Les générateurs de scénarios économiques Problématiques et modélisation des indices financiers. Le 29 Mars 2012

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1 Les généraeurs de scénarios économiques Problémaiques e modélisaion des indices financiers Le 29 Mars 202

2 Les généraeurs de scénarios économiques Inroducion Un généraeur de scénarios économiques perme de simuler des chroniques d indices financiers sur un horizon À parir de paramères refléan la siuaion du marché à une dae donnée Paramères Aléas Généraeur de Scénarios Economiques Conexes d uilisaion Valorisaion : scénarios risque-neure La valorisaion risque-neure consise à simuler les flux fuurs d un ire de manière «marke consisen» e à considérer la moyenne des flux fuurs acualisés Marke Consisen : Les scénarios uilisés pour projeer les flux son cohérens avec les prix d acifs sur les marchés Projecion sous la probabilié risque-neure : la valeurs acualisée du processus de prix es maringale Sous la probabilié risque-neure, ous les processus de prix évoluen en moyenne au aux sans risque Scénarios économiques Mesure d occurrences d événemens : scénarios monde-réel Mesurer les probabiliés d occurrences d événemens implique de projeer des faceurs de risque sous la probabilié hisorique : Éude de quaniles des variables obenues Projecion des comporemens réels des indices financiers, els qu observés dans les hisoriques Sous la probabilié hisorique, les rendemens des acifs incluen une prime de risque 2

3 Sommaire Conexes d uilisaion des scénarios économiques Problémaiques soulevées par la modélisaion financière Modèles financiers sandards Les modèles acions e immobilier Les modèles de aux Les modèles de crédi Les echniques de réducion de variance Validaion des scénarios économiques 3

4 Conexes d uilisaion des scénarios économiques Projeer des variables économiques ou financières (/2) La Marke Consisen Embedded Value La MCEV nécessie de calculer le coû des opions e garanies financières incluses dans les produis d assurance vie. Le 2 ème MCEV Principle sipule que les scénarios économiques uilisés pour évaluer la valeur sochasique soien cohérens avec les prix observés sur le marché à la dae d évaluaion scénarios marke consisen (risque-neure le plus souven) Valeur emps des opions e garanies financières Trajecoire économique «cenrale» Équivalen Cerain Moyenne empirique sur scénarios risque-neure Valeur sochasique De la même façon, la consrucion du bilan Solvabilié II fai appel aux scénarios économiques pour la valorisaion du Bes Esimae e de la NAV L allocaion sraégique d acifs Obenion d une fronière efficiene Opimisaion d une foncion objecif (renabilié, valeur du porefeuille,) sous une conraine de ype «risque» (capial économique modèle inerne, SCR Formule Sandard,) scénarios économiques uilisés pour évaluer la foncion objecif e pour mesurer le risque 4

5 Conexes d uilisaion des scénarios économiques Projeer des variables économiques ou financières (2/2) Le capial économique Solvabilié II Monan de fonds propres don doi disposer la compagnie pour faire face à une ruine économique à horizon an e au seuil de 99,5% : Implique de consruire des bilans économiques en =0 e = scénarios risque-neure pour l esimaion des BE e des NAV Implique de mesurer le quanile à 0,5% de la disribuion de fonds propres économiques à an scénarios monde-réel enre=0e= Bilan économique en 0 A(0) NAV(0) BE(0) Projecion des risques financiers e echniques Bilan économique en A() NAV() BE() Calcul de la valeur économique des passifs en = : scénarios marke consisen =0 = Évoluion des variables économiques e financières enre =0 e = : scénarios monde-réel D aures conexes fon appel aux scénarios économiques : Formule Sandard (enié Vie), disposiif ORSA, mise en place de sraégies de couverure, consrucion de bilans IFRS, 5

6 Conexes d uilisaion des scénarios économiques Elémens projeés dans les scénarios économiques La généraion de scénarios économiques implique, pour chaque simulaion e sur l horizon de projecion, la projecion de différenes grandeurs économiques e financières: Acions Taux Crédi Aures drivers Indices acions avec e hors dividende Taux de dividende acions Courbes des aux nominaux e réels Faceurs d acualisaion ou déflaeurs Indice d inflaion Spreads de crédi Probabiliés de défau Prix de zéro-coupon risqués Taux de change Grandeurs macroéconomiques Problémaiques soulevées par la généraion de scénarios économiques : Quel univers de projecion considérer (risque-neure, monde-réel)? Quelles grandeurs financières projeer? Quels modèles uiliser? Avec quelles données alimener ces modèles? Commen paramérer ces modèles? Commen simuler les aléas sous-jacens? 6

7 Sommaire Conexes d uilisaion des scénarios économiques Problémaiques soulevées par la modélisaion financière Modèles financiers sandards Les modèles acions e immobilier Les modèles de aux Les modèles de crédi Les echniques de réducion de variance Validaion des scénarios économiques 7

8 Problémaiques soulevées par la modélisaion financière Objecifs e crières de sélecion des modèles en univers monde-réel (/2) Problémaique : générer des scénarios en univers monde-réel nécessie de répliquer le comporemen des hisoriques de données Crières de sélecion e de validaion des modèles économiques uilisés en univers monde-réel : Crières de respec des propriéés saisiques des disribuion marginales : Hisorique Analyse saisique de l hisorique de données - Skewness - - Kurosis - - Reour à la moyenne - - Hééroscédasicié - Crières de calibrage EIOPA CP 69 sur le calibrage du risque acions We now have clear evidence of he excess lepokurosis and skewness... In addiion o he MSCI World Developed price index, CEIOPS invesigaed he saisical feaures of is consiuen indices. Le skewness (ou asymérie) radui l asymérie de l éalemen des queues de disribuion droie e gauche, Le kurosis (ou aplaissemen) mesure l épaisseur des queues de disribuion 8

9 Problémaiques soulevées par la modélisaion financière Objecifs e crières de sélecion des modèles en univers monde-réel (2/2) Crières d analyse des dépendances : Hisorique Analyse saisique de l hisorique de données SCR Sandard Formula aricle (d) sur la corrélaion à double sens enre acions e aux - Corrélaion - - Tail dependency - - Corrélaions à double sens - A disincion should be drawn beween correlaions beween a fall in ineres raes and a fall in equiy prices on he one hand, and beween a rise in ineres raes and a fall in equiy prices on he oher hand. La «ail dependency» désigne un phénomène de dépendance accenuée sur les queues de disribuion En siuaion «normale», deux indices peuven évoluer indépendammen ou avec une faible dépendance En siuaion sressée (en emps de crise par exemple), ces indices peuven alors présener une fore dépendance Par exemple -> dépendance d un indice acion avec sa volailié implicie Une corrélaion à double sens peu êre consaée si deux indices son corrélés différemmen selon que la siuaion économique es favorable ou défavorable 9

10 Problémaiques soulevées par la modélisaion financière Objecifs e crières de sélecion des modèles en univers risque-neure Problémaique : générer des scénarios risque-neure nécessie de répliquer des condiions de marché à un insan donné (respec de la marke consisency). Crières de sélecion e de validaion des modèles économiques uilisés en univers risque - neure : Réplicaion des condiions de marché : réplicaion des volailiés implicies, reconsiuion de la courbe de aux iniiale Condiions de marché iniiales 3.00% 2.00%.00% Marke Consisency Reconsiuion de la courbe de aux iniiale e calcul des volailiés implicies induies par le modèle Surface de volailiés observées sur le marché 0.00% Courbe des aux iniiale Diffusion du aux cour Réconciliaion avec les données de marché Caracère maringale : pour assurer la validié du calcul de valorisaion, les prix projeés acualisés doiven êre maringales Propriéé des indices 0 Valorisaion du porefeuille de passif 0 0

11 Problémaiques soulevées par la modélisaion financière Méhodes de calibrage Les données uilisées pour le calibrage dépenden de l univers considéré : Univers risque-neure Univers monde-réel Données Techniques de calibrage Données Techniques de calibrage Observaion des prix de marchés Minimisaion des écars enre les prix observés e les prix héoriques Parameres* = arg min marché modèle 2 { ( VM VMparameres) } Observaion des hisoriques d indices Méhode des momens Maximisaion de la vraisemblance Techniques de ype «filres non linéaires» Poin d aenion : le niveau de paramérage des modèles perme de minimiser la foncion cible de façon plus ou moins saisfaisane Poin d aenion : l esimaion des paramères es sensible au choix de la fenêre de calibrage (profondeur, dae de dépar, pas de emps)

12 Problémaiques soulevées par la modélisaion financière Zoom sur l analyse du risque de aux en univers monde-réel La décomposiion des sous-risques de aux en univers monde-réel: Le risque de aux es par naure muli-dimensionnel (auan de faceurs que de mauriés) Dans le cadre de projecions monde-réel, il es nécessaire de mere en exergue les faceurs principaux L Analyse en Composanes Principales perme d idenifier les sous-risques de aux majeurs (ranslaion, penificaion, courbure,) Risque de ranslaion Risque de penificaion Risque de courbure Hisorique de Taux Idenificaion des sous-risques Projecion 2

13 Sommaire Conexes d uilisaion des scénarios économiques Problémaiques soulevées par la modélisaion financière Modèles financiers sandards Les modèles acions e immobilier Les modèles de aux Les modèles de crédi Les echniques de réducion de variance Validaion des scénarios économiques 3

14 La modélisaion financière Modélisaion des indices acions e immobilier Un modèle de mouvemen brownien géomérique perme d inégrer : Un aux cour sochasique, Une srucure par ermes de la volailié, Le caracère maringale de l indice. + σ 2 + σ S log S = r 2 Il s agi d un modèle rès simple à calibrer e à implémener. En univers monde réel, ce modèle perme d inégrer une prime de risque au rendemen Z S Problémaique en univers risque neure : en praique, les volailiés ne son pas consanes selon que les opions son dans ou en-dehors de la monnaie. Ce modèle ne perme pas de prendre en compe ce phénomène. Le smile de volailié radui la non consance de la volailié des opions en foncion du prix d exercice Vol 4 mois 50% 40% 30% 20% 0% 0% Moneyness Cerains modèles permeen de prendre en compe ce phénomène : Consan Elasiciy of Variance (CEV) model ds α = rd + σs dw S Modèles à volailié sochasique Modèle de Heson, modèle SVJD α La volailié locale de l acif es alors σs 4

15 La modélisaion financière Modélisaion des indices acions e immobilier Problémaique monde réel : la réplicaion des propriéés saisiques des hisoriques amène à considérer des modèles plus complexes que le brownien géomérique : Saus sochasiques, hééroscédasicié Hisorique du CAC 40 Phénomènes de saus e hééroscédasicié de l indice acions Modèle de Meron, SVJD Processus de Lévy Asymérie, kurosis Le modèle brownien géomérique ne réplique pas bien ces crières Modèle SVJD L EIOPA, par l uilisaion du Dampener, ien compe de la conra-cyclicié de l indice acion Séries chronologiques Niveau de l indice en Saisonnalié, cycles Si l indice es hau, amplificaion du choc Si l indice es bas, aénuaion du choc Zoom sur le modèle SVJD (Sochasic Volailiy Jump Diffusion) Faceur de risque niveau acion Nombre de saus sur M~ Poisson Niveau acion : Volailié acion : S log S ν + + = ( δ λµ ) = ν + k( θ ν ) + σ J Faceur de risque volailié acion v ν + 2 ν Z v Z S ν + M k= X Volailié sochasique k Inensié de chaque sau 5

16 La modélisaion financière Présenaion des modèles de aux Principe : diffuser des courbes de aux. Les prix d obligaions son ainsi déduis des courbes de aux. Il exise différenes courbes de aux (aux swaps, aux d Ea, aux inerbancaires,). Quelle variable sous-jacene modéliser? Le aux insanané Modèles : CIR, Vasicek, BK, Le aux forward inanané Modèles : HJM, Le aux forward LIBOR Modèles : LMM, (SMM) Problémaiques opéraionnelles La généraion de aux négaifs ou explosifs (>00%) peu êre difficilemen exploiable dans le modèle ALM. Des reraiemen peuven êre nécessaires (aux bornés enre 0% e X% par exemple). Problémaiques financières La qualié des différens modèles peu êre comparée grâce au respec des crières de calibrage Pour une uilisaion en univers risque neure, réconciliaion de la courbe de aux iniiale e des volailiés de marché Pour une uilisaion en univers monde réel, respec des propriéés saisiques des disribuions d hisoriques 6

17 La modélisaion financière Modèles de diffusion des aux insananés Hull Whie à Faceur (Vasicek éendu) Exisence de formules fermées pour le calcul des prix des zéro-coupons e de leurs dérivés calibrage rapide des paramères du modèle Modèle à faible dimension (2 paramères a e σ) ceraines surfaces de volailié complexes son difficiles à répliquer dr ( θ ar) d+ σ dw =. Black Karasinski à 2 Faceurs Taux cour sochasique : Taux long sochasique : d d ln( r( )) = α ln( m( )) = α ( ln( m( )) ln( r( )) ) d + 2( µ ' ln( m( )) ) d + σ2dw2 σ dw Il n exise pas de formules fermées pour le calcul des prix des zéro-coupons Nécessié d un pricing par arbre : calibrage complexe. Surface de volailié non adapée aux observaions sur le marché Présence d asymérie e d épaisseur de queue répondan aux exigences d un calibrage en univers monde réel. 7

18 La modélisaion financière Modèles de diffusion des aux forwards Le Libor Marke Model (à p faceurs) Veceurs de volailié des aux LIBOR Simulaion des aux forward (d où son déduis les aux spo) dfi F( ) i p ( ςj, q( ) ςi, q( ) ) i p ( ) q= m ( ) = d+ ς + δf( ) j= m( ) δ F( ) j j q= i, q ( ) dw q ère maurié suivan la dae Mouvemen Brownien sandard sous la probabilié forward neure de maurié Modèle de marché permean de diffuser des aux forwards. Les prix zéro-coupon son direcemen déduis des forwards, e il exise des formules fermées pour calculer le prix de leurs dérivés Modèle qui perme de bien répliquer la surface de volailié de marché Présence d asymérie e d épaisseur de queue modèle pouvan s adaper à la diffusion en univers monde réel Densiés des modèles HW faceur e LMM 2 faceurs Modèle LMM Modèle HW 8

19 La modélisaion financière Modélisaion du risque de crédi Définiions : le risque de crédi es le risque de pere conséquene au défau d un empruneur Le spread de crédi correspond au rendemen supplémenaire que demande le marché pour rémunérer la prise de risque de crédi. Risque de crédi Défau Risque de faillie de l émeeur (occurrence de l évènemen de défau e recouvremen en cas de défau) Ecaremen du spread Risque de dégradaion de la valeur d un acif suie à une augmenaion des spreads de crédi Changemen de noaion Risque de dégradaion de la valeur d un acif suie à un changemen de noaion de l émeeur Environnemen e risques modélisés : En univers risque neure : modélisaion des spreads e/ou des probabiliés de défau En univers monde réel : modélisaion des risques d écaremen des spreads, de changemen de noaion e de défau de l'émeeur L occurrence d un défau peu impacer rès foremen le calcul d un quanile 9

20 La modélisaion financière Modélisaion risque neure Modèles de firme Projecion du bilan de la sociéé émerice afin de déerminer la survenance du défau (Modèle de Meron) Modèles à forme réduie Projecion de la probabilié de défau (modèle LMN) Taux risqué Modèles de noaion de crédi En univers risque neure, l informaion reenue es l évoluion en espérance des raings sur chaque rajecoire (e non à l évoluion ligne à ligne des raings) Simulaion de changemens de raing en probabilié (modèle de Lando) rc = r + λ Taux sans risque Spread de crédi ou prime de risque Ea iniial Aaa Aa A Bbb Bb B Ccc Defaul Marice de ransiion - Q() - Aaa Aa A Bbb Bb B Ccc Defaul Marice de ransiion - Q(2) - Aaa Aa A Bbb Bb B Ccc Defaul 20 T=0 T= T=2

21 La modélisaion financière Modélisaion monde réel Modélisaion de l écaremen des spread Séries chronologiques ex : GARCH(,) : prise en compe de l hééroscédasicié des résidus de la série emporelle λ = a+ bλ σ 2 = ω+ α + σ ε 2 2 ( σ ε ) + βσ Volailié du spread de crédi Modélisaion du changemen de noaion En univers monde réel, l informaion reenue es la ransiion de noaion ligne à ligne Simulaion des occurrences de défau (évènemen binaire : défau ou non défau) par opposiion à une probabilisaion de l évènemen de défau. Simulaion Simulaion N A A AA BB B AA T=0 T= T=2 2

22 La modélisaion financière Modélisaion des dépendances en univers monde réel La modélisaion des dépendances enre les différens risques modélisés se fai par le biais de copules appliquées sur les faceurs de risque Une copule Gaussienne es souven uilisée Déerminaion d une corrélaion enre 2 faceurs de risque Applicaion de la corrélaion via la ransformée de Cholesky Problémaiques liées à la dépendance : L analyse saisique des hisoriques me en évidence des phénomènes de corrélaions à «double sens» enre différens drivers Décorrélaion en siuaion économique favorable Corrélaion de crise Il n es pas possible d esimer les corrélaions ou dépendances lors du calibrage risque neure. Les dépendances uilisées son déerminées par une esimaion de ype monde réel 22

23 Sommaire Conexes d uilisaion des scénarios économiques Problémaiques soulevées par la modélisaion financière Modèles financiers sandards Les modèles acions e immobilier Les modèles de aux Les modèles de crédi Les echniques de réducion de variance Validaion des scénarios économiques 23

24 Les echniques de réducion de variance usuelles Réducion de variance En siuaion de marché sressé, un grand nombre de scénarios risque neure es nécessaire pour que les indicaeurs convergen. Des echniques de réducion de variance permeen d améliorer la convergence à nombre de scénarios fixé La convergence dépend de la répariion des aléas simulés Variables anihéiques Généraion pour chaque scénario de sa rajecoire miroir simulaion de la moiié du nombre de scénarios requis L espérance calculée sur l ensemble des rajecoires converge plus rapidemen Suies de Sobol Suie de nombres quasi-aléaoire l aléa généré es maîrisé à discrépance faible les nombres générés son «bien réparis» Suie de Sobol Suie uniforme Illusraion Indice 2,5 0,5 0 Scénario iniial Scénario Miroir Scénario Cenral Poin d aenion : La qualié de la répariion des nombres diminue avec le nombre de dimensions (faceurs de risque x périodes de projecion) recours aux Pons browniens Dae 24

25 Sommaire Conexes d uilisaion des scénarios économiques Les modèles financiers uilisés sur le marché Objecifs e crières de sélecion des modèles Les modèles acions e immobilier Les modèles de aux Les modèles de crédi Problémaiques soulevées par la modélisaion financière Les echniques de réducion de variance Validaion des scénarios économiques 25

26 Validaion des scénarios économiques Tess maringales e ess de marke consisency en univers risque neure Les indices générés doiven êre maringales A chaque dae de projecion : Indice Tes Maringale Mise en œuvre Déflaeur Inflaion Indice Acion ZC nominal ZC réel Ε[ ] P(0, ) D = n Ε[ DI] P(0, ) = Ε[ S] S r D = Ε[ DP(, T)] P(0, T) n = Ε[ DIP(, T)] P(0, T) r = 0 n r Diffusion de l indice S ( ) 2 S ( )... N S ( ) Indice en dae N i i S(0) D( ) S( ) Ecar i= 0.99 % % Tes maringale Pour s assurer que la able es cohérene avec les prix de marché, il fau recalculer par méhode simulaoire les prix des acifs uilisés pour calibrer les modèles : Pour l indice acion, recalcul du prix d opions sur plusieurs mauriés : C N N + ( T) = Di( T).( Si( T) K) C marché (T) N i= 26

27 Validaion des scénarios économiques Validaion e sélecion des modèles monde réel La validaion des modèles considérés doi reposer sur des crières saisiques e s appuyer sur des recommandaions du régulaeur ainsi que différens crières menionnés dans ses ravaux de calibrage : Propriéés saisiques des hisoriques Modèles esimés Analyse des hisoriques Asymérie Lepokuricié Modélisaion des indices SVJD: = = Hééroscédasicié Reour à la moyenne GARCH: ln = = Auocorrélaion Auocorrélaion parielle Validaion e sélecion des modèles HJM:, =, = BK, HW, QQ-plo Documens de référence : - Consulaion Papers - Calibraion paper QIS5 - Analyses de la conformié avec les recommandaions ACP Crières saisiques : ess de Kolmogorov-Smirnov, du chi 2, es de décorrélaion de Ljung-Box, crières BIC, AIC, Tes Ljung-Box KS-Tes 27