La plage. Par Arnauld HECQUET, Raphaël SIMONET DAVIN, Maxime LOUIS. Élèves de Seconde au Lycée MONTAIGNE de BORDEAUX. Année 2008.

Transcription

1 La plage Par Arauld HECQUET, Raphaël SIMONET DAVIN, Maime LOUIS. Élèves de Secode au Lycée MONTAIGNE de BORDEAUX. Itro : présetatio du sujet Partie I : la pièce Techique de comptage Aée 2008 Le ombre total d itiéraires : ω La probabilité Partie II : et le facteur probabilité et et Gééralisatio de la formule Itro Das ue ville côtière, les rues sot toutes ord sud ou est ouest, et la distace etre deu carrefours voisis est toujours la même. Le frot de la mer est au sud est. Pour aller à la plage depuis sa maiso, Paul pred ue pièce et à chaque carrefour tire à pile ou face. S il obtiet pile, il pred la rue vers le sud, s il

2 obtiet face, celle vers l est. Il arrive à la plage après lacers. Combie de chemis possibles peut il faire? Combie a t il de chaces d arriver à u edroit doé de la plage? A/ Techique de comptage : La pièce Pour trouver le ombre de chemis permettat d arriver à u poit, o ajoute les valeurs des poits de la lige précédete les plus proches. E : B/Le ombre total de chemis : ω Nous ous sommes itéressés au ombre total de chemis permettat d arriver à importe quel poit de la plage. Grâce à la techique de comptage epliquée précédemmet, ous avos pu établir ue base de doées, dot voici u etrait : =3 =4 =5

3 Les valeurs e chiffres sot doc le ombre de chemis arrivat à chaque poit de la plage. E ajoutat ces valeurs, o obtiet le ombre d itiéraires différets permettat d arriver à u poit quelcoque de la plage (ce ombre est appelé ω ). O calculeω pour chaque cas. =3 ω 3 = = 8 =4 ω 4 = = 6 =5 ω 5 = = 32 D après ces résultats, ous avos cojecturé ω =2. Afi de démotrer cette suppositio, ous ous sommes servis du théorème de récurrece. C est à dire que l o doit prouver que, si la formule est eacte pour u quelcoque rag, elle l est égalemet pour le rag +. O démotre alors l hérédité de la formule, qui sera vraie pour tous les rags. Pour cela o pred deu rags cosécutifs quelcoques : O appelle le rag «bleu» et doc + le rag «rouge». O voit que les chemis arrivat à chaque poit bleu de la première lige(le rag «bleu») se «démultipliet» e se redat chacu vers deu poits rouge de la lige suivate (deu flèches bleues partet de chaque poit bleu). Chaque valeur de chaque poit bleu est doc comptée deu fois. La valeur totale de la première lige ω est doc elle même multipliée par 2. E admettat que la formule ω = 2 est vraie pour la première lige, o a, pour la deuième lige, ω + =

4 22 = 2 +, doc pour le rag la formule est ω + = 2 +. ω = 2 et pour le rag + la formule est Doc, si la formule est vraie pour u rag, elle sera vraie pour tous les autres rags. C est le théorème de récurrece. Or, o sait que la formule ω = 2, est vraie pour les rags de à 5 (voir précédemmet), elle est doc vraie pour importe quel rag. C/ La probabilité : Itéressos ous maiteat à la probabilité d arriver e u poit doé de la côte. O utilise pour cela la codificatio suivate : est l éloigemet de la côte par rapport au poit de départ, doc égalemet le ombre de lacers écessaires pour rejoidre la plage. est la positio du poit sur la côte Remarque : cette codificatio admet u ae de symétrie qui coupe la droite symbolisat la côte e so milieu. Deu poits symétriques par rapport à cette droite ot même codificatio et même formule de probabilité ( ). Nous avos établi ue première base de doées ous doat le ombre de chemis arrivat a chaque poit de = à =20 grâce à la techique de comptage vue précédemmet.

5 Nous ous sommes d abord itéressés au cas =0 (c'est à dire les poits au etrémités de la côte). Et ous ous sommes aperçus que pour =0 et pour importe quel, o a = 0 = Nous e avos doc cojecturé la propriété suivate : 0 =. Puis ous ous sommes itéressés au cas = et ous avos remarqué que : 4 pour =4, = = 4 5 pour =5, = 5 6 pour =6, = 6 etc Nous e avos doc cojecturé = Nous ous sommes esuite itéressés au cas =2 et ous avos remarqué que : 4 pour =4, = 2 = 6 5 pour =5, 2 = 0 6 pour =6, 2 = 5 Nous avos doc cojecturé que 2 = ( ) Récapitulos : = =. =.0.2 = ( )

6 et.3 = ( )( ) Nous avos déduit de ces propriétés la formule géérale suivate : = ( )( )( )* *( ) Nous avos esuite cherché à démotrer cette formule, pour cela ous ous sommes à ouveau servis du théorème de récurrece utilisé pour omega : E fiat u et u quelcoque, o code le ombre de chemis pour arriver au poit repéré (,) codera doc le ombre de chemis qui arrivet sur le même rag (même + + ) mais u cra e dessous; et + le ombre de chemis qui arrivet, toujours u cra e dessous du er poit, mais cette fois sur le rag suivat. Afi de démotrer l hérédité de la formule, ous avos voulu comparer la somme des formules correspodat au deu poits du rag (poits verts) et la formule correspodat au poit du rag + (poit rouge). Calculos doc la somme + + : O remplace chaque codificatio par sa formule respective. + + = ( )( )( )* *( ) + ( )( )( )* *( )( )

7 Remarque : Ces deu formules sot similaires, mais la secode comporte u facteur supplémetaire (du fait du +) Les deu termes de la somme sot factorisables (crochets verts). + + = ( )( )( )* *( ) + ( )( )( )* *( )( ) O obtiet le produit suivat. (Etre les crochets rouges la partie factorisée) + = {( )( )( )* *( + ( ) )}*{[+( )} O simplifie le secod facteur etre les accolades. + = + {( )( )( )* *( ( ) )}*{ } O écrit ce produit sous forme de fractio. O obtiet ue suite de facteur décroissate allat de + à + au umérateur, aisi qu ue factorielle de au déomiateur. (le + au + = = umérateur à été replacé au début de la suite; et le cesé commecer la factorielle est «oublié» puisqu il e modifie pas le résultat, même s il est préset: peut égalemet s écrire ). C est bie la formule que l o obtiedrait e remplaçat par + et par +das la formule cojecturée pour.

8 Cela motre doc que si la formule est vraie pour tous les poits d u rag, elle sera vraie pour tous les poits de tous les rags suivats. Or o sait par le calcul que cette formule est vraie pour tous les poits des premiers rags. Cette formule permet doc de calculer rapidemet le ombre d itiéraires différets meat à u poit doé de la plage, et ce quelque soit l éloigemet de la plage et la positio du poit sur la côte. Pour calculer la probabilité d arriver à u poit doé de la plage, il suffit de calculer le ombre de chemis meat à ce poit sur le ombre total de chemis meat à la plage. Ce calcul est doc : 2

9 et le facteur probabilité Nous ous sommes itéressés à deu cas : E preat u dé, o décide d aller vers l Est lorsqu o fait u, et vers le Sud lorsqu o fait u 2, u 3, u 4, u 5 ou u 6. La probabilité est doc d ue chace sur si d aller vers l Est et de ciq chaces sur si d aller vers le Sud. Toujours avec u dé, o décide d aller vers l Est lorsqu o fait u ou u 2, et vers le Sud lorsqu o fait u 3, u 4, u 5 ou u 6. La probabilité est doc d ue chace sur trois d aller vers l Est et de deu chaces sur trois d aller vers le Sud. Attetio! Pour chacu de ces cas la techique de comptage est légèremet différete : Pour le cas ;, o multipliera la valeur du poit par lorsqu o ira vers l Est mais par 5 lorsqu o ira vers le Sud. Pour le cas ;, o multipliera la valeur du poit par lorsqu o ira vers l Est mais par 2 lorsqu o ira vers le Sud. La valeur de ω se complique égalemet. O doit alors distiguer deu choses : le ombre d itiéraires différets meat a la plage, qui reste 2, et le ombre de «suite de dé» différetes meat à la plage, qui lui sera Y, Y état la somme des chaces d aller à l Est et au Sud ( c'est à dire le déomiateur de chacue des deu fractios), qui sera la valeur de ω. Pour chaque cas o aura respectivemet ω = 6 et ω = 3.

10 E : das le cas : O pred =4. Si je tire au dé et que j obties 2 3 4, si je tire ue secode fois et que j obties Je parviedrai au même poit, e ayat pris le même itiéraire, mais j ai deu suites de dé différetes. Il reste u problème : il y a a priori aucue différece etre les cas ; et le cas ;, alors pourquoi das u cas ω sera t il beaucoup plus grad. Tout simplemet parce que si das u cas ω est multiplié par 2, l est aussi : e effet, la valeur de chaque chemi sera deu fois plus grade à chaque déplacemet d u carrefour à u autre, doc au fial les valeurs à chaque poit de la côte serot égalemet deu fois plus grades. Au fial la formule gardera la même valeur puisque pourra se simplifier par 2. Itéressos ous maiteat à : afi de détermier l impact de la probabilité de départ sur la formule, ous avos établi ue mii base de doées pour u doé. Remarque : Après calcul, ous avos du revoir otre système de codificatio puisque la répartitio des chemis était plus du tout symétrique. Nous avos doc utilisé cette codificatio : Nous aurios pu d ailleurs utiliser cette codificatio lors du premier chapitre e admettat que =.

11 Après avoir calculé le ombre de suites de dés arrivat e chaque poit pour u doé, ous avos multiplié chacu de ces résultats par la valeur que pred pour le même poit (même et même ) mais das la probabilité ;. Suite à cette multiplicatio, ous avos obteu u ombre différet pour chaque opératio. Puis ous avos traduit ce ombre à l aide de et de afi de gééraliser ce facteur supplémetaire. D après ces résultats, ous avos doc pu déduire e quelque sorte ue ««ouvelle formule» pour chaque probabilité de départ : Pour ;, la formule est doc Pour ;, la formule est *5 Pour ;, la formule est *2 Nous avos esuite cherché à trouver le lie etre le facteur supplémetaire et la probabilité de départ. E admettat que, pour la formule das le cas ;, le facteur supplémetaire sois (qui est toujours égal à et doc e modifie e rie le résultat. Nous avos doc codifié les «cas» de la maière suivate : Nous avos chace d aller vers l Est e chace d aller vers le Sud ( peut aussi s écrire ) E se servat de cette codificatio, ous sommes arrivés à écrire sous forme littérale les facteurs veat modifier la formule * P ( P ) Nous avos doc fialemet établi ue formule plus géérale :

12 Cette formule permet, das la cofiguratio de la plage, de calculer la probabilité d arriver e u poit précis de cette plage quel que soit l éloigemet de départ, le poit de la plage, et la probabilité que ous choisissos pour détermier os chaces d aller à l Est ou au Sud.