8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2"

Transcription

1 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R n à valeurs dans R. On note : f : R n R (x 1,..., x n ) z = f(x 1,..., x n ) f est définie en m 0 = (x 01,..., x 0n ) R n si la valeur f(x 01,..., x 0n ) existe et est un nombre réel z 0. On note D f l ensemble de définition de f. Exemple. La fonction f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 est définie pour les valeurs de x et y telles que x 2 + y 2 1. Dans un repère orthonormé, D f est le disque fermé de centre 0 et de rayon Représentation géométrique d une fonction de deux variables Soit z = f(x, y) une fonction de deux variables. Soit Oxyz un repère orthonormé de R 3. Quand le point m(x, y) décrit dans le plan xoy le domaine de définition de la fonction f, le point M de coordonnées (x, y, z) = (x, y, f(x, y)) décrit une surface S. z O M(x, y, f(x,y)) S y On dit que S a pour équation z = f(x, y). x m(x, y) D f 67

2 Un voisinage V m0 d un point m 0 R 2 est une partie de R 2 contenant un disque ou un carré ayant ce point pour centre et non réduit à ce point. Selon la distance choisie on obtient les voisinages suivants : m 0 m 0 m 0 x x 0 + y y 0 sup( x x 0, y y 0 ) (x x0 ) 2 + (y y 0 ) Limite d une fonction. Soit D f le domaine de définition de f : R 2 R, m 0 (x 0, y 0 ) D f. On dit que f admet la limite L quand m(x, y) tend vers m 0 (x 0, y 0 ), si f(x, y) est aussi voisin que l on veut de L dès que le point m est dans un voisinage convenable de m 0. On note lim f(x, y) = L ou lim f(m) = L. (x,y) (x 0,y 0 ) m m 0 Exemple. (1 + x 2 y 2 ) sin y lim (x,y) (0,0) y = lim y 0 sin y y = 1. Cette notion de limite se généralise sans difficultés aux espaces de dimensions supérieures à deux Opérations Les propriétés des limites des fonctions de plusieurs variables sont les mêmes que celles des limites des fonctions d une variable pour les sommes, produits, quotients et composées. 8.3 Fonction continue Une application f : R n R définie sur un voisinage d un point m 0 R n est continue en m 0 si lim m m 0 f(m) = f(m 0 ). Soit D un domaine non vide de R n. On dit que f est continue sur D, si elle est continue en tout point de D. Exemple. D = R 2 (x, y) f(x, y) = x + y ; f est continue en tout point de D car f(x, y) f(x 0, y 0 ) = x + y x 0 y 0 x x 0 + y y 0 tend vers 0 dès que x tend vers x 0 et y vers y 0. 68

3 8.3.1 Applications partielles Soit f : (x 1,..., x n ) R n z = f(x 1,..., x n ) R une fonction de n variables. Si l on fixe les n 1 variables x 1, x 2,..., x i 1, x i+1,..., x n on peut définir les n applications dites applications partielles : f i : x R f i (x) = f(x 1,..., x i 1, x, x i+1,..., x n ) R Dans le cas n = 2 f : R 2 R on a deux applications partielles f x : x f x (x) = f(x, y) et f y : y f y (y) = f(x, y) Par exemple, si f(x, y) = xy x 2 + y 2 f x : x f x (x) = xy x 2 + y 2. Théorème. Si f : R n R est continue en m 0 = (x 01, x 02,..., x 0n ), les n applications partielles f i de R dans R sont continues en x 0i. On remarquera que la réciproque de ce théorème est fausse, comme le prouve l exemple suivant : Exemple. Soit f(x, y) = xy (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0. Au point O(0, 0) x 2 + y 2 les deux fonctions partielles f x et f y qui sont égales à 0 sont continues ; cependant f n est pas continue en O : si l on pose y = tx la limite en O est t f(0, 0) pour (t 0). 1 + t Opérations Si f et g : R n R sont continues en m 0 (x 01,..., x 0n ), alors λ R : f + g, fg, λ f, f g (si g(m 0 ) 0) sont continues en m 0. De même la composée de fonctions continues est continue. 8.4 Dérivées partielles Soit f une fonction des deux variables x, y et m 0 (x 0, y 0 ) D f. Supposons l application partielle f x : x f(x, y 0 ) définie sur un voisinage de x 0 tel que (x 0, y 0 ) D f. Si f x admet une dérivée au point x 0, on dit que cette dérivée est la dérivée partielle de f par rapport à x au point (x 0, y 0 ). On note f x ou f cette dérivée et l on a x f x (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) = lim x x0 f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x x 0 69

4 De même, la dérivée de la fonction f y est la dérivée partielle de f par rapport à y au point (x 0, y 0 ). On la note f y (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = lim y y0 f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) y y 0 Si f x et f y existent, on dit que f est dérivable Règle pratique Pour déterminer une dérivée partielle de f, il suffit de dériver l expression de f par rapport à la variable considérée, les autres étant considérées comme des constantes. Exemple. Soit f(x, y) = x 2 y 5. Alors, on a f x (x, y) = 2xy5, f y (x, y) = 5x2 y 4, f f (1, 2) = 64, x (1, 2) = 80 y Représentation géométrique Soit S la surface d équation z = f(x, y) et M 0 (x 0, y 0, z 0 ) le point de S de coordonnées (x 0, y 0, z 0 = f(x 0, y 0 )) dans le repère Oxyz. La section de la surface S par le plan y O z d équation x = x 0 est une courbe (C x0 ). Dans ce plan, (C x0 ) est le graphe de la fonction z = f y (y) = f(x 0, y) et f y (y 0) = f y (x 0, y 0 ) est la pente de la tangente à la courbe (C x0 ) en M 0, comme on peut le voir sur la figure cicontre. x O = x 0 z M 0 m 0 z O S Cx 0 y 0 y y Exemples de calculs Si f(x, y) = x 2 + y 2 alors Si f(x, y, z) = 3x + y 2 z 3 f x (x, y) = 2x et f y (x, y) = 2y alors f x (x, y, z) = 3, f y (x, y, z) = 2y et f z (x, y, z) = 3z2 Si f(x, y) = 2x + y x 2 + y 2 (x, y) R 2 (0, 0) f x (x, y) = 2x2 2xy + 2y 2 (x 2 + y 2 ) 2 et f y (x, y) = y2 4xy + x 2 (x 2 + y 2 ) 2 70

5 8.4.4 Dérivées successives On définit ensuite les dérivées partielles d ordre 2, si elles existent par dérivation des dérivées premières ; on les note : f x i x j = x i (f x j ) = 2 x i x j f Exemple. Pour la fonction (x, y) f(x, y) = x 2 y 5 on a f x 2(x, y) = 2y5, f xy (x, y) = 10xy4, f yx (x, y) = 10xy4, f y 2(x, y) = 20x2 y 3, f (3) x 2 y (x, y) = 10y4. Théorème de Schwarz ( H.Schwarz ) : Si f admet dans un voisinage de (x 0, y 0 ) des dérivées partielles secondes f x y continues, elles sont égales sur ce voisinage : f y x f x y = f y x Notons que le théorème de Schwarz se généralise aux fonctions de plus de deux variables et aux dérivées d ordre supérieur à deux ; par exemple : si f(x, y, z) = x 2 + xyz + xyz 3 + z 2 on a f (3) xz (x, y, z) = 6yz = f (3) (x, y, z) 2 z 2 x et 8.5 Différentielle de f L idée est de remplacer en m 0 une fonction compliquée f par une fonction plus simple qui est une application linéaire translatée en f(m 0 ) dite application linéaire tangente et qui soit la meilleure approximation linéaire de f au voisinage de m 0. On sait que les applications linéaires de R dans R et de R 2 dans R s écrivent respectivement λ a : R R λ a,b : R 2 R où les coefficients a et b sont réels. x ax (x, y) ax + by A. Fonction différentiable f : R R définie et continue sur un voisinage V x0 de x 0. f est différentiable en x 0 s il existe une application linéaire λ x0, notée f (x 0 ) : R R, telle que pour tout h R avec x 0 + h V x0 : f(x 0 + h) f(x 0 ) = f (x 0 )h + hϕ(h) avec lim h 0 ϕ(h) = 0. La valeur f (x 0 ) qui est unique peut encore s écrire : 71

6 On reconnait la dérivée en x 0 de f. f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h = f (x 0 ) Si l on note dx l application h R dx(h) = h R la différentielle de f en x 0 s écrit df(x 0 ) = f (x 0 ) dx où f (x 0 ) = df dx (x 0) est la dérivée de f en x 0. Exemples. f(x) = 2x df(x) = 2dx ; f(x) = cos x df(x) = sin xdx Puisque lim h 0 hϕ(h) = 0, confondre sur V x0 la fonction f et son application linéaire tangente, revient à confondre f(x) et la partie régulière de degré 1 de son DL1 V (x 0 ). Géométriquement, au voisinage de x 0, le graphe de f est peu différent de celui de sa tangente en ( x 0, f(x 0 ) ). Autrement dit si l on pose h = x x 0, l équation de la tangente en M 0 à la courbe d équation f(x) est : y = y 0 + (x x 0 )f (x 0 ) B. Fonction différentiable. Soit f : R 2 R définie et continue sur un voisinage V m0 du point m 0 (x 0, y 0 ). f est différentiable en m 0 (x 0, y 0 ), s il existe une application linaire λ m0 : R 2 R définie par λ m0 (h, k) = ah + bk, a, b R telle que f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) = ah + bk + h 2 + k 2 ϕ(h, k) avec lim ϕ(h, k) = 0. h 0 k 0 Pour calculer a et b, écrivons l équation précédente d abord avec k = 0 : f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) = ah + h ϕ(h, 0) f x (x 0 + h) f x (x 0 ) = ah + h ψ(h). ou encore On reconnaît la différentielle de l application partielle f x : R R de f par rapport à la variable x ; on a donc : et de même a = f x (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) b = f y (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) On appelle différentielle de f en (x 0, y 0 ), l application linéaire 72 df : R 2 R (h, k) df(h, k) = f x h + f y k.

7 En particulier, si l on note dx : R 2 R l application linéaire (h, k) dx(h, k) = h et dy : R 2 R l application linéaire (h, k) dy(h, k) = k, on a df(h, k) = f xdx(h, k) + f ydy(h, k) = (f xdx + f ydy)(h, k) (x, y) D f ou encore df = f xdx + f ydy Exemple. La fonction f : (x, y) x sin y + y 2 est différentiable sur R 2, car c est une fonction composée de fonctions qui le sont et sadifférentielle est : df = (sin y)dx + (x cosy + 2y)dy et en particulier au point (1, π/2) : df (1,π/2) = dx + πdy Le gradient. Utilisé en physique, on note grad f m0 le vecteur de R 2 dont les composantes sont (f x, f y ) ; la relation précédente s écrit alors au point m 0 comme le produit scalaire : df ( m 0 ) = grad f m0 dm si l on note dm = (dx, dy). Rappelons que f est dérivable en m 0 si ses dérivées partielles existent en m 0. Théorème. Si f est différentiable, elle est continue et admet des dérivées premières. La réciproque est vraie si les dérivées premières f x et f y sont continues. Une fonction différentiable est donc dérivable. Exemple. Soit la fonction (x, y) f(x, y) = 0 si xy 0 et 1 si xy = 0. Les dérivées partielles en (0, 0) existent et sont nulles : f est dérivable. Mais f n est pas continue en (0, 0) donc pas différentiable. La notation différentielle est particulièrement bien adaptée aux calculs des formules de dérivation des fonctions composées dont elle donne l apparence d une évidence. Examinons le cas n = 2 : Soit f : (x, y) f(x, y) une fonction définie dans un voisinage V (m 0 ) de m Supposons x et y fonctions de la variable t I. Supposons aussi f x, f y, x et y sont continues ; alors : F : t F(t) = f(x(t), y(t)) est différentiable et df = F dt = f x dx + f y dy = f x x dt + f y y dt = (f x x + f y y )dt d où F (t) = f x x + f y y. 2. Supposons maintenant x et y fonctions des variables (u, v) : F(u, v) = f(x, y) avec x et y fonctions différentiables des variables u et v. Ecrivons les différentielles de f et F : 73

8 df = F udu + F vdv = f xdx + f ydy = f x(x udu + x vdv) + f y(y udu + y vdv) = (f xx u + f yy )du + (f xx v + f yy v)dv Par identification on obtient les formules que l on retiendra : F u = f x x u + f y y u et F v = f x x v + f y y v En particulier, en coordonnées polaires x = r cosθ et y = r sin θ : F r = cosθ f x + sin θ f y F θ = r sin θ f x + r cos θ f y. Exemple. Soit f définie surr 2 par f(x, y) = xy. Posons F(r, θ) = f(r cosθ, r sin θ). On a F(r, θ) = r 2 sin θ cosθ), d où : et F r = cosθ r sin θ + sin θ r cosθ = r sin 2θ F θ = r sin θ r sin θ + r cosθ r cosθ = r2 cos 2θ. D autre part f x (x, y) = y = r sin θ et f y (x, y) = x = r cosθ F(r, θ) = xy = 1 2 r2 sin 2θ et l on vérifie bien F r = r sin 2θ et F θ = r2 cos 2θ Représentation géométrique de la différentielle. Posons d abord h = x x 0 et k = y y 0 ; comme le terme complémentaire h2 + k 2 ϕ(h, k) tend vers 0 quand (h, k) tend vers 0, dire que f est différentiable en m 0 = (x 0, y 0 ), signifie qu en ce point, f(x, y) est peu différent de sa partie linéaire donc de son développement de Taylor de degré un au voisinage du point m 0 = (x 0, y 0 ) : f(x, y) f(x 0, y 0 ) + (x x 0 )f x(x 0, y 0 ) + (y y 0 )f y(x 0, y 0 ). Géométriquement, au voisinage de M 0 (x 0, y 0, z 0 ) la surface S = {(x, y, z) z = f(x, y) ; (x, y) D f } diffère peu de son plan tangent en M 0 qui a donc pour équation : z = z 0 + (x x 0 )f x(x 0, y 0 ) + (y y 0 )f y(x 0, y 0 ) Ce plan est engendré par les vecteurs T y0 = M 0 M x = ( ) 1, 0, f x et T x0 = M 0 M y = ( ) 0, 1, f y dérivés du vecteur M 0 M = (x x 0, y y 0, f(x, y) z 0 ) par rapport aux variables x et y. Ces vecteurs sont tangents en M 0 aux courbes coordonnées C x0 et C y0 comme on l a vu en

9 z z Ty 0 M 0 Tx 0 Cy 0 S O = x 0 O y 0 Cx 0 y x m 0 y Exemple. Soit f : R 2 R définie par f(x, y) = x 2 + y 2 2xy. Au point (1,0) sa différentielle est df = f f (1, 0) dx + (1, 0) dy = 2 dx 2 dy x y L équation du plan tangent en (1, 0, 1) à la surface S définie par f s écrit donc z 1 = 2(x 1) 2(y 0) ou encore z = 2x 2y 1. Conclusion : Au voisinage de M 0 on pourra confondre la surface S et son plan tangent et en conséquence, pour les valeurs voisines de (1, 0) par exemple (0.99, 0.025) calculer f(0.99, 0.025) à l aide de l expression plus simple 2x 2y 1 : f(0.99, 0.025) 1 + 2( 0.01) 2(0.025) = Application du calcul différentiel au calcul des valeurs approchées des fonctions Exemples. 1 o Soit un rectangle de hauteur h et de base b. Son aire est mesurée par la fonction S = f(b, h) = bh. Si la base b varie de db et si la hauteur h varie de dh, calculons la variation algébrique d aire δs à l aide de la différentielle δs ds = f f db + dh = h db + bdh. b h On peut interpréter sur la figure ci-après ds comme la somme des aires des rectangles hachurés. ds est bien ainsi la partie principale de δs ; le terme complémentaire db dh mesure l aire grisée du petit rectangle, négligeable par rapport à ds car d ordre 2. Remarquer l abus de notation db au lieu de δb et dh au lieu de δh. b db h dh 75

10 Exemple de valeurs. b, db, h, dh en mètre, ds, dbdh, δs en m 2. b db h dh ds db dh δs 10 0, 1 2 0, 01 0, 3 0, 001 0, , , 02 0, 28 0, , , 1 6 0, 1 2, 1 0, 01 2, 11 2 o Soit un cylindre de h = 10 m de haut et de r = 5 m de rayon. On augmente h de 10 cm et l on diminue r de 1 cm. Calculons la variation de volume : V = πr 2 h = f(r, h) dv = V V dr + r h dh = 2π rh dr + π r 2 dh En mètre dr = 0.01 m ; dh = 0.1 m, d où δv 4.71 m 3. Remarque. L accroissement exact δv est égal à dv diminué du volume d un cylindre creux de hauteur dh et d épaisseur dr, soit environ 2π r dh dr 0, 031m 3 négligeable par rapport à δv. r dr h dh Calcul d erreur Soit a le résultat de la mesure de la grandeur A. Si α est la valeur exacte de A, la différence δa = a α est appelée erreur absolue de la mesure ; elle résulte de causes diverses : erreurs systématiques ou accidentelles. L erreur absolue sur a n étant pas connue, on doit se contenter d en rechercher une limite supérieure a appelée incertitude absolue telle que δa a ; on a donc : a a α a + a ou encore α = a ± a. On se rend mieux compte de l approximation d une mesure en comparant l erreur à la grandeur mesurée. On appelle erreur relative le rapport δa/α de l erreur absolue à la valeur exacte ; δa et α n étant pas connues, on doit, là encore, se contenter d une limite supérieure appelée incertitude relative que l on calcule en remplaçant δa par a et en prenant pour α la valeur approchée a. Exemple. α = ± m donc a/α a/a 0.001/2 = L incertitude relative caractérise la précision de la mesure. Dans l exemple précédent, la précision est de 5 dix-millièmes. On cherche maintenant à calculer l erreur sur une grandeur X dépendant de plusieurs paramètres A, B, C indépendants les uns des autres : 76 X = f(a, B, C).

11 On ne connaît en réalité que des valeurs approchées a, b, c et les incertitudes absolues : a, b, c sur ces valeurs ; une valeur approchée de X est donc x = f(a, b, c). A partir de la différentielle de f en (a, b, c) soit en valeur absolue dx = f a da + f b db + f c dc dx f a da + f b db + f c dc f a a + f b b + f c c on obtient l incertitude absolue sur x puis l incertitude relative sur x x = f a a + f b b + f c c, x x = f a a x + f b b x + f c c x. Exemple. Connaissant la formule T = 2π l/g donnant la période du pendule simple, on peut calculer l accélération de la pesanteur g = γ(l, T) = 4π 2 l/t 2 dont la différentielle est : d où l incertitude absolue et l incertitude relative dg = γ γ 4π2 dl + dt = l T T dl 8π2 l 2 T dt 3 g = 4π2 T 2 ( l + 2l ) T T g g = l l + 2 T T avec l = 1 m, l = m, T = 2 s, T = 0.01 s, on obtient g g = = 1.05 % et g = π2 = 9.87 ms 2, ce qui donne une incertitude absolue de g = 0.10 et g = 9.87 ± 0.1 ms 2. Remarque. On trouve assez fréquemment en Physique des fonctions positives à variables séparables f(a, b, c) = ϕ 1 (a)ϕ 2 (b)ϕ 3 (c). La fonction logarithme permet alors de simplifier le calcul de l incertitude relative ln f = ln ϕ 1 + ln ϕ 2 + ln ϕ 3, d où en différentiant et si ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 > 0, alors on a df f = dϕ 1 ϕ 1 + dϕ 2 ϕ 2 + dϕ 3 ϕ 3 f f = ϕ 1 ϕ 1 + ϕ 2 ϕ 2 + ϕ 3 ϕ 3. 77

12 8.7 Formes différentielles Soit U un ouvert de R 2, A et B deux fonctions de U dans R. L expression s appelle une forme différentielle sur U. ω = Adx + Bdy Définition. Une forme différentielle ω sur U qui est la différentielle d une fonction f (i.e ω = df) est une forme différentielle exacte sur U et f est une primitive de ω. Exemple. La forme différentielle ω = xdx + ydy est exacte sur U = R 2 et f : (x, y) f(c, y) = 1 2 (x2 + y 2 ) est une primitive de ω. Les formes différentielles ne sont donc pas toujours exactes ; si c est le cas, A = f f et B = et si de plus A et B sont continûment dérivables (on dit de x y classe C 1 ), on a d après le théorème de Schwarz A y = B x. Définition. Si A et B sont C 1 sur U et si A y = B, on dit que la forme différentielle x ω = Adx + Bdy est fermée sur U. Une forme différentielle de classe C 1 exacte sur U est donc fermée sur U. Qu en est-il de la réciproque? Le théorème suivant dû à H.POINCARÉ ( ) donne une condition suffisante de réciprocité : Théorème de Poincaré. Soit U un ouvert de R 2 et ω = Adx + Bdy une forme différentielle de classe C 1 sur U. Si U est étoilé et si ω est fermée sur U, alors ω est exacte sur U. Définition. Soit A un point de U ; on dit que U est étoilé par rapport à A si le segment [AM] appartient à U M U. On dit que U est étoilé si et seulement s il existe A U tel que U soit étoilé par rapport à A. Les boules de R n, les pavés de R n, les domaines d une seule pièce et sans trou (on dit simplement connexe) du plan R 2 sont étoilés. Exemple de calcul. Soit la forme différentielle ω = (3x 2 + 2y)dx + (2x + 2y)dy sur U = R 2 étoilé par rapport au point O(0,0) : 78

13 A(x, y) = 3x 2 + 2y, B(x, y) = 2x + 2y et A et B sont des fonctions continues, dérivables et à dérivées continues i.e. C 1 sur R 2. On vérifie bien la condition d égalité des dérivées croisées : A y = 2 = B x sur R2, du théorème de Poincaré : puisque ω est fermée elle est exacte sur R 2. Intégrons ω c est-à-dire cherchons f de classe C 2 sur R 2 telle que df = ω ; on a d abord : A = f x = 3x2 + 2y que l on intégre par rapport à x : f(x, y) = x 3 + 2xy + ϕ(y) où la fonction ϕ est C 1 et constante par rapport à x ; dérivons par rapport à y et identifions à B : f y = 2x + ϕ (y) = 2x + 2y d où ϕ (y) = 2y et ϕ(y) = y 2 + K (K R). Finalement : f(x, y) = x 3 + 2xy + y 2 + K (K R). Le théorème de Poincaré, qui s étend à la dimension trois ou plus est fréquemment utilisé en physique. Par exemple, le champ de pesanteur (P, Q, R) dérive d un potentiel scalaire ; les conditions d égalité des dérivées croisées sur ω = Pdx+Qdy+Rdz s écrivent P y = Q x Q z = R y et R x = P z On dit que le rotationnel du champ (P, Q, R) est nul. 79

14 Exercices 8.1. Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions de R 2 dans R définies par : a. f 1 (x, y) = xy b. f x 2 + y 2 2 (x, y) = x2 + y 2 x c. f 3 (x, y) = x2 + y 2 x 2 y 2 d. f 4 (x, y) = ln y x 2 + y Déterminer le domaine de définition de la fonction f : R 2 R définie par f(x, y) = sin x sin y x y et trouver une fonction g égale à f sur D f qui soit continue sur R Soit la fonction f : R 2 R ; (x, y) f(x, y) = ln 3 x 2 y y 2. (a) Déterminer le domaine D de dérivabilité de f et le représenter graphiquement. (b) Calculer les dérivées partielles et la différentielle de f sur D Pour chacune des fonctions suivantes, calculer f x, f y et df. a. f 1 (x, y) = Arc tan(x 2 y) b. f 2 (x, y) = xy + x y 8.5. Les formes différentielles suivantes sont-elles exactes? Si oui les intégrer sur le domaine convenable : xdy y dx a. ω =. y 2 b. cos(xy 2 )dx + 2 cos(xy)dy Soit la surface S de E 3 d équation z = x 2 y. Déterminer deux vecteurs tangents à S non colinéaires en (1, 1, 0) ainsi qu une équation du plan tangent en ce point La mesure de deux côtés d un triangle est 150 m et 200 m à 0,2 m près ; l angle intérieur est de 60 ± 1. Quelle est l erreur maximum possible sur le calcul de l aire du triangle? 8.8. Soit x(r, θ) = e 2r cosθ et y(r, θ) = e 3r sin θ. Calculer r x, r y, θ θ et x y. 80

15 8.9. On veut résoudre l équation (E) z x z y = 2. Pour ce faire, on effectue le changement de variables : u = x y ; v = x + y et l on pose Z(u, v) = z(x(u, v), y(u, v)). Montrer que Z = 1 ; en déduire les solutions de (E). u Pour f(x, y) = e x cos y calculer f = 2 f x f y Soit f(x, y) = 1/ x 2 + y 2 + z 2. Montrer que f = (Extrait DeugB A) Soit f : R 3 R la fonction définie par f(x, y, z) = xy 2 z/3. (a) (b) Calculer df(x, y, z), puis f/f. En déduire l incertitude z/z en fonction de f/f, x/x et y/y. Application : Un cône de révolution a un volume V = 1789 ±2 cm 3 et pour rayon r = 10 ± 0, 05 cm. Sachant que le volume du cône est proportionnel à l aire de sa base et à sa hauteur et que π = 3, 14 ± 0, 01, calculer l incertitude relative h/h sur la mesure de la hauteur du cône. Donner un encadrement de h (Extrait DeugB A) (a) Soit la fonction f de R 3 dans R définie par l équation f(x, y, z) = z x y x. (b) (i) Déterminer le domaine de définition de f et le représenter dans un repère orthonormé. (ii) Calculer la différentielle de f en (x, y, z). Pour calculer la densité D d un liquide L, on pèse successivement un flacon vide, puis rempli d eau et enfin rempli du liquide L. On obtient les mesures suivantes en grammes et dans l ordre : x = 12.5 ± 0.1 y = 17.5 ± 0.1 z = 16.3 ± 0.1 Donner un encadrement de la valeur de D. 81

16 8.14. (Extrait SV105) a. Soit la fonction f : R 2 R définie par : f(x, y) = x2 y a 1. Déterminer le domaine de définition D f de f et le représenter graphiquement. a 2. Calculer la différentielle de f. b. La puissance dissipée dans une résistance électrique est P = E 2 /R avec E = 220 ± 5 V et R = 8 ± 0.2 Ω Déterminer à l aide du calcul différentiel un encadrement de la valeur de P. Si E décroit de 5V et R de 0.2Ω, quelle est l incidence sur P? (Extrait SV105) a. Soit la fonction f : R 3 R définie par : f(x, y, z) = K x3 yz 2 (K R) a 1. Déterminer le domaine de définition D f de f. a 2. Calculer la différentielle de f. a 3. Calculer l incertitude relative f f. b. D après la troisième loi de Képler la période T et le demi-grand axe de mesure a de l orbite d une planète autour du Soleil de masse M sont reliés par la relation T 2 a = 4π2 3 G M. Déterminer la masse M du Soleil, puis l incertitude relative et l incertitude absolue sur M. c. Application numérique : On donne T = ± 10 8 Jours, a = ( ± )10 11 m et G = (6.673 ± 0.005)10 11 m 3 kg 1 s 2. Donner un encadrement de la valeur de M. G est une constante universelle qui s exprime en fonction du mètre, du kilogramme et de la seconde (Extrait SV105) Soit la fonction f de R 3 dans R définie par f(x, y, z) = (x 3 ) y 2 + z 2. a. Déterminer le domaine de définition D f de f. b. Lorsqu elles sont définies, calculer les dérivées partielles ainsi que la différentielle df(x, y, z) de f au point (x, y, z). c. On donne a = 2 ± 0.1, b = 3 ± 0.1, c = 4 ± 0.1. Calculer f(2, 3, 4) ainsi que df(2, 3, 4). En déduire un encadrement de f(a, b, c). d. A l aide de la différentielle df(2, 3, 4) calculer la valeur approximative qu elle donne du nombre : ( )

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions de plusieurs variables Bernard Ycart Ce chapitre contient des techniques que vous utiliserez très souvent en physique, mais les justifications

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie

Plus en détail

Introduction aux inégalités

Introduction aux inégalités Introduction aux inégalités -cours- Razvan Barbulescu ENS, 8 février 0 Inégalité des moyennes Faisons d abord la liste des propritétés simples des inégalités: a a et b b a + b a + b ; s 0 et a a sa sa

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Révision d algèbre et d analyse

Révision d algèbre et d analyse Révision d algèbre et d analyse Chapitre 9 : Intégrales triples Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Mai 2013 suivant Chapitre 9 Intégrales triples 9.1 Motivation, définition et calcul de l intégrale

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Brevet Amérique du sud novembre 2011

Brevet Amérique du sud novembre 2011 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 POINTS) Exercice 1 Cet exercice est un exercice à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera 1 point. L absence

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

Chapitre 1 Cinématique du point matériel Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées. CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Strasbourg pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Strasbourg pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Strasbourg pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté,

Plus en détail

Le planimètre polaire

Le planimètre polaire Le planimètre polaire Document d accompagnement des transparents. Bruno eischer Introduction Dans mon exposé à La Rochelle, ou au séminaire de l IREM de Besançon, j ai volontairement consacré une longue

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Calcul différentiel et intégral

Calcul différentiel et intégral Chapitre 27. Calcul différentiel et intégral 27 Limites... 27 2 Limite en un point fini... 27 2 Limite à droite ou à gauche... 27 2 Limite à l infini... 27 2 Utilisation de conditions... 27 2 Dérivation...

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Calcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3

Calcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3 Université de la Méditerranée Faculté des Sciences de Luminy Licence de Mathématiques, Semestre 5, année 2008-2009 Calcul Différentiel Support du cours de Glenn Merlet 1, version du 6 octobre 2008. Remarques

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné : Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables UNIVERSITÉ DE POITIERS Parcours Renforcé Première Année 2009/2010 Paul Broussous Fonctions de plusieurs variables Seconde version corrigée Table des matières 1. Un peu de topologie. 1.1. Distance euclidienne,

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances ARITHMETIQUE 1 C B A Numération Ecrire en lettres et en chiffres Poser des questions fermées autour d un document simple (message, consigne, planning ) Connaître le système décimal Déterminer la position

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

MESURE ET PRECISION. Il est clair que si le voltmètre mesure bien la tension U aux bornes de R, l ampèremètre, lui, mesure. R mes. mes. .

MESURE ET PRECISION. Il est clair que si le voltmètre mesure bien la tension U aux bornes de R, l ampèremètre, lui, mesure. R mes. mes. . MESURE ET PRECISIO La détermination de la valeur d une grandeur G à partir des mesures expérimentales de grandeurs a et b dont elle dépend n a vraiment de sens que si elle est accompagnée de la précision

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL

BACCALAUREAT GENERAL ACCALAUREAT GENERAL Session 2009 MATHÉMATIQUES - Série ES - Enseignement de Spécialité Liban EXERCICE 1 1) 2) C 3) C 4) A Explication 1. Chacun des logarithmes existe si et seulement si x > 4 et x > 2

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2 CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en

Plus en détail

Initiation à la Mécanique des Fluides. Mr. Zoubir HAMIDI

Initiation à la Mécanique des Fluides. Mr. Zoubir HAMIDI Initiation à la Mécanique des Fluides Mr. Zoubir HAMIDI Chapitre I : Introduction à la mécanique des fluides 1 Introduction La mécanique des fluides(mdf) a pour objet l étude du comportement des fluides

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Activités numériques [13 Points]

Activités numériques [13 Points] N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible

Plus en détail

Principes de la Mécanique

Principes de la Mécanique Chapitre 1 Principes de la Mécanique L expérience a montré que tous les phénomènes observés dans la nature obéissent à des lois bien déterminées. Ces lois peuvent être, en plus, déterministes ou indéterministes.

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

Exercices et corrigés Mathématique générale Version β

Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Université libre de Bruxelles Années académiques 2008-2050 Université catholique de Louvain Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Laurent Claessens Nicolas Richard Dernière modification

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe

Plus en détail