Ecole Nationale des Ponts et Chaussées Option Adjusted Spread

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1 Ecole Nationale des Ponts et Chaussées Option Adjusted Spread Dimitri Kassatkine, Sofiane Maayoufi IMI Finance Mars 2006

2 1 INTRODUCTION 1.1 Présentation des produits obligataires Une obligation est un contrat qui rapporte à son détenteur une somme connue d avance (principal) à une date future (connue d avance également) appelée maturité. Une obligation peut aussi détacher périodiquement des dividendes fixés appelés coupons. Lorsqu il n y a pas de dividendes, elle est appelée obligation zéro-coupon. Une obligation peut être interprétée comme un prêt avec une somme principale connue et le paiement d intérêts égaux aux coupons (s ils existent). L emprunteur est l émetteur de l obligation, et donc le détenteur est l investisseur. Le prix auquel une obligation est vendue est appelé valeur «par» de l obligation. Les obligations ont en général une structure de taux d intérêt fixée au moment de l achat. Elles sont moins risquées que les actions car le prix des actions fluctue ce qui n est pas le cas pour les obligations. Le détenteur de l obligation est assuré d un certain revenu pendant une période spécifique avec le principal remboursé à la fin. L émission d obligations par une société est une alternative à une émission d actions, qui pourrait causer une dissolution du capital détenu par actionnaire. Les gouvernements émettent exclusivement des obligations. Les obligations à court terme ont des durées de moins d une année, alors que les obligations de long terme peuvent atteindre des maturités de 30 ans voire plus encore. Les obligations à long terme bloquent la somme payée par l investisseur pendant une longue durée, elles ont donc en général des taux d intérêt plus élevés pour compenser le risque. La courbe obtenue en traçant le taux d intérêt d une obligation en fonction de la maturité est la courbe de rendement. 1.2 Obligations avec options Parmi les produits précédemment cités on a bien évoqué les obligations avec les options, dans la suite on les notera OEB (option embedded bond, en anglais). Il y a deux types d OEB : putable et callable. L OEB putable permet à son détenteur de la revendre à l émetteur à n importe quel moment au prix convenu au moment de l émission. L OEB callable permet à l émetteur de racheter l obligation au prix convenu au moment de l émission. Le lecteur comprend que de façon directe l OEB contient une option d achat ou de vente. Dans le cas d obligations callables, c est le détenteur du produit qui se retrouve vendeur d une option

3 d achat face à l émetteur. Si l obligation est putable c est l émetteur qui vend, en plus de l obligation, une option de vente sur l obligation à l investisseur. Cette dernière remarque donne tout de suite une indication sur le prix de différents produits, à savoir, l OEB putable sera plus chère que l obligation et que l OEB callable. Cette dernière sera la moins chère des trois. Ces options sont donc une partie indissociable de l obligation et ne peuvent être traitées séparément de l obligation comme c est le cas pour les options sur actions ou indices. Apportons également une précision sur les modalités d exercice des OEB. Bien que les contrats différent suivant les marchés et les émetteurs, sans parler des produits «taillés sur mesure» et négociés de gré-à-gré, on remarque, néanmoins, un certain penchement pour les produits dits «bermuda». Il s agit, en fait, d OEB, comme nous les avons décrite, avec cette particularité que l on peut les exercer uniquement à des dates ponctuelles et non pas de façon ponctuelle comme il est convenu pour les options tout simplement américaines. Concrètement, les dates d exercices coïncident avec les dates de détachement de coupon. En prenant l exemple d obligations américaines, si l obligation détache son coupon deux fois par an l option, elle aussi, peut être exercée deux fois par an et donc l investisseur toucherait le coupon et le prix d exercice. Puisque toute notre étude sera modélisée en arbres binaires dans toute la suite on travaillera avec les OEB putable/callable bermuda.

4 2 ETUDE DU PROBLEME 2.1 Démarche Comme nous l avions indiqué dans l introduction, toute notre étude sera modélisée en arbres binaires. Le but étant d étudier le spread implicite provenant de la partie optionnelle dans l OEB. Ainsi, premièrement on doit valoriser une obligation sans risque puis calculer son rendement, puis on doit calculer le prix d une obligation risquée et calculer son rendement. On procède de la même façon pour les OEB callable et putable, puis on compare les spreads de ces trois dernières obligations. Pour pouvoir valoriser les obligations on doit tout d abord valoriser l évolution du taux court avec le temps. Puis, lorsque nous avons notre arbre, dont chaque pas représentera une nouvelle date de détachement du coupon, on peut calculer le prix en procédant par récurrence à rebours. Dans le cas des OEB on comparera à chaque pas le profit immédiat résultant de l exercice avec l espérance des profits futurs. 2.2 Modélisation des taux Nous utiliserons les arbres binaires afin de modéliser l évolution des taux courts. Le modèle de Black-Derman-Toy (BDT dans toute la suite) semble présenter le meilleur rapport «reflet de la réalité du marché / simplicité d implémentation». Le modèle BDT considère qu à chaque pas de temps t il existe une volatilité locale θ () t telle que les taux instantanés à ce j () t moment différent de e. θ. Où j est la hauteur de la feuille dans l arbre binaire.

5 [Source : Binomial term structure Modes. Bennninga/Wiener] Puis, disposant de la courbe des taux à l instant initial on peut calculer les taux instantanés, enfin prendre les valeurs de θ telles que les noeuds se rejoignent. En d autres termes on peut calibrer le modèle de BDT aux données du marché obligataire. Etant donné la problématique de ce projet, nous sommes plutôt utilisateurs de la courbe des taux. Donc pour modéliser l évolution des taux nous allons prendre un modèle pseudo-bdt, à savoir un modèle binaire où l on connait le taux court à l instant 0, puis l on connait la volatilité annualisée de son évolution. Si à l instant t le taux instantané est r, à l instant t+1 il vaudra soit étant ½. r θ t. e, soit r θ t. e ( t étant le pas temporel), la probabilité de chaque occurrence 2.3 Prix de l obligation sans risque Soit l obligation B de valeur faciale F qui payes deux fois par an un coupon c et ceci jusqu à sa maturité T. A l instant présent le prix de B est donné par la formule suivante : B = ( F + c) * e rt T + ce Tout simplement, le prix est la somme des cash-flows futurs actualisés. Maintenant, on suppose que l on dispose de l arbre binaire modélisant l évolution des taux instantanés en fonction du temps. A l instant T (à la maturité) l obligation vaut exactement sa riti

6 valeur faciale renchérie du coupon. A l instant T-1, où le coupon est détaché, l obligation vaudra : le coupon+l espérance du prix à l instant T actualisé sur une période temporelle au taux court. Puis l on procède exactement de la même façon sur chaque feuille de l arbre en remontant vers l instant initial 0. Le graphe suivant permet d avoir un aperçu de la démarche : (obligation sans coupon) [Source : Binomial term structure Modes. Bennninga/Wiener] 2.4 Obligation risquée La méthode de valorisation d une obligation risquée est identique à celle d une obligation sans risque à cette différence près que l éventualité de défaut doit être incorporée dans le prix. On introduit alors deux nouveaux paramètres de risque. D abord, le LGD, où la perte en cas de défaut, cette valeur est exprimée en pourcentage. Puis l intensité de défaut, grâce à cette constante on pourra, à chaque pas temporel connaître la probabilité de défaut de l entreprise à cet instant. Soit d l intensité de défaut, la probabilité de défaut à l instant t est donnée par : 1 d t e. Par conséquent, à la maturité le prix de l obligation n est plus égal à la somme de la valeur faciale et du coupon, mais plutôt à l espérance du cash-flow que l investisseur peut avoir à cette date pondérée par la probabilité de défaut : (Valeur Faciale + coupon)*(1 - proba_defaut(t)) + Valeur Faciale * LGD * proba_défaut(t)

7 De même, à chaque pas de l algorithme il faudra considérer qu avec une probabilité de (1 proba_defaut) l investisseur accède aux cash-flows futurs promis par l obligation, mais il y a aussi la probabilité (proba_defaut) qu il récupère uniquement LGD*Valeur Faciale immédiatement. 2.5 OEB Callable On rappelle que l OEB callable est en fait une obligation qui peut être rappelée par son émetteur à n importe quel moment au prix déterminé lors de l émission que l on appellera «le strike». Ce qui revient en fait à dire que lors de l achat de son obligation l investisseur vend un call bermuda de strike K. En partant de l arbre d évolution des taux instantanés il faudra prendre en compte la présence de l option. Dans le modèle binaire on sait pricer les options d achat ou de vente bermuda. Ce qu il faut en fait c est, sur chaque nœud de l arbre, choisir le plus grand entre : le profit immédiat et l espérance des cash-flows futurs. Dans le cas où le détenteur a le droit d exercer, ce dernier cherchera à minimiser les cash-flows qu il devra à son client. Ainsi, sur chaque nœud de l arbre il faudra prendre le plus petit entre : le strike plus le coupon et la valeur de l obligation. De façon formelle : Min (K +coupon ; (Valeur Faciale+coupon)*(1-proba_defaut(T)) + Valeur Faciale*LGD*proba_défaut(T)) Putable L OEB putable est une obligation que son détenteur peut revendre à l émetteur au prix déterminé au moment de l émission, on l appelle toujours strike. En plus de son obligation le client a acquis un put sur cette obligation. En ce qui concerne le pricing, cette fois c est l investisseur qui cherchera à maximiser ses cash-flows, donc sur chaque nœud de l arbre il faudra prendre le plus grand entre : le strike plus le coupon et la valeur de l obligation. De façon formelle : Max (K + coupon ; (Valeur Faciale+coupon)*(1-proba_defaut(T)) + Valeur Faciale*LGD*proba_défaut(T)).

8 3 EXPLOITATION DES RESULTATS Afin d étudier le comportement du spread lié à l option au sein du produit obligataire nous avons décidé de valoriser tout d abord une obligation sans risque qui verse un coupon semiannuel, puis l on valorise une obligation risquée de même paramètres obligataires, enfin on valorise les obligations risquées callable et putable et l on calcule les différences de rendements. Pour les calculs nous avons pris les constantes suivantes : La valeur faciale des obligations : 100 Coupon semi-annuel : 7 Maturité : 5 ans Taux court de départ : 3% Loss given default (LGD) : 50% 3.1 Résultats généraux PRICES K=100 STATE BOND CORPORATE BOND callable putable vol=0,30, default=0, vol=0,30, default=0, vol=0,30, default=0, vol=0,30, default=0, PRICES K=90 STATE BOND CORPORATE BOND callable putable vol=0,10, default=0,02 106, , vol=0,20, default=0, vol=0,30, default=0, De façon générale on peut déjà confirmer numériquement quelques intuitions : Callable < obligation risquée< Putable. En effet, l OEB callable est obtenue par l achat de l obligation et la vente d une option de valeur positive, alors que l OEB putable est obtenue par l achat de l obligation et l achat d une option de valeur positive.

9 On diminue les prix en augmentant l intensité de défaut. Dans la modélisation des taux d intérêts : plus on augmente la volatilité du taux court, plus le prix de l obligation diminue. On obtient les résultats inverses en raisonnant sur les rendements de ces produits. En d autres termes : Le rendement des produits augmente avec l augmentation de l intensité de défaut. En régime de volatilités élevées des taux courts le rendement des produits est plus important qu il ne le serait en régime de basses volatilités des taux. YIELDS K=90 callable sprd (bps) putable sprd (bps) STATE BOND sprd (bps) CORP BOND vol=0,20, default=0,001 0, ,2 0, ,2 0, ,6 0,0552 vol=0,20, default=0,01 0, ,1 0, ,3 0, ,6 0,06 vol=0,20, default=0,02 0, ,6 0, ,6 0, ,6 0,0653 vol=0,20, default=0,03 0, ,6 0, ,8 0, ,6 0,0703 YIELDS K=90 sprd callable (bps) putable sprd (bps) STATE BOND sprd (bps) CORP BOND vol=0,10, default=0,02 0, ,789 0, ,453 0, ,968 0, vol=0,20, default=0,02 0, ,6 0, ,6 0, ,6 0,0653 vol=0,30, default=0,02 0, ,7 0, ,3 0, ,06735

10 3.2 Influence du strike L influence du strike est encore une fois très intuitive dès lors que l on la comprend au niveau des options, elle est confirmée par les résultats numériques. On s attend à ce que lorsque l on augmente le strike le prix de l OEB callable diminue [Obligation Call (K)], et celui de l OEB putable augmente [Obligation + Put(K)]. Ainsi, le rendement d une OEB callable augmente avec l augmentation du strike, le rendement d une OEB putable diminue avec l augmentation du strike. YIELDS K=85 K=90 K=100 callable putable callable putable callable putable vol=0,10, default=0,02 0, , vol=0,20, default=0, vol=0,30, default=0, vol=0,30, default=0, vol=0,30, default=0,

11 4 CONCLUSION La méthode binomiale pour la modélisation des taux d intérêt est une méthode extrêmement simple mais donne néanmoins des résultats corrects qui coïncident avec les intuition qualitatives basées sur la théorie classique des options. De plus, de par sa simplicité, il est plus rapidement mis en œuvre et facilement calibrable. Notre approche est quelque peu simplificatrice, et ne tient pas en compte de certaines caractéristiques du marché réel telles que des conditions path-dependent pour prendre la décision d exercice, et qui exigeraient des méthodes du type Monte Carlo, plus complexe et surtout plus coûteuse en calcul. De plus certaines clauses contractuelles doivent parfois être prises en compte dans le pricing des OEB, et notre méthode ne permettrait qu une flexibilité réduite par rapport à ce type de contraintes.

12 5 REFERENCES [1] Hatem Ben-Ameur, Michèle Breton, Lotfi Karoui, Pierre L Ecuyer : A Dynamic Programming Approach for Pricing Options Embedded in Bonds [2] [3]

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