Examen du cours de Mesures de risque en finance

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1 Examen du cours de Mesures de risque en finance Mercredi 15 Décembre 21 (9h-11h) Seul document autorisé: une feuille A4 manuscrite recto-verso. Important : rédiger sur une même copie les exercices 1 et 2 et sur une autre l exercice 3. Exercice 1 (Mesures de risque). Les questions 2.c et 5 sont facultatives, ce qui signifie qu il n est pas nécessaire de les résoudre pour avoir la note maximale. Elle seront cependant notées avec une pondération comparable aux autres questions. On considère (Ω, F, P) un espace de probabilité tel qu il existe une variable aléatoire réelle U de loi uniforme sous P. On considère X = L (Ω, F, P), l ensemble des variables aléatoires à valeurs bornées muni de la norme X = inf{m >, P( X M) = 1}. On définit, pour α,+ [, X X, ρ α (X) = 1 α log(e[e αx ). 1. Montrer que ρ α (X) est une mesure de risque monétaire convexe. Est-elle cohérente? 2. (a) Montrer que pour X X fixé, α ρ α (X) est une fonction croissante. (b) Calculer pour X X, ρ (X) := lim α ρ α (X). Est-ce que ρ est une mesure de risque cohérente? (c) (Facultatif) Pour X X, on pose ess inf X = sup{m R, P(X M) = 1}. Montrer que pour ε >, P(X < ess inf X + ε) > et que P(X < ess inf X + ε)e α(ess inf X+ε) E[e αx e αess inf X. Calculer pour X X, ρ (X) := lim α + ρ α(x). Est-ce que ρ est une mesure de risque cohérente? On note L 1 (Ω, F, P) l ensemble des variables aléatoires réelles intégrables. On introduit, comme dans le cours, M 1 (P) l ensemble des mesures de probabilité sur (Ω, F) qui sont absolument continues par rapport à P. Par la suite, E désignera l espérance par rapport à la probabilité de référence P, et pour Q M 1 (P), E Q désignera l espérance sous la probabilité Q. Le théorème de Radon-Nikodym nous assure que Q M 1 (P) Z L 1 (Ω, F, P), X L (Ω, F, P), E Q [X = E[ZX. De plus, la variable aléatoire Z est unique et est notée. 3. On se donne α,+ [. (a) Soit (X n ) n N X N une suite telle que Montrer que ρ α (X) lim inf ρ α(x n ). (b) En déduire que { Xn X,p.s. M >, n N, X n M. ρ α (X) = où γ α (Q) = sup E[ X 1 α log E[e αx. sup E Q [ X γ α (Q), Q M 1 (P) 1

2 (c) Montrer que γ α (Q) = 1 α γ 1(Q) On pose ϕ(x) = xlog(x) [ ( ), x (ϕ() [ ( = ) en prolongeant par continuité). Pour Q M 1 (P), on pose H(Q P) = E ϕ = E Q log la fonction H(Q P) est appelée l entropie de Q par rapport à P. 4. (a) Montrer que ϕ est convexe et minorée. En déduire que H(Q P) a un sens lorsque Q est absolument continue par rapport à P, et montrer que H(Q P). (b) Montrer que γ 1 (Q) H(Q P). (c) On pose, pour Z X, Z continue par rapport à P Z, et calculer = ez E[e Z. Montrer que si Q M 1(P), Q est absolument Z. [ (d) Montrer que H(Q P) = H(Q P Z ) + E Z log(e(e Z )), puis que H(Q P) γ 1 (Q). En déduire la représentation suivante de ρ α : ρ α (X) = sup E Q [ X 1 Q M 1 (P) α H(Q P). 5. (Facultatif) Retrouver à l aide de cette représentation que α ρ α (X) est une fonction croissante, et en déduire la valeur de lim ρ α(x). α + Exercice 2 (Lois de valeurs extrêmes). Soit α >. On se donne une suite (X k,k 1) α de variables aléatoires de densité x 1 1+α x>1. On pose M n = max 1 k n X k. Construire des suites de réels a n et b n telles que (M n b n )/a n converge en loi vers une loi de Fréchet dont on précisera le paramètre. 2

3 Exercice 3 (Borne sur une famille de copules qui ont un τ de Kendall donné) Les différentes questions sont indépendantes. Merci de rédiger cet exercice sur une feuille séparée. On rappelle la définition du tau de Kendall : τ(c) = C(u,v)dC(u,v) Soit C 1 et C 2 deux copules telles que C 1 (u,v) C 2 (u,v) pour tout (u,v) [,1 2. Montrer que τ(c 1 ) τ(c 2 ). 2. Demontrer la representation alternative suivante pour le tau de Kendall : 3. Pour t [ 1, 1, on définit τ(c) = 1 4 Justifier pourquoi T t est non vide. u C(u,v) C(u,v)dudv. (1) v T t := {C C copule,τ(c) = t}. Dans le reste de l exercice on cherche à trouver une borne inférieure commune pour les copules dans T t. 4. Soit C une copule telle que C(a,b) = θ. Monter que pour tout u,v [,1, C(u,v) min(u,v,θ + (u a) + + (v b) + ) := C a,b,θ (u,v). Montrer que C a,b,θ est une copule (ou admettez-le si la démonstration vous parait difficile). 5. En utilisant (2), montrer que τ(c a,b,θ ) = 1 4(a θ)(b θ). 6. Soit C T t telle que C(a,b) = θ. Montrer que t 1 4(a θ)(b θ). En déduire que pour tout (u,v) [,1 2, ( C(u,v) max,u + v 1, 1 [ (u + v) (u v) t ) := T t (u,v). 7. Soit X et Y les valeurs à la date T de deux actifs sous-jacents, dont on connaît les fonctions de repartition F X et F Y ainsi que le tau de Kendall t. Donner une borne supérieure sur le prix de l option sur spread de X et Y de pay-off f(x,y ) = (X Y K) +, K. 3

4 Exercice 1 : Correction 1. Soient X,Y X. Si X Y P-p.s., e αx e αy P-p.s. et donc ρ α (X) ρ α (Y ). Pour m R, ρ α (X + m) = 1 α log(e[e αm e αx ) = ρ α (X) m. Pour prouver la convexité, il s agit de montrer que pour λ,1[, 1 α log(e[e αλx e α(1 λ)y ) λ α log(e[e αx )+ 1 λ α log(e[e αy ), ou encore E[e αλx e α(1 λ)y E[e αx λ E[e αy (1 λ), ce qui n est rien d autre que l inégalité de Hölder avec 1/p = λ et 1/q = 1 λ. Enfin ρ α n est pas une mesure de risque cohérente. En effet, Si X suit une loi de Bernoulli de paramêtre 1/2, on a pour λ >, ρ α (λx) = 1 α log(1 2 (1 + e λα log(2) )) λ + α, ce qui n est pas compatible avec un comportement linéaire. 2. (a) Soient < α < α. On pose p = α /α > 1. Par l inégalité de Jensen, E[e αx E[e αpx 1/p, et par conséquent 1 α log(e[e αx ) 1 α log(e[e α X ). (b) Pour X X, ρ α (X) = k= ( α)k E[X k /k!. Il s agit d une série absolument convergente et on a ρ α (X) = α 1 αe[x + O(α 2 ), et par conséquent ρ (X) = E[ X, ce qui est clairement une mesure de risque cohérente. (c) On a {M R, P(X M) = 1} =,ess inf X[ ou,ess inf X. Par conséquent pour ε >, on a ess inf X + ε {M R, P(X M) = 1}, i.e. P(X ess inf X + ε) < 1. Ainsi, P(X < ess inf X + ε) > et en utilisant que ess inf X X 1 X<ess inf X+ε (ess inf X + ε) + 1 X ess inf X+ε, il vient que Ainsi, on obtient que P(X < ess inf X + ε)e α(ess inf X+ε) E[e αx e αess inf X. 1 α log(p(x < ess inf X + ε)) (ess inf X + ε) ρ α(x) ess inf X, puis que pour tout ε >, (ess inf X+ε) lim inf α + ρ α (X) lim sup α + ρ α (X) ess inf X, ce qui prouve que lim ρ α(x) = ess inf X. Ainsi, ρ (X) = ess inf X α + est une mesure de risque convexe cohérente. 3. (a) Soit (X n ) n N X N une suite telle que { Xn X,p.s. M >, n N, X n M. Par convergence dominée, on a E[e αxn E[e αx et donc lim ρ α (X n ) = ρ α (X). En particulier, on a que ρ α (X) lim inf ρ α(x n ). (b) D après le théorème vu en cours sur la représentation des mesures de risque convexes s.c.i., on en déduit grâce à (a) que ρ α (X) = où γ α (Q) = sup E[ X 1 α log E[e αx. (c) On a γ α (Q) = 1 α sup E[ αx 1 α γ 1(Q), puisque αx = X. sup E Q [ X γ α (Q), Q M 1 (P) log E[e αx = 1 α sup 4 E[ X log E[e X =

5 4. (a) On a ϕ (x) = 1 + log(x) est une fonction croissante et ϕ est donc convexe. De plus ϕ (x) < pour x < 1/e et ϕ (x) > pour x > 1/e, ce qui assure que ϕ atteint son minimum en 1/e, et donc ϕ(x) ϕ(1/e) = 1/e. Ainsi, H(Q P) = E[ϕ( ) a un sens comme espérance d une variable aléatoire minorée. En outre on a par l inégalité de Jensen, H(Q P) = E[ log( ) ϕ(e[ ) =. (b) Pour n,p N, on pose X n,p = log( )1 1/p n X. On a [ γ 1 (Q) E log( ) 1 1/p n [ E 1 1/p n. ( ) Par convergence dominée, il vient en faisant tendre p + que γ 1 (Q) E[ϕ 1 n E[ 1 n, puis en faisant tendre n +, on obtient par convergence monotone que γ 1 (Q) H(Q P). [ [ e Z (c) Pour X X, E Q [X = E X = E absolument continue par rapport à P Z, et E[e Z E[e Z e Z X Z = E[eZ e Z. (d) En utilisant l égalité de la question précédente, = E P Z[ E[eZ e Z X. Donc Q est [ H(Q P) = E log ( ) [ [ ( ) = E (Z log(e[ez )) + E log Z = E Q [Z log(e[e Z ) + E P Z[ϕ( Z ) [ = E Z log(e[e Z ) + H(Q P Z ). Comme, H(Q P Z ) et que Z X est arbitraire, il vient : [ Z H(Q P) supe Z X 5. Comme H(Q P), on a pour α α et Q M 1 (P), log(e[e Z ) = γ 1 (Q). E Q [ X 1 α H(Q P) E Q[ X 1 α H(Q P), et en passant au sup sur les probabilités Q, il vient que ρ α (X) ρ α (X). Ainsi ρ (X) = lim α + ρ α (X) = sup α> ρ α (X) = sup Q M1 (P) sup α> E Q [ X 1 α H(Q P) = sup Q M1 (P) E Q [ X = ess inf X. 5

6 Exercice 2. Soit x R. On a si on prend a n >, P((M n b n )/a n x) = P(M n b n + a n x) = P(X 1 a n x + b n ) n. Par ailleurs, P(X 1 x) = 1 1/x α si x > 1 et P(X 1 x) = sinon. Ainsi, en prenant a n = n 1/α et b n =, on obtient : { si x P((M n b n )/a n x) = (1 1 nx ) n si x > et n assez grand α Ainsi, pour x >, P((M n b n )/a n x) e x α, i.e. M n /n 1/α converge en loi vers une loi de Fréchet de paramètre α. Exercice 3. (Borne sur une famille de copules qui ont un τ de Kendall donné) Le sujet est tiré de l article BOUNDS ON BIVARIATE DISTRIBUTION FUNCTIONS WITH GIVEN MARGINS AND MEASURES OF ASSOCIATION par Roger B. Nelsen, José Juan Quesada-Molina, José Antonio Rodriguez-Lallena, et Manuel Ubeda-Flores, publié dans COMMUN. STATIST. THEORY METH., 3(6), (21). 1. Par intégration par parties (Fubini) on a : τ(c 1 ) τ(c 2 ) = 4 4 = 4 C 1 (u,v)dc 1 (u,v) 4 C 2 (u,v)d(c 1 (u,v) C 2 (u,v)) (C 1 (u,v) C 2 (u,v))dc 2 (u,v). C 2 (u,v)dc 2 (u,v) 2. Demontrer la representation alternative suivante pour le tau de Kendall : τ(c) = 1 4 u C(u,v) C(u,v)dudv. (2) v Soit µ la mesure positive sur [,1 2 engendrée par C. En utilisant de nouveau le théorème de Fubini, on trouve : τ(c) = 4 1 u u1 v vµ(du dv)µ(du dv ) 1 [,1 4 = 4 µ(du dv ) µ(du dv) 1 = 4 = 4 = 1 4 u [,1 v [,1 u [,1 v [,1 u [,u dv v C(u,v ) ( v [v,1 v C(u,v ) u C(u,v )dudv v C(u,v ) u C(u,v )dudv. ) µ(du dv) du v [,1 u C(u,v ) 1 du 1 dv v C(u,v ) 1 6

7 3. Soit C λ (u,v) := λmin(u,v) + (1 λ)max(,u + v 1). Alors λ τ(c λ ) est une fonction continue et vérifie τ(c ) = 1 et τ(c 1 ) = On considère séparement les différents cas possibles : Si u > a et u > b, alors la propriété Lipschitz de la copule implique C(u,v) C(a,b) + u a + v b. Si u a et v b alors la croissance de la copule en chacun de ses arguments donne C(u,v) C(a,b). Si u a et v > b, en utilisant d abord la croissance et ensuite la propriété Lipschitz, on a : C(u,v) C(a,v) C(a,v) + v b. Le cas u > a et v b se traite de manière similaire. Dans tous les cas, on a alors C(u,v) θ + (u a) + + (v b) +. Comme par ailleurs C(u,v) min(u,v) (borne de Frechet), on a le résultat. Pour montrer que C a,b,θ est une copule, une possibilité est de montrer que C a,b,θ est la fonction de répartition du couple (U, V ) où U est uniforme sur [, 1 et V = U si U < θ ou U a + b θ, V = U + b θ si θ U < a et V = U a + θ si a U < a + b θ. 5. Soit A = {(u,v) [,1 2 : min(u,v) > θ + (u a) + + (v b) + }. Il est clair que sur A c, =, et donc, C u C v C C u v = C C u v 1 A = 1 u>a 1 u>b 1 A = 1 u>a 1 u>b 1 u>θ+u a+v b 1 v>θ+u a+v b, d où le résultat par application de (1). 6. L estimation t 1 4(a θ)(b θ) est une conséquence directe de 1. et 4. On en déduit que pour t fixé, tout θ qui vérifie cette inégalité est plus grand que la plus petite des deux racines de l équation t = 1 4(a θ)(b θ) : θ 1 2 ( a + b ) (a b) t. Comme par ailleurs C(a, b) max(, a + b 1), on a le résultat. 7. Soit X et Y les valeurs à la date T de deux actifs sous-jacents, dont on connaît les fonctions de repartition F X et F Y ainsi que le tau de Kendall t. Donner une borne supérieure sur le prix de l option sur spread de X et Y de pay-off f(x,y ) = (X Y K) +, K. Par un résultat du cours, le prix de l option sur spread peut être exprimé à partir de la copule C de X et Y : d où π(c) = π(c) K K {F Y (x K) C(F X (x),f Y (x K))}dK, {F Y (x K) T t (F X (x),f Y (x K))}dK. 7

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