général vrai car les vitesses des sollicitations des structures mécaniques sont généralement susamment faibles. 1

2 2 ise en équations du système vibratoire 2.1 Vibrations libres ressort libre statique mouvement oscillant y = 0 y0 y(t) y Figure 2 paramètrage ressort libre, avec masse, en statique et en dynamique Dénition : le système est en vibrations libres lorsqu'il n'est soumis à aucune force extérieure variable (avec le temps). Équilibre statique : Initialement, le ressort est libre d'eort, la masse n'y est pas accrochée. Puis on accroche celle-ci et on mesure l'allongement y 0, dû au poids (voir gure 2) : le repère choisi pour le mouvement comprend un axe y d'origine O, telle que y = 0 pour la position "ressort sans masse". Le premier théorème de Newton (principe de l'inertie) permet d'écrire, en projection sur l'axe y, l'équation scalaire décrivant l'équilibre de la masse isolée (voir gure 3) : g ky 0 = 0 (1) Le scalaire y 0 est appelé "déplacement statique". Équilibre dynamique de la masse isolée Si maintenant on écarte la masse d'une certaine élongation (petite devant la longueur maximale d'élongation du ressort), et ensuite on lache cette masse, cette dernière suit la loi dynamique (voir gure 3 pour le paramètrage) : le centre de masse G a une accélération verticale qui s'écrit γ G (/0) = ÿ. y d'où une résultante dynamique R d =.ÿ. y. Le principe fondamental de la dynamique donne l'expression du théorème de la résultante (deuxième loi de Newton) : g ky(t) =.ÿ(t) (2) 2

3 statique mouvement oscillant dans une position donnée ky 0. y ky(t). y ky(t). y g. y Rd g. y g. y Figure 3 mise en équations cas statique (à gauche) et dynamique (à droite) On pose souvent un autre paramètre Y (t), qui mesure la variation relative de position de la masse par rapport à l'équilibre statique : Y (t) = y(t) y 0 (3) Dans l'équation du mouvement nous avons : Y (t) + y 0 = y(t) donc avec l'équation (2) : g k(y (t) + y 0 ) = (Ÿ (t) + ÿ 0) et ÿ 0 = 0 ce qui donne : g ky 0 = ky (t) + Ÿ (t) dont le premier membre est nul, puisqu'il correspond à l'équation (1), ainsi on obtient l'équation du mouvement dénissant les oscillations autour du point d'équilibre statique : ky (t) + Ÿ (t) = g ky 0 = 0 (4) Ou encore Ÿ (t) + k.y (t) = 0 (5) On posera : ω 0 = k ω 0 est la pulsation propre du système K (nous reviendrons plus précisément sur cette dénomination). Résolution de l'équation du mouvement En annexe, on trouvera un rappel pour la résolution d'une équation diérentielle du type aÿ + by = 0. La solution générale de cette équation sans second membre est de la forme obligatoirement physique : (6) Y (t) = A.cosω 0 t + B.sinω 0 t (7) 3

4 que l'on peut transformer en : Y (t) = C.cos(ω 0 t ϕ) (8) avec la représentation de Fresnel (voir gure 4) qui donne C 2 = A 2 + B 2 et tanϕ = B A. Au nal, nous avons deux constantes inconuues. En vibrations, on connait souvent les A ϕ ω 0 t B ω 0 t ϕ A.cosω 0 t B.sinω 0 t C.cos(ω 0 t ϕ) Figure 4 Représentation de Fresnel conditions initiales. Dans ce cas, on aura par exemple comme données connues : le déplacement initial Y (t = 0) = Y 0 la vitesse initiale nulle Ẏ (t = 0) = 0. La solution prise sous la forme de l'équation (7) donne alors, après calculs, la solution suivante : Y (t) = Y 0.cos(ω 0 t) (9) La réponse est donc purement sinusoïdale, d'amplitude Y 0 et de période T qui peut se calculer en considérant les instants t = 0 et t = T, car alors la phase a augmenté d'une valeur 2π, soit ω 0.T = 2π, ou encore : T = 2π ω 0 (10) Par conséquent, un système en oscillations libres oscille entre deux amplitudes extrêmes à une période xe. Ceci ne dépend pas des conditions initiales, c'est pour cela que l'on parle de pulsation propre car ω 0 et donc T ne dépendent que des caractéristiques intrinsèques du système (cf. exercice méthodes des surcharges). 2.2 Vibrations forcées Équation dynamique On considère maintenant une solide auquel on ajoute deux disques guidés en rotation suivant un axe z perpendiculaire au plan d'oscillation. Sur chacun de ces disques on place un balourd identique. La masse de l'ensemble est notée. Les disques tournent en sens inverse, à la même vitesse angulaire xe ω, de sorte qu'il résulte une force excitatrice 4

5 purement verticale, de la forme F.cosωt ; la masse isolée est donc soumise à trois actions mécaniques extérieures (voir gure 5) : g + F.cosωt ky(t) = ÿ(t) et en utilisant à nouveau l'équation (3), il vient : ky(t). y ky(t). y g. y Rd F.cosωt y g. y F.cosωt y Figure 5 mise en équations excitation dynamique Solution forcée Ÿ (t) + k.y (t) = F.cosωt (11) Dénition : la solution forcée est la réponse du système soumis à la force variable de type F.cosωt ; elle correspond à la solution particulière de l'équation du mouvement (11), avec second membre. À l'aide du formulaire (annexe), on distingue deux cas : 1. Si ω ω 0 : la solution forcée Y f1 (t) vaut : Y f1 (t) = ω 2 0 F.cosωt (12) ω2 On dénit alors l'admittance (ou coecient d'amplication dynamique) par A 1 = F ω 2 0 ω2 (13) Lorsque ω se rapproche de ω 0 sans l'atteindre, A 1, c'est le phénomène de résonance. 5

6 En pratique, l'admittance est limitée (voir hypothèses) quand ω ω 0. La résonance est préjudiciable au système (voir le cas du pont de Tacoma, vidéo sur youtube), mais l'énergie pour l'entretenir est importante. Noter que pour éviter le phénomène de résonance, on peut "déplacer" la fréquence dangeureuse en ajoutant par exemple une masse, ou en changeant la raideur du ressort... A cas théorique A A 0 A 0 / 2 ω 0 ω (rad/s) ω 0 ω (rad/s) ω 1 ω 2 Figure 6 Représentation graphique de l'admittance (la moitié de l'énergie de résonance est contenue dans la zone ω 1 ω 2 ) 2. Si ω = ω 0 : la solution forcée Y f (t) vaut : Y f2 (t) = t. F/.sinωt (14) 2ω Il y a résonance : la forme suivante de l'amplitude maximum A 2 = t. F/ 2ω (15) montre qu'elle est croissante linéairement avec le temps. L'amplitude augmente jusqu'à la rupture du système. 6

7 Annexe 1 Équations diérentielles Ẍ + Ω2 X = X 0.cosΘt La solution générale de cette équation diérentielle linéaire du second orbre à second membre variable est donnée par la somme de : 1. la solution générale X 1 (t) de l'équation à second membre nul, 2. et d'une solution particulière X 2 (t) de l'équation avec second membre. Détail de la solution : 1. Équation à second membre nul : la solution est de la forme suivante, sous la condition Ω > 0 (toujours vraie pour un problème physique... bien posé) : X 1 (t) = A.cosΩt + B.sinΩt (16) 2. Équation avec second membre : On cherche la solution particulière sous la forme (ce sera la solution forcée dans la cas d'une étude en vibrations) X 2 (t) = µcosθt, soit Ẍ2(t) = µθ 2 cosθt, ce qui donne dans l'équation : 2 cas se présentent alors : µ. ( Ω 2 Θ 2) = X 0 (17) 1er cas : Ω Θ, alors µ = X 0 Ω 2 et la solution particulière est : Θ2 La solution générale prend donc la forme : X 2 (t) = X 0 Ω 2.cosΘt (18) Θ2 X(t) = A.cosΩt + B.sinΩt + X 0 Ω 2 Θ 2.cosΘt 2ème cas : Ω = Θ, alors la solution µcosθt n'est plus envisageable ; on choisit une autre solution de la forme X 2 (t) = µ.t.sinωt, soit Ẍ2(t) = µω 2 t.sinωt + 2µcosΩt. Ceci impose dans l'équation diérentielle que µ = X 0 2Ω. Au bilan : X 2 (t) = X 0.t sinωt (19) 2Ω La solution générale prend donc la forme : X(t) = A.cosΩt + B.sinΩt + X 0.t 2Ω sinωt 7

8 Exercices 1. Détermination expérimentale de la pulsation propre d'un système K On désire déterminer la pulsation propre du système ci contre. Pour cela, on le place successivement dans les deux sens (verticalement), comme représenté. Exprimer ω 0 en fonction de y. 2. Détermination des paramètres d'un système K par la méthode des surcharges k y(t) Nous avons le système de la gure cicontre. Pour déterminer la valeur de la raideur k d'un ressort, on peut utiliser la méthode de la surcharge statique (masse additionnelle m) ; on mesure alors l'allongement supplémentaire y du ressort pour en déduire la valeur de k selon k = mg y... Ici on souhaite aussi déterminer la masse. Pour cela, on mesure les oscillations libres de la masse après lancement et on note la période T 1 =5,41s. Puis on impose une surcharge valant m =10kg. On visualise une période d'oscillations T 2 =5,67s. En déduire les valeurs de k et. 8

9 3. odélisation simple d'un train avant de véhicule On modéliser le train avant d'un véhicule de masse m à l'aide de deux ressorts de raideur identique k, et de longueur à vide l 0. On donne par ailleurs : m =1200kg ; k=20000n/m ; l 0 =45cm On suppose que les roues sont indéformables (du moins, très raides par rapport aux ressorts...). (a) ontrer que ce dispositif est équivalent à un ressort unique dont on exprimera la raideur k eq en fonction de k. (b) Le véhicule étant à l'arrêt, on comprime de les ressorts d'une valeur x 0 =5cm puis on relâche l'ensemble à un instant considéré comme l'origine des temps. i. Établir l'équation diérentielle du mouvement. ii. Déterminer la solution. iii. Déterminer l'accélération verticale maximale du véhicule. 4. Système amortisseur rouepneu On considère le système amortisseur roue-pneu d'un véhicule. Soit k 1 =25000N/m la raideur du ressort, et sa longueur à vide l 10 =50cm. Le pneu est considéré comme un second ressort de raideur k 2 =250000N/m, et de longueur à vide l 20 =10cm. (a) ontrer que le système ressortpneu est équivalent à un ressort unique. Exprimer la raideur k eq de ce ressort et sa longueur à vide l 0. (b) Déterminer la fréquence propre f 0 du système. 9

10 5. odélisation d'un véhicule suivant une chaussée présentant des oscillations Le point de contact I de la roue suit le prol de la chaussée, sans décollement (axe y vertical). On considère une masse suspendue et un ressort de raideur k. Déterminer l'équation du mouvement et en déduire la pulsation dangeureuse. y(t) = y 0.sinωt 10