!! «valeur du père " valeurs du ou des fils»!! une feuille est un tas

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Thomas Dumouchel
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1 Définition d un tas Tas & Tri par tas Algorithmique avancée Hervé Blanchon IUT 2 Département Informatique Université Pierre Mendès France!! Tout vecteur V[0..n] peut être considéré comme la représentation d'un arbre binaire complet au sens large, on va se servir de cet arbre binaire complet pour expliquer le tri d'un vecteur par la méthode du tas!! Un tas "! Un tas est un arbre binaire complet (au sens large) dans lequel tout nœud non terminal vérifie nœud!. info " max(nœud!.gauche!.info, nœud!. droit!.info) "! Si un seul fils (obligatoirement fils gauche) : nœud!.info " nœud!.gauche!.info!! «valeur du père " valeurs du ou des fils»!! une feuille est un tas Chapitre 1 2 Représentation vectorielle 0" 12! 1" 9! 2" 3" 5! 4" 5" 3! 8! 6" 7" 4! 6! 8" 4! 9" 12! 9! 5! 3! 8! 4! 6! 4! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 8! 9!!! Traduction sur la représentation V[0..n] "! si i " 0, 2#(i+1) $ n le nœud i a deux fils!! V[i] " V[2#i+1] fils gauche!! V[i] " V[2#(i+1)] fils droit "! sinonsi i " 0, 2#(i+1) > n le nœud i a un fils!! ou V[i] "V[2#i+1] fils gauche "! sinon i " 0, 2#i > n le nœud i n a pas de fils Propriété d un tas 12! 1" 9! 2" 3" 5! 4" 5" 3! 8! 6" 7" 4! 6! 8" 4! 9" 0"!! La valeur associée à la racine est le maximum de tous les éléments "! c est donc le premier élément du vecteur "! V[0] " V[0..n] 12! 9! 5! 3! 8! 4! 6! 4! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 8! 9! Chapitre 1 3 Chapitre 1 4

2 Algorithme de tri d un vecteur!! 2 parties 1.! Transformation de V[0..n] pour qu il devienne un tas!! V[0] " V[0..n] 2.! Utilisation de cette propriété pour trier le vecteur!! Analogie avec le tri bulle 1.! faire remonter le plus grand du vecteur encore à trier!! remontée dans un arbre de profondeur log 2 n!! dans tribulle la profondeur est n 2.! le mettre à sa place Vers le tri par tas!! Détail de l analogie avec tribulle "! en construisant un tas sur V[0..n] on fait remonter max(v[0..n]) à la place V[0] "! on peut alors permuter V[0] et V[n] et le plus grand est alors à sa place "! à l étape i!! V[nb+1..n] est trié!! construire un tas sur V[0..nb]!! permuter V[0] et V[nb] "! alors V[nb..n] est trié 1! nb! nb+1! n! faire un tas puis permuter V[1] et V[nb-1]! trié! Chapitre 1 5 Chapitre 1 6 heapsort /** * Standard heapsort. a an array of Comparable items. public static <AnyType extends Comparable<? super AnyType>> void heapsort( AnyType [ ] a )!!!!.. /* buildheap /* a est un tas for( int i = a.length - 1; i > 0; i-- ) swapreferences( a, 0, i ); /* permuter a[0] et a[i]!!!!! /* faire de a[0..i] un tas /* sachant que a[1..i] est un tas!! Faire de a[0..i] un tas sachant de a[1..i] est un tas "! Percoler a[0] "! un processus de filtrage vers le bas Pourquoi passer par un arbre?!! L'arbre n'est ici qu'un objet virtuel nécessaire à la compréhension des actions entreprises sur le vecteur!! Exemple 0" 1" 2" 3" 3 2 4" 5" -2! 4! 6" 7" 3 2-2! 4! 1! 2! 3! 4! 5! 6! Chapitre 1 7 Chapitre 1 8

3 !! faire un parcours ascendant par niveau en transformant si nécessaire les sousarbres rencontrés pour qu'ils deviennent tas!! Premier niveau!! Premier niveau 3-2! 4! "! sont des tas 3 2-2! 4! Chapitre 1 9 Chapitre 1 10!! Deuxième niveau!! Deuxième niveau 3 2-2! 4! "! ce n est pas un tas!! Par contre 3 2 "! sont des tas 3 2 Chapitre 1 11 Chapitre 1 12

4 !! Deuxième niveau suite!! Deuxième niveau suite "! on sélectionne le plus grand des deux fils pour le permuter avec la racine 3 "! on obtient 2 "! on sélectionne le plus grand des deux fils pour le permuter avec la racine "! on obtient 3 2 "! le sous-arbre modifié est-il un tas? non! "! le sous-arbre modifié est un tas! Chapitre 1 13 Chapitre 1 14!! Deuxième niveau fin "! l arbre finalement obtenu est :!! Troisième niveau ! 4! 2-2! 4! "! On permute 30 et 7!! Cet arbre n est pas un tas "! mais on sait que les sous-arbres sont des tas Chapitre 1 15 Chapitre 1 16

5 !! Troisième niveau suite 3!! Troisième niveau suite 3 2-2! 4! 2-2! 4! "! Le sous arbre modifié est-il un tas?!! non! "! On permute 7 et 20 Chapitre 1 17 Chapitre 1 18!! Troisième niveau suite 3!! Troisième niveau suite ! 4! -2! 4! "! Le sous arbre modifié est-il un tas?!! oui! "! L arbre est un tas!! C est terminé! Chapitre 1 19 Chapitre 1 20

6 Vers buildheap!!! On appelle arbre i (ou sous-arbre i) "! l'arbre (ou sous-arbre) dont la racine est à l'indice i dans le vecteur V!! 2 parties : 1.! parcours des sous-arbres 2.! pour chaque sous-arbre sélectionné, le transformer pour qu'il vérifie la propriété du tas, sachant que tous ses sous-arbres vérifient cette propriété. Vers buildheap!!! Supposons connue la procédure percdown /** * Internal method for heapsort that is used in buildheap. a an array of Comparable items. i the position from which to percolate down. n the logical size of the binary heap. private static <AnyType extends Comparable<? super AnyType>> void percdown( AnyType [ ] a, int i, int n )!! qui transforme le sous-arbre i pour qu'il vérifie la propriété du tas "! sachant que tous les sous-arbres j!! tels que j % [i+1..n] "! vérifient cette propriété Chapitre 1 21 Chapitre 1 22 Parcours des sous-arbres buildheap! 0" for( int i = a.length / 2; i >= 0; i-- ) /* buildheap percdown( a, i, a.length ); 1" 2" 3! 3 2 4" 5" -2! 4! 6" 7"!! Attention "! La solution proposée initialise i à a.length/2 et non à a.length/2-1 "! percdown est utilisée par d autres méthodes!! Chaque feuille vérifie la propriété du tas, "! V[&v.lenght/2'..n] ne contient que des feuilles,!! On peut donc affirmer "! tas(v[&v.lenght/2'..n])!! On commencera donc le parcours par le sous-arbre v.lenght/2-1 Chapitre 1 23 Chapitre 1 24

7 Percolation percdown!! Exemple Percolation percdown!!! Exemple : percdown(a, 0, 6) Chapitre 1 25 Chapitre 1 26 Percolation percdown!!! Exemple : percdown(a, 0, 6) Percolation percdown!!! Exemple : percdown(a, 0, 6) Chapitre 1 27 Chapitre 1 28

8 Percolation percdown!!! Exemple (fin) Chapitre 1 29 Percolation percdown! a an array of Comparable items. i the position from which to percolate down. n the logical size of the binary heap. private static <AnyType extends Comparable<? super AnyType>> void percdown( AnyType [ ] a, int i, int n ) int child; /* indice du plus grande des fils AnyType tmp; /* valeur à percoler for( tmp = a[ i ]; leftchild( i ) < n; i = child ) child = leftchild( i ); if( child!= n - 1 && a[ child ].compareto( a[ child + 1 ] ) < 0 ) child++; /* trouver le plus grand des fils if( tmp.compareto( a[ child ] ) < 0 ) a[ i ] = a[ child ]; /* s il est plus grand que a[i], le remonter else break; a[ i ] = tmp; /* valeur à percoler est rangée à sa place Chapitre 1 30 heapsort /** * Standard heapsort. a an array of Comparable items. public static <AnyType extends Comparable<? super AnyType>> void heapsort( AnyType [ ] a ) for( int i = a.length / 2; i >= 0; i-- ) /* buildheap percdown( a, i, a.length ); for( int i = a.length - 1; i > 0; i-- ) swapreferences( a, 0, i ); /* deletemax percdown( a, 0, i );! Complément leftchild /** * Internal method for heapsort. i the index of an item in the heap. the index of the left child. private static int leftchild( int i ) return 2 * i + 1; Chapitre 1 31 Chapitre 1 32

9 Conclusion Visualisation des performances!! Tri très performant "! équivalent au tri par segmentation (Quicksort) "! coût de l ordre de n log 2 n!! Rappel sur le tribulle "! coût de l ordre de n 2 Chapitre 1 33 Chapitre 1 34

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