Typologie des risques Mesure de risques Aspects statistiques; risques multivariés. Bauer & Isidor Shteto, CACIB, séances 6 8)

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1 Plan du cours 1 Introduction, mesure de risques (P. Tankov, UPD, séances 1 3) Typologie des risques Mesure de risques Aspects statistiques; risques multivariés 2 Réglementation (M. Benlaribi, Deloitte, séances 4 5) Les reformes du comité de Bâle 3 Gestion des risques au sein d une banque d investissement (J. Bauer & Isidor Shteto, CACIB, séances 6 8) Construction et contrôle des modèles Gestion des risques

2 Introduction Prise de risques: activité essentielle d une banque L importance de la RM est reconnue depuis Markowitz; les outils de plus en plus sophistiqués Distinction entre risque normal (volatilité) et risque exceptionnel (krach) Gestion de risques encadrée par le régulateur (Bâle I, II, III). Evolution regles principes: motivation pour développer des systèmes de RM sophistiqués

3 Rôle de la gestion de risques Identifier les expositions Quantifier et mesurer les pertes possibles Proposer une stratégies d attenuation tenant compte des contraintes de gestion / réglementaires Limites sur les tailles de positions Couvertures: collateral, back to back, produits dérivés Limites sur les sensibilités et la VaR pour chaque desk Provisions pour les risques non couverts Surveiller la mise en oeuvre (validation de modèles, vérification de données etc.)

4 Typologie des risques: risque de marché Risque de taux (niveau global des taux, forme de la courbe) Risque de change Risque systémique du marché d actions risque idiosyncratique de chaque action Risque associé aux prix des actifs cotés risque associé aux facteurs non directement observables ou définis par rapport à un modèle (volatilité, corrélation, smile de vol) Risque de queue / tail risk, lien avec le risque de corrélation

5 Typologie des risques: risque de crédit Le risque que la faillite / changement de qualité de crédit d une firme ou d un état souverain affecte négativement le portefeuille Risque de défaut risque de spread Indicateurs du risque de crédit Rating attribué par une agence de notation Spread entre le taux actuariel de l obligation et le taux d une obligation sans risque pour la même maturité Spread du CDS: prime de l assurance les spreads sont plus réactifs mais sensibles aux comportement de foule et contiennent une prime de risque les ratings doivent être fondés sur la recherche mais parfois suivent les spreads

6 Les ratings et les agences de notation Agences de rating: S&P, Moody s, Fitch ratings Echelle de S&P: AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC, CC, C, D, avec éventuellement + ou - sauf pour AAA Les ratings au-dessus de BBB- sont considérés investment grade Les ratings sont présentés par les agences comme des opinions mais jouent un rôle fondamental dans Bâle II pour determiner le capital reglementaire. Le ratio de capital est de 0.6% pour AAA et de 4.6% pour BBB Les agences sont rémunérés par l émetteur du produit noté.

7 Les ratings et les spreads des états souverains Rating Taux 10A CDS 5A, bp Proba défaut implicite Allemagne AAA 1.85% % Inde BBB- 8.50% Espagne AA 5.34% % France AAA 2.64% % Russie BBB 4.73% % Grèce CC 22.45% % Japon AA- 0.98% % Chine AA- 4.04% % Italie A 5.58% % Etats-Unis AA+ 2.01% %

8 Dérivés de crédit CDS: protection contre la faillite d un emprunteur CDO: transfert du risque de défaut des petits emprunteurs d une banque (de détail) vers les investisseurs par titrisation Banque SPV Investisseurs Portefeuille de créances Obligations (CDO) Senior Mezzanine Junior Equity

9 Typologie des risques: risque de contrepartie C B A Obligations CDS sur C Le portefeuille de B devient sensible à la solvabilité de A (exemple AIG) Reduction du risque de contrepartie: collateralisation, netting, chambres de compensation Chambres de compensation de CDS: ICE Trust (E.-U.), LCH Clearnet (Europe), etc.

10 Typologie des risques: risque de liquidité Liquidité d actifs: impossibilité de liquider un portefeuille d actifs (profondeur de marché insuffisante, mark to market / mark to model pour produits exotiques) Liquidité de financement: impossibilité de lever des capitaux pour des opérations courantes Crise de 2007/2008: d abord liquidité d actifs (CDO) puis liquidité de financement Buy orders Order size Price

11 Typologie des risques Risque opérationnel: risque associé aux processus internes inadéquats ou défaillants, y compris fraude par les employés. Problèmes de données. Risque de modèle: surtout pour les produits structurés qui ne sont pas cotés. Choix inadéquat du modèle de pricing (un modèle par classe de produits; doit tenir compte des facteurs de risque importants). Erreurs d estimation de paramètres; choix des instruments de calibration. Problèmes d implémentation / stabilité. Rôle de validation de modèles.

12 Distribution des pertes (cf Embrechts, McNeil et Frey) (Ω, F, P); V t : valeur du portefeuille. Perte à horizon : L s,s+ = (V s+ V s ) Facteurs de risque: Z t = (Z t,1,... Z t,d ) Risk mapping: V t = f (t, Z t ), f : R + R d R Variation des facteurs de risque: X t = Z t Z t 1 Opérateur de perte: l t : R d R l t (x) = (f (t + 1, Z t + x) f (t, Z t )), L t+1 = l t (X t+1 ) Linéarisation des pertes: l t (x) = (f t (t, Z t ) + d f Z i (t, Z t )x i ), L t+1 = lt (X t+1 ). i=1

13 Exemple: portefeuille d actions Soit un portefeuille de d actions de processus de prix S t,i avec λ i la quantité de chaque action. Les facteurs de risque sont les rendements des actions: Z t = ln S t. X t+1,i = ln S t+1,i S t,i, V t = L t+1 = L t+1 = d λ i exp(z t,i ). i=1 d λ i S t,i (e X t+1,i 1) i=1 d λ i S t,i X t+1,i = V t i=1 d w t,i X t+1,i, i=1 w t,i = λ is t,i V t.

14 Exemple: option call européenne C BS (t, S, r, σ, K, T ) = SN(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ), d 1,2 = log S ± σ2 (T t) Ke r(t t) 2 σ T t Facteurs de risque: Z t = (ln S t, r t, σ t ) V t = C BS (t, S t, r t, σ t, K, T ) ( X t+1 = ln S ) t+1, r t+1 r t, σ t+1 σ t S t L t+1 = (C t + C S S tx t+1,1 + C r X t+1,2 + C σx t+1,3 ) theta delta rho vega L approximation linéaire n est pas utilisée pour les options: on rajoute le terme de gamma qui est de même ordre que les autres: St 2 C S 2 X t+1,1 2.

15 Portefeuille obligataire Portefeuille de zéro-coupons de prix B t (T i ) Taux zéro-coupon: R t (T ) = 1 T t ln B t(t ) V t = d λ i B t (T i ) = i=1 d λ i e (T i t )R t (T i ) Facteurs de risque: tous les taux du portefeuille R t (T i ), 1 i d ou des points sur la courbe: 3M, 6M, 12M, 2A, 5A, 10A etc. L t+1 = i=1 d λ i B t (T i )(R t (T i ) (T i t )X t+1,i ). i=1 Si la seule variation possible est le shift parallel L t+1 = d λ i B t (T i )R t (T i ) +δ i=1 d (T i t )λ i B t (T i ) δv t D i=1

16 Mesures de risque Rôle des mesures de risque: Capital réglementaire pour assurer la solvabilité; Limitation des risques et provisions pour les risques pris par les divisions / desks de trading; Pour les compagnies d assurance: tarification pour garantir la solvabilité; Pour les bourses / brokers: determination des appels de marge.

17 Approche par montant notionnel / taille des positions Le risque est mesuré par la somme des valeurs notionnelles de tous les actifs pondérés par des poids par classe d actifs Example: dans Bâle I, les poids sont Devises, or, Créances Crédits Autres actifs oblig. OCDE de banques immobiliers OCDE Une variante de ce système est utilisé par les bourses pour le calcul des appels de marge de petits clients Inconvénients: Le système ne permet pas de netting Pour les actifs non-linéaires le risque n est pas proportionnel au montant notionnel

18 Approche par sensibilités aux facteurs de risque Pour un portefeuille d options sur le même sous-jacent V = λ i C i, le delta C λ i S donne une idée de la variation car V λ i C S S Pour pouvoir agréger des sous-jacents différents, ponderer par la volatilité et la valeur du sous-jacent: port = j i λ ij C ij S j S j σ j Cette approche n est vraiment justifiée que si les sous-jacents sont corrélés à 100%. En pratique, une desk de trading a des limites de delta C S, gamma 2 C (par sous-jacent) et vega C S 2 σ (par sous-jacent, strike et maturité)

19 Approche par sensibilités aux facteurs de risque Inconvénients de cette approche: Mesures locales, pas d aggregation Ces mesures ont un sens pour des variations faibles des facteurs uniquement, elles ne tiennent pas compte de sauts La sensibilité est associée à un scénario spécifique d évolution du marché (changement d un seul facteur) qui peut ne pas être représentatif

20 Mesures de risque fondées sur la distribution des pertes Une approche moderne (le rôle de la gestion de risques est de contrôler les pertes) mais Difficile d avoir une estimation précise de la loi des pertes Difficile d agréger toute la loi en une seule mesure Problème de horizon de temps Pour certains scénarios catastrophe impossible de donner une probabilité Une approche basée sur la loi des pertes est toujours complétée par l analyse de scénarios (stress testing / simulations de crise)

21 Stress testing / analyse de scénarios Utilisation de stress tests: Par le RM ou la DG pour identifier la pire perte en cas de crise et les composants du portefeuille susceptibles de provoquer cette perte. Par le régulateur pour tester la stabilité du système Par le régulateur pour le calcul du capital reglémentaire (stressed VaR dans Bâle III) Par le RM pour définir des limites sur les positions lorsque la modélisation n est pas suffisamment précise ou les facteurs de risque ne sont pas observables (corrélation) Par les bourses pour calculer les appels de marge (SPAN de CME; les scénarios ne sont pas tous extrêmes)

22 Choix des scénarios de stress Stress historiques sur S&P, : t Stress 9% 18.3% 28.2% 42.2% Stress 11.6% 18.0% 23.5% 39.4% Autres exemples (FMI): Augmentation de la courbe de taux de 300bp; Aplatissement de la courbe: hausse d Eonia de 150bp, baisse du taux 10 ans de 50bp; Appréciation / dépréciation de l EURO de 15%; Dégradation de 2 crans des ratings des contreparties émergentes; Hausse de 30% de la volatilité sur tous les marchés.

23 La Value at Risk Mesure monétaire du risque: capital à ajouter pour rendre la position acceptable Utilisée dans Bâle II et Bâle III Niveau de confiance: α = 0.95 ou α = 0.99 Horizon de temps: = 1 jour ou = 10 jours VaR α = inf{l : P[L > l] 1 α} = inf{l : F L (l) α} := q α (L) Vision globale sur tout le portefeuille de la banque Facile à expliquer à l hierarchie et aux régulateurs Joue un rôle important dans les accords de Bâle pour la determination du capital reglémentaire: dans MRA 96 RC t = max{var t, , k i=1 VaR t i+1, } + C SR, où k est le facteur de stress et C SR est le capital spécifique.

24 Méthodes classiques: l approche delta-normale On suppose que X t+1 est un vecteur gaussien: X t+1 N d (µ, Σ) L donne une approximation suffisamment précise de la perte: L t+1 = c t bt X t+1. On en déduit: L t+1 N( c t bt µ, bt Σb t ) VaR α = c t bt µ + (bt Σb t ) 1/2 N 1 (α) Faiblesses de la méthode: Ne prend pas en compte les risques extrêmes N est pas adaptée aux produits non-linéaires

25 Méthodes classiques: simulation historique Construction d une approximation de la distribution des pertes en utilisant les variations historiques des facteurs. { L s = l t (X s ); s = t n + 1,..., t} typiquement n = 500 Soit L n,n L 1,n les échantillons ordonnés. Alors VaR α (L) := L n(1 α),n Pour n = 500 et α = 0.99, prendre la 5-ième plus grande perte. Avantages: Simple à implémenter Pas d hypothèses sur la loi de X Inconvénients: Détruit la dépendance entre les variations des facteurs Faible précision: n ne doit pas être grand pour représenter les conditions actuelles.

26 VaR Monte Carlo La méthode la plus largement utilisée, grâce à la puissance de calcul toujours croissante Trouver un bon modèle pour X Estimer la loi conditionnelle Simuler autant de réalisations de perte que nécessaire... Inconvénients: pas facile à mettre en oeuvre L un des avantages: on peut directement calculer la VaR 10 jours sans avoir à appliquer le scaling gaussien

27 Back-testing de la VaR Toute procédure de calcul doit être validée par back-testing sur données historiques et contrôlée lors de son utilisation Les dépassements Î t+1 = 1 Lt+1 > VaR t α doivent se comporter comme des v.a. de Bernoulli i.i.d. d espérance 1 α. En particulier, [ m ] P Î t+i = k = Ck m (1 α)k α m k i=1 Soit m = 250 et α = 99% k [ mi=1 P Î t+i > k] 92% 71% 46% 24% 11% 4% 1.4% 0.4% 0.10% 0.025% % Crédit Suisse: 9 dépassements en 2007, 25 en 2008, 0 en 2010 UBS: 29 dépassements en 2007, 50 en 2008, 1 en 2010

28 Back-testing dans Bâle III Dans Bâle III, le nombre de dépassements doit être contrôlé et un nombre trop grand conduit à une augmentation du capital reglémentaire: Nombre d exceptions Augmentation du multiplicateur Avec plus de 10 dépassements le système doit rapidement être corrigée sinon la banque perd l autorisation d utiliser le modèle interne.

29 Inconvénients et dangers de la VaR La VaR ne prend pas en compte la nature des pertes au-delà de la quantile, et plus généralement les pertes extrêmes; elle ne convient qu à la gestion de tous les jours La VaR ne possède pas la propriété de sous-addivité: il est possible que VaR(A + B) > VaR(A) + VaR(B), ce qui pénalise la diversification (qui réduit le risque) et rend possible des arbitrages réglementaires.

30 Example de non-sousadditivité Soit A et B deux portefeuilles indépendants avec P[L A = 1000$] = P[L B = 1000$] = 4% P[L A = 0] = P[L B = 0] = 96% Alors VaR 0.95 (A) = VaR 0.95 (B) = 0 mais P[L A + L B 1000$] = VaR 0.95 (A + B) = 1000$.

31 Exemple d arbitrage réglementaire Un trader possède un portefeuille de n actions et effectue une transaction consistant à vendre n Puts dont la probabilité d exercice est inférieure à 1 α. Portefeuille n actions n actions + vente de n Puts Valeur initiale ns 0 n(s 0 + P 0 ) Valeur terminale ns T n(s T + P 0 (K S T ) + ) Perte n(s 0 S T ) n(s 0 S T + (K S T ) + ) VaR α nq α (S 0 S T ) nq α (S 0 S T ) La transaction diminue les contraintes en capital, augmente le risque mais laisse inchangé la VaR.

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