Réciproque du théorème de Pythagore Exercices corrigés

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1 Réciproque du théorème de Pythagore Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercices 1 et 2 : montrer qu un triangle est rectangle Exercice 3 : montrer que deux droites sont parallèles Exercice 4 : montrer que deux droites sont perpendiculaires dans un quadrillage Exercice 5 : étudier la nature de triangles et d un quadrilatère Rappel : Réciproque du théorème de Pythagore Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. Par ailleurs, le plus grand côté est alors appelé hypoténuse. utrement dit, si l égalité suivante est respectée: lors, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. 1 er autre côté plus grand côté 2 e autre côté C Si, alors d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle est rectangle en et désigne l hypoténuse du triangle. quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore? à prouver qu un triangle est rectangle ttention! Ne pas confondre la réciproque du théorème de Pythagore et la contraposée du théorème de Pythagore, cette dernière permettant de montrer qu un triangle n est pas rectangle. Rappel : Hypoténuse d un triangle rectangle Dans un triangle rectangle, L'HYPOÉNSE est le côté opposé à l'angle droit. Il s agit en fait du côté le plus long de ce triangle. Hypoténuse ngle droit 1

2 Exercice 1 (1 question) Soit un triangle tel que, et. Niveau : facile Le triangle est-il rectangle? Correction de l exercice 1 nalysons tout d abord la figure et récapitulons les informations fournies par l énoncé. plus long côté Le codage de la figure ne nous permet pas de préciser la nature du triangle. L énoncé nous fait connaître les longueurs des trois côtés du triangle, parmi lesquels est le plus long. Rappel : Nature d un triangle Il existe des triangles quelconques (aussi appelés triangles scalènes), sans caractéristiques particulières, et des triangles particuliers. Parmi les triangles particuliers, on a : les triangles équilatéraux, dont tous les côtés sont de même mesure et dont tous les angles sont de même mesure ( ) les triangles isocèles, dont deux des trois côtés sont de même mesure et dont deux de trois angles sont de même mesure les triangles rectangles, dont un angle mesure (on parle alors d angle droit) les triangles rectangles isocèles, qui sont à la fois rectangles et isocèles Déterminer la nature d un triangle, c est préciser si ce triangle est quelconque ou s il est particulier. Remarques importantes à prendre en compte dans tout exercice de géométrie : Dans cet exercice, l unité de longueur est commune à tous les segments puisqu il s agit du centimètre. Il ne faut jamais oublier d exprimer chacune des mesures dans la même unité afin de ne pas fausser les calculs. Ne pas confondre les écritures et. En effet, désigne un segment alors que désigne une distance. Proposons désormais une correction détaillée de l exercice, étape par étape. 2

3 1 ère étape : On repère le plus long côté du triangle. D après l énoncé, est un triangle tel que, et. Donc le côté le plus long du triangle est le côté. 2 ème étape : On calcule le carré de la longueur du plus long côté. donc 3 ème étape : On calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. 4 ème étape : On compare les résultats obtenus. Rappel : Comparaison de deux nombres Comparer deux nombres, c est préciser s ils sont égaux (symbole ) ou, s ils sont inégaux (symbole ), lequel est le plus grand (ou le plus petit). On a donc d une part et d autre part ; autrement dit, on a l égalité suivante :. 5 ème étape : On précise la réciproque à laquelle on fait appel. donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que : 6 ème étape : On conclut, sans oublier d indiquer en quel point le triangle est rectangle. Le triangle est rectangle en. Proposons désormais une correction pouvant être notée sur la copie. D après l énoncé, est un triangle tel que, et. Donc le côté le plus long du triangle est le côté. Calculons d une part le carré de la longueur du plus long côté du triangle : Calculons d autre part la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : Comparons les résultats obtenus : et donc Par conséquent, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en. 3

4 Remarque : On peut alors coder la figure : hypoténuse Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile Soit un triangle tel que, et. Prouver que le triangle est rectangle et préciser son hypoténuse. Correction de l exercice 2 Commençons par exprimer les longueurs dans la même unité (par exemple en millimètres, notamment afin d obtenir des nombres entiers naturels et donc afin de faciliter par la suite les calculs). Dans le triangle, le côté est le plus long. Calculons d une part le carré de la longueur de ce plus long côté du triangle : Calculons d autre part la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : Comparons désormais ces résultats : et donc. Par conséquent, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en et en est l hypoténuse. O mm I hypoténuse mm mm E 4

5 Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen On considère le schéma ci-contre. 1- Les triangles et sont-ils rectangles? 2- Les droites et sont-elles parallèles? R V E Correction de l exercice 3 1- Précisons si les triangles et sont rectangles. Considérons tout d abord le triangle. D après le schéma,, et. Donc le côté est le plus long du triangle. Calculons d une part le carré de la longueur de ce côté : côté le plus long V R Calculons d autre part la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : E insi,. Par conséquent, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en. Considérons désormais le triangle. D après le schéma,, et. Donc le côté est le plus long du triangle. Calculons d une part le carré de la longueur de ce côté : V R Calculons d autre part la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : E côté le plus long insi,. Par conséquent, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en. En conclusion, les triangles et sont rectangles respectivement en et en. 5

6 2- Cherchons à préciser si les droites et sont parallèles ou sécantes. D après la question précédente, le triangle est rectangle en. Donc les droites et sont perpendiculaires. Par ailleurs, le triangle est rectangle en. Donc les droites et sont perpendiculaires. Par conséquent, les droites et sont toutes deux perpendiculaires à une même droite, en l occurrence à la droite ; et sont donc parallèles. Exercice 4 (2 questions) Niveau : moyen L unité de longueur est le côté d un carreau. I M 1- En s aidant du quadrillage ci-dessus, calculer et. 2- Prouver que les droites et sont perpendiculaires. Correction de l exercice 4 Remarque : La principale difficulté de cet exercice tient au calcul de et puisqu on ne connaît pas les longueurs respectives des segments et. Il convient donc de s appuyer sur le quadrillage et d introduire un nouveau point pour mettre en évidence des triangles rectangles. 6

7 côtés de carreaux côtés de carreaux I H côtés de carreaux M 1- Calculons et. Notons le point de tel que mesure 4 côtés de carreaux. Les triangles et sont alors rectangles en. Par ailleurs, on a les mesures suivantes :, et. Rappel : héorème de Pythagore Si un triangle est rectangle, alors, d après le HÉORÈME DE PYHGORE, le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. utrement dit, d après le théorème de Pythagore, on a l égalité suivante : Hypoténuse Hypoténuse Hypoténuse C C C Le triangle est rectangle en donc, d après le théorème de Pythagore : Le triangle est rectangle en donc, d après le théorème de Pythagore : Le triangle est rectangle en donc, d après le théorème de Pythagore : Le triangle est rectangle en donc, d après le théorème de Pythagore, on a l égalité suivante : Le triangle est rectangle en donc, d après le théorème de Pythagore, on a l égalité suivante : 7

8 En résumé, et. 2- Montrons que les droites et sont perpendiculaires, c est-à-dire montrons que le triangle est rectangle en. D après la figure, donc. Dans le triangle, le segment désigne le côté le plus long puisque et. D une part,. D autre part,. Donc. Par conséquent, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en. utrement dit, les droites et sont perpendiculaires. côtés de carreaux I M Exercice 5 (4 questions) Niveau : difficile Le point appartient au segment. On donne les mesures suivantes :, et. Les segments de couleur identique sont égaux. Quelle est la nature des polygones suivants : 1-? 2-? 3-? 4-? O C E L 8

9 Correction de l exercice 5 D après le codage de la figure : 1- Précisons la nature du triangle. Les mesures des côtés du triangle sont toutes différentes donc ne peut être ni équilatéral ni isocèle. O Le côté le plus long de ce triangle est. donc Par ailleurs, insi, donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en. C E L 2- Précisons la nature du triangle. Les mesures des côtés du triangle sont toutes différentes donc ne peut être ni équilatéral ni isocèle. O Le côté le plus long de ce triangle est. donc Par ailleurs, insi, donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en. C E L 3- Précisons la nature du triangle. D après le codage, donc le triangle est isocèle en. Remarquons tout d abord que la réciproque du théorème de Pythagore ne peut être ici appliquée puisque seules deux mesures sont connues. Cherchons cependant à montrer si le triangle est rectangle. O C E L Les triangles et ont les mêmes dimensions (on dit qu ils sont isométriques). On en déduit que leurs angles sont deux à deux égaux et on a en particulier. 9

10 Comme le triangle est rectangle en, les angles et sont complémentaires. utrement dit, la somme de ces angles est égale à :. Or, donc. En outre, l énoncé précise que. Donc l angle est un angle plat. utrement dit,. Or, les angles et sont adjacents car ils ont le même sommet, ont pour côté commun le segment et sont tracés de part et d autre de ce côté commun les angles et sont adjacents car ils ont le même sommet, ont pour côté commun le segment et sont tracés de part et d autre de ce côté commun. Par conséquent,. Comme, il résulte que. D autre part, comme, on a donc, c est-à-dire. Le triangle est donc rectangle en. En conclusion, est un triangle rectangle isocèle en. 4- Précisons la nature du quadrilatère. D après la question 1, le triangle est rectangle en donc les droites et sont perpendiculaires. D après la question 2, le triangle est rectangle en donc les droites et sont perpendiculaires. donc les droites et sont confondues. insi, les droites et sont toutes deux perpendiculaires à la droite ; en conséquence, les droites et sont parallèles. Donc le quadrilatère est un trapèze. Par ailleurs, et donc les côtés opposés et ne sont pas de même mesure. insi, n est pas un parallélogramme. Enfin, dans le trapèze, les angles en et en sont droits donc est un trapèze rectangle. 10