Mouvements à Accélération Centrale

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1 HAPIRE 8 Mouvements à Accéléation entale 8. PRPRIÉÉS GÉNÉRALES 8.. Définition Le mouvement du oint M est un mouvement à accéléation centale dans le eèe (), si et seulement si, il eiste un oint de (), tel que le vecteu osition M du oint M soit colinéaie au vecteu accéléation du oint M : ( ) a ( M, t ) λ ( M ) M, (8.) où λ(m) est un nombe éel déendant ou indéendant du oint M. 8.. Un mouvement à accéléation centale est un mouvement à tajectoie lane Il ésulte de la définition écédente qu'un mouvement est à accéléation centale, si et seulement si : ( ) M a ( M, t ). (8.), nous avons la elation : ( ) d ( ) ( ) M ( M, t) M a ( M, t) dt v. (8.3) La comaaison de (8.) et (8.3) monte donc qu'un mouvement est à accéléation centale si et seulement si : ( ) M v ( M, t ), (8.4) où est un vecteu indéendant du tems.

2 8. Poiétés généales Si est difféent du vecteu nul, l'eession écédente monte que le oint M aatient au lan assant a le oint et de diection othogonale au vecteu. Si est le vecteu nul, la tajectoie est otée a une doite assant a le oint Vitesse aéolaie Le mouvement du oint M étant un mouvement lan, il est ossible de eée le oint M a ses coodonnées olaies (, α) dans ce lan (figue 8.a). onsidéons alos (figue 8.b) deu ositions infiniment voisines M(t) et M(t + dt) du oint M su sa tajectoie. Nous avons : M () t u( α), (8.5) et ( ) ( ) MtMt () ( + d) t d Mt () d u( α) + d u( α) d u( α) + u( α + π (8.6) )d α. L'aie balaée a le segment M est égale à l'aie de la suface dσ du tiangle M(t)M(t + dt). Soit : d σ M ( t) d M ( t) dα. (8.7) La gandeu σ eésente l'aie balaée ente une date ise comme oigine des tems et la date t. Sa déivée a aot au tems σ est aelée la vitesse aéolaie du mouvement à la date t : d σ σ dt α. (8.8) La vitesse aéolaie eésente l'aie balaée a unité de tems. M(t + dt) u( α + π ) u( α) α (a) M (b) M(t) FIGURE 8.. oodonnées olaies et aie balaée.

3 haite 8 Mouvements à accéléation centale 8..4 Loi des aies Dans le cas d'un mouvement lan, le vecteu vitesse du M oint s'écit d'aès (6.35) : ( ) v ( M, t ) u ( α ) + αu ( α + π ). (8.9) Il en ésulte que la elation (8.4) conduit à l'eession du vecteu : α k k, (8.) en osant : α. (8.) Le vecteu étant indéendant du tems, il en ésulte que est également indéendant du tems. Pa ailleus en comaant à l'eession (8.8), nous obtenons : σ dσ. (8.) dt La constante est alos aelée constante des aies. Pou un mouvement lan à accéléation centale de cente, la vitesse aéolaie elative au oint est constante Eessions des vecteus cinématiques Les vecteus cinématiques (6.9) et (6.33) euvent ête eimés en intoduisant la constante des aies eimée en (8.). Nous avons : d d dα d α d d ( ), dt dα dt dα dα dα d d α d d d ( ) ( ), (8.3) dt dα dα dα dα α, α. D'où : ( ) (, ) ( ) d v M t u α ( ) + u( α + π ), (8.4) dα a ( M, t) u( α) dα. (8.5) ( ) d + ( ) 8..6 Équation olaie de la tajectoie Dans le cas d'un mouvement à accéléation centale, l'eession (8.) du vecteu accéléation s'écit :

4 8. Poiétés généales 3 ( ) a ( M, t ) λ (, α ) M, (8.6) où λ est un nombe éel qui déend à ioi de et de α. Les équations de la dnamique (atie V) emettont de touve l'eession de λ. En intoduisant dans la elation (8.6), les eessions (8.5) du vecteu osition et (8.5) du vecteu accéléation, nous obtenons l'équation difféentielle qui lie les vaiables et α : d 3 ( ) + λ +. (8.7) dα ette équation emet de touve en fonction de α soit : f( α), (8.8) losque λ est connu. La loi des tems du mouvement su la tajectoie est ensuite obtenue à ati de (8.) sous la fome : [ ] dt d α f( α) dα. (8.9) Si α est la valeu de α à la date t, l'eession de t s'écit : α t t [ f( α) ] dα. (8.) α 8..7 Mouvements à accéléation centale ou lesquels ( ) a ( M, t) ω M Le cas des mouvements ectilignes a été étudié au aagahe 7..4, et nous n'étudions donc dans ce aagahe que le cas des mouvements cuvilignes. Soit (,, ) les coodonnées catésiennes du oint M dans le lan (). Les coodonnées (, ) véifient les elations : D'où les équations du mouvement : Acosωt + Bsin ωt, Dcosωt + Esin ωt, z. ω et ω. (8.) (8.) Nous choisissons une échelle des tems telle qu'à la date t, le oint M soit en M tel que : M i, (8.3) avec une vitesse : i v + j (8.4).

5 4 haite 8 Mouvements à accéléation centale Les constantes A, B, D et E se calculent en fonction des conditions initiales, et. Il en ésulte que les équations de mouvement s'écivent : cosωt + sin ωt, ω sin ωt, (8.5) ω z, (en suosant ω > ). La tajectoie est alos une ellise de cente et d'équation : ω ( ) +. (8.6) La tajectoie est un cecle si et ±ω. Quelle que soit la tajectoie, le mouvement est éiodique, de éiode : π. (8.7) ω La constante des aies est :. (8.8) 8. MUVEMENS À AÉLÉRAIN ENRALE ( ) PUR LESQUELS a ( M, t) M M 3 Nous étudions dans ce aagahe les mouvements à accéléation centale ou lesquels le vecteu accéléation eut se mette sous la fome : ( ) a ( M, t) M, (8.9) M 3 où est un nombe éel indéendant du oint M. 8.. Équations des tajectoies L'équation des tajectoies s'obtient à ati de la elation (8.7) qui s'écit ici : ( ) d + dα (8.3) ette équation admet comme solution généale : + Acos( α α), (8.3)

6 ( ) 8. Mouvements à accéléation centale ou lesquels a ( M, t) M M 3 5 où A et α sont des constantes ositives ou négatives déteminées a les conditions initiales (conditions à une date donnée). L'équation écédente eut ête éécite sous la fome : A cos( α α) +. (8.3) Nous emaquons alos que la fome de cette équation ne change as, losque nous substituons au coule ( A, α ) des constantes, le coule ( A, α + π ). Sans esteinde la généalité de l'étude, il est alos ossible de choisi la quantité A ositive. Nous osons : e A, avec e. (8.33) L'équation de la tajectoie s'écit donc finalement : [ + ecos( α α) ]. (8.34) La tajectoie d'équation (8.34) s'obtient à ati de la coube d'équation olaie [ + ecosα], (8.35) en lui faisant subi une otation de cente et d'angle α.l'équation (8.35) eésente en coodonnées olaies une conique d'ecenticité e, de aamète :, (8.36) dont l'un des foes est le oint et d'ae focal. L'équation (8.34) eésente donc une conique de foe, dont l'ae focal fait un angle α avec l'ae. outefois la condition > imose des estictions suivant le signe de. 8.. Étude des tajectoies 8... as où > Le aamète de la conique s'écit :, (8.37) et l'équation (8.34) de la tajectoie devient :. (8.38) + cos e ( α α )

7 6 haite 8 Mouvements à accéléation centale asmtote ae focal P α X ae focal P α X (a) e > (b) e Y A ae focal P X α (c) < e < FIGURE 8.. ajectoies dans le cas où >.. Si e >, la tajectoie est la banche d'hebole qui toune sa concavité ves (figue 8.a). Le oint P de lus etit aon vecteu est aelé le éicente : P. (8.39) + e. Si e, la tajectoie est une aabole (figue 8.b). Le éicente est alos défini a : P. (8.4) 3. Si < e <, la tajectoie est une ellise (figue 8.c). Le éicente est donné a : P. (8.4) + e Le oint A le lus éloigné de est aelé l'aocente : A A. (8.4) e 4. Si e, la tajectoie est un cecle de cente.

8 ( ) 8. Mouvements à accéléation centale ou lesquels a ( M, t) M M 3 7 asmtote ae focal P α X FIGURE 8.3. ajectoie dans le cas où < as où < Losque est négatif, le aamète de la conique est :, (8.43) et l'équation (8.34) de la tajectoie se met sous la fome :. (8.44) + cos e ( α α ) La condition que soit ositif imose que l'ecenticité e soit suéieue à. La tajectoie est la banche d'hebole (figue 8.3), qui toune son côté convee ves. Le éicente est défini a : P. (8.45) e 8..3 Intensité de la vitesse en un oint de la tajectoie Nous notons v le vecteu vitesse v ( ) ( M, t) en un oint de la tajectoie. D'aès l'eession (8.4), nous avons : ( ) v d +. (8.46) d α Soit en intoduisant l'eession (8.34) de : ( v ) e +, (8.47)

9 8 haite 8 Mouvements à accéléation centale ou v ( + E ), (8.48) en osant : ( E e ). (8.49) Nous touvons donc que la quantité v este constante au cous du mouvement, soit : v E. (8.5) Le signe de E ne déend (8.49) que de l'ecenticité de la conique : si la tajectoie est ellitique, E < ; si la tajectoie est une aabole, E ; si la tajectoie est une hebole, E > Mouvement ellitique. Lois de ele aactéistiques de la tajectoie ellitique Dans le cas d'une tajectoie ellitique, l'équation de la tajectoie est donnée a la elation (8.38), avec e. La distance ente le éicente et l'aocente est égale au gand ae a de l'ellise. Soit, d'aès (8.4) et (8.4) : a. (8.5) e La distance c ente le cente de l'ellise (figue 8.c) et le foe, aelée distance focale est : e c a P, (8.5) e d'où l'eession de l'ecenticité : e c. (8.53) a Dans le sstème d'aes (XY) de l'ellise (figue 8.c), l'équation (8.35) de l'ellise s'écit : ou en déveloant : ( ) ex + X + Y, (8.54) ( ) X + ae + Y, (8.55) a b

10 ( ) 8. Mouvements à accéléation centale ou lesquels a ( M, t) M M 3 9 avec ( ) b a e. (8.56) Le aamète b eésente le demi-etit ae de l'ellise. Enfin, l'eession (8.49) monte que la constante E s'eime dans le cas d'une tajectoie ellitique sous la fome : Il en ésulte que l'intensité de la vitesse (8.48) s'écit : E. (8.57) a ( ) v. (8.58) a La vitesse est donc maimale au éicente (oint le lus oche du foe) et minimale à l'aocente (oint le lus éloigné) Péiode de évolution La vitesse aéolaie étant constante, le mouvement du oint M su la tajectoie ellitique est éiodique de éiode, égale à la duée mise ou acoui une fois la tajectoie. Soit, d'aès l'eession (8.) : π ab. (8.59) En tenant comte des elations (8.37), (8.5) et (8.56), la éiode de évolution s'écit : 3/ π a. (8.6) Lois de ele Les lois de ele egouent cetains des ésultats établis dans ce chaite et euvent ête énoncées de la manièe qui suit. Si dans un eèe, un oint M a une accéléation centale de cente fie dans ce eèe et si la tajectoie de M n'a as de banches infinies, il en ésulte que :. La tajectoie du oint M est une ellise dont un des foes est le oint.. La vitesse aéolaie de M elativement au oint est constante. 3. Le caé du tems de évolution est ootionnel au cube du gand ae de l'ellise. es lois ont été établies sous des fomes équivalentes a ele, à ati des obsevations faites su le mouvement des lanètes.

11 haite 8 Mouvements à accéléation centale MMENAIRES Une alication aticulièement imotante des mouvements à accéléation centale est celle des mouvements des lanètes et de la ee. es mouvements dont les tajectoies sont des ellises sont égies a les lois de ele intoduites dans ce chaite. Le lecteu s'intéessea donc lus aticulièement au ésultats établis au aagahe es ésultats seont utilisés au chaite 9.