C1 : Fonctions de plusieurs variables

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "C1 : Fonctions de plusieurs variables"

Transcription

1 1er semestre 2012/13 CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques Les notes suivantes, disponibles à l adresse contiennent les définitions et les résultats principaux du cours compléments d Analyse 3 ainsi que quelques exercices concernant ces compléments. Le résumé du cours principal Analyse 3 est disponible dans un fichier séparé à la même adresse. Nous citons le théorème x.y du résumé de ce cours sous la forme [Cours, théorème x.y], etc. Les compléments seront numérotés C1 (= Complément 1), C2,... C1 : Fonctions de plusieurs variables Dans la vie réelle en mathématiques (et dans les applications, comme la physique), il est important de développer l analyse non seulement pour les fonctions d une variable, mais pour des fonctions de plusieurs variables : C1.1. Vocabulaire général. En mathématiques, la notion d application f : U M, d un ensemble U dans un autre ensemble M, est fondamentale. Quand U est une partie de R n et M = R m, avec n, m 1, nous parlons aussi d une fonction de plusieurs variables (réelles). Le nombre de variables est alors n, et m est le nombre de composantes de f dans l écriture sous la forme L application f(x) = f(x 1,..., x n ) = ( f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n ) ). f i : U R, x f i (x) s appelle la i-ième composante de f. Outre le cas réel, le cas des variables complexes est également très important : dans ce cours, nous écrivons souvent K = R ou C. L analyse de telles fonctions (pour K = R) sera traitée de façon plus approfondie dans le cours Analyse 2 - fonctions de plusieurs variables, enseignée en CPU en S4, après le cours Analyse 3. Cependant, il faut s habituer le plus rapidement à placer l analyse dans le cadre de plusieurs variables ; dans les compléments, nous allons développer ce point de vue un peu plus loin que dans le cours principal. Commençons par une typologie des applications : présentations des types principaux, sous des aspects géométriques, analytiques, algébriques. C1.2. Typologie géométrique. Soit f : R n U R m. (a) Si n = 1, f est une courbe paramétrée (alors U est le plus souvent un intervalle). Noter qu il s agit ici encore d une function d une variable ; cette variable est souvent notée t, et interprétée comme le temps : f(t) décrit alors le mouvement d une particule dans R m en fonction du temps t. 1

2 (b) Si m = 1, on parle d une fonction scalaire. On peut imaginer le graphe de f comme un relief montagneux : le scalaire f(x) donne la hauteur de la surface terrestre au point x (ou profondeur sous la surface de la mer...). En cartographie (cas n = 2), on représente un tel relief, par exemple, en indiquant les lignes de niveau constant, ou par des couleurs variées. En physique, une fonction scalaire représente souvent un potentiel. (c) Le cas n = m. C est le cas le plus riche et le plus compliqué. Selon le contexte, f peut avoir différentes interprétations (nous en reparlerons plus tard) : f peut représenter une transformation géométrique (de l espace R n ), par exemple, une rotation, une translation... f peut représenter un champ de vecteurs, i.e., f attache à chaque point x une flèche (la flèche donnée par le vecteur de 0 à f(x), transportée au point x). Exemple : l application f(x) = c sera représentée par un champ constant de flèches (à chaque point on attache le vecteur c). C1.3. Typologie analytique. Soit f : U R n R m. Nous distinguons : (a) classe C 0 : f est continue (voir complément C2) (b) classe C 1 : f admet une dérivée continue (voir complément C3) (c) classes C k, k = 2,..., : f est k fois continûment dérivable (voir C3) (d) classe C ω : f est analytique (définition un peu compliqué si n > 1 : pas dans ce cours) (e) algébrique : f est polynomiale ou rationnelle (définition ci-dessous) (f) linéaire : f est une application linéaire (cours de L1) Dans cette typologie, chaque classe est incluse dans la classe précédente. C1.4. Opérations sur les applications. Soient f, g : U R n R m et r R. (a) somme : la fonction f + g : U R m est définie par (f + g)(x) := f(x) + g(x) (b) multiple scalaire : la fonction rf : U R m est définie par (rf)(x) := rf(x) ; avec les operations (a) et (b), l ensemble des applications f : U R m est un espace vectoriel (le vecteur nul est la fonction f = 0, i.e., f(x) = 0 pour tout x U) ; (c) attention : le produit ordinaire f g est définie seulement pour des fonctions scalaires (m = 1) : (fg)(x) = f(x)g(x) ; (d) en physique, on a souvent besoin d autres produits comme le produit vectoriel (alors m = 3) ou le produit scalaire de deux fonctions (nous n en parlerons pas dans ce cours) ; (e) si n = m, et si f(u) U, la composée g f est définie par (g f)(x) = g(f(x)). Si f = g, alors les puissances de f sont f k = f... f (k fois). Rappel : si f et g sont linéaires, ceci correspond au produit (resp. puissance) de matrices. Nous verrons plus tard que ces opérations sont compatibles avec les types analytiques (e.g., la somme de deux fonctions de classe C k est encore C k, etc.). C1.5. Les applications polynomiales. Un polynôme est une somme finie de monômes. Plus exactement : soit K un corps ; pour x K n et α N n (un multi-index), on définit le monôme x α := x α 1 1 x αn n 2

3 son degré est par définition α := n i=1 α i. Une fonction polynomiale homogène de degré j est une fonction de la forme p : K n K, p(x) = α N n, α =j a α x α, avec des constantes a α K. Une fonction polynomiale p : K n K est une somme p = p p k, où chaque partie p j est une fonction polynomiale homogène de degré j. Le degré de p est alors deg(p) := max{j : p j 0}. Noter que le terme correspondant à j = 0 est juste une constante, celui correspondant à j = 1 est une forme linéaire, et celui correspondant à j = 2 une forme quadratique (cf. exercice C1. ). Une application polynomiale f : K n K m est une application telle que chaque composante f i : K n K est une fonction polynomiale. C1.6. Les applications rationnelles. Une application rationnelle est une application de la forme f : K n U K m, f(x) = p(x) q(x), où p : K n K m est une application polynomiale, q : K m K est polynomiale et non identiquement nulle, i.e., U := {x K n q(x) 0} n est pas vide. Exercices pour le complément 1 1. Dessins. Représenter graphiquement les fonctions f : R 2 R suivantes : (a) f(x, y) = x 2 + y 2 (b) f(x, y) = x 2 y 2 (c) f(x, y) = y 2 (d) f(x, y) = xy (e) f(x, y) = x 3 3xy 2 (f) f(x, y) = e x cos(y) (g) f(x, y) = x2 y si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0 x 4 +y 4 (h) f(x, y) = x2 +y 2 si x 0 et f(0, y) = 0 x 2. Applications définies sur les espaces de matrices. Montrer que l espace M(2, 2; K) des matrices carrées s identifie à K 4. En utilisant cette identification, montrer : (a) la fonction det : M(2, 2, ; K) K, X det(x) est polynomiale ; (b) l application X X 1 est rationnelle. Quel est son domaine de définition? (c) l application X X k avec k N est homogène polynomiale. Quel est son degré? (d) Généraliser au cas de M(n, n; K). 3. Dimension des espaces de polynômes. Soit K = R, C ou Q. (i) Combien de monômes sur K 2 y a-t-il de degré 0, 1, 2, 3,...? (ii) Montrer que les monômes sont linéairement indépendants dans l espace vectoriel des fonctions K 2 K. (Rappeller d abord comment montrer que les fonctions R R, 3

4 x x k sont linéairement indépendants.) Conclure : Quelle est la dimension de l espace des fonctions polynomiales R 2 R de degré au plus d? (iii) Mêmes questions pour K 3 (iv) Facultatif: mêmes questions pour K 4 4. Applications et formes quadratiques. (i) Quelle est la dimension de l espace des fonctions polynomiales homogènes K n K m de degré d = 0, 1, 2? (Commencer par m = 1.) (ii) en degré d = 1 et avec m = 1 : montrer que toute telle application s écrit f(x) = n i=1 a ix i, ou encore f(x) = Ax (matrice ligne A matrice colonne x) (iii) en degré d = 2 et avec m = 1 : montrer que toute telle application s écrit f(x) = n i,j=1 b ijx i x j, ou encore f(x) = x t Bx, avec une matrice carrée symétrique B. En déduire que toute fonction polynomiale quadratique f : K n K s écrit f(x) = x t Bx + Ax + c, B Sym(n, K), A M(1, n; K), c K. Problème. On veut introduire dans K n une nouvelle origine et un nouveau système de coordonnées tels que l expression de f devient aussi simple que possible. Quelles sont alors les formes les plus simples possibles? (prendre K = C ou K = R.) 5. Application homogènes. Définition. Une application f : K n U K m est dite homogène de degré k, où k Z, si, pour tout x U et r K, on a rx U et alors f(rx) = r k f(x). (i) Montrer: si f est polynomiale homogène de degré j au sens de C1.4, alors f est homogène (de même degré) au sens de la définition prédente. (ii) Soit k = 1 et K = R. Construire une application homogène de degré 1 qui n est pas linéaire. (Facultatif : montrer qu il en existe une famille libre infinie.) (iii) Soit x, y un produit scalaire sur R n. Montrer que q : R n R, x x, x est polynomiale homogène, et que f : x x x, x est homogène rationnelle sur R n. Quel est son degré et son domaine de définition? Calculer les puissances f k pour k Z. Donner une représentation graphique ou géométrique de f pour n = R 2 versus C. On identifie C avec le plan R 2. Montrer que tout C-polynôme p : C C est aussi une application R-polynomiale R 2 R 2. (Commencer par calculer (x + iy) k.) Parmi les applications R-polynomiales p : R 2 R 2 de degré k, caractériser celles qui sont obtenues de cette façon. Montrer qu elles forment un R-sous-espace vectoriel de dimension deux. 7. Approche intrinsèque (exercice facultatif). Soit V un espace vectoriel de dimension n et W un espace vectoriel de dimension m. Rappeler la définition d une application linéaire α : V W et celle d une application bilinéaire β : V V W. (i) Identifions, en fixant des bases dans V et dans W, V avec K n et W avec K m. Montrer que, pour une application f : V W, les assertions suivantes sont équivalentes : 4

5 f est linéaire ; aprés identification V = K n, W = K m, f est polynomiale homogène de degré 1. Noter que la première condition ne fait pas appel à des bases de V et de W : on dit qu elle est intrinsèque. (ii) Caractériser de façon intrinsèque les applications polynomiales de degré 0. (iii) Essayer de caractériser de façon intrinsèque les applications polynomiales homogènes de degré 2. C2 : Topologie de R n et continuité Le but de ce chapitre est de définir de façon rigoureuse la notion d application continue de plusieurs variables, et de montrer que les applications polynomiales et rationnelles sur R n sont continues. Dans ce but, il faut étudier quelques notions topologiques fondamentales: (A) distances, normes et boules ; (B) suites convergentes ; (C) parties ouvertes ; (D) fonctions et applications continues. C2.1. Définition (distance et norme euclidiennes). Soient x, y R n. La distance euclidienne entre x et y est définie par la formule de Pythagore d eu (x, y) := n (x i y i ) 2. La distance de x à l origine 0 s appelle la norme euclidienne, notée x eu := d eu (x, 0) = n x 2 i, de sorte qu on a d eu (x, y) = x y eu. La boule ouverte de centre x et de rayon r est B r,eu (x) := {y R n d eu (x, y) < r} = {y R n n (x i y i ) 2 < r}. C2.2. Définition (distance et norme sup). Soient x, y R n. La distance sup entre x et y est définie par d (x, y) = max i=1,...,n x i y i. La distance de x à l origine 0 s appelle la norme sup, notée i=1 i=1 x := d (x, 0) = max i x i, de sorte qu on a d (x, y) = x y. Le cube ouvert de centre x et de rayon r est B r, (x) := {y R n d (x, y) < r} = {y R n i = 1,..., n : x i y i < r}. C2.3. Remarque. Voici quelques propriétés évidentes que satisfont ces deux normes, resp. distances : pour d = d eu ou d = d et = eu ou =, 5 i=1

6 (N1) (positivité) x 0, et x = 0 ssi x = 0 ; (N2) (homogénité) pour tout r R, rx = r x ; (D1) (positivité) d(x, y) 0, et d(x, y) = 0 ssi x = y ; (D2) (symétrie) d(x, y) = d(y, x). Nous discutons plus tard (exercice 1) une autre propriété importante. C2.4. Lemme. Pour tout z R n, on a z eu n z n z eu, i.e., n zi 2 n n max z i n zi 2. i i=1 Géométriquement, le lemme signifie qu on peut emboîter des cubes dans des boules, et réciproquement (faire un dessin pour n = 2!). C2.5. Définition. Une suite dans R n est notée (x (k) ) k N, où i=1 x (k) = ( x (k) ) 1,..., x (k) n R n. Chaque composante (x (k) i ) k N, pour i = 1,..., n fixé, est une suite numérique ordinaire. C2.6. Lemme. Pour une suite (x (k) ) k N de R n sont équivalents : (i) il existe x R n tel que lim k d eu (x (k), x) = 0 ; (ii) il existe x R n tel que lim k d (x (k), x) = 0 ; (iii) il existe x R n tel que, pour tout i = 1,..., n : la suite numérique (x (k) i ) k N converge au sens usuel, pour k, vers le nombre réel x i. C2.7. Définition. On dit que la suite (x (k) ) k N converge dans R n s il existe x R n vérifiant les propriétés du lemme ; alors on écrit x = lim x (k). k Le lemme permet, d une part, de reconnaître facilement des suites convergentes dans R n, et, d autre part, de démontrer, composante par composante, quelques résultats standards, similaires aux propriétés usuelles pour les suites : C2.8. Corollaire. La somme de deux suites convergentes x (k) et y (k) est convergente, et sa limite est la somme des deux limites ; un multiple rx (k) d une suite convergente vers x est convergente, avec limite rx. Les ouverts. Parmi les parties U de R n, les parties épaisses ou ouvertes jouent un rôle fondamental en topologie. C2.9. Lemme. Pour une partie U de R n sont équivalents : (i) pour tout x U, il existe ε > 0 tel que B ε,eu (x) U ; (ii) pour tout x U, il existe ε > 0 tel que B ε, (x) U ; 6

7 (iii) pour tout x U on a : pour toute suite x (k) U qui converge vers x pour k, il existe un rang N N tel que, pour tout k N, on a x (k) U. C2.10. Définition. Une partie U R m est dite ouverte si elle satisfait les propriétés du lemme. (Voir exercice 3 pour des exemples.) Applications continues. Une application f : U R m, définie sur une partie U de R n, est continue, si un petit changement d argument induit un petit changement de valeur ( petite cause, petit effet ), ou autrement dit, si elle n a pas de sauts : C2.11. Lemme. Pour une application f : R m U R n et x U sont équivalents : (i) pour tout ε > 0, il existe δ > 0 de sorte que pour tout y U : d eu (x, y) < δ d eu (f(x), f(y)) < ε ; (ii) pour tout ε > 0, il existe δ > 0 de sorte que pour tout y U : d (x, y) < δ d (f(x), f(y)) < ε ; (iii) pour toute suite x (k) U qui converge vers x pour k, la suite f(x (k) ) converge dans R m vers f(x) : f ( lim x (k)) = lim f(x (k) ) k k C2.12. Définition. Soit f : R n U R m une application, et soit x U. On dit que f est continue au point x si les conditions du lemme sont vérifiées, et on dit que f est continue (sur U) si f est continue en tout point x U. C2.13. Exemples. Les fonctions constantes sont continues ; les projections ( fonctions coordonnées ) pr i : R n R, x x i sont continues. C2.14. Théorème. Pour une application f : R n U R m sont équivalents : (i) f est continue au point x (resp. sur U) ; (ii) i = 1,..., m : la fonction f i : U R est continue au point x (resp. sur U). Ce théorème permet donc de se ramener au cas des fonctions scalaires (m = 1). Attention: on ne peut pas se ramener aussi facilement au cas n = 1 (cf. exercice 4 (2)). Dans ce sens, le cas des fonctions scalaires est le cas le plus important. C2.15. Théorème. (1) Sommes et multiples d applications continues sont continues, et la fonction f = 0 est continue ; ainsi l ensemble C(U, R m ) des applications continues f : U R m est un espace vectoriel. (2) La composée g f : U R k de deux applications continues g : U R k et f : U U R m est continue. (3) (pour m = 1 :) Le produit f g (définie par (f g)(x) := f(x) g(x)) de deux fonctions scalaires continues f, g : U R est continue. 7

8 C2.16. Théorème. (i) Toute application linéaire f : R n R m est continue. (ii) Toute application polynomiale f : R n R m est continue. (iii) Toute application rationnelle f(x) = p(x) q(x) de Rn dans R m est continue (sur son domaine de définition U = {x R n q(x) 0}). Exercices pour le complément 2 1. Normes. Soit V un espace vectoriel sur R. Une norme sur V est une application V R, x x vérifiant les propriétés (N1) et (N2) de la remarque C2.3, et (N3) (inégalité triangulaire) pour tout x, y V, x + y x + y. (1) Montrer que la norme sup est une norme sur R n. (2) Montrer que la norme euclidienne est une norme sur R n. (On pourra commencer par le cas n = 2.) (3) En déduire pour d(x, y) := d eu (x, y) ou d(x, y) := d (x, y) l inégalité triangulaire : d(x, z) d(x, y) + d(y, z). 2. Convexité. Une partie S R n est dite convexe si, pour tout x, y S, le segment [x, y] = {tx + (1 t)y t [0, 1]} appartient entièrement à S. (0) Faire le dessin de quelques parties convexes de R n. (1) Montrer que les boules B r, (x) avec x R n et r > 0 sont convexes. (2) Montrer que les boules B r,eu (x) avec x R n et r > 0 sont convexes. 3. Parties ouvertes. Montrer que les parties U suivantes de R n sont ouvertes : (1) n = 1, et U un intervalle ouvert de R ; (2) les cubes (= boules sup) B r, (y) dans R n ; (3) les boules euclidiennes B r,eu (y) dans R n ; (4) les demi-espaces {x R n x i > 0} pour i {1,..., n} ; (5) montrer que l intersection et la réunion de deux parties ouvertes sont ouvertes ; (6) montrer que la réunion d un nombre quelconque d ouverts est encore ouverte ; (7) montrer : U n =] 1/n, 1/n[ est ouvert dans R pour tout n, mais n N U n ne l est pas. 4. Continuité. (1) Parmi les applications f : R 2 R de l exercice 1 de C1, lesquelles sont continues? Indication : montrer que l application du point (g) n est pas continue en (0, 0) ; pour le montrer, choisir une suite de la forme x (n) = (u n, v n ) qui tend vers (0, 0), et tel que f(u n, v n ) ne tend pas vers 0. 8

9 (2) Soit f : R 2 R comme dans C1, exercice 1, partie (g). Montrer que les applications partielles R R, x f(x, y) pour y fixé sont toutes continues sur R, et idem pour y f(x, y) pour x fixé ; mais f n est pas continue sur R 2. (3) Soit f : R 2 R comme dans C1, exercice 1, partie (h). Montrer que les applications radiales R R, t f(tx, ty) pour (x, y) R 2 fixé, sont toutes continues ; mais f n est pas continue sur R Le cas complexe. Montrer qu il existe une identification naturelle entre C n et R 2n, et que sous cette identification la norme euclidienne correspond à z := n i=1 z iz i. Montrer que la norme z := max i z i est équivalente à la précédente (au sens du lemme C2.4) ; est-ce qu elle correspond exactement à la norme sup dans R 2n? Formuler des notions de convergence de suites et de continuité dans C n, et dire lesquels parmi les résultats précédents restent valables dans ce cadre. 6. Approche intrinsèque (exercice facultatif). Soit V un R-espace vectoriel de dimension finie n. En fixant une base on peut identifier V avec R n, ainsi les notions de suite convergente, de partie ouverte et de continuité sont définies. Pour que ces notions soient vraiment intrinsèques, il faut voir qu elles ne dépendend pas du choix de la base. (0) Exemple calculatoire. Fixons la base b 1 = (1, 0), b 2 = (1, 1) dans le plan E et identifions E avec R 2 par la bijection R 2 E, (x, y) xb 1 + yb 2. Identifions également les boules B r, (x), resp. B r,eu (x), avec leur image par cette bijection. Dessiner les images dans E de B 1, (0) et de B 1,eu (0). Quelles figures géométriques sont représentées par ces images? Montrer qu on peut emboiter ces figures dans les boules usuelles (par rapport à la base canonique), dans le sens du lemme C2.4. (1) Soit A GL(n, R) (i.e., une matrice inversible). Montrer que l application f : R n R n, x Ax est un homéomorphisme (i.e., bijective, continue, et l inverse f 1 est aussi continue). (2) Conclure que les notions de suite convergente et de continuité sur V ne dépendent pas de la base choisie (bien que la distance et la forme des boules en dépendent). C3 : Exponentielle matricielle et équations différentielles ordinaires Les exponentielles usuelles t ce at sont les solutions de l équation différentielle f = af (a R) avec condition initiale f(0) = c. En plusieurs dimensions, cette équation est remplacée par un système d équations différentielles ordinaires. D abord, quelques définitions de base concernant les courbes : C3.1. Définition. Une courbe [continue] dans V = R n est une application [continue] α : I V, où I R est un intervalle. C3.2. Lemme. Pour une courbe α : I V = R n sont équivalentes : (i) pout tout t I, la limite α (t) := α(t+h) α(t) lim existe dans V ; h 0,h 0 h (ii) chaque composante α i := pr i α : I R est différentiable au sens usuel. On a alors α (t) = ( α 1(t),..., α n(t) ). 9

10 C3.3. Définition. Une courbe α : I V est dite différentiable (de classe C 1 ) si elle satisfait la condition du lemme et si la courbe dérivée α : I V est continue. Si α est de classe C 1, la courbe α est dite de classe C 2, et on pose α = (α ), etc. (Interpétation cinématique: t α(t) est une trajectoire ; t est la variable de temps, α (t) le vecteur-vitesse et α (t) est le vecteur-accélération.) Exemple : α(t) = ( cos(t), sin(t) ) est une courbe de classe C dans R 2. Faire un dessin de la trajectoire, calculer et dessiner les vecteurs vitesse et accélération. Cet exemple est un cas particulier du résultat suivant, qui utilise l exponentielle matricielle, définie dans le cours, thm. 4.9, voir aussi cours, thm C3.4. Théorème. Soit A M(m, m; R) une matrice carrée, et soit v R m. (i) La courbe α : R M(m, m; R), t e ta est différentiable, et on a α (t) = A α(t) (produit de matrices), et α(0) = 1 m. La matrice e ta est inversible pour tout t, et s, t R : α(t + s) = α(t)α(s), (α(t)) 1 = α( t). (ii) La courbe γ v : R R m, t e ta v est différentiable, et γ v(t) = A γ(t) (produit matrice vecteur) et γ v (0) = v. De plus, pour tout t, s R, γ v (t + s) = γ γv(t)(s). L interprétation générale de ce résultat est en termes de courbes intégrales de champs de vecteurs : C3.5. Définition. Soit U V = R n une partie non-vide. Un champ de vecteurs sur U est une application X : U V. Visualisation : on accroche à chaque point u U un vecteur direction (une flêche) d origine u et de direction X(u). C3.6. Définition. Une courbe intégrale d un champ de vecteurs X : U V est une courbe de classe C 1, α : I V, qui suit le champ dans le sens que α I : α (t) = X ( α(t) ). (EDO) Noter que, en utilisant les composantes α i : I R, (EDO) s ćrit i = 1,..., n : α i(t) = X i ( α1 (t),..., α n (t) ). C est un système d équations différentielles ordinaires. C3.7. Problème. Si X est un champ de vecteurs, est-ce que des courbes intégrales existent? Autrement dit, est-ce que le système (EDO) admit des solutions α i, et si oui, sont-elles uniques? Sous certaines conditions sur X, la réponse est positive ( cours de L3 : théorème de Cauchy-Lipschitz). C3.8. Remarque. On peut résumer le théorème C3.4 en disant que tout champ linéaire de vecteurs (i.e., X : v X(v) est une application linéaire, donnée par X(v) = Av), 10

11 admet des courbes intégrales γ v : I V, avec condition initiale γ v (0) = 0, telles que l intervalle de définition I soit R tout entier. On verra (exercice 1) qu il en est de même pour les champs constants. Plus généralement, en théorie des équations différentielles ordinaires, on considère des champs lisses quelconques X : U V (définis sur une partie ouverte U de V ). Le théorème général de Cauchy-Lipschitz affirme alors que des courbes intégrales existent et sont uniques, mais en général le plus grand intervalle de définition I est plus petit que R. L étude plus détaillée de l ensemble de ces courbes intégrales fait partie de la théorie des EDO et, plus globalement, de la théorie des systèmes dynamiques. Le cas linéaire y joue un rôle important : il sert, localement, comme première approximation du cas général. Exercices pour le complément C3 1. Les champs constants. Soit v V = R n et X(x) = v (champ constant). Calculer et dessiner ses courbes intégrales : résoudre le système (EDO). Montrer que, pour tout u V, il existe une uniqe courbe intégrale γ u telle que γ u (0) = u. Étudier, pour t R fixé, l application φ t : V V, u γ u (t) : quelle est sa nature géométrique? Montrer que, pour t, s R, φ t φ s = φ t+s. 2. Champ défini par une fonction. Soit f : R R une fonction continue. (Exemple: f(x) = x 2.) Dessiner le champ X(x 1, x 2 ) := (1, f(x 1 )) et montrer que le système (EDO) admet une solution. Dessiner quelques courbes intégrales. Soit f : R 2 R une fonction. (Exemple: f(x, y) = x 2 + y 2.) Dessiner le champ X(x 1, x 2 ) := (1, f(x 1, x 2 )). Esquisser graphiquement l allure de quelques courbes intégrales (sans calcul). 3. Orbites (image d une courbe intégrale). Fixons une matrice carrée A. Pour tout vecteur v V = R n, notons O v := {e ta v t R} l orbite de v (= l image de la courbe intégrale γ v ). Montrer que, pour v, w V, seulement les deux cas suivants sont possibles: a) soit, O v = O w ; b) soit, O v O w =. Autrement dit, les orbites O v pour v V forment une partition de V. 4. Calcul d exponentielle : exemples et dessins. Pour les matrices A suivantes, calculer e ta (ici, a > b > 0) : ( ) ( ) ( ) ( ) a 0 a 0,,,, a 0 a 0 b ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 a a b,,, a 1 0 b a Pour chacune de ces matrices : dessiner le champ de vecteurs R 2 R 2, u Au ainsi que quelques courbes intégrales. 5. Exponentielle et changement de base. (1) Soit A une matrice carrée et T une matrice inversible. En utilisant la série exponentielle, montrer que e T AT 1 = T e A T 1. ( ) 0 1 (2) Soit A =. Calculer e 1 0 ta. (Indication : deux stratégies possibles calcul direct en calculant A 2, A 3,..., ou bien trouver une matrice de passage T telle que A = T AT 1 soit une matrice diagonale.) Tracer les courbes γ v (t) comme dans l exercice précédent. 11

12 (3) Résoudre le système différentiel f (t) = f(t) + 2g(t) } g (t) = 2f(t) + 3g(t) 6. EDO linéaires à coefficients constants. On cherche à résoudre l équation différentielle f (n) = a 0 f + a 1 f a n 1 f (n 1) (où a i R). Montrer que, en posant f 1 := f, f 2 := f 1, etc., ce système est équivalent à n équations de degré 1, qu on écrira sous forme matricielle. Pour résoudre cette équation, on peut chercher des solutions de la forme e λx. Trouver une condition nécessaire pour le scalaire λ. Exemple : résoudre f 6f + 11f 6f = 0. Parfois, il existe aussi des solutions de la forme xe λx. Exemple : résoudre f 2f + f = 0 Distinguer aussi des solutions réelles et complexes. Exemple : résoudre 2f 5f + 6f 2f = 0 7. Lien entre matrices orthogonales et matrices antisymétriques. Montrer que, pour toute matrice A, on a (e A ) t = e At où A t est la matrice transposée. En déduire : (a) si A est symétrique (A t = A), alors e A l est aussi ; (b) si A est antisymétrique (A t = A), alors B = e A est une matrice orthogonale (i.e., B t = B 1 ). C4 : Brève introduction aux équations différentielles aux dérivées partielles Les EDO concernent des fonctions d une variable réelle, et les équations différentielles aux dérivées partielles (EDP) concernent des fonctions de plusieurs variables : f = f(x 1,..., f n ). C est un très vaste sujet, et nous donnons ici seulement quelques notions de base pour permettre au lecteur de commencer à se faire une idée de la nature mathématique de ces questions. Les EDP les plus importantes proviennent de la physique. Nous supposons que le lecteur a déjà utilisé de façon naïve des dérivées partielles : par exemple, pour une fonction f(t, x, y), on les note t f, x f, y f, et 2 xf = x ( x f) pour une dérivée partielle seconde, ou aussi parfois f t, f x, f y, resp. f xx, etc. Voici une liste de quelques EDP fondamentales : 12

13 Exemple 1 : l équation de la chaleur. La distribution de la chaleur sur un bâton (coordonnée x) au temps t obéit à l équation de la chaleur (où C > 0 est une constante) (EqCh1) t f(x, t) = C 2 xf(x, t). Si, au lieu d un bâton (une dimension) on prend une plaque (deux dimensions ; coordonnées x, y), cette équation devient (EqCh2) t f(x, y, t) = C ( 2 xf(x, y, t) + 2 yf(x, y, t) ) ou encore pour un corps en trois dimensions spatiales (EqCh3) t f(x, y, z, t) = C ( 2 xf(x, y, z, t) + 2 yf(x, y, z, t) + 2 zf(x, y, z, t) ). Pour que la solution soit bien déterminée, il faut préscrire une distribution de température au temps t = 0 : f(x, 0) = h(x), resp. f(x, y, 0) = h(x, y), avec h une fonction donnée (condition initiale). Si les bouts du bâton (de coordonnées x = 0 et x = l > 0) sont maintenus à température donnée, on a une condition de bord supplémentaire, comme par exemple f(0, t) = 0, f(l, t) = 0 ( bouts frigofiées ). Exemple 2 : l équation des ondes, resp. de la corde vibrante. C est l EDP (EqOn1) 2 t f(x, t) = C 2 xf(x, t), avec une constante C > 0, qui décrit la vibration d une corde (coordonnée x) en fonction du temps t, resp. d une membrane (coordonnées x, y), resp. des phénomènes d onde (coordonnées x, y, z) : (EqOn2) 2 t f(x, y, z, t) = C ( 2 xf(x, y, z, t) + 2 yf(x, y, z, t) + 2 zf(x, y, z, t) ). Comme dans l exemple précédent, la physique motive d imposer des conditions initiales et des conditions de bord. Exemple 3 : l équation du potentiel. Pour une fonction de trois variables f(x, y, z), c est l équation (EqPot) 2 xf(x, y, z) + 2 yf(x, y, z) + 2 zf(x, y, z) = 0. On l abrègre souvent sous la forme f = 0, et une fonction telle que f = 0, est dite harmonique. Exemple 4 : l équation de transport. C est l EDP, avec une fonction d une variable réelle v(x), (EqTrp) v(x) x f(x, t) + t f(x, t) = 0. Exemple 5 : les équations de Cauchy-Riemann. C est un système de deux EDP pour une fonction R 2 R 2, (x, y) (f(x, y), g(x, y)) : (EqsCR) y f(x, y) = x g(x, y), x f(x, y) = y g(x, y). 13

14 Calcul différentiel dans R n Nous donnons les définitions et les faits fondamentaux concernant les dérivées partielles, puis proposons l étude de quelques propriétés des exemples précédentes sous forme d exercice. On abrègre V := R n, et soit toujours f : U R m définie sur une partie ouverte non-vide U V. Pour étudier f près d un point x U, on s intéresse au taux de variation dans une direction v V. Si v est l un des vecteurs e 1,..., e n de la base canonique, cela donne les dérivées partielles usuelles, mais il n y a aucune raison de se restreindre aux directions parallèles aux axes : C4.1. Définition. Soit x U et v V. La dérivée directionnelle d une fonction f : V U R m en direction de v, et au point x U, est la limite, si elle existe, v f(x) = d f(x + tv) f(x) f(x + tv) = lim. dt t=0 t 0 t (C est le taux de variation de f au point x en direction de v.) On dit que f est de classe C 1 si, pour tout v V et tout x U, la limite v f(x) existe et si pour tout v la fonction v f : U R m, x v f(x) est continue. La dérivée partielle de f par rapport à la i-ième variable est la dérivée directionnelle en direction du vecteur e i de la base canonique ; on a les notations suivantes f (x) := i f(x) := ei f(x) = d f(x + te i ). x i dt t=0 On la calcule en gélant les variables x j pour j i et en dérivant ensuite par rapport à x i de la façon usuelle. Si n = 3, et si les variables s appellent, par exemple, (x, y, t), on écrit aussi x f ou 1 f ou f x pour la dérivée partielle par rapport à la première variable (x ici), etc. Remarque. On se ramène facilement au cas m = 1 car les limites se calculent composante par composante (Lemme C2.6) ; ainsi si f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)), alors i f(x) = ( i f 1 (x),..., i f m (x) ). C4.2. Lemme. Si f et g sont de classe C 1, alors f + g et λf (pour λ R) le sont aussi, et on a les règles de calcul v (f + g) = v f + v g, v (λf) = λ v f. Si m = 1, le produit f g est aussi C 1, et on a la règle de Leibniz v (f g) = g v f + f v g. C4.3. Théorème. Pour une application f : U R m sont équivalents : (i) f est de classe C 1 ; (ii) pour i = 1,..., n, les dérivées partielles i f existent sur U et y sont continues. 14

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 Voici une fiche contenant 100 exercices de difficulté raisonable, plutôt techniques, qui recouvrent l ensemble du programme étudié cette année. A raison

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

M42. Compléments d analyse (résumé).

M42. Compléments d analyse (résumé). Université d Evry-Val-d Essonne. Année 2008-09 D. Feyel M42. Compléments d analyse (résumé). Table. I. Rappels sur les suites. Limites supérieure et inférieure. II. Topologie élémentaire. III. Fonctions

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1. Soit f : A B une application. Prouver que (a) A f 1 fa pour tout A A, avec égalité si f est injective; (b) ff 1 B B pour tout B B, avec égalité si f est surjective; Preuve.

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction

L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction (0.1) Ce cours s articule autour du calcul différentiel et, en particulier, son application au

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme

Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Cahier de vacances Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Votre année de PCSI a été bien remplie et il est peu probable que l année de PC qui arrive vous paraisse plus facile. C est pourquoi, je vous

Plus en détail

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries Chapitre 4 Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries I. Adjoint : Cas général d une forme { bilinéaire symétrique sesquilinéaire hermitienne On suppose dans tout I que E est un espace vectoriel de

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Équations aux Dérivées Partielles. Pedro Ferreira et Sylvie Mas-Gallic

Équations aux Dérivées Partielles. Pedro Ferreira et Sylvie Mas-Gallic Équations aux Dérivées Partielles Pedro Ferreira et Sylvie Mas-Gallic 11 décembre 21 Table des matières 1 Introduction 3 1.1 Exemple d une équation aux dérivées partielles........... 3 1.2 Rappels sur

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

1 Fonctions de plusieurs variables

1 Fonctions de plusieurs variables Université de Paris X Nanterre U.F.R. Segmi Année 006-007 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II. Chapitre 1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscré aux fonctions

Plus en détail

Formulaire de maths - Analyse dans R n

Formulaire de maths - Analyse dans R n Formulaire de maths - Analyse dans R n Nom Théorème ou formule Espaces vectoriels normés Norme sur E Application qui vérifie les propriétés de : séparation : homogénéité : inégalité triangulaire : Normes

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Introduction générale

Introduction générale Chapitre 1 Introduction générale Ce chapitre est consacré à une présentation rapide des méthodes numériques qui sont étudiées en détail dans ce cours Nous y donnons une approche très simplifiée des quatre

Plus en détail

Equations différentielles

Equations différentielles Maths PCSI Cours Table des matières Equations différentielles 1 Généralités 2 1.1 Solution d une équation différentielle................................ 2 1.2 Problème de Cauchy.........................................

Plus en détail

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Université Paris I, Panthéon - Sorbonne Licence M.A.S.S. 203-204 Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Jean-Marc Bardet (Université Paris, SAMM) Email: bardet@univ-paris.fr Page oueb: http://samm.univ-paris.fr/-jean-marc-bardet-

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

1 Espaces vectoriels normés

1 Espaces vectoriels normés Université Paris 7 Denis Diderot Année 2005/2006 Licence 2 MIAS MI4 1 Espaces vectoriels normés 1.1 Définitions Soit E un espace vectoriel sur R. Topologie des espaces vectoriels de dimension finie Définition

Plus en détail

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Frédéric Messine Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier une application de la dérivation des fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

Les séries de Fourier

Les séries de Fourier . Les séries de Fourier Daniel Perrin La raison d être de ce cours est la présence des séries de Fourier au programme de nombreuses sections de BTS (électronique, optique, etc.) et, partant, au programme

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f Université Lyon 1 Algèbre générale S.P. Groupes III I. Groupe symétrique et géométrie. On se donne un ensemble E (souvent un espace euclidien ou une partie de cet espace) et une bijection f : E E (souvent

Plus en détail

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions Cours de Mathématiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 avril 007 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr gilles.costantini

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de première ES ii Table des matières 1 Les pourcentages 1 1.1 Variation en pourcentage............................... 1 1.1.1 Calcul d une variation............................

Plus en détail

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Nom Formule Espaces vectoriels Famille libre On dit que la famille est libre si Famille liée On dit que la famille est liée si Théorème de la base

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTES DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTES DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE ANNEE 2009 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTES DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte : 1 page de garde, 2 pages

Plus en détail

Actions de groupes. Exemples et applications

Actions de groupes. Exemples et applications 4 Actions de groupes. Exemples et applications G, ) est un groupe multiplicatif et on note ou G si nécessaire) l élément neutre. E est un ensemble non vide et S E) est le groupe des permutations de E.

Plus en détail

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F.

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Espaces vectoriels Convention 1. Dans toute la suite, k désignera un corps quelconque. Définition 2.

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Algorithmique et Programmation TD n 9 : Fast Fourier Transform

Algorithmique et Programmation TD n 9 : Fast Fourier Transform Algorithmique et Programmation TD n 9 : Fast Fourier Transform Ecole normale supérieure Département d informatique td-algo@di.ens.fr 2011-2012 1 Petits Rappels Convolution La convolution de deux vecteurs

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Cahier de textes Mathématiques

Cahier de textes Mathématiques Cahier de textes Mathématiques Mercredi 6 janvier : cours 2h Début du chapitre 12 - Convergence de suites réelles : 12.1 Convergence de suites : suites convergentes, limites de suites convergentes, unicité

Plus en détail

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U CHAPITRE V FIBRÉS VECTORIELS 1. Fibrés vectoriels 1. Cartes et atlas vectoriels Soit B une variété différentielle. Considérons un B -ensemble, c est à-dire un ensemble M muni d une application p : M B.

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Tatiana Labopin-Richard Mercredi 18 mars 2015 L algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

Introduction à l Optimisation Numérique

Introduction à l Optimisation Numérique DÉPARTEMENT STPI 3ÈME ANNÉE MIC Introduction à l Optimisation Numérique Frédéric de Gournay & Aude Rondepierre Table des matières Introduction 5 Rappels de topologie dans R n 7 0.1 Ouverts et fermés de

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité?

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité? Université Paris Dauphine DEMIE e année Algèbre linéaire 3 Examen - septembre 01 Le sujet comporte pages. L épreuve dure heures. Les documents, calculatrices et téléphones portables sont interdits. Question

Plus en détail

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : Rappels collège/seconde Partie STAV 1/3 Partie STAV 2/3 Partie STAV

Plus en détail

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2 Première partie I. A. 1. La fonction x px kx 2 = x(p kx) présente un maximum pour toute valeur de p au point d abscisse x = p p2 et il vaut 2k 2k. Conclusion : J(f) =

Plus en détail

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES RAPPELS DE MATHEMATIQUES ORTHOPHONIE Première année 27 28 Dr MF DAURES 1 RAPPELS DE MATHEMATIQUES I - LES FONCTIONS A - Caractéristiques générales des fonctions B - La fonction dérivée C - La fonction

Plus en détail

Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr

Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr Exo Formes quadratiques Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions Systèmes différentiels Cours de YV, L3 Maths, Dauphine, 2012-2013 Plan du cours. Le cours a pour but de répondre aux questions suivantes : - quand une équation différentielle a-t-elle une unique solution

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

Cours de Mathématiques pour la Licence Analyse Complexe. Sylvie Benzoni et Francis Filbet

Cours de Mathématiques pour la Licence Analyse Complexe. Sylvie Benzoni et Francis Filbet Cours de Mathématiques pour la Licence Analyse Complexe Sylvie Benzoni et Francis Filbet 7 mai 27 2 Table des matières 1 Rappels sur les nombres complexes 5 1 Introduction.................................

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Relations binaires sur un ensemble.

Relations binaires sur un ensemble. Math122 Relations binaires sur un ensemble. TABLE DES MATIÈRES Relations binaires sur un ensemble. Relations d équivalence, relation d ordre. Table des matières 0.1 Définition et exemples...................................

Plus en détail