Propriétés statistiques des matrices de Pauli traversant des canaux bruités

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1 Propriétés statistiques des matrices de Pauli traversant des canaux bruités N. Guillotin-Plantard Institut C. Jordan, Université Lyon I Rennes, Journées M.A.S Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

2 . Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

3 Motivation Théorie de l information quantique : On s intéresse à la transmission des systèmes quantiques à 2 états appelés bits quantiques. Exemple : un atome à deux états (excité ou fondamental. Etat = Matrice densité (i.e. une matrice hermitienne positive de trace 1 de la forme : ( α β ρ = β 1 α où α [0, 1] et β 2 α(1 α. Transformation de l état quantique : ρ ρ = Φ(ρ avec Φ : M 2 (C M 2 (C complétement positive et préservant la trace. N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

4 Motivation Théorie de l information quantique : On s intéresse à la transmission des systèmes quantiques à 2 états appelés bits quantiques. Exemple : un atome à deux états (excité ou fondamental. Etat = Matrice densité (i.e. une matrice hermitienne positive de trace 1 de la forme : ( α β ρ = β 1 α où α [0, 1] et β 2 α(1 α. Transformation de l état quantique : ρ ρ = Φ(ρ avec Φ : M 2 (C M 2 (C complétement positive et préservant la trace. N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

5 Motivation Théorie de l information quantique : On s intéresse à la transmission des systèmes quantiques à 2 états appelés bits quantiques. Exemple : un atome à deux états (excité ou fondamental. Etat = Matrice densité (i.e. une matrice hermitienne positive de trace 1 de la forme : ( α β ρ = β 1 α où α [0, 1] et β 2 α(1 α. Transformation de l état quantique : ρ ρ = Φ(ρ avec Φ : M 2 (C M 2 (C complétement positive et préservant la trace. N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

6 Observables = matrices auto-adjointes de M 2 (C. Elles forment un ss-e.v. réel de dim. 4 de base B = {I, σ x, σ y, σ z } où I = ( σ x = ( σ x, σ y, σ z matrices de Pauli. σ y = [σ x, σ y ] = 2iσ z ( 0 -i i 0 σ z = + celles obtenues par permutations cycliques de σ x, σ y, σ z. ( But : Déterminer les propriétés statistiques des observables de base σ x, σ y, σ z dans les différents états Φ n (ρ, n 1. N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

7 Observables = matrices auto-adjointes de M 2 (C. Elles forment un ss-e.v. réel de dim. 4 de base B = {I, σ x, σ y, σ z } où I = ( σ x = ( σ x, σ y, σ z matrices de Pauli. σ y = [σ x, σ y ] = 2iσ z ( 0 -i i 0 σ z = + celles obtenues par permutations cycliques de σ x, σ y, σ z. ( But : Déterminer les propriétés statistiques des observables de base σ x, σ y, σ z dans les différents états Φ n (ρ, n 1. N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

8 Hypothèse (A sur Φ Pour tout état ρ, ( (A Φ n α β (ρ = 1 α β ( 1 + o n où α [0, 1] et β 2 α (1 α. On note v le vecteur (v 1, v 2, v 3 où v 1 = 2 Re(β, v 2 = 2 Im(β, v 3 = 2α 1. N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

9 Hypothèse (A sur Φ Pour tout état ρ, ( (A Φ n α β (ρ = 1 α β ( 1 + o n où α [0, 1] et β 2 α (1 α. On note v le vecteur (v 1, v 2, v 3 où v 1 = 2 Re(β, v 2 = 2 Im(β, v 3 = 2α 1. N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

10 Considérons l algèbre M = ( n M 2 (C et sur cette algèbre, l état donné par la matrice densité ω = ρ Φ(ρ Φ 2 (ρ... Φ k (ρ... Φ n 1 (ρ. Pour tout k {1,... n}, définissons x k = I... I (σ x v 1 I I... I y k = I... I (σ y v 2 I I... I z k = I... I (σ z v 3 I I... I où chaque (σ. v. I apparait à la k-ième place. N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

11 Pour tout n 1, posons X n = et X 0 = Y 0 = Z 0 = 0. n n x k, Y n = y k, Z n = k=1 n k=1 k=1 z k A chaque somme, on associe un processus normalisé à temps continu dénoté par X (n t = X [nt], Y (n n t = Y [nt], Z (n n t = Z [nt]. n N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

12 Polynômes complétement symétrisés Pour tout polynôme P = P(X 1, X 2,..., X m à m variables, nous notons P le polynôme totalement symétrisé de P obtenu en symétrisant chaque monôme de la manière suivante : X i1 X i2... X ik 1 X iσ(1... X iσ(k k! σ S k où S k = groupe de permutations de {1,..., k}. Exemple : P(X, Y, Z = XY 2 + YZ P(X, Y, Z = 1 6 [ ] 2XY 2 + 2YXY + 2Y 2 X + 1 [ ] YZ + ZY 2 N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

13 Un théorème central limite Théorème [S. Attal, N.G-P, 2008] Sous l hypothèse (A, pour tout polynôme P à 3m variables, pour tout (t 1,..., t m tel que 0 t 1 < t 2 <... < t m, ] lim E (n ω [ P(X n + t 1, Y (n t 1, Z (n t 1,..., X (n t m, Y (n t m, Z (n t m [ ] = E P(B (1 t 1, B (2 t 1, B (3 t 1,..., B (1 t m, B (2 t m, B (3 t m où (B (1 t, B (2 t, B (3 t t 0 est le mouvement Brownien dans R 3, centré et de matrice de covariance Ct, avec 1 v 2 1 v 1 v 2 v 1 v 3 C = v 1 v 2 1 v2 2 v 2 v 3. v 1 v 3 v 2 v 3 1 v3 2 N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

14 La représentation de King-Ruskai-Szarek-Werner Un état de M 2 (C s écrit aussi ( 1 + z x i y ρ = 1 2 x + i y 1 z où x, y, z sont des réels t.q. x 2 + y 2 + z 2 1. Toute application CP-PT de M 2 (C peut être représentée, via des changements de bases, par une matrice T = où t i, λ i satisfont certaines inégalités. Si λ i < 1 pour i = 1, 2, 3, alors t 1 λ t 2 0 λ 2 0 t λ 3 v i = t i 1 λ i. (1 N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

15 Exemple 1 : "The depolarizing channel" Contraction de la boule unité en une boule de rayon < 1. Dans la représentation de King-Ruskai-Szarek-Werner : p T = p p 3 Dans ce cas, v = (0, 0, 0 et C = I 3. N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

16 Exemple 1 : "The depolarizing channel" Contraction de la boule unité en une boule de rayon < 1. Dans la représentation de King-Ruskai-Szarek-Werner : p T = p p 3 Dans ce cas, v = (0, 0, 0 et C = I 3. N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

17 Exemple 2 : "The amplitude-damping channel" Dans la représentation de King-Ruskai-Szarek-Werner : T = p p 0 p p v = (0, 0, 1 et C = N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

18 Exemple 2 : "The amplitude-damping channel" Dans la représentation de King-Ruskai-Szarek-Werner : T = p p 0 p p v = (0, 0, 1 et C = N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

19 Principe de grandes déviations Pour tout k {1,..., n}, nous définissons x k = I... I σ x I... I ȳ k = I... I σ y I... I z k = I... I σ z I... I où chaque σ. apparait à la k-ième place. Pour tout n 1, on pose X n = 1 n n x k, Ȳ n = 1 n k=1 n ȳ k, Zn = 1 n k=1 n z k k=1 N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14

20 Supposons que, pour tout état ρ, ( (A Φ n α β (ρ = 1 α β + o(1. Théorème [S. Attal, N.G-P, 2008] Sous (A, pour tout ν R 3,, la suite ν, ( X n, Ȳn, Z n, n 1 satisfait un P.G.D. de vitesse n et de bonne fonction de taux [( ( x ν log ν +x ( ( ν + ν,v ] I(x = + 1 x ν log ν x ν ν,v si x < ν. + sinon. N. Guillotin-Plantard* Institut C. Jordan, Université Propriétés Lyonstatistiques I ( des matrices de Pauli traversant des canaux August bruités / 14