CALCULS DE TRAJECTOIRES CALCUL DE LA POSITION REELLE APRES DEPLACEMENT GENERATION DES CONSIGNES OPTIMISATION DES TRAJECTOIRES

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1 CALCULS DE TRAJECTOIRES CALCUL DE LA POSITION REELLE APRES DEPLACEMENT GENERATION DES CONSIGNES OPTIMISATION DES TRAJECTOIRES

2 Calcul e position : Le calcul e position par oométrie consiste en la récupération es éplacements réels es roues u robot. A partir e ces onnées, on va calculer le éplacement relatif [x,y] et la variation orientation β u robot. y M1 M x β R : Distance entre les roues, ans l unité e mesure es coeurs. Mi : Distance parcourue par une roue : variation angle écrit par le robot (raian) R : Rayon e courbure M =β.( R+ ) 1 M =β.( R ) M = β R+ β 1 M = βr β M1 M R = +.β x =R.( 1 cos( β)) β = M1 M y= R. sin( β) Ces formules sont valables quelques soient le sens e éplacement u robot (avant ou arrière), et le sens u virage (gauche ou roite). Pour inication, on obtient les valeurs angle et e rayon e courbure suivantes, selon l évolution u robot : y R<0 β<0 R>0 β>0 x R<0 β>0 R>0 β<0

3 Système unité u robot : Comme le robot ne connaît pas plus le mètre que le feet ou les inchs, on va créer une unité. Ce pourrait être le broglub, très courus sur Araouna la nébuleuse, ou le Casta (un sous multiple u tour e poitrine e Leatitia, valeur universelle en soit). Non, ce sera l Intervalle Robot «Ir». Pour onner une valeur e corresponance, je onne le calcul : Prenez un moteur réucteur + coeur un rapport e 1/6,3 Comptez 500 ppt pour le coeur Rajoutez un rapport e 0,75 e par la transmission par engrenage. Mettez une roue e 99,76 mm e iamètre, soit un périmètre e 313,4 mm Prenez un shaker, secouez, servez chau : 13,4014 impulsions / mm Soit le Ir à 74,61905 µm. La istance entre les eux roues u robot est e 1716,3831 Ir. Le point e référence pour toutes les commanes se trouve exactement entre les eux roues. 3

4 Génération es consignes : Calcul es consignes M1=f 1 (x,y) et M=f (x,y) à envoyer aux moteurs. Ces calculs sont onné pour un vecteur relatif (cooronnés par rapport à la position actuelle u robot). x =R.( 1 cos( β)) y=r.. sin( β) x. sin( β) =y.(1 cos( β)) On pose β =. ϕ x..sin( ϕ).cos( ϕ) = y..sin²( ϕ) x. cos( ϕ) = y.sin( ϕ) x =tan(ϕ) y β =.arctan( x) M =β ( R+ ) y y R= M =β ( R ) sin(β) 1 Rectification e trajectoires : Ces formules utilisée seules cela pourraient inuire es trajectoires qui prennent trop e ébattement. L extrême étant un éplacement avec y=0, le robot écrit un emi cercle complet, et l angle final est égal à 180 Marche avant y β β De V α Marche arrière x 4

5 On remarque que β =.α. L orientation finale u robot est le ouble e l orientation u vecteur e consigne. On remarque également que De, la valeur u ventre entre la core et l arc e cercle, est autant plus élevé que α l est. On en éuit que pour α comprit entre 0 et,5, la éviation u robot reste acceptable (0 à 45 ) et De faible. Cela impose que y,41. x. A titre inicatif, on peut estimer l écart relatif : =. De v R =. R² 1( x² + y²) 4 x² + y² Cette valeur est l expression e l erreur maximale lors u éplacement. La valeur max est obtenue pour y=0, De= x et = 1 5

6 Moification orientation : Plutôt que e faire une trajectoire à la con, il est plus futé e mettre le robot ans une orientation favorable. Pour cela, on effectue une rotation sur place, x=y=0. Ensuite, on prenra le chemin le plus court pour se placer en [x,y] On prenra logiquement pour β, l angle α u vecteur e consigne : α =Arctan( x) y M = β. 1 M = β. Bien entenus, ans ce cas, il est impératif e recalculer l orientation u robot après exécution e la commane e rotation, pour prenre en compte l erreur ans la commane e éplacement. On obtient un logigrame e ce genre : Début y,41.x? Calcul e M1 et M réorientation Réorientation Calcul position et orientation réelle Calcul [x,y ] ans la nouvelle base Calcul e M1 et M éplacement Exécution éplacement fin 6

7 Calcul u vecteur e consigne ans une nouvelle base e même origine : En moifiant l orientation à l origine u robot, on moifie également les cooronnées u vecteur. C est même le but une réorientation. y y δ x' = x.cos( y.sin( x x y ' = y.cos( + x.sin( Calcul u vecteur e consigne ans une base colinéaire : On ne pourra éviter un léger éplacement penant une réorientation. De plus, cette fonction sera utilisé par les générations avancées e trajectoires. Un brave français u nom e Michel Chasles en a éjà parlé, mais on s en lasse pas : x' = x y' = y Vx Vy V 7

8 Généralisation pour un éplacement quelconque : Simple, on tient compte es eux phénomènes : x' = ( x Vx).cos( ( y V y).sin( y' = ( y V y).cos( + ( x V x).sin( Optimisation e trajectoire, prise en compte une consigne angle : Il peut être intéressant arriver au point ésigné avec un angle précis. Pour cela, on peut calculer un point e retrait. Bien entenu, il est es orientations particulières pour lesquelles cette fonctionnalité n est pas juicieuse. On peut alors éfinir es conitions particulières utilisation. Une consigne complète ne se contente pas un éplacement. On oit également prenre en compte l angle souhaité à l arrivée. Ici, en rouge, le vecteur e consigne e éplacement. En vert, la consigne orientation finale. Restrictions : Le vecteur e éplacement oit être suffisamment important pour que la moification e trajectoire ne soit pas trop sensible. Si l angle final est égal à l opposé e l angle u vecteur e éplacement, à une variation près. Cela revient à rouler sur l objectif avant e se placer. C est souvent inutile e prenre es précautions. Ces restrictions, sous forme mathématique s expriment par : x²+y² > Vmin. Vmin représente le moule minimum u vecteur e éplacement au carré. [ + ; ++ ]. µ représente l ouverture angle à éviter. 8

9 µ C Calcul u point e retrait C: Le vecteur e retrait est calculé sur une base e longueur fixe Vret, et une orientation égale à l orientation finale souhaitée. Vret x = Vret.sin() Vret y = Vret.cos() Cx = x - Vret.sin() Cy = y - Vret.cos() La longueur Vret est à éterminer, bien entenus, toujours ans le système unité u robot. Pour effectuer cette trajectoire, on réalisera les éléments suivant : 1. Calcul u point C.. Si nécessaire moification orientation vers le point C. 3. Si nécessaire, re-calcul es points C et objectif final (point et angle) une fois moification orientation effectuée. 4. Déplacement vers le point C. 5. Calcul u nouvel angle et u nouvelles cooronnées u point final ans la base u robot en C. 6. ré-orientation ans l angle. 7. Calcul es cooronnées u point final. 8. Déplacement vers le point final. 9