Les lois de Kepler : études de mouvements en astronomie

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1 einle Les lois de eple : études de oueents en stonoie Johnnes eple, stonoe llend ( ) Le systèe solie copend une étoile ppelée oleil utou de lquelle gitent huit plnètes, plusieus illies de gos stéoïdes et un gnd nobe de coètes. Une soixntine de stellites enion gitent utou des huit plnètes. Il existe plusieus illids de systèes plus ou oins identiques u note dns note glxie, l Voie Lctée. Et il existe un nobe inconnu de glxies dns l Unies I - Les tois lois de eple 1. Réféentiel héliocentique et epèe de Copenic Les oueents des plnètes et coètes pésents dns le systèe solie seont étudiés dns le epèe de Copenic. Celui-ci est défini p une oigine plcée u cente du oleil (éféentiel héliocentique), et tois xes othogonux dont les diections sont données p tois étoiles «fixes» lointines. Ces étoiles ne sont éideent ps igoueuseent fixes ; toutefois, pou des duées de l ode de quelques nnées (ode de gndeu de l péiode de éolution des plnètes du systèe solie), leu déplceent est telleent infie que l on peut les considée coe fixes et donc le epèe de Copenic coe gliléen pou l étude des plnètes et des coètes su leus obites.. Enoncé des tois lois eple est un stonoe llend à situe ente Copenic et ewton, contepoin de Glilée. Peièe loi (1609) Dns le éféentiel héliocentique, les plnètes décient des ellipses dont le cente du oleil est l un des foyes. Ces obitent sont plnes. Deuxièe loi (1609) Pendnt une duée, le yon qui joint le cente du oleil u cente C d une plnète donnée blie une ie A constnte quelle que soit l position de l plnète su son obite. A Le ppot A/ est une cctéistique de l plnète considéée. A Chpite n 4 : lois de eple et études de oueents en stonoie Pge 1 / 5

2 einle oisièe loi (1619) Le cé de l péiode de éolution d une plnète est popotionnel u cube de l longueu du dei gnd xe de l obite elliptique : P Gnd xe : A où est une constnte qui ne dépend ps de l plnète considéée is seuleent des popiétés du oleil. Reques D pès l deuxièe loi de eple, l itesse sidéle d une plnète n est donc ps constnte su son obite : elle est xile u péihélie et inile à l phélie. Un cecle est un cs pticulie d ellipse où les deux foyes sont confondus et constituent le cente du cecle. Le yon est los constnt et, p conséquent, l itesse d un ste en obite ciculie est constnte dunt s éolution.. Cs des stellites Les lois de eple énoncées pou des oueents de plnètes utou du oleil étudiés dns le éféentiel héliocentique estent lbles pou des oueents de stellites utou des plnètes étudiés dns tout éféentiel gliléen lié u cente de l plnète. outefois, l constnte ise en jeu dns l toisièe loi dépend los de l plnète et non plus du oleil : P (P ne dépend ps du stellite is uniqueent de l plnète utou de lquelle il toune) II - Moueent ciculie unifoe oit un objet obile dont le cente de gité G est nié d un oueent ciculie unifoe dns un éféentiel gliléen donné. On oiente l tjectoie ciculie plne du point G dns le sens de son déplceent. 1. Vecteu itesse i le oueent est ciculie unifoe, on peut défini un epèe dit «de Fenet» (G ; ; ) tel que soit toujous tngent à l tjectoie diigé dns le sens du oueent et toujous nol à l tjectoie diigé es le cente de l tjectoie. On los, à chque instnt : L itesse est tngentielle à l tjectoie en chque point. L leu de l itesse est constnte is ps s diection. y j C C i G x. Vitesse ngulie On définit l itesse ngulie ω coe l ngle pcouu p unité de teps : (ω est expiée en d.s -1 ) ω Chpite n 4 : lois de eple et études de oueents en stonoie Pge / 5

3 einle Reltion ente et ω : donc d o d o d (si est expié en dins) ω d où ω ou ω. Péiode d un oueent ciculie unifoe Pou une éolution : d π et π π On donc : soit ec en.s -1, ω en d.s -1, et en secondes. π ω Reque Pou un oueent ciculie, on pou ple pou ω de «pulstion». 4. Vecteu ccélétion L leu de l itesse est constnte is l diection du ecteu itesse chnge u cous du teps. Le ecteu itesse n est donc ps constnt, et s déiée (le ecteu ccélétion) n est donc ps nulle. Pou déteine les cctéistiques du ecteu ccélétion dns le cs d un oueent ciculie, il fut utilise le poduit ectoiel que l on ne oit plus en thétiques en. Les ésultts suints seont donc dis sns déonsttion pou cette nnée. Los d un oueent ciculie unifoe, le ecteu ccélétion est : nol à l tjectoie (suint, poté p l doite CG) centipète (diigé es le cente de l tjectoie, de G es C) de leu ou ω On peut los écie sous foe ectoielle : ω 5. Foce centipète D pès l deuxièe loi de ewton (théoèe du cente d inetie) : F ext G Il fut donc, pou que le obile it un oueent ciculie unifoe, que l soe des foces extéieues qui lui sont ppliquées soit telle que : Fext Un obile u donc un oueent ciculie unifoe si et seuleent si : F ext est suint donc centl (poté p l doite CG) et centipète (diigé de G es C). F ext une itesse initile pependiculie à CG et égle à lui est couniquée. Chpite n 4 : lois de eple et études de oueents en stonoie Pge / 5

4 einle III - Moueent obitl et foce d ttction gittionnelle 1. Obite ciculie oit une plnète de sse P en obite utou du oleil. L foce d ttction gittionnelle execée p le oleil su cette plnète est : P F / P G L ccélétion du cente C de gité de l plnète est donc : F / G P P Elle est centipète. Le oueent ciculie unifoe est donc une solution de l éqution iposée p le théoèe du cente d inetie, à condition que l plnète it une itesse initile telle que : Reques G soit oit l péiode de éolution de cette plnète : π donc o donc d où Le tee ne dépend que de l sse du oleil. En posnt, on. On etoue l toisièe loi de eple, ec une constnte qui ne dépend que du oleil. En ssiilnt les obites plnéties à des cecles, on obsee que plus le yon obitl est petit, plus l itesse obitle est gnde et plus l péiode de éolution est coute. Pou le oueent d un stellite utou d une plnète, l déche et les ésultts estent is is l constnte dépend los de l sse de l plnète considéée ( deient P ). Un ste en obite n est souis qu à une seule foce, l foce d ttction gittionnelle : il est donc en chute libe! Un oueent obitl coespond donc à une chute libe. L distnce u cente du oueent este constnte gâce à l itesse tngentielle qui copense cette chute libe. A l question «pouquoi l Lune ne tobe-t-elle ps su ee?», l éponse est donc «elle tobe!», is sns se ppoche.. Moueent elliptique L expession (ou P ) este ie is n est plus une constnte. On eplce los p l leu oyenne de l distnce oleil Plnète, c est-à-die p l oitié du gnd xe : On los : Chpite n 4 : lois de eple et études de oueents en stonoie Pge 4 / 5

5 einle IV - Lnceent de stellites tificiels 1. Cs génél d un oueent ciculie unifoe Afin de stellise un objet utou de l ee su une obite ciculie, il suffit donc de lui counique une itesse tngentielle initile qui dépend seuleent de l ltitude à lquelle on eut le stellise. Exeple : soit un stellite de sse que l on eut stellise à une ltitude bsse z 80 k de l ee, ce qui coespond enion à l obite de l I. Dns le éféentiel géocentique supposé gliléen, l itesse initile couniquée à ce stellite doit ête : F ext (R + z) R + z F / R + z 7,68 k / s soit 7600 k/h R + z Le stellite de donc ête lncé à l itesse initile 0 7,68 k/s tngentielleent à l obite ciculie qu il de suie. on oueent se los indéfinient ciculie et unifoe. péiode de éolution se los : Reques π π (R + z) 5,5.10 s soit 1 heue inutes i 0 < 7,68 k/s los l itesse tngentielle ne copense ps l chute libe. Le stellite se ppoche los peu à peu de l ee et fini p ente dns l tosphèe (ce qui pooque son explosion, due ux fotteents). i 0 > 7,68 k/s c est l inese. L chute libe ne copense ps l itesse tngentielle et le stellite s éloigne peu à peu de l ee, jusqu à échppe coplèteent à l ttction teeste.. tellite géosttionnie Les stellites de télécouniction et de étéoologie doient toujous este à l eticle d un êe point teeste. On les qulifie de géosttionnies. Ils doient donc toune utou de l ee de nièe à pcoui une éolution en 4 heues enion, coe tout point de l ee ( h 56n 04s s). Altitude géosttionnie 7,5.10 d où 4150 k o R + z donc z k Les stellites doient donc ipétieent ête plcés à 5800 k de l ee pou ête géosttionnies. Vitesse géosttionnie π ω (R + z),08 k / s ous les stellites géosttionnies gitent donc su l êe obite à l ltitude de 5800 k et à l êe itesse de,08 k/s. Vous pouez etoue tous ces ésultts gâce ux pplictions su le site de M. Gstebois : Chpite n 4 : lois de eple et études de oueents en stonoie Pge 5 / 5