Activité 1 : Du rectangle au parallélogramme

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2 ctivité 1 : u rectangle au parallélograe 1. onstruis, sur une feuille, un rectangle de 10 de long sur 4 de large. epasse en rouge les longueurs et en vert les largeurs. alcule l'aire de ce rectangle puis découpe-le.. vec un seul coup de ciseaux, découpe le rectangle puis recolle les orceaux pour obtenir un parallélograe. Quelle est alors l aire de ce parallélograe? 3. Nadir affire : «Sur la figure suivante, les quadrilatères TU, et S ont la êe aire.». -t-il raison? Justifie ta réponse. T U S 4. eproduis sur ton cahier le rectangle ci-dessus puis prolonge en pointillés les droites () et (). Place deux points et sur la droite () pour que le parallélograe ait la êe aire que le rectangle. 5. À l'aide des questions précédentes, propose une ou plusieurs forules qui perettent de calculer l'aire du parallélograe G ci-contre. W L G 6. édige une phrase pour expliquer la forule de l'aire d'un parallélograe. Z ctivité : Perdre sa oitié Sur la figure ci-contre, est un parallélograe tel que 6 et,5. 1. alcule l'aire du parallélograe.. Quel est le syétrique du triangle rose par rapport à O? Que peux-tu en déduire pour l'aire des triangles et? O 3. éduis-en l'aire du triangle. Sur la figure ci-dessous, est un triangle tel que 5 et ans le triangle, que représente la droite () pour le côté []? 5. n t inspirant de la forule de l aire du parallélograe, donne une forule perettant de calculer l aire d un triangle. 168 IS - PIT M1 6. obien y a-t-il de façons différentes de calculer l'aire d'un triangle? xplique ta réponse.

3 ctivité 3 : Problèe de partage 1. vec le logiciel TracenPoche, place 3 points, et. n utilisant le bouton, construis le triangle. n utilisant le bouton, place le point sur le segent [] puis trace la dei-droite [).. ans la fenêtre nalyse, recopie : aire() aire() ppuie sur la touche 9 puis déplace le point pour que les aires des triangles et soient égales. 3. Où seble se situer alors le point? Que faudrait-il afficher dans la fenêtre nalyse pour confirer cette conjecture? 4. À l'aide du bouton, construis la hauteur coune aux triangles et. xplique alors le résultat que tu as observé. 5. Où faut-il placer le point sur le segent [] pour que l'aire du triangle soit dix fois plus petite que celle du triangle? ctivité 4 : vec des triangles Trace un losange dont les diagonales esurent 7,5 et 9,6. alcule son aire en le découpant en figures éléentaires dont on sait calculer l'aire.. alia a construit un trapèze rectangle de hauteur 4 et dont les deux côtés parallèles esurent 5 et 8. ide-la à calculer l aire de ce trapèze. 3. Propose une éthode pour calculer l'aire d'un quadrilatère quelconque. ctivité 5 : écoupages On considère un carré de côté 6 coposé de sept polygones particuliers coe l'illustre la figure ci-contre. On sait que le segent rouge esure, en vraie grandeur. ① ② ③ ④ ⑤ 1. Précise la nature de chaque polygone puis déterine son aire.. Sur une feuille, construis en vraie grandeur le carré et découpe les sept pièces qui le constituent. ⑥ ⑦ 3. n asseblant plusieurs de ces pièces, reconstitue chacune des figures suivantes et calcule leur aire. a. b. PIT M1 - IS 169

4 Méthode 1 : alculer l aire d un parallélograe À connaître Pour calculer l aire d un parallélograe, on ultiplie la longueur d'un côté par la hauteur relative à ce côté. h c h c xeple : éterine l aire du parallélograe suivant. On repère la longueur d'un côté. On repère la hauteur relative à ce côté. On ultiplie la longueur du côté repéré par la hauteur relative à ce côté : c h ². L'aire du parallélograe vaut 60 ². xercice «À toi de jouer» M O P 3c 9c N 8 1 éterine l aire des parallélograes MNOP et ci-contre. 15 Méthode : alculer l aire d un triangle À connaître Pour calculer l aire d un triangle, on ultiplie la longueur d'un côté par la hauteur relative à ce côté puis on divise le résultat par. h c h c c xeple : alcule l aire du triangle suivant. On repère la longueur d'un côté. 10 On repère la hauteur relative à ce côté. On ultiplie la longueur du côté repéré par la hauteur relative à ce côté puis on divise le résultat par : c h alcule l aire de chaque triangle ci-contre. 1 1 IS - PIT M xercice «À toi de jouer» 8 L'aire du triangle est égale à 15 ². 3 6c

5 Méthode 3 : alculer une aire par découpage siple xeple 1 : alcule l aire de la figure suivante. Pour calculer l'aire de cette figure, on découpe la figure en trois orceaux puis on les déplace pour reconstituer une figure connue alculer l'aire de cette figure revient donc à calculer l'aire d'un rectangle de largeur 3 et de longueur 6 : ². L'aire de cette figure est 18 ². xeple : alcule l'aire de la figure suivante. 4 4 Pour calculer l'aire de cette figure, on repère des figures siples qui la constituent puis on calcule l'aire de chacune des figures siples trouvées. Un triangle dont un côté Un rectangle de largeur Un dei-disque de rayon esure 8 et la hauteur 6 et de longueur 8.. relative à ce côté esure T ² ² π ² π ² L'aire de la figure est obtenue en additionnant l'aire du triangle et du rectangle puis en retranchant au résultat l'aire du dei-disque : T 16 ² 48 ² π ² 64 π ². L'aire exacte de cette figure est 64 π ². n prenant 3,14 coe valeur approchée du nobre π, on obtient 57,7 ². 8c alcule l'aire de chacune des figures suivantes. 1 xercice «À toi de jouer» PIT M1 - IS 171

6 5 Ne pas confondre! alculer l'aire d'un parallélograe alcule l'aire et le périètre parallélograe tracé à ain levée. 7c Sachant que l'unité d'aire est le carreau, déterine l'aire de chaque figure suivante en utilisant des aires de parallélograes. 6,5 1 vec un quadrillage 10 de ce 5 a. c. 6 alcul ental b. d. f. e. a. Trace 7. un parallélograe LU d'aire b. Trace 11. un parallélograe NOI d'aire c. Trace trois parallélograes superposables d'aires 36. non 7 L'un dans l'autre alcule l'aire de chaque parallélograe dont les diensions sont données ci-dessous. Sur la figure suivante, les points V,, L et U sont les ilieux des côtés d'un rectangle TO. a. Un côté esure 6 et la hauteur relative à ce côté esure 4. a. alcule l'aire de TO, 8 et T 6. b. Un côté esure 4,7 d et la hauteur relative à ce côté esure 7,. b. alcule l'aire de VLU de deux façons. a. L'aire du parallélograe est 36 ² et l'un de ses côtés esure 6. obien esure la hauteur relative à ce côté? b. L'aire du parallélograe est 15,1 ² et l'une de ses hauteurs esure 3,6. obien esure le côté associé à cette hauteur? h ,5 h h 4,5 14,4 ² IS - PIT M1 k Le parallélograe est tel que : 150 ; h 67 ; k 53. b. alcule la longueur de la diagonale []. 64 ² 17 a. alcule l'aire du parallélograe T L 8 Pile ou ace? 4 oplète ce tableau où, pour chaque cas, c O c désigne un côté d'un parallélograe, h la l'aire. que U 3 alcule la longueur deandée. hauteur relative à ce côté et V c. Un côté esure et la hauteur relative à ce côté esure 6,4. sachant 7,5 ² 9 L'affiration suivante fausse? Justifie ta réponse. est-elle vraie ou «Si deux parallélograes ont la êe aire, alors ils ont le êe périètre.»

7 15 Sur la figure ci-dessous, le segent [M] esure 1,6, le segent [MN] esure 6,4 et l'aire du triangle MNP est égale à,88 ². alcule la longueur du segent [PN] et la longueur h. alculer l'aire d'un triangle 10 eproduis 4, sur ton cahier la figure suivante puis trace en rouge la hauteur [] et en vert la hauteur relative au côté []. 5, 5 M 6, h 11 vec un quadrillage (bis) c. N P Sachant que l'unité d'aire est le carreau, déterine l'aire des figures suivantes en utilisant des aires de triangles. 16 MNP est un triangle b. M ire du triangle MNP NP M 7, 4,8 5,6 3,5 0,5 d 16 e. N de hauteur [M]. ecopie et coplète ce tableau. a. d. P f. 17 Mêe consigne, ais par le calcul ental. NP M 11,4 0 1,5 0 19,5 18,7 11,7 1 I 18 alcule l'aire des triangles L'unité de longueur est le centiètre. J 3, 7 13 alculer (entaleent!) pour construire a. Trace un triangle OIL rectangle en O d'aire 15. b. Trace un triangle isocèle U d'aire n utilisant les données de l'énoncé, calcule l'aire du triangle puis déduis-en les longueurs et. I 8 5 I,1 J 4, 3, 8 3 4,4,7 suivants. 4 17,5 d 7 d 3, I J alcule l'aire du triangle ci-dessous de trois façons différentes en utilisant les inforations données. ire du triangle MNP I,5, L 1,8,8 1,3 4,4 M 5 G 19 Sans figure J Un triangle a pour aire 16,5 et l'un de ses côtés esure 6,5. alcule la longueur de la hauteur relative à ce côté. PIT M1 - IS 173

8 0 On considère la figure suivante. 9,75 5 3, , 16, 5 ecopie et coplète le tableau. (On prendra 3,14 coe valeur approchée de π.) ayon iaètre Périètre ire 5,4 d 6,8 50,4 ² a. Noe la hauteur relative au côté [] dans le triangle. b. éduis de la question a. l'aire du triangle et la longueur. 6 À Mathcity, l'éetteur «adio - entre» a une portée de 10 k. de c. À l'aide d'un raisonneent seblable pour le triangle, calcule. isques 1 ffectue les calculs suivants. b. Une valeur approchée au dixièe près de l'aire d'un disque de rayon 35. c. L'aire exacte d'un disque de diaètre 8. onne la valeur exacte puis la valeur approchée au centièe près de l'aire des disques suivants, où r désigne le rayon du disque et d le diaètre du disque. a. r c. r 4,5 e. d 4,8 d b. d 3 d. r 5,6 f. d 0,4 a. alcule la superficie de la zone de réception au k² près. b. À partir du ois de septebre prochain, le conseil unicipal instaure une taxe de 10 par k². obien paiera «radio-centre»? c. La direction prévoit de changer l'éetteur pour ultiplier la portée par 3. La nouvelle taxe sera-t-elle aussi ultipliée par 3? 7 alcule l'aire et le périètre de ce stade a. L'aire exacte d'un disque de rayon 3. 3 alcule l'aire de chaque figure suivante. b. 10 a. c. d. 3, Quadrillage 4 Portions de disques a. alcule l'aire d'un dei-disque de rayon 5,. onne la valeur exacte puis une valeur approchée au ² près. b. alcule l'aire d'un quart de disque de rayon 16,4. onne la valeur exacte puis une valeur approchée au ² près. 174 IS - PIT M1 eproduis les figures ci-dessus dans des carrés de 4 de côté puis calcule l'aire de chaque surface coloriée.

9 9 onstruis un parallélograe qui a un côté de 6 de longueur, un périètre de 0 et une aire de 18 ². Justifie ta construction en indiquant tes calculs. 30 ttention travaux! 34 Le quadrilatère est un rectangle que 4, 6 et est le ilieu []. La surface colorée est forée parallélograes accolés. Montre que l'aire la surface colorée est la oitié de celle rectangle. c. obien de fois, au iniu, devra-t-il réaliser ce geste pour peindre un ur long de 6 et haut de,5? Un pâtissier doit confectionner une tarte recouverte de glaçage. Il sait qu'avec 100 g de sucre glace, il fabrique du glaçage pour une surface de 5 d². Sachant qu'il dispose de oules à tarte circulaires de diaètres, 6 ou 8, quel oule devra-t-il utiliser pour 100 g de sucre? Pare-brise Sur un pare-brise rectangulaire de 1,50 par 0,80 est fixé (au ilieu de la longueur) un essuie-glace de longueur 0,65. Trouve une valeur approchée du pourcentage de la surface balayée par rapport à celle du pare-brise. 36 La galette Portions de disques (bis) On considère un cercle de rayon r (r 0). Le nautile a. On suppose ici que r. alcule l'aire de chaque secteur circulaire dont l'angle est donné dans le tableau suivant. ngle ( ) 3 a. Quelle va être la fore de la tache de peinture ainsi réalisée? b. Le rouleau est large de 5 et d un diaètre de 8. Quelle surface du ur sera alors recouverte de peinture? Un peintre en bâtient fait l expérience suivante : il ibibe entièreent son rouleau de peinture, il le pose sur le ur, le fait rouler en lui faisant faire seuleent un tour coplet, puis le retire du ur. tel de de de du ire (²) Le nautile est un ollusque dont la coquille est spiralée et peut être schéatisée de la anière suivante. b. alcule le coefficient de proportionnalité du tableau précédent. a. eproduis ce schéa dans un quadrillage à carreaux de 1 de côté. b. alcule l'aire de la figure. c. À l'aide du a., établis la forule donnant l'aire du secteur angulaire ci-contre en faisant intervenir x, r et le nobre π. x r d. n utilisant la forule établie à la question c., calcule l'aire exacte des figures suivantes. c. alcule le périètre de cette figure. 33 Une couronne pour un roi ,4 e. éduis de la question d. l'aire exacte : 3 alcule l'aire de la couronne circulaire cicontre en arrondissant le résultat au ² le plus proche. d'un secteur angulaire de rayon 1 et d'angle 111 ; d'un secteur angulaire de rayon 8 et d'angle 50. PIT M1 - IS 175

10 37 Œuf de Pâques Voici un œuf de Pâques construit sur du papier pointé. L'unité est le centiètre. Le segent [O] esure 4. O a. Je suis un quadrilatère dont les angles opposés sont égaux deux à deux. Mon aire vaut 8 ² et on périètre 4. Mes côtés ont des esures entières. b. Je suis un parallélograe dont les diagonales sont de êe longueur. La connaissance soit de la longueur d une diagonale, soit d un de es côtés suffit pour que l on puisse calculer on aire qui est égale à 8 ². 38 ans chaque cas, construis tous les quadrilatères qui satisfont aux éniges suivantes. c. Je suis un quadrilatère non croisé qui a deux côtés consécutifs égaux et qui possède ses diagonales perpendiculaires. Mon aire vaut 4 ². Mes diagonales ont des esures entières et on centre se trouve au quart de la plus grande diagonale. onstruction a. eproduis cette figure sur ton cahier. b. Propose un prograe de construction pour cette figure. Les différentes parties de l'œuf c. herche le rayon du dei-disque rose puis calcule son aire. d. herche le rayon du huitièe de disque vert puis calcule son aire. e. Le segent [] esure 5,7. herche la longueur du segent [] puis calcule l'aire du quart de disque bleu. ire de l'œuf f. Un élève dit : «Pour calculer l aire de l'œuf, j additionne l aire de la partie rose, celle de la partie bleue et deux fois celle de la partie verte.». -t-il raison? Sinon, explique. approchée éarche expérientale onjecture avec TracenPoche a. vec TracenPoche, construis un triangle, place le ilieu M du côté [] puis trace le segent [M]. b. ans la fenêtre nalyse, recopie le texte ci-dessous, puis déplace les points de la figure. ire(m) ire(m) Que constates-tu? g. alcule l'aire du triangle rectangle. h. alcule alors une valeur dixièe de l aire de l'œuf. 39 au Un joli ruban Marion veut entourer son œuf d'un joli ruban de laine en suivant le tour de l'œuf. i. alcule une valeur approchée au dixièe de la longueur de ruban nécessaire pour parer l'œuf de ce joli ruban. c. ecopie et coplète la conjecture observée : «La d'un triangle seble le partager en deux triangles de.». éonstration d. Sur ton cahier, trace à ain levée un schéa correspondant à la figure précédente. e. Place le point, pied de la hauteur issue de du triangle. f. Écris une expression égale à l'aire du triangle M puis une autre égale à l'aire de M. g. onclus. 176 IS - PIT M1

11 1 ircuit de kart... u côté des bâtisseurs... 1re Partie : n piste... 1re Partie : Teps 1 On a représenté ci-dessous le plan d un circuit de kart dont les parties courbes sont soit des quarts de cercle, soit des dei-cercles. a. haque ebre du groupe doit construire un rectangle d'aire 1 ². Tous les rectangles du groupe doivent être différents. b. haque ebre du groupe doit construire un parallélograe d'aire 8 ². Tous les périètres des parallélograes du groupe doivent être différents. épart c. haque ebre du groupe doit construire un triangle d'aire 5 ². Tous les périètres des triangles du groupe doivent être différents. e Partie : Teps d. éterinez l'aire du pentagone suivant. 5 b. alculez la surface de gazon située au centre de la piste. 1,5 a. On réalise un arquage des bords de la piste. Quelle sera la longueur de la bande ocre située sur le bord intérieur du circuit? V,5 c. alculez la surface de bitue qu il faudra pour recouvrir entièreent la piste. e Partie : Ma piste d. éalisez aintenant le plan d un circuit de kart : qui puisse être construit sur un terrain rectangulaire de 50 de long sur 00 de large ; dont la largeur de la piste est de 10 ; dont les parties courbes sont des quarts de cercles ou des dei-cercles. Pour cela, vous utiliserez du papier quadrillé à petits carreaux où chaque côté d un petit carreau représente dans la réalité une longueur de 5. ttention : les centres des virages doivent être des points du quadrillage. 3e Partie : Tour de piste... e. Échangez le plan de votre circuit avec celui d un autre groupe pour déteriner : U 5 e. haque ebre du groupe doit construire un pentagone d'aire 45 ². Tous les pentagones du groupe doivent être différents. 3e Partie : Teps 3 f. haque ebre du groupe doit construire sur une feuille quadrillée un polygone : ayant cinq à dix côtés ; coposé de figures siples. (Vous pouvez vous aider de la question d..) g. haque ebre du groupe doit calculer l'aire de sa figure (qu'il gardera secret) puis sur une nouvelle feuille quadrillée, il ne doit tracer que les contours de son polygone. la surface de gazon située au centre de ce circuit ; h. Échangez les figures de votre groupe avec celles d'un autre groupe puis calculez l'aire des figures reçues en les décoposant en figures siples. la surface de bitue nécessaire pour recouvrir cette piste. i. aites parvenir à l'autre groupe vos résultats pour les vérifier. Pour cela, il est conseillé de repérer différentes parties qui coposent la piste. les PIT M1 - IS 177

12 1 3 4 PIX est un parallélograe P X 6 5c 4 1 Son aire est égale à 4 Son périètre est égal à 15 on ultiplie la longueur par 4 on ultiplie la longueur d'un côté par celle de la hauteur associée on calcule U T on ultiplie l'aire du triangle OT par 4 il suffit de connaître LO et OV il suffit de connaître et OV 6π 36 9π 36π L'aire de PU est égale à P PU L'aire de PU est égale à U L'aire de PU est égale à U PL L'aire de PU est égale à U P I Pour calculer l'aire d'un losange UT de centre O... Son aire est égale à 30 Son périètre est le êe que celui d'un rectangle de longueur 6 et de largeur 4 Pour calculer l'aire du parallélograe LOV... L 3 O il suffit de il suffit de connaître et connaître OS et LO OV S V L'aire d'un disque de diaètre 6 est de... 4 P 5 L U 5,5 5 3, c 5c ans quel(s) cas l'aire de la surface coloriée est 18? 3 Tu vas au bal? her ienpoche, 16 tu es notre invité pour une nuit costuée le 3 ars À partir de 18h Le code est l'aire en ² de la partie beige du carton d'invitation. L'équipe Sésaath 5 IS - PIT M1 Sur le carton d'invitation rectangulaire ci-contre, toutes les longueurs sont données en centiètres. Quel est le code?

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