Etude de Cas de Structuration Magistère d Economie et de Statistiques

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1 Etude de Cas de Structuration Magistère d Economie et de Statistiques David DUMONT - TEAM CALYON 22 avril 2008 Dans 2 ans, si l EURODOL est inférieur à 1,40 touchez 116% du nominal investi en euros, sinon recevez 116% du nominal investi converti en $ au taux de 1,40 1 Pricing a) La transformation de la courbe des taux zéro coupon discrets et continus est effectuée dans le fichier Excel (feuille courbe des taux). b) Le produit n est pas garanti en capital. La valeur actuelle de la valeur maximale est égale à 116 (1+4.36%) 2 = Eur. c) La formule du prix d un call est donnée par le modèle de Karman Kohlhagen 1 avec d 1 = ln( S t K )+(r d r f σ2 )(T t) σ(t t) C(t,S t ) = S t exp( r f (T t))n(d 1 ) K exp r d (T t)n(d 2 ) et d 2 = d 1 σ (T t). Graphiquement on voit qu il s agît de vendre un call en euros dont le est le cours euro/dollar. Fig. 1 Payoff du client (apport initial 100 Euros) en fonction du cours EuroDol La représentation de base de chaque payoff final est donnée dans la figure 2. 1 Le modèle est décrit dans l annexe du rapport. 1

2 Pay-off final Pay-off final Achat Call Vente Call Pay-off final Pay-off final Achat Put Vente Put Fig. 2 Représentation des 2 options de base, vente/achat d) Si le nominal investit est 100, alors la valeur maximale (du point de vue de l acheteur) est un gain de 116 euros. La valeur minimale atteinte est 0 euro (si l eurodol devient infiniment grand). L option peut être exercée si le cours eurodol est inférieur à Dans la feuille pricing, on calcule explicitement la valeur du call selon la formule donnée par le modèle de Garman Kohlhagen, en choisissant la volatilité à 24 mois et à 112% du taux spot (car le strike est 1.40 qui représente 112% de 1.25, la volatilité est donc σ = 20,0%). Le prix est calculé dans la feuille pricing est l on obtient : C t = Euros. Ceci est le prix de l option qui donne le droit mais non l obligation d échanger 1 Euro contre 1.40 $ dans deux ans. Si le taux de change spot dans deux ans est supérieur à 1.40 l option sera donc exercée. On déduit donc que le prix de l option qui permet d échanger 100 Euros contre 140$ dans deux ans est de Euros. e) Le payoff du client est celui de la vente d un call. En vendant le produit au client, nous lui achetons en quelques sortes un call européen de maturité T = 2 ans, dont le sous jacent est le cours EuroDol et de strike K = 1,40 EurDol. Le prix que paye le client pour avoir le droit d échanger dans 2 ans 1 euro contre (1 euro) (taux eurodol dans 2 ans) est de 0.16 euros. À l échéance, le client a un payoff de : 1.16 Euros si EuroDol < 1.40 [(1.16 Euros 1.40) 1 eurodol ] EUROS si EuroDol > 1.4 À t = 0, on vend sur le marché un call européen (T = 2, K = 1.40 Euros) au prix C, et qui réplique le revenu du client et donne le droit à T = 2 d échanger 1 Euro contre (1EURO) (EuroDol) T. Une fois le call vendu, la liquidité (1 + C) Euros est placée en trésorerie, qui la gère en la plaçant au taux sans risque domestique zero coupon r d, et l on obtient deux ans plus tard (1 + C)(1 + r d ) 2. 2

3 À T = 2 le client est payé selon le contrat établit. Le schéma de la figure 3 permet de visualiser le fonctionnement global du projet (pour 1 Euro d investi et non 100 Euros). Client 1 EUR payoff : max(eurodol 1.40, 0) Desk Structuration Achat au prix 0.16 EUR d un call au client Vente sur le marché d un call au prix C (1 + C)(1 + r d ) 2 (1 + C) EUR Trésorerie Vente option au prix C Prime C Marché : Option sur taux de change Desk Trading Delta hedging Fig. 3 Schéma de Structuration f) Si EURODOL < 1.40 : le payoff à T = 2 est (1+C)(1+r d ) Dans ce cas précis, la marge front-up est donnée en actualisant au taux sans risque domestique zéro coupon : [(1+C)(1+r d) ] (1+r d ) 2 = Eur Si EURODOL > 1.4 : le payoff à T = 2 est (1 + C)(1 + r d ) 2 1 [( ) (EuroDol) T=2 ] Euros, et la marge front-up est donc : (1+C)(1+r d) 2 [ ] 1 ( ) (EuroDol) T=2 (1+r d ) 2 Euros. g) Dès le deal effectué, la vente des 100 call sur le marché rapporte 100 C, et puisque le client a fournit 1 EURO, la valeur du produit est de 100 (1 + C) Euros à t = 0 soit h) En cas de baisse des taux zéro-coupon r d ( 100 bp), la marge de Calyon diminue forcément puisque les 100 (1+C) Euros placés au taux sans risque zéro coupon rapporteront moins. La marge front-up est alors de (1+C)r2 d [( ) 1 ] (EuroDol) T=2 Euros. rd 2 Si EURODOL < 1.4 alors la marge front-up est de 1.64 Eur. Si EURDOL > 1.4 alors la marge front-up est donnée explicitement en fonction de la valeur du cours à T = 2. Une solution peut-être d entrer dans un contrat swap qui garantira un taux fixe. Mais cet instrument a un coût et la marge s en trouvera également diminuée. i) Un allongement de la durée du placement permettrait d augmenter les intêrets des (1 + C) Euros placés. Cet allongement aurait également un impact sur le prix C de l option. Le prix augmentant, les intêrets des liquidités placées au taux sans risque augmenteraient d autant plus. 3

4 Une variation du coupon n aurait pas d influence sur le taux zéro coupon. Le prix de l option étant basé sur ce taux ainsi que la rémunération de la liquidité placée en trésorerie, une variation des coupons n a pas d influence sur les variables de notre contrat. Une augmentation de la volatilité de l EuroDol augmenterait le prix de l option. La liquidité placée en trésorerie serait donc plus importante, et la marge devrait être plus importante. Mais le risque est également plus important pour le client. Le produit devient moins attractif, et la concurrence pourrait proposer une rémunération plus importante. 2 Marché secondaire a) En utilisant l hypthèse de non arbitrage, si l on échange maintenant 1 Euro contre des dollars nous obtenons 1.25$ (cours spot). Ces 1.25$ sont placés au taux sans risque US, et un an après on obtient = $. Puisque nous avons supposé l absence d opportunité d arbitrage, on a donc que le taux EuroDol dans un an est égal à : = $ pour un euro. b) Si l on place 1 Euro au taux 2 ans, il nous rapporte dans 2 ans (1.0436) 2 Euros. Si l on place 1 Euro au taux un an, il rapporte dans un an Euros. Si cette liquidité est replacé au taux sans risque domestique 1 an, elle rapport un an plus tard (soit dans deux ans par rapport à la date de début) un montant qui doit être égal à (1.0436) 2 Euros s il n y a pas d opportunité d arbitrage. On en déduit donc le taux 1 an dans un an : (1.0436) = Le taux un an dans un an est donc de 4.89%. c) En utilisant le même principe d absence d opportunité d arbitrage, on obtient 3.89% comme étant le taux forward un an pour le zéro coupon US un an. d) On considère maintenant que l on se place un an après la date d émission. La surface de volatilité est supposée inchangée et le taux de change spot est supposé égal au taux forward précédemment calculé : Le taux zéro coupon un an est supposé égal au taux forward un an précédemment calculé : 4.89%. La valeur maximale du payoff du client est 116 euros. La valeur maximale actualisée est donc 116 ( ) = euros. e) En considérant que le taux de change forward dans un an est de 1,23796 dollars contre un euro, que le taux zéro coupon domestique est 4.89%, et que le taux zéro coupon US un an est 3.89%, et que la volatilité (fonction du strike 1.4 et de la maturité 12 mois) est de 20.4% la valeur de l option est donnée par C t=1 = Eur, soit la valeur des 100 Call : 4.8 Eur. Comme on pouvait le penser la valeur du call diminue car la valeur temps diminue et l option est toujours en dehors de la monnaie. f) La valeur du produit est la valeur à t = 0 actualisée à t = 1 par le taux 1 an ZC EUR. On obtient Eur. g) Si l on considère que le spread est de 4 pb sur le taux et 6% sur la volatilité, on a alors le prix d un call : C = Eur. Le prix du produit devient alors Eur h) Calyon est prêt à racheter le produit pour Eur. En effet, la valeur du produit est de Eur. Et la valeur de marché est de Eur. i) La valeur du produit est un an après l avoir vendu est égal à la valeur placée en trésorerie à t = 0 à laquelle on ajoute les intêrets acquis : 100(1 + C)(1 + r d ) 2 = 100(1.102)(1.0436) 2 = Eur 4

5 j) Lors de l achat d un call europen, si l on avait la possibilité d exercer avant maturité, il n est jamais optimal d exercer prématurément. Donc pour la vente d un call il est optimal d exercer dans le cas de figure présent. Je pousserai donc le client à se faire racheter son produit. Si le client s exécute, son payoff immédiat est alors de Eur (inférieur au capital de départ). k) A maturité, si l EURODOL est à 1.45 la valeur du produit est de 112 Eur. l) Il faudrait un niveau de l EURODOL égal à pour que la valeur à maturité soit de 100% c est-àdire 100 Eur. m) On pourrait aussi pricer... le même produit que précédemment mais garantissant un payoff d au moins le nominal investit. Ce produit necessiterait une vente d un call de strike 1.40 et un achat de call de strike supérieur. Tous deux de maturité 2 ans. (on a en fait ici un Bear Spread). On pourrait aussi pricer un Bull Spread, construit en achetant un call de strike 1.40 et en vendant un call de strike supérieur. Le client espere une hausse de l EURODOL On pourrait encore pricer un butterfly spread composé de vente d un call de stike inférieur à 1.25, d achat de deux call de strike 1.25 et de vente d un call de strike supérieur à Ici le client gagne si le taux de change s écarte de sa valeur spot. n) Des produits plus exotiques... On pourrait considérer une option mountain range de type Hymalayan appliquée aux changes (je ne sais pas si ce type d option appliquée aux changes existe déjà) : On considère un panier de plusieurs de taux de change (possiblement pondéré), par exemple, (EuroDol, EuroLivresSterling, EuroYEN, EuroYuan), et le payoff va dépendre du changement de devise le moins favorable. Ce genre d option pourrait servir à une multinationale vendant ses produits dans plusieurs pays et donc devises différentes et ayant besoin de se couvrir contre la plus mauvaise des évolutions des taux de changes considérés. 3 Annexe Dans notre pricing nous avons utilisé le modèle de Garman-Kohlhagen, dérivé du modèle de Black- Scholes. Voici le modèle épuré qui conduit au prix d un call sur taux de change. Considérons un taux de change spot de valeur S t à la date t (S t = valeur de 1$ en euros). Les indices f et d désignent respectivement les US et la zone EURO (foreign et domestic). On suppose que chacune de ces zones monétaires est pourvue d un taux sans risque constant r f et r d. Nous faisons maintenant l hypothèse que le taux de change S t est un processus qui suit un mouvement brownien géométrique sous la probabilité risque neutre Q : ds t S t = µdt + σdw t On note que la volatilité est constante et que le processus de prix a une tendance égale à µ. On construit maintenant un portefeuille autofinancé noté φ dont la valeur est libellée en euros. La tendance risque neutre de ce portefeuille est donc r d. Explicitons ce portefeuille : à la date 0 une unité de monnaie domestique est échangée et l on obtient 1 $. On place alors ce montant au taux sans risque US, et la valeur du portefeuille φ à la date t est alors 5

6 de exp(r ft). En convertissant en euros, nous obtenons alors la valeur du portefeuille à la date t (notée π t ) : S t exp(r f t). Ceci est une fonction de S t et en applicant le lemme d Îto à cette fonction π t(s t ) on obtient : En divisant par π t on a alors : dπ t = S t exp(r f t) ds t + r fs t exp(r f t) dt dπ t π t = ds t S t + r f dt = (µ + r f )dt + σdw t Notons à présent que tout portefeuille autofinancé libellé en euros a une tendance sous la probabilité risque neutre égale à r d. On obtient alors que µ = r d r f, ce qui nous donne la dynamique de S t : ds t S t = (r d r f )dt + σdw t. La méthodologie est ensuite similaire au modèle de Black-Scholes. En applicant le lemme d Îto on obtient une formule explicite pour S t. Le prix du call est égal à l espérance sous la probabilité risque neutre du payoff final actualisé. En définissant l espace des S t tel que l option est exercée, et moyennant un changement de probabilité et l utilisation du théorème de Girsanov (même méthodologie que le pricing d une option simple), on obtient : avec d 1 = ln( S t K )+(r d r f σ2 )(T t) σ(t t) C(t,S t ) = S t exp( r f (T t))n(d 1 ) K exp( r d (T t))n(d 2 ) et d 2 = d 1 σ (T t). 6

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