ENGRENAGES - GENERALITES

Transcription

1 ENGRENAGES - GENERALITES Ci-dessous des courbes présentes dans la théorie et la pratique des roues dentées, ou encore dans les mécanismes à came. Cycloïde (normale, à points de rebroussement) C'est la courbe décrite par un point M d'un cercle de rayon R qui roule sans glisser sur une droite. La courbe est périodique de période R. Un point M est défini par : x R sin étant l'angle IOM. y R1 cos C'est Galilée qui a donné son nom à cette courbe que Roberval voulait appeler "trocoïde" et Pascal "roulette". Cycloïde raccourcie (à points d'inflexion) En posant OM R avec 1 un point M de cette courbe est défini par : x R sin y R1 cos Cycloïde allongée ou trochoïde En posant OM R avec 1 un point M de cette courbe est défini par x R sin y R1 cos Néphroïde (épicycloïde à rebroussements) Si l'on fait rouler sur un cercle un autre cercle de rayon moitié, un point de ce dernier cercle décrit une courbe du sixième ordre unicursale. Les équations paramétriques sont par exemple : x a sin sin y acos cos 4 L'équation cartésienne est : x y 4a 108a Cette courbe appelée parfois épicycloïde de Huygens a été considérée en effet par ce savant en Il l'a rencontrée dans des études de caustiques par réflexion. Le nom de néphroïde lui a été donné par l anglais Proctor en x

2 Epicycloïde Hypocycloïde Le cercle roulant est à l'extérieur du cercle de base Le cercle roulant est à l'intérieur du cercle de base L'épicycloïde, ou l'hypocycloïde, est transcendante si r est incommensurable avec R. Ici R r 7 Astroïde (Hypocycloïde à 4 rebroussements) Hypocycloïde à rebroussements C'est une unicursale du sixième ordre, enveloppe des positions Le cercle roulant est à l'intérieur, et trois fois plus petit d'un segment de longueur fixe dont les extrémités décrivent que le cercle de base. C'est une quartique unicursale. les deux axes de coordonnées. Forme paramétrique : Sous forme paramétrique on a : x acos x acos cos forme cartésienne : et en cartésien : y asin y asin sin x y a ou bien x y a 7a x y 0 Cette courbe a été étudiée par de nombreux géomètres et en particulier par Jean Bernoulli. 4 x y 8axy x 6a x y a 0 En 174, Euler, en étudiant un problème de réflexion de rayons lumineux, a rencontré cette courbe, retrouvée plus tard par Steiner (174).

3 Spirale d'archimède : courbe obtenue par un point extérieur à une droite qui roule sans glisser sur un cercle. Equation générale : a éveloppantes éveloppante d'un contour polygonal eux développantes d'une courbe C éveloppante de cercle Un point d'une droite qui roule sans glisser sur un cercle décrit une développante de ce cercle. La définition paramétrique est : x Rcos sin y Rsin cos Cette courbe a été envisagée par Huygens en 169. Cette courbe a été choisie comme forme du profil des dents d'une roue dentée car elle découle directement du principe de transmission issu lui-même des roues de friction. Elle présente des avantages nets par rapport à d'autres courbes (comme des arcs de cycloïde)

4 Illustration de l'obtention du profil en développante (taillage par crémaillère) pignon crémaillère La crémaillère (dotée d arêtes coupantes car c est l outil de coupe) possède un mouvement rectiligne alternatif, de direction perpendiculaire à cette feuille. 4

5 SYSTEMES EPICYCLOIAUX ou TRAINS PLANETAIRES es groupes de roues dentées sont appelés ainsi, lorsqu'une roue, au moins, possède deux mouvements de rotation simultanés : - l un autour de son propre axe de rotation, - l autre autour d'un axe parallèle ou perpendiculaire au précédent. Ceci suppose la présence d'une pièce appelée porte-satellite, animée elle-même d'un mouvement de rotation. La roue ayant les deux rotations s'appelle le satellite. Les roues qui sont en prise avec lui sont les planétaires. Un point du satellite décrit une épicycloïde par rapport au planétaire central et une hypocycloïde par rapport au planétaire couronne. Si les roues sont cylindriques, le train est dit plan. Si les roues sont coniques, le train est dit sphérique. 1- étermination de la relation dite "de Willis" Par rapport à () le porte-satellites, on peut écrire : B / A / A B 4 / 1 / et / C / C / 4 / En multipliant membre à membre on obtient : 4 / 1/ / 4 / / 1 / A B C mais / 0 / et 1 / 1 0 / 1 donc / / A 0 0 C PS ou bien rb 1/ 0 B P PS avec : vitesse angulaire de la dernière roue du train P vitesse angulaire de la première roue du train vitesse angulaire du porte-satellites r b PS raison algébrique interne ou de base du train (obtenue en immobilisant par la pensée le porte-satellites et en libérant toutes les roues). Caractéristiques par rapport aux trains classiques : - possibilités de très grands rapports de vitesses, - moins de roues dentées à rapport égal, donc encombrement réduit, compacité, - possibilité de sommes ou différences de vitesses angulaires (différentiels), - rendement plus élevé, - plus coûteux.

6 - Trains sphériques Ce sont des trains d'engrenages comportant des pignons coniques à axes généralement orthogonaux. Ils sont, entre autres, utilisés pour l'automobile dans ce que l'on nomme les différentiels. La règle des contacts extérieurs ne s'applique pas ici, et il faut chercher directement sur le schéma ou le dessin les sens de rotation. L'engrenage 1- est un couple hypoïde car les axes de 1 et (ou ) ne sont pas concourants. Les planétaires sont et. Les satellites 4 et 6. La première roue menante du train est. La dernière roue menée est. Le calcul donne : 4 r b Les nombres de dents étant nécessairement égaux pour 4 et, ainsi que pour 4 et 6, on obtient alors r = -1. La relation de Willis donne : 1 soit enfin 6

7 iscussion de cette relation En ligne droite sur sol sec les deux roues ont la même vitesse, donc. Les satellites ne tournent pas autour de leur propre axe, ils se comportent comme des obstacles vis-à-vis des deux planétaires. En ligne courbe, la roue intérieure tourne moins vite que la roue extérieure donc mais on a encore Si une roue se trouve sur une surface à facteur de frottement voisin de zéro ( 0), alors 0 et, donc la roue qui "patine" tourne deux fois plus vite que si les deux roues étaient motrices. Applications : En automobile, permet de transmettre une puissance à deux roues qui n'ont pas la même fréquence de rotation. En mécanique, utilisé par exemple dans les machines à tailler les engrenages par fraise-mère. Voir ci-dessous le montage du différentiel d'une telle machine. Remarques : Pour l'automobile, le couple moteur va toujours vers la roue la moins chargée, donc celle qui a l'adhérence la plus faible. Avec un véhicule équipé d'un différentiel classique, il est donc difficile voire impossible : - de démarrer si l une des deux roues motrices est sur du verglas ou du sable. - de contrôler la trajectoire du véhicule en virage serré où la roue intérieure est "délestée" à cause des actions d'inertie centrifuges. - d'éliminer le danger de dérapage à grande vitesse par suite d'adhérence inégale des roues. Pour pallier ces inconvénients, on utilise divers mécanismes qui vont bloquer partiellement ou totalement le train épicycloïdal. Ce sont les différentiels à glissement limité et les différentiels autobloquants. 7