C1 : Fonctions de plusieurs variables

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1 1er semestre 2012/13 CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques Les notes suivantes, disponibles à l adresse contiennent les définitions et les résultats principaux du cours compléments d Analyse 3 ainsi que quelques exercices concernant ces compléments. Le résumé du cours principal Analyse 3 est disponible dans un fichier séparé à la même adresse. Nous citons le théorème x.y du résumé de ce cours sous la forme [Cours, théorème x.y], etc. Les compléments seront numérotés C1 (= Complément 1), C2,... C1 : Fonctions de plusieurs variables Dans la vie réelle en mathématiques (et dans les applications, comme la physique), il est important de développer l analyse non seulement pour les fonctions d une variable, mais pour des fonctions de plusieurs variables : C1.1. Vocabulaire général. En mathématiques, la notion d application f : U M, d un ensemble U dans un autre ensemble M, est fondamentale. Quand U est une partie de R n et M = R m, avec n, m 1, nous parlons aussi d une fonction de plusieurs variables (réelles). Le nombre de variables est alors n, et m est le nombre de composantes de f dans l écriture sous la forme L application f(x) = f(x 1,..., x n ) = ( f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n ) ). f i : U R, x f i (x) s appelle la i-ième composante de f. Outre le cas réel, le cas des variables complexes est également très important : dans ce cours, nous écrivons souvent K = R ou C. L analyse de telles fonctions (pour K = R) sera traitée de façon plus approfondie dans le cours Analyse 2 - fonctions de plusieurs variables, enseignée en CPU en S4, après le cours Analyse 3. Cependant, il faut s habituer le plus rapidement à placer l analyse dans le cadre de plusieurs variables ; dans les compléments, nous allons développer ce point de vue un peu plus loin que dans le cours principal. Commençons par une typologie des applications : présentations des types principaux, sous des aspects géométriques, analytiques, algébriques. C1.2. Typologie géométrique. Soit f : R n U R m. (a) Si n = 1, f est une courbe paramétrée (alors U est le plus souvent un intervalle). Noter qu il s agit ici encore d une function d une variable ; cette variable est souvent notée t, et interprétée comme le temps : f(t) décrit alors le mouvement d une particule dans R m en fonction du temps t. 1

2 (b) Si m = 1, on parle d une fonction scalaire. On peut imaginer le graphe de f comme un relief montagneux : le scalaire f(x) donne la hauteur de la surface terrestre au point x (ou profondeur sous la surface de la mer...). En cartographie (cas n = 2), on représente un tel relief, par exemple, en indiquant les lignes de niveau constant, ou par des couleurs variées. En physique, une fonction scalaire représente souvent un potentiel. (c) Le cas n = m. C est le cas le plus riche et le plus compliqué. Selon le contexte, f peut avoir différentes interprétations (nous en reparlerons plus tard) : f peut représenter une transformation géométrique (de l espace R n ), par exemple, une rotation, une translation... f peut représenter un champ de vecteurs, i.e., f attache à chaque point x une flèche (la flèche donnée par le vecteur de 0 à f(x), transportée au point x). Exemple : l application f(x) = c sera représentée par un champ constant de flèches (à chaque point on attache le vecteur c). C1.3. Typologie analytique. Soit f : U R n R m. Nous distinguons : (a) classe C 0 : f est continue (voir complément C2) (b) classe C 1 : f admet une dérivée continue (voir complément C3) (c) classes C k, k = 2,..., : f est k fois continûment dérivable (voir C3) (d) classe C ω : f est analytique (définition un peu compliqué si n > 1 : pas dans ce cours) (e) algébrique : f est polynomiale ou rationnelle (définition ci-dessous) (f) linéaire : f est une application linéaire (cours de L1) Dans cette typologie, chaque classe est incluse dans la classe précédente. C1.4. Opérations sur les applications. Soient f, g : U R n R m et r R. (a) somme : la fonction f + g : U R m est définie par (f + g)(x) := f(x) + g(x) (b) multiple scalaire : la fonction rf : U R m est définie par (rf)(x) := rf(x) ; avec les operations (a) et (b), l ensemble des applications f : U R m est un espace vectoriel (le vecteur nul est la fonction f = 0, i.e., f(x) = 0 pour tout x U) ; (c) attention : le produit ordinaire f g est définie seulement pour des fonctions scalaires (m = 1) : (fg)(x) = f(x)g(x) ; (d) en physique, on a souvent besoin d autres produits comme le produit vectoriel (alors m = 3) ou le produit scalaire de deux fonctions (nous n en parlerons pas dans ce cours) ; (e) si n = m, et si f(u) U, la composée g f est définie par (g f)(x) = g(f(x)). Si f = g, alors les puissances de f sont f k = f... f (k fois). Rappel : si f et g sont linéaires, ceci correspond au produit (resp. puissance) de matrices. Nous verrons plus tard que ces opérations sont compatibles avec les types analytiques (e.g., la somme de deux fonctions de classe C k est encore C k, etc.). C1.5. Les applications polynomiales. Un polynôme est une somme finie de monômes. Plus exactement : soit K un corps ; pour x K n et α N n (un multi-index), on définit le monôme x α := x α 1 1 x αn n 2

3 son degré est par définition α := n i=1 α i. Une fonction polynomiale homogène de degré j est une fonction de la forme p : K n K, p(x) = α N n, α =j a α x α, avec des constantes a α K. Une fonction polynomiale p : K n K est une somme p = p p k, où chaque partie p j est une fonction polynomiale homogène de degré j. Le degré de p est alors deg(p) := max{j : p j 0}. Noter que le terme correspondant à j = 0 est juste une constante, celui correspondant à j = 1 est une forme linéaire, et celui correspondant à j = 2 une forme quadratique (cf. exercice C1. ). Une application polynomiale f : K n K m est une application telle que chaque composante f i : K n K est une fonction polynomiale. C1.6. Les applications rationnelles. Une application rationnelle est une application de la forme f : K n U K m, f(x) = p(x) q(x), où p : K n K m est une application polynomiale, q : K m K est polynomiale et non identiquement nulle, i.e., U := {x K n q(x) 0} n est pas vide. Exercices pour le complément 1 1. Dessins. Représenter graphiquement les fonctions f : R 2 R suivantes : (a) f(x, y) = x 2 + y 2 (b) f(x, y) = x 2 y 2 (c) f(x, y) = y 2 (d) f(x, y) = xy (e) f(x, y) = x 3 3xy 2 (f) f(x, y) = e x cos(y) (g) f(x, y) = x2 y si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0 x 4 +y 4 (h) f(x, y) = x2 +y 2 si x 0 et f(0, y) = 0 x 2. Applications définies sur les espaces de matrices. Montrer que l espace M(2, 2; K) des matrices carrées s identifie à K 4. En utilisant cette identification, montrer : (a) la fonction det : M(2, 2, ; K) K, X det(x) est polynomiale ; (b) l application X X 1 est rationnelle. Quel est son domaine de définition? (c) l application X X k avec k N est homogène polynomiale. Quel est son degré? (d) Généraliser au cas de M(n, n; K). 3. Dimension des espaces de polynômes. Soit K = R, C ou Q. (i) Combien de monômes sur K 2 y a-t-il de degré 0, 1, 2, 3,...? (ii) Montrer que les monômes sont linéairement indépendants dans l espace vectoriel des fonctions K 2 K. (Rappeller d abord comment montrer que les fonctions R R, 3

4 x x k sont linéairement indépendants.) Conclure : Quelle est la dimension de l espace des fonctions polynomiales R 2 R de degré au plus d? (iii) Mêmes questions pour K 3 (iv) Facultatif: mêmes questions pour K 4 4. Applications et formes quadratiques. (i) Quelle est la dimension de l espace des fonctions polynomiales homogènes K n K m de degré d = 0, 1, 2? (Commencer par m = 1.) (ii) en degré d = 1 et avec m = 1 : montrer que toute telle application s écrit f(x) = n i=1 a ix i, ou encore f(x) = Ax (matrice ligne A matrice colonne x) (iii) en degré d = 2 et avec m = 1 : montrer que toute telle application s écrit f(x) = n i,j=1 b ijx i x j, ou encore f(x) = x t Bx, avec une matrice carrée symétrique B. En déduire que toute fonction polynomiale quadratique f : K n K s écrit f(x) = x t Bx + Ax + c, B Sym(n, K), A M(1, n; K), c K. Problème. On veut introduire dans K n une nouvelle origine et un nouveau système de coordonnées tels que l expression de f devient aussi simple que possible. Quelles sont alors les formes les plus simples possibles? (prendre K = C ou K = R.) 5. Application homogènes. Définition. Une application f : K n U K m est dite homogène de degré k, où k Z, si, pour tout x U et r K, on a rx U et alors f(rx) = r k f(x). (i) Montrer: si f est polynomiale homogène de degré j au sens de C1.4, alors f est homogène (de même degré) au sens de la définition prédente. (ii) Soit k = 1 et K = R. Construire une application homogène de degré 1 qui n est pas linéaire. (Facultatif : montrer qu il en existe une famille libre infinie.) (iii) Soit x, y un produit scalaire sur R n. Montrer que q : R n R, x x, x est polynomiale homogène, et que f : x x x, x est homogène rationnelle sur R n. Quel est son degré et son domaine de définition? Calculer les puissances f k pour k Z. Donner une représentation graphique ou géométrique de f pour n = R 2 versus C. On identifie C avec le plan R 2. Montrer que tout C-polynôme p : C C est aussi une application R-polynomiale R 2 R 2. (Commencer par calculer (x + iy) k.) Parmi les applications R-polynomiales p : R 2 R 2 de degré k, caractériser celles qui sont obtenues de cette façon. Montrer qu elles forment un R-sous-espace vectoriel de dimension deux. 7. Approche intrinsèque (exercice facultatif). Soit V un espace vectoriel de dimension n et W un espace vectoriel de dimension m. Rappeler la définition d une application linéaire α : V W et celle d une application bilinéaire β : V V W. (i) Identifions, en fixant des bases dans V et dans W, V avec K n et W avec K m. Montrer que, pour une application f : V W, les assertions suivantes sont équivalentes : 4

5 f est linéaire ; aprés identification V = K n, W = K m, f est polynomiale homogène de degré 1. Noter que la première condition ne fait pas appel à des bases de V et de W : on dit qu elle est intrinsèque. (ii) Caractériser de façon intrinsèque les applications polynomiales de degré 0. (iii) Essayer de caractériser de façon intrinsèque les applications polynomiales homogènes de degré 2. C2 : Topologie de R n et continuité Le but de ce chapitre est de définir de façon rigoureuse la notion d application continue de plusieurs variables, et de montrer que les applications polynomiales et rationnelles sur R n sont continues. Dans ce but, il faut étudier quelques notions topologiques fondamentales: (A) distances, normes et boules ; (B) suites convergentes ; (C) parties ouvertes ; (D) fonctions et applications continues. C2.1. Définition (distance et norme euclidiennes). Soient x, y R n. La distance euclidienne entre x et y est définie par la formule de Pythagore d eu (x, y) := n (x i y i ) 2. La distance de x à l origine 0 s appelle la norme euclidienne, notée x eu := d eu (x, 0) = n x 2 i, de sorte qu on a d eu (x, y) = x y eu. La boule ouverte de centre x et de rayon r est B r,eu (x) := {y R n d eu (x, y) < r} = {y R n n (x i y i ) 2 < r}. C2.2. Définition (distance et norme sup). Soient x, y R n. La distance sup entre x et y est définie par d (x, y) = max i=1,...,n x i y i. La distance de x à l origine 0 s appelle la norme sup, notée i=1 i=1 x := d (x, 0) = max i x i, de sorte qu on a d (x, y) = x y. Le cube ouvert de centre x et de rayon r est B r, (x) := {y R n d (x, y) < r} = {y R n i = 1,..., n : x i y i < r}. C2.3. Remarque. Voici quelques propriétés évidentes que satisfont ces deux normes, resp. distances : pour d = d eu ou d = d et = eu ou =, 5 i=1

6 (N1) (positivité) x 0, et x = 0 ssi x = 0 ; (N2) (homogénité) pour tout r R, rx = r x ; (D1) (positivité) d(x, y) 0, et d(x, y) = 0 ssi x = y ; (D2) (symétrie) d(x, y) = d(y, x). Nous discutons plus tard (exercice 1) une autre propriété importante. C2.4. Lemme. Pour tout z R n, on a z eu n z n z eu, i.e., n zi 2 n n max z i n zi 2. i i=1 Géométriquement, le lemme signifie qu on peut emboîter des cubes dans des boules, et réciproquement (faire un dessin pour n = 2!). C2.5. Définition. Une suite dans R n est notée (x (k) ) k N, où i=1 x (k) = ( x (k) ) 1,..., x (k) n R n. Chaque composante (x (k) i ) k N, pour i = 1,..., n fixé, est une suite numérique ordinaire. C2.6. Lemme. Pour une suite (x (k) ) k N de R n sont équivalents : (i) il existe x R n tel que lim k d eu (x (k), x) = 0 ; (ii) il existe x R n tel que lim k d (x (k), x) = 0 ; (iii) il existe x R n tel que, pour tout i = 1,..., n : la suite numérique (x (k) i ) k N converge au sens usuel, pour k, vers le nombre réel x i. C2.7. Définition. On dit que la suite (x (k) ) k N converge dans R n s il existe x R n vérifiant les propriétés du lemme ; alors on écrit x = lim x (k). k Le lemme permet, d une part, de reconnaître facilement des suites convergentes dans R n, et, d autre part, de démontrer, composante par composante, quelques résultats standards, similaires aux propriétés usuelles pour les suites : C2.8. Corollaire. La somme de deux suites convergentes x (k) et y (k) est convergente, et sa limite est la somme des deux limites ; un multiple rx (k) d une suite convergente vers x est convergente, avec limite rx. Les ouverts. Parmi les parties U de R n, les parties épaisses ou ouvertes jouent un rôle fondamental en topologie. C2.9. Lemme. Pour une partie U de R n sont équivalents : (i) pour tout x U, il existe ε > 0 tel que B ε,eu (x) U ; (ii) pour tout x U, il existe ε > 0 tel que B ε, (x) U ; 6

7 (iii) pour tout x U on a : pour toute suite x (k) U qui converge vers x pour k, il existe un rang N N tel que, pour tout k N, on a x (k) U. C2.10. Définition. Une partie U R m est dite ouverte si elle satisfait les propriétés du lemme. (Voir exercice 3 pour des exemples.) Applications continues. Une application f : U R m, définie sur une partie U de R n, est continue, si un petit changement d argument induit un petit changement de valeur ( petite cause, petit effet ), ou autrement dit, si elle n a pas de sauts : C2.11. Lemme. Pour une application f : R m U R n et x U sont équivalents : (i) pour tout ε > 0, il existe δ > 0 de sorte que pour tout y U : d eu (x, y) < δ d eu (f(x), f(y)) < ε ; (ii) pour tout ε > 0, il existe δ > 0 de sorte que pour tout y U : d (x, y) < δ d (f(x), f(y)) < ε ; (iii) pour toute suite x (k) U qui converge vers x pour k, la suite f(x (k) ) converge dans R m vers f(x) : f ( lim x (k)) = lim f(x (k) ) k k C2.12. Définition. Soit f : R n U R m une application, et soit x U. On dit que f est continue au point x si les conditions du lemme sont vérifiées, et on dit que f est continue (sur U) si f est continue en tout point x U. C2.13. Exemples. Les fonctions constantes sont continues ; les projections ( fonctions coordonnées ) pr i : R n R, x x i sont continues. C2.14. Théorème. Pour une application f : R n U R m sont équivalents : (i) f est continue au point x (resp. sur U) ; (ii) i = 1,..., m : la fonction f i : U R est continue au point x (resp. sur U). Ce théorème permet donc de se ramener au cas des fonctions scalaires (m = 1). Attention: on ne peut pas se ramener aussi facilement au cas n = 1 (cf. exercice 4 (2)). Dans ce sens, le cas des fonctions scalaires est le cas le plus important. C2.15. Théorème. (1) Sommes et multiples d applications continues sont continues, et la fonction f = 0 est continue ; ainsi l ensemble C(U, R m ) des applications continues f : U R m est un espace vectoriel. (2) La composée g f : U R k de deux applications continues g : U R k et f : U U R m est continue. (3) (pour m = 1 :) Le produit f g (définie par (f g)(x) := f(x) g(x)) de deux fonctions scalaires continues f, g : U R est continue. 7

8 C2.16. Théorème. (i) Toute application linéaire f : R n R m est continue. (ii) Toute application polynomiale f : R n R m est continue. (iii) Toute application rationnelle f(x) = p(x) q(x) de Rn dans R m est continue (sur son domaine de définition U = {x R n q(x) 0}). Exercices pour le complément 2 1. Normes. Soit V un espace vectoriel sur R. Une norme sur V est une application V R, x x vérifiant les propriétés (N1) et (N2) de la remarque C2.3, et (N3) (inégalité triangulaire) pour tout x, y V, x + y x + y. (1) Montrer que la norme sup est une norme sur R n. (2) Montrer que la norme euclidienne est une norme sur R n. (On pourra commencer par le cas n = 2.) (3) En déduire pour d(x, y) := d eu (x, y) ou d(x, y) := d (x, y) l inégalité triangulaire : d(x, z) d(x, y) + d(y, z). 2. Convexité. Une partie S R n est dite convexe si, pour tout x, y S, le segment [x, y] = {tx + (1 t)y t [0, 1]} appartient entièrement à S. (0) Faire le dessin de quelques parties convexes de R n. (1) Montrer que les boules B r, (x) avec x R n et r > 0 sont convexes. (2) Montrer que les boules B r,eu (x) avec x R n et r > 0 sont convexes. 3. Parties ouvertes. Montrer que les parties U suivantes de R n sont ouvertes : (1) n = 1, et U un intervalle ouvert de R ; (2) les cubes (= boules sup) B r, (y) dans R n ; (3) les boules euclidiennes B r,eu (y) dans R n ; (4) les demi-espaces {x R n x i > 0} pour i {1,..., n} ; (5) montrer que l intersection et la réunion de deux parties ouvertes sont ouvertes ; (6) montrer que la réunion d un nombre quelconque d ouverts est encore ouverte ; (7) montrer : U n =] 1/n, 1/n[ est ouvert dans R pour tout n, mais n N U n ne l est pas. 4. Continuité. (1) Parmi les applications f : R 2 R de l exercice 1 de C1, lesquelles sont continues? Indication : montrer que l application du point (g) n est pas continue en (0, 0) ; pour le montrer, choisir une suite de la forme x (n) = (u n, v n ) qui tend vers (0, 0), et tel que f(u n, v n ) ne tend pas vers 0. 8

9 (2) Soit f : R 2 R comme dans C1, exercice 1, partie (g). Montrer que les applications partielles R R, x f(x, y) pour y fixé sont toutes continues sur R, et idem pour y f(x, y) pour x fixé ; mais f n est pas continue sur R 2. (3) Soit f : R 2 R comme dans C1, exercice 1, partie (h). Montrer que les applications radiales R R, t f(tx, ty) pour (x, y) R 2 fixé, sont toutes continues ; mais f n est pas continue sur R Le cas complexe. Montrer qu il existe une identification naturelle entre C n et R 2n, et que sous cette identification la norme euclidienne correspond à z := n i=1 z iz i. Montrer que la norme z := max i z i est équivalente à la précédente (au sens du lemme C2.4) ; est-ce qu elle correspond exactement à la norme sup dans R 2n? Formuler des notions de convergence de suites et de continuité dans C n, et dire lesquels parmi les résultats précédents restent valables dans ce cadre. 6. Approche intrinsèque (exercice facultatif). Soit V un R-espace vectoriel de dimension finie n. En fixant une base on peut identifier V avec R n, ainsi les notions de suite convergente, de partie ouverte et de continuité sont définies. Pour que ces notions soient vraiment intrinsèques, il faut voir qu elles ne dépendend pas du choix de la base. (0) Exemple calculatoire. Fixons la base b 1 = (1, 0), b 2 = (1, 1) dans le plan E et identifions E avec R 2 par la bijection R 2 E, (x, y) xb 1 + yb 2. Identifions également les boules B r, (x), resp. B r,eu (x), avec leur image par cette bijection. Dessiner les images dans E de B 1, (0) et de B 1,eu (0). Quelles figures géométriques sont représentées par ces images? Montrer qu on peut emboiter ces figures dans les boules usuelles (par rapport à la base canonique), dans le sens du lemme C2.4. (1) Soit A GL(n, R) (i.e., une matrice inversible). Montrer que l application f : R n R n, x Ax est un homéomorphisme (i.e., bijective, continue, et l inverse f 1 est aussi continue). (2) Conclure que les notions de suite convergente et de continuité sur V ne dépendent pas de la base choisie (bien que la distance et la forme des boules en dépendent). C3 : Exponentielle matricielle et équations différentielles ordinaires Les exponentielles usuelles t ce at sont les solutions de l équation différentielle f = af (a R) avec condition initiale f(0) = c. En plusieurs dimensions, cette équation est remplacée par un système d équations différentielles ordinaires. D abord, quelques définitions de base concernant les courbes : C3.1. Définition. Une courbe [continue] dans V = R n est une application [continue] α : I V, où I R est un intervalle. C3.2. Lemme. Pour une courbe α : I V = R n sont équivalentes : (i) pout tout t I, la limite α (t) := α(t+h) α(t) lim existe dans V ; h 0,h 0 h (ii) chaque composante α i := pr i α : I R est différentiable au sens usuel. On a alors α (t) = ( α 1(t),..., α n(t) ). 9

10 C3.3. Définition. Une courbe α : I V est dite différentiable (de classe C 1 ) si elle satisfait la condition du lemme et si la courbe dérivée α : I V est continue. Si α est de classe C 1, la courbe α est dite de classe C 2, et on pose α = (α ), etc. (Interpétation cinématique: t α(t) est une trajectoire ; t est la variable de temps, α (t) le vecteur-vitesse et α (t) est le vecteur-accélération.) Exemple : α(t) = ( cos(t), sin(t) ) est une courbe de classe C dans R 2. Faire un dessin de la trajectoire, calculer et dessiner les vecteurs vitesse et accélération. Cet exemple est un cas particulier du résultat suivant, qui utilise l exponentielle matricielle, définie dans le cours, thm. 4.9, voir aussi cours, thm C3.4. Théorème. Soit A M(m, m; R) une matrice carrée, et soit v R m. (i) La courbe α : R M(m, m; R), t e ta est différentiable, et on a α (t) = A α(t) (produit de matrices), et α(0) = 1 m. La matrice e ta est inversible pour tout t, et s, t R : α(t + s) = α(t)α(s), (α(t)) 1 = α( t). (ii) La courbe γ v : R R m, t e ta v est différentiable, et γ v(t) = A γ(t) (produit matrice vecteur) et γ v (0) = v. De plus, pour tout t, s R, γ v (t + s) = γ γv(t)(s). L interprétation générale de ce résultat est en termes de courbes intégrales de champs de vecteurs : C3.5. Définition. Soit U V = R n une partie non-vide. Un champ de vecteurs sur U est une application X : U V. Visualisation : on accroche à chaque point u U un vecteur direction (une flêche) d origine u et de direction X(u). C3.6. Définition. Une courbe intégrale d un champ de vecteurs X : U V est une courbe de classe C 1, α : I V, qui suit le champ dans le sens que α I : α (t) = X ( α(t) ). (EDO) Noter que, en utilisant les composantes α i : I R, (EDO) s ćrit i = 1,..., n : α i(t) = X i ( α1 (t),..., α n (t) ). C est un système d équations différentielles ordinaires. C3.7. Problème. Si X est un champ de vecteurs, est-ce que des courbes intégrales existent? Autrement dit, est-ce que le système (EDO) admit des solutions α i, et si oui, sont-elles uniques? Sous certaines conditions sur X, la réponse est positive ( cours de L3 : théorème de Cauchy-Lipschitz). C3.8. Remarque. On peut résumer le théorème C3.4 en disant que tout champ linéaire de vecteurs (i.e., X : v X(v) est une application linéaire, donnée par X(v) = Av), 10

11 admet des courbes intégrales γ v : I V, avec condition initiale γ v (0) = 0, telles que l intervalle de définition I soit R tout entier. On verra (exercice 1) qu il en est de même pour les champs constants. Plus généralement, en théorie des équations différentielles ordinaires, on considère des champs lisses quelconques X : U V (définis sur une partie ouverte U de V ). Le théorème général de Cauchy-Lipschitz affirme alors que des courbes intégrales existent et sont uniques, mais en général le plus grand intervalle de définition I est plus petit que R. L étude plus détaillée de l ensemble de ces courbes intégrales fait partie de la théorie des EDO et, plus globalement, de la théorie des systèmes dynamiques. Le cas linéaire y joue un rôle important : il sert, localement, comme première approximation du cas général. Exercices pour le complément C3 1. Les champs constants. Soit v V = R n et X(x) = v (champ constant). Calculer et dessiner ses courbes intégrales : résoudre le système (EDO). Montrer que, pour tout u V, il existe une uniqe courbe intégrale γ u telle que γ u (0) = u. Étudier, pour t R fixé, l application φ t : V V, u γ u (t) : quelle est sa nature géométrique? Montrer que, pour t, s R, φ t φ s = φ t+s. 2. Champ défini par une fonction. Soit f : R R une fonction continue. (Exemple: f(x) = x 2.) Dessiner le champ X(x 1, x 2 ) := (1, f(x 1 )) et montrer que le système (EDO) admet une solution. Dessiner quelques courbes intégrales. Soit f : R 2 R une fonction. (Exemple: f(x, y) = x 2 + y 2.) Dessiner le champ X(x 1, x 2 ) := (1, f(x 1, x 2 )). Esquisser graphiquement l allure de quelques courbes intégrales (sans calcul). 3. Orbites (image d une courbe intégrale). Fixons une matrice carrée A. Pour tout vecteur v V = R n, notons O v := {e ta v t R} l orbite de v (= l image de la courbe intégrale γ v ). Montrer que, pour v, w V, seulement les deux cas suivants sont possibles: a) soit, O v = O w ; b) soit, O v O w =. Autrement dit, les orbites O v pour v V forment une partition de V. 4. Calcul d exponentielle : exemples et dessins. Pour les matrices A suivantes, calculer e ta (ici, a > b > 0) : ( ) ( ) ( ) ( ) a 0 a 0,,,, a 0 a 0 b ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 a a b,,, a 1 0 b a Pour chacune de ces matrices : dessiner le champ de vecteurs R 2 R 2, u Au ainsi que quelques courbes intégrales. 5. Exponentielle et changement de base. (1) Soit A une matrice carrée et T une matrice inversible. En utilisant la série exponentielle, montrer que e T AT 1 = T e A T 1. ( ) 0 1 (2) Soit A =. Calculer e 1 0 ta. (Indication : deux stratégies possibles calcul direct en calculant A 2, A 3,..., ou bien trouver une matrice de passage T telle que A = T AT 1 soit une matrice diagonale.) Tracer les courbes γ v (t) comme dans l exercice précédent. 11

12 (3) Résoudre le système différentiel f (t) = f(t) + 2g(t) } g (t) = 2f(t) + 3g(t) 6. EDO linéaires à coefficients constants. On cherche à résoudre l équation différentielle f (n) = a 0 f + a 1 f a n 1 f (n 1) (où a i R). Montrer que, en posant f 1 := f, f 2 := f 1, etc., ce système est équivalent à n équations de degré 1, qu on écrira sous forme matricielle. Pour résoudre cette équation, on peut chercher des solutions de la forme e λx. Trouver une condition nécessaire pour le scalaire λ. Exemple : résoudre f 6f + 11f 6f = 0. Parfois, il existe aussi des solutions de la forme xe λx. Exemple : résoudre f 2f + f = 0 Distinguer aussi des solutions réelles et complexes. Exemple : résoudre 2f 5f + 6f 2f = 0 7. Lien entre matrices orthogonales et matrices antisymétriques. Montrer que, pour toute matrice A, on a (e A ) t = e At où A t est la matrice transposée. En déduire : (a) si A est symétrique (A t = A), alors e A l est aussi ; (b) si A est antisymétrique (A t = A), alors B = e A est une matrice orthogonale (i.e., B t = B 1 ). C4 : Brève introduction aux équations différentielles aux dérivées partielles Les EDO concernent des fonctions d une variable réelle, et les équations différentielles aux dérivées partielles (EDP) concernent des fonctions de plusieurs variables : f = f(x 1,..., f n ). C est un très vaste sujet, et nous donnons ici seulement quelques notions de base pour permettre au lecteur de commencer à se faire une idée de la nature mathématique de ces questions. Les EDP les plus importantes proviennent de la physique. Nous supposons que le lecteur a déjà utilisé de façon naïve des dérivées partielles : par exemple, pour une fonction f(t, x, y), on les note t f, x f, y f, et 2 xf = x ( x f) pour une dérivée partielle seconde, ou aussi parfois f t, f x, f y, resp. f xx, etc. Voici une liste de quelques EDP fondamentales : 12

13 Exemple 1 : l équation de la chaleur. La distribution de la chaleur sur un bâton (coordonnée x) au temps t obéit à l équation de la chaleur (où C > 0 est une constante) (EqCh1) t f(x, t) = C 2 xf(x, t). Si, au lieu d un bâton (une dimension) on prend une plaque (deux dimensions ; coordonnées x, y), cette équation devient (EqCh2) t f(x, y, t) = C ( 2 xf(x, y, t) + 2 yf(x, y, t) ) ou encore pour un corps en trois dimensions spatiales (EqCh3) t f(x, y, z, t) = C ( 2 xf(x, y, z, t) + 2 yf(x, y, z, t) + 2 zf(x, y, z, t) ). Pour que la solution soit bien déterminée, il faut préscrire une distribution de température au temps t = 0 : f(x, 0) = h(x), resp. f(x, y, 0) = h(x, y), avec h une fonction donnée (condition initiale). Si les bouts du bâton (de coordonnées x = 0 et x = l > 0) sont maintenus à température donnée, on a une condition de bord supplémentaire, comme par exemple f(0, t) = 0, f(l, t) = 0 ( bouts frigofiées ). Exemple 2 : l équation des ondes, resp. de la corde vibrante. C est l EDP (EqOn1) 2 t f(x, t) = C 2 xf(x, t), avec une constante C > 0, qui décrit la vibration d une corde (coordonnée x) en fonction du temps t, resp. d une membrane (coordonnées x, y), resp. des phénomènes d onde (coordonnées x, y, z) : (EqOn2) 2 t f(x, y, z, t) = C ( 2 xf(x, y, z, t) + 2 yf(x, y, z, t) + 2 zf(x, y, z, t) ). Comme dans l exemple précédent, la physique motive d imposer des conditions initiales et des conditions de bord. Exemple 3 : l équation du potentiel. Pour une fonction de trois variables f(x, y, z), c est l équation (EqPot) 2 xf(x, y, z) + 2 yf(x, y, z) + 2 zf(x, y, z) = 0. On l abrègre souvent sous la forme f = 0, et une fonction telle que f = 0, est dite harmonique. Exemple 4 : l équation de transport. C est l EDP, avec une fonction d une variable réelle v(x), (EqTrp) v(x) x f(x, t) + t f(x, t) = 0. Exemple 5 : les équations de Cauchy-Riemann. C est un système de deux EDP pour une fonction R 2 R 2, (x, y) (f(x, y), g(x, y)) : (EqsCR) y f(x, y) = x g(x, y), x f(x, y) = y g(x, y). 13

14 Calcul différentiel dans R n Nous donnons les définitions et les faits fondamentaux concernant les dérivées partielles, puis proposons l étude de quelques propriétés des exemples précédentes sous forme d exercice. On abrègre V := R n, et soit toujours f : U R m définie sur une partie ouverte non-vide U V. Pour étudier f près d un point x U, on s intéresse au taux de variation dans une direction v V. Si v est l un des vecteurs e 1,..., e n de la base canonique, cela donne les dérivées partielles usuelles, mais il n y a aucune raison de se restreindre aux directions parallèles aux axes : C4.1. Définition. Soit x U et v V. La dérivée directionnelle d une fonction f : V U R m en direction de v, et au point x U, est la limite, si elle existe, v f(x) = d f(x + tv) f(x) f(x + tv) = lim. dt t=0 t 0 t (C est le taux de variation de f au point x en direction de v.) On dit que f est de classe C 1 si, pour tout v V et tout x U, la limite v f(x) existe et si pour tout v la fonction v f : U R m, x v f(x) est continue. La dérivée partielle de f par rapport à la i-ième variable est la dérivée directionnelle en direction du vecteur e i de la base canonique ; on a les notations suivantes f (x) := i f(x) := ei f(x) = d f(x + te i ). x i dt t=0 On la calcule en gélant les variables x j pour j i et en dérivant ensuite par rapport à x i de la façon usuelle. Si n = 3, et si les variables s appellent, par exemple, (x, y, t), on écrit aussi x f ou 1 f ou f x pour la dérivée partielle par rapport à la première variable (x ici), etc. Remarque. On se ramène facilement au cas m = 1 car les limites se calculent composante par composante (Lemme C2.6) ; ainsi si f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)), alors i f(x) = ( i f 1 (x),..., i f m (x) ). C4.2. Lemme. Si f et g sont de classe C 1, alors f + g et λf (pour λ R) le sont aussi, et on a les règles de calcul v (f + g) = v f + v g, v (λf) = λ v f. Si m = 1, le produit f g est aussi C 1, et on a la règle de Leibniz v (f g) = g v f + f v g. C4.3. Théorème. Pour une application f : U R m sont équivalents : (i) f est de classe C 1 ; (ii) pour i = 1,..., n, les dérivées partielles i f existent sur U et y sont continues. 14

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