Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables

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1 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables Jean-Pierre D ly Institut Fourier, Université de Grenoble I BP74, 100 rue des Maths, Saint-Martin d Hères 1. Introduction L objectif de ces notes est d introduire quelques résultats fondamentaux de nature algébrique relatifs aux fonctions holomorphes de plusieurs variables. Henri Cartan y a contribué de manière essentielle en développant la théorie des faisceaux cohérents, qui est aujourd hui l un des fondements de la géométrie analytique complexe tout comme de la géométrie algébrique. Henri Cartan soutient sa Thèse de Doctorat ès Sciences en 1928 sous la direction de Paul Montel, sur le thème Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés linéaires lacunaires et leurs applications. Cette thèse porte principalement sur la théorie de la distribution des valeurs des fonctions d une variable, dans le droit fil des travaux de Nevanlinna, mais les premiers travaux de Cartan sur les fonctions de plusieurs variables complexes remontent déjà à cette époque. On peut noter en particulier un article de 1932 en commun avec le mathématicien allemand Peter Thullen sur les singularités des fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes, dans lequel est développée la théorie des domaines d holomorphie il s agit des domaines convexes par rapport aux fonctions holomorphes, généralisée de nos jours grâce à la notion de variété de Stein. Pour la suite de l histoire, écoutons ce qu écrit Henri Cartan lui-même dans sa notice de travaux publiée par l Académie des Sciences en 1973 : L étude des problèmes globaux relatifs aux idéaux et modules de fonctions holomorphes m a occupé plusieurs années, en partant des travaux d Oka. Dès 1940, j avais vu qu un certain lemme sur les matrice holomorphes inversibles joue un rôle décisif dans ces questions. Ce lemme est énoncé et démontré en 1940 dans [19]; dans ce même travail, j en fais diverses applications, et je prouve notamment que si des fonctions f i (en nombre fini), holomorphes dans un domaine d holomorhie D, n ont aucun zéro commun dans D, il existe une relation i c if i = 1 à coefficients c i holomorphes dans D. Dans [22], j introduis la notion de cohérence d un système d idéaux et je tente de démontrer les théorèmes fondamentaux de ce qui deviendra la théorie des faisceaux analytiques cohérents sur une variété de Stein; mais je n y parviens pas dans le cas le plus général, faute de réussir à prouver une conjecture que K. Oka démontrera plus tard (1950) et qui, en langage d aujourd hui, exprime que le faisceau des germes de fonctions holomorphes est cohérent. Sitôt que j eus connaissance de ce théorème de Oka (publié avec beaucoup d autres dans le volume 78 du Bulletin de la Société mathématique de France), je repris l ensemble de la question dans [29], en introduisant systématiquement la notion de faisceau (introduite alors par Leray en Topologie) et celle de faisceau cohérent (mais pas encore dans le sens plus général et définitif qui sera celui de mon Séminaire ). Il s agit essentiellement de ce qu on appelle aujourd hui les théorèmes A et B. Cependant, la, formulation cohomologique générale du théorème B ne viendra que dans le Séminaire cité, à la suite de discussions avec J.-P. Serre. La conférence [35] est consacrée à une exposition d ensemble de ces questions (sans démonstrations), avec indications sur les diverses applications qui en découlent pour la théorie globale des variétés de Stein, et en particulier pour les problèmes de Cousin.

2 2. L anneau local des germes de fonctions holomorphes 2 Terminons par un bref plaidoyer pour la géométrie analytique. On doit à Descartes l idée essentielle qu il est possible de ramener des problèmes de géométrie à des calculs effectués dans des systèmes de coordonnées, ce qui a rapidement permis d utiliser de manière très efficace les outils de l algèbre et les méthodes de résolution des équations linéaires ou algébriques. La géométrie algébrique consiste précisément à étudier les propriétés générales des solutions des systèmes d équations polynomiales. Dans un contexte moderne, on peut se placer sur un corps quelconque, mais les corps R et C restent particulièrement intéressants puisqu ils correspondent aux espaces euclidiens usuels de la Physique. Sur le corps C des nombres complexes, on a l immense avantage que tout polynôme admet autant exactement autant de racines que le degré (en comptant les multiplicités). Il en résulte que l ensemble des solutions d un système d équations polynomiales reflète beaucoup plus fidèlement la structure algébrique de ces équations lorsqu on se place sur C que lorsqu on se place sur R, et beaucoup d énoncés deviennent en réalité plus simples et plus réguliers. Il en est ainsi par exemple du théorème de Bezout qui dit que l intersection de deux courbes algébriques irréductibles distinctes de degrés p et q comporte exactement pq points, à condition de compter les multiplicités et les points à l infini sur C, alors que. Cependant, il existe des fonctions très naturelles qui ne sont pas polynomiales, comme la fonction exponentielle, pourtant solution d une équation différentielle algébrique simple. La géométrie analytique moderne, en particulier celle développée par Henri Cartan, consiste à étendre au cadre analytique, c est-à-dire aux séries entières convergentes de plusieurs variables complexes, la plus grande partie des propriétés algébriques des polynômes à coefficients dans C. D une certaine manière, la géométrie analytique est une complétion de la géométrie algébrique il existe même des questions purement algébriques que l on ne sait résoudre aujourd hui que par voie analytique un peu comme les réels ou les complexes permettent de résoudre des équations algébriques ou différentielles qu il serait impossible de résoudre dans le corps des rationnels ou des nombres algébriques. 2. L anneau local des germes de fonctions holomorphes 2.A. Théorème de préparation de Weierstrass Notre premier objectif sera d établir un théorème fondamental concernant la factorisation et les propriétés de divisibilité des fonctions holomorphes de plusieurs variables, essentiellement dû à Weierstrass. Nous suivons ici une preuve classique donnée par C.L. Siegel, s appuyant sur un usage astucieux de la formule de Cauchy. Soit g une fonction holomorphe définie sur un voisinage de 0 dans C n, g 0. On sait que g admet un développement sous forme d une série entière g(z) = a α z α, α = (α 1,...,α n ), z α = z α1 1...zα n n α N n convergeant sur un polydisque de C n assez petit, noté D(0,r) := D(0,r 1 )... D(0,r n ), D(z 0 j,r j) = { z j z 0 j < r j}. Il existe un ensemble dense de vecteurs v C n {0} tel que la fonction C t g(tv) ne soit pas identiquement nulle. En effet, la série de Taylor de g à l origine peut s écrire g(tv) = + k=0 1 k! tk g (k) (v) où g (k) (v) = α =k a αv α est un polynôme homogène de degré k sur C n (on note ici α la longueur α α n du multi-indice α). On a par hypothèse g (k 0) 0 pour un certain indice k 0. Par conséquent, il suffit de choisir v tel que g (k 0) (v) 0. Après un changement linéaire de coordonnées, on peut supposer que v = (0,...,0,1). Soit s l ordre d annulation de

3 3 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables z n g(0,...,0,z n ) en z n = 0. Il existe r n > 0 tel que g(0,...,0,z n ) 0 pour 0 < z n r n. Par continuité de g et par compacité du cercle z n = r n, il existe r > 0 et ε > 0 tels que g(z,z n ) 0 pour z = (z 1,...,z n 1 ) C n 1, z r, r n ε z n r n +ε. Pour tout entier k N, considérons l intégrale S k (z ) = 1 1 g 2πi z n =r n g(z (z,z n )z,z n ) z ndz k n. n Alors S k est holomorphe dans un voisinage de z r. Le théorème de Rouché montre que S 0 (z ) est le nombre de racines z n de g(z,z n ) = 0 dans le disque z n < r n, donc par continuité S 0 (z ) doit être une constante s. Notons w 1 (z ),...,w s (z ) ces racines, comptées avec multiplicités. Par définition de r n, nous avons w 1 (0) =... = w s (0) = 0, et grâce au choix de r, ε on obtient w j (z ) < r n ε pour z r. La formule des résidus de Cauchy implique S k (z ) = s w j (z ) k. j=1 Maintenant, une formule bien connue de Newton montre que la fonction symétrique élémentaire c k (z ) de degré k en w 1 (z ),...,w s (z ) est un polynôme en S 1 (z ),...,S k (z ). Par suite c k (z ) est holomorphe dans un voisinage de z r. Posons P(z,z n ) = z s n c 1 (z )z s 1 n + +( 1) s c s (z ) = s ( zn w j (z ) ). Pour z r, le quotient f = g/p (resp. f = P/g) est holomorphe in z n sur le disque z n < r n + ε, car g et P ont les mêmes zéros avec les mêmes multiplicités, et f(z,z n ) est holomorphe en z pour r n ε z n r n +ε. La formule de Cauchy donne j=1 f(z,z n ) = 1 f(z,w n )dw n, 2πi w n =r n +ε w n z n et f est holomorphe en z sur un voisinage du polydisque (r,r n ) = { z r } { z n r n }. Par conséquent g/p est inversible et on obtient: (2.1) Théorème de préparation de Weierstrass. Soit g une fonction holomorphe sur un voisinage de 0 dans C n, telle que g(0,z n )/z s n a une limite finie non nulle en z n = 0. Avec les choix précédentes de r et r n, on peut écrire g(z) = u(z)p(z,z n ) où u est une fonction holomorphe inversible dans un voisinage du polydisque (r,r n ), et P est un polynôme de Weierstrass en z n, c est-à-dire, un polynôme de la forme P(z,z n ) = z s n +a 1(z )z s 1 n + +a s (z ), a k (0) = 0, avec des coefficients a k (z ) holomorphe sur un voisinage de z r dans C n 1. (2.2) Remarque. Si g s annule à l ordre m en 0 et v C n {0} est choisi tel que g (m) (v) 0, alors s = m et P doit aussi s annuler à l ordre m en 0. Dans ce cas, les coefficients a k (z ) sont tels que a k (z ) = O( z k ), 1 k s. (2.3) Théorème de division de Weierstrass. Pour toute fonction holomorphe f sur le polydisque = (r,r n ), on peut écrire (2.4) f(z) = g(z)q(z) +R(z,z n ),

4 2. L anneau local des germes de fonctions holomorphes 4 où q et R sont analytiques dans, R(z,z n ) est un polynôme de degré s 1 in z n, et (2.5) sup q Csup f, sup R Csup f pour une constante C 0 indépendante de f. La représentation (2.4) est unique. Démonstration (Siegel). Il suffit de démontrer le résultat lorsque g(z) = P(z,z n ) est un polynôme de Weierstrass. Démontrons d abord l unicité. Si f = Pq 1 +R 1 = Pq 2 +R 2, alors P(q 2 q 1 )+(R 2 R 1 ) = 0. Il s ensuit que les s racines z n de P(z, ) = 0 sont des zéros de R 2 R 1. Comme deg zn (R 2 R 1 ) s 1, on doit avoir R 2 R 1 0, donc q 2 q 1 0. Pour prouver l existence de (q,r), on pose q(z,z n ) = lim ε πi w n =r n ε f(z,w n ) P(z,w n )(w n z n ) dw n, z ; observons que l intégrale ne dépend pas de ε lorsque ε < r n z n est assez petit. Alors q est holomorphe sur. La fonction R = f Pq est aussi holomorphe sur et 1 f(z,w n ) [ P(z,w n ) P(z,z n ) ] R(z) = lim ε 0+ 2πi P(z dw n.,w n ) (w n z n ) w n =r n ε L expression entre crochets est de la forme [ (w s n z s n)+ s j=1 a j (z )(w s j n z s j n ) ] /(w n z n ) doncest unpolynôme en z n de degré s 1dont les coefficients sont des fonctions holomorphes de z. Par conséquent, on obtient bien l écriture annoncée f = Pq +R et sup R C 1 sup f où C 1 dépend de majorants des a j (z ) et de µ = min P(z,z n ) sur l ensemble compact { z r } { z n = r n }. Par le principe du maximum appliqué à q = (f R)/P sur chaque disque {z } { z n < r n ε}, on obtient aisément sup q µ 1 (1+C 1 )sup f. 2.B. Propriétés algébriques de l anneauçn Nous présentons ici des applications importantes du théorème de préparation de Weierstrass à l étude de l anneau des germes de fonctions holomorphes dans C n. Rappelons que le germe en unpointxd unefonction f définiesurunvoisinage U dexn estautrequelaclassed équivalence de f pour la relation d équivalence suivante: f 1 f 2 si et seulement si il existe un voisinage V de x sur lequel f 1 et f 2 sont toutes deux définies, avec f 1 = f 2 sur V. (2.6) Notation. On noteraçn l anneau des germes de fonctions holomorphes sur C n en 0. De manière alternative,çn peut être identifié avec l anneau C{z 1,...,z n } des séries entières α N n α α z α en z 1,...,z n. (2.7) Théorème. L anneauçn est Noethérien, c est-à-dire que tout idéaládeçn admet un nombre fini de générateurs (on dit que cet idéal est de type fini).

5 5 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables Démonstration. Par récurrence sur n. Pour n = 1,Çn est un anneau principal: tout idéal Á {0} est engendré by z s, où s est le minimum des ordres d annulation en 0 des éléments non nuls deá. Soit n 2 etá Çn,Á {0}. Après un changement de variables, on peut supposer queácontient un polynôme de Weierstrass P(z,z n ). Pour tout f Á, le théorème de division de Weierstrass implique s 1 f(z) = P(z,z n )q(z)+r(z,z n ), R(z,z n ) = c k (z )zn, k et on a R Á. Considérons l ensembleådes coefficients (c 0,...,c s 1 ) dansç s n 1 qui correspondent aux polynômes R(z,z n ) appartenant àá. AlorsÅest unçn 1-sous-module deç s D après l hypothèse de récurrenceçn 1 est Noethérien; de plus, tout sous-module d un module de type fini sur un anneau Noethérien est de type fini ([Lang 1965], Chapter X). Par suiteåest de type fini, etáest engendré par P et par les polynômes R 1,...,R N associés à un ensemble fini de générateurs deå. Avant d aller plus loin, nous avons besoin de deux lemmes qui relient les propriétés algébriques deçn à celle de l anneau de polynômesçn 1[z n ]. (2.8) Lemme. Soit P,F Çn 1[z n ] où P est un polynôme de Weierstrass. Si P divise F dansçn, alors P divise F dansçn 1[z n ]. Démonstration. Supposons que F(z,z n ) = P(z,z n )h(z), h Çn. L algorithme standard de division de F par P dans l anneau de polynômesçn 1[z n ] fournit k=0 F = PQ+R, Q,R Çn 1[z n ], deg R < deg P. n 1. La partie unicité du Th. 2.3 implique h(z) = Q(z,z n ) et R 0. (2.9) Lemme. Soit P(z,z n ) un polynôme de Weierstrass. a) Si P = P 1...P N avec P j Çn 1[z n ], alors, modulo des facteurs inversibles deçn 1, tous les P j sont des polynômes de Weierstrass. b) P(z,z n ) est irréductible dansçn si et seulement s il est irréductible dansçn 1[z n ]. Démonstration. a) Supposons que P = P 1...P N pour des polynômes P j Çn 1[z n ] de degrés respectifss j, 1 j N s j = s. Leproduitdescoefficients directeursdep 1,...,P N dansçn 1 est égal to 1; après avoir normalisé ces polynômes, on peut supposer que P 1,...,P N sont unitaires et s j > 0 pour tout j. Alors P(0,z n ) = z s n = P 1 (0,z n )...P N (0,z n ), donc P j (0,z n ) = z s j n et par suite P j est un polynôme de Weierstrass. b) Posons s = deg P, de sorte que P(0,z n ) = z s n. Supposons que P soit réductible dansçn, avec P(z,z n ) = g 1 (z)g 2 (z) pour des éléments non inversibles g 1,g 2 Çn. Alors g 1 (0,z n ) et g 2 (0,z n ) ont des ordres d annulation s 1,s 2 > 0 tels que s 1 +s 2 = s, et g j = u j P j, deg P j = s j, j = 1,2, où P j est un polynôme de Weierstrass et où u j Çn est inversible. Par suite P 1 P 2 = up pour un germe inversible u Çn. Le Lemme 2.8 montre que P divise P 1 P 2 dansçn 1[z n ]; puisque P 1, P 2 sont unitaires et que s = s 1 + s 2, on obtient P = P 1 P 2, donc P est réductible dans Çn 1[z n ]. L implication réciproque est évidente d après a).

6 3. Faisceaux cohérents 6 (2.10) Théorème. L anneauçn est factoriel, c est-à-dire queçn est un anneau intègre dans lequel a) tout élément non nul f Çn admet une factorisation f = f 1...f N en éléments irréductibles; b) la factorisation est unique à des facteurs inversibles près. Démonstration. L existence stipulée par a) résulte du Lemme 2.9 si on prend pour f un polynôme de Weierstrass et f = f 1...f N une décomposition de longueur maximale N en polynômes de degrés positifs. Pour montrer l unicité, il suffit de vérifier l énoncé suivant: b )Si g est un élément irréductible qui divise un produit f 1 f 2, alors g divise f 1 ou f 2. Grâce au Th.2.1, on peutsupposerquef 1, f 2, g sont des polynômes deweierstrass en z n. Alors g est irréductible et divise f 1 f 2 inçn 1[z n ] d après les Lemmes 2.8 et 2.9 b). Par récurrence sur n, on peut supposer queçn 1 est factoriel. Le classique lemme de Gauss ([Lang 1965], Chapter IV) affirme que l anneau de polynômes A[T] est factoriel dès que l anneau A est luimême factoriel. Par conséquent, on voit d après l hypothèse de récurrence queçn 1[z n ] est factoriel et donc g doit diviser f 1 ou f 2 dansçn 1[z n ]. (2.11) Théorème. Si f,g Çn sont premiers entre eux, les germes f z, g z sont encore premiers entre eux en tout point z C n voisin de 0. Démonstration. On peut supposer que f = P, g = Q sont des polynômes de Weierstrass. Rappelons que des polynômes unitaires P, Q A[X] (A = anneau factoriel) sont premiers entre eux si et seulement si leur résultant R A est non nul. On en déduit que le résultant R(z ) Çn 1 de P(z,z n ) et Q(z,z n ) possède un germe non nul en 0. Par suite le germe R z est lui aussi non nul aux points z C n 1 voisins de Faisceaux cohérents La notion de faisceau a été introduite par Jean Leray entre 1940 et 1945, alors qu il est prisonnier de guerre en Autriche. Son but était de développer des notions fondamentales nouvelles pour la topologie algébrique, afin d étudier en particulier les propriétés topologiques des espaces fibrés. Entre 1945 et 1950, Henri Cartan comprend tout le bénéfice que la notion générale de faisceau apporte à l étude des fonctions holomorphes de plusieurs variables. 3.A. Notions de préfaisceau et de faisceau Nous commençons par introduire la notion plus élémentaire de préfaisceau de fonctions. (3.1) Définition. Soit X un espace topologique. a) Un préfaisceau de fonctions sur X (à valeurs dans un ensemble E donné) est la donnée pour chaque ouvert U X d un ensemble de fonctions f : U E définies sur U, noté (U), de sorte que pour chaque paire d ouverts emboîtés V U et tout f (U) la restriction f V de f à V vérifie f V (V). On dit que (U) est l ensemble (ou l espace) des sections de sur U. b) Le préfaisceau est un faisceau si chaque fois qu on se donne une collection f i (U i ) avec f i Ui U j = f j Ui U j pour tous i,j, alors il existe une fonction f (U) définie sur la réunion U = U i telle que f Ui = f i pour tout i. [La propriété (3.1 b) dit en quelque sorte que prescrit une propriété purement locale, vraie sur un ouvert U si et seulement si elle est vraie sur un recouvrement arbitraire (U i ) de U ]. (3.2) Exemples. a) La collection X,E telle que X,E(U) est l ensemble de toutes les fonctions U E est un faisceau sur X.

7 7 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables b) La collection X,K telle que X,K(U) est l ensemble des fonctions continues f : U K à valeurs dans K = R ou C est un faisceau sur X. c) Si X est une variété différentielle de classe C k, la collection k X,K des fonctions f : U K de classe C k est un faisceau sur X. d) Si X est une variété analytique complexe, la collection notéeçx des fonctions holomorphes f : U C est un faisceau sur X. e) Si E est un ensemble, la collection souvent notée E (ou E X ) des fonctions localement constantes U E est un faisceau sur X. f) En revanche, la collection des fonctions constantes U E est un préfaisceau qui n est pas un faisceau. De même, si on pose X,b(U) = {fonctions continues bornées U R} on obtient un préfaisceau X,b qui n est pas un faisceau, le fait pour une fonction d être bornée n étant pas une propriété locale... g) Si X = R n par exemple, la collection c(u) des fonctions continues à support compact dans U n est pas un préfaisceau, la restriction à un ouvert V plus petit n étant pas nécessairement à support compact dans V. On observera que les collections b) c) d) ont des structures algébriques supplémentaires, chaque ensemble (U) ayant en fait dans ce cas une structure d anneau. Malheureusement la notion de (pré)faisceau de fonctions est un peu malcommode à manipuler algébriquement, car par exemple un quotient d un espace de fonctions par un sous-espace n est plus formellement un espace de fonctions. On est amené à poser la définition plus générale suivante. (3.3) Définition. Soit X un espace topologique. a) Un préfaisceau sur X est la donnée pour chaque ouvert U X d un ensemble noté (U) et pour chaque paire d ouverts emboîtés V U d une application ρ U,V : (U) (V), en sorte que ρ U,V ρ V,W = ρ U,W lorsque W V U (intuitivement ρ U,V sera vue comme une restriction de U à V, même si ce n est pas formellement le cas). b) Le préfaisceau est appelé faisceau si chaque fois qu on se donne une collection d éléments f i (U i ) vérifiant ρ Ui,U i U j (f i ) = ρ Uj,U i U j (f j ) dans (U i U j ) pour tous i,j, il existe un unique élément f (U) sur la réunion U = U i tel que ρ U,Ui (f) = f i pour tout i. c) On parlera de (pré)faisceau de groupes, d anneaux, d espaces vectoriels (...) si les ensembles (U) sont munis de structures de groupes, d anneaux, d espaces vectoriels (...), et si les restrictions ρ U,V sont toutes des morphismes pour ces structures. (3.4) Définition. Si est un préfaisceau sur X, on définit pour chaque point x X une relation d équivalence pour les éléments g (U), h (V) où U,V sont des voisinages ouverts de X par la condition suivante: g h s il existe un voisinage W U V de x tel que ρ U,W (g) = ρ V W (h). On appelle germe de g en x, noté g x, la classe d équivalence de g (U), et on note x l ensemble des classes d équivalences lorsque U décrit tous les voisinages U de x. En termes plus savants, x est la limite inductive x = lim ( (U),ρ UV ). U x On appelle cet ensemble x la fibre de en x. Un fait fondamental est qu il est possible d associer de manière naturelle un faisceau àtout préfaisceau. Pour cela, on considère l ensemble E = x formé de la somme

8 3. Faisceaux cohérents 8 disjointes des fibres, et on définit (U) comme étant l ensemble des fonctions f : U E telles qu il existe un recouvrement ouvert U = U i de U et des éléments f i (U i ) pour lesquels f(x) = (f i ) x chaque fois que x U i (ceci implique donc en particulier que f(x) x). Il est immédiat de constater que est un faisceau de fonctions (avec les morphismes de restriction de fonctions usuels ρ U,V : f f V, f (U)), et que ce faisceau est identique (canoniquement isomorphe) à si était déjà un faisceau puisqu alors les f i précédents se recollent par hypothèse en unélément f (U) global qui correspondbijectivement àl application f donnée a priori seulement localement par ses germes, i.e. f(x) = f x pour tout x U. Un morphisme de préfaisceaux de groupes abéliens ϕ : sur X est la donnée d une collection de morphismes de groupes ϕ U : (U) (U) commutant aux restrictions, i.e. tels que ρ U,V ϕ U = ϕ V ρ U,V pour tous V U. Dans cette situation, on peut considérer les collections de groupes abéliens notées Kerϕ, Imϕ et Cokerϕ, données par Ker(ϕ U : (U) (U)), Coker(ϕ U : (U) (U)) = (U)/ϕ U ( (U)). Im(ϕ U : (U) (U)) = ϕ U ( (U)), Onconstateimmédiatement qu avec lesrestrictionsinduitesparρ U,V (resp.parρ U,V )onobtient bien des préfaisceaux. Si et sont des faisceaux, il est facile de voir que Kerϕ est encore un faisceau, mais en général Imϕ et Cokerϕ ne sont que des préfaisceaux. Un exemple typique est donné sur le cercle X = S 1 = R/Z par l exponentielle complexe ϕ : C C, f e2πif, du faisceau des fonctions continues sur X à valeurs complexes (avec + comme loi de groupe), dans le faisceau C des fonctions continues non nulles (avec comme loi de groupe). Le noyau Ker ϕ s identifie au faisceau Z des fonctions localement constantes à valeurs dans Z. On peut voir cependant que le préfaisceau image ne contient pas l application S 1 = R/Z x e 2πix définie sur S 1 tout entier, alors qu il contient pourtant sa restriction au cercle S 1 x 0 privé d un point quelconque (en prenant la détermination continue de x située dans un intervalle ]x 0,x 0 + 1[). Lorsqu on travaille dans la catégorie des faisceaux (ce qui sera notre cas), on conviendra de désigner plutôt par Im ϕ et Coker ϕ les faisceaux associés aux préfaisceaux définis plus haut. L exemple précédent donne alors lieu pour tout espace topologique X à une suite exacte de faisceaux (mais pas en général de préfaisceaux) sur X 0 Z C C 0. Comme par définition un faisceau est déterminé de façon purement locale, il est équivalent de dire que Àest une suite exacte de faisceaux (i.e. Ker( À) = Im( )) ou de dire que les fibres forment des suites exactes de groupes abéliens x x Àx pour tout x X. 3.B. Faisceaux de modules Avant d introduire la notion de faisceau cohérent, nous définissons les notions de modules (localement) de type fini et (localement) libres sur un faisceau d anneaux. Tous les anneaux A apparaissant dans la suite seront supposés commutatifs et unitaires, sauf mention explicite du contraire; on admet cependant que l on puisse avoir A = {0}, auquel cas 1 A = 0 A. Le cas non commutatif présente aussi un intérêt considérable, par exemple en vue de la théorie des -modules, mais ce sujet dépasse le cadre du présent texte. Soit donc un faisceau d anneaux (commutatifs, unitaires) sur un espace topologique X. Un faisceauëde -modules (ou plus brièvement un -module) est un faisceau de groupes

9 9 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables abéliens tel que chaque espace de sectionsë(u) a une structure de (U)-module, avec une loi de multiplication externe compatible aux restrictions. De même, un morphismeë Ë de -modules est une collection de (U)-morphismesË(U) Ë (U) commutant aux restrictions. On remarquera qu un morphisme ϕ : Ëest déterminé de manière unique par la section globale F = ϕ(1) Ë(X) image de la section globale 1 (X). Dans ce cas, par (U)- linéarité, l image d une section locale a (U) est af U (et par x-linéarité, l image d un germe w x n est autre que wf x ). (3.5) Définition. Soit un faisceau d anneaux sur un espace topologique X et soitëun faisceau de -modules. AlorsËest dit: a) de type fini s il existe des générateurs globaux F 1,...,F N Ë(X) donnant un morphisme surjectif de -modules sur X tout entier N Ë, N x (w 1,...,w N ) w j F j,x Ëx, x X. 1 j N b) localement de type fini, si tout point x 0 X admet un voisinage U sur lequel il existe des générateurs locaux F 1,...,F N Ë(U) (N = N(x 0 )), donnant un morphisme surjectif de -modules au dessus de U (w 1,...,w N ) w j F j,x Ëx, x U. N U Ë U, N x 1 j N (La restriction U d un (pré)faisceau est par définition la collection des (V), V U, considérée sur l espace U, les fibres x étant prises elles aussi pour x U). c) libre de rang r s il existe des générateurs globaux F 1,...,F r Ë(X) tels que le morphisme du a) (avec N = r) soit un isomorphisme de -modules au dessus de X. d) localement libre de rang r si tout point x 0 X admet un voisinage U sur lequel il existe des générateurs locaux F 1,...,F r Ë(U) tels que le morphisme du b) (avec N = r) soit un isomorphisme de -modules au dessus de U. Par définition, siëest localement libre, il existe un recouvrement (U α ) α I par des ouverts sur lesquelsëadmet des systèmes libres de générateurs F α 1,...,Fα r Ë(U α ). Comme les générateurs peuvent alors être exprimés de manière unique les uns en fonction des autres, il existe pour chaque paire (α,β) d indices une unique matrice r r telle que G αβ = (G αβ jk ) 1 j,k r, F β k = 1 j r En d autre termes, on a un diagramme commutatif G αβ jk (U α U β ), F α j G αβ jk sur U α U β. F r α U α U β Ë U α U β G αβ r U α U β F βë U α U β Il résulte aussitôt de l égalité G αβ = (F α ) 1 F β que les matrices de transition G αβ sont inversibles et qu elles satisfont les relations de transition (3.6) G αγ = G αβ G βγ sur U α U β U γ

10 3. Faisceaux cohérents 10 pour tous les indices α,β,γ I. En particulier G αα = Id on U α et (G αβ ) 1 = G βα sur U α U β. Réciproquement, si on se donne un système G αβ = (G αβ jk ) de matrices r r inversibles ayant leurs coefficients dans (U α U β ) et satisfaisant les relations de transition (3.6), on peut définir un -module localement libreëde rang r en prenantë r U α sur chaque ouvert, l identification au dessus de U α U β étant donnée par l isomorphisme G αβ : une section F deësur un ouvert U X peut être vue simplement comme une collection de sections F α = (F1 α,...,fα r ) de r (U U α ) satisfaisant les relations de transition F α = G αβ F β sur les intersections U U α U β. (3.7) Remarque. Lorsque est le faisceau des fonctions continues à valeurs dans K = R ou C sur un espace topologique X, on voit aisément que la catégorie des faisceaux de -modules localement libres de rang r sur X est équivalente à celle des fibrés vectoriels topologiques de rang r sur le corps K au dessus de X: à un faisceau localement libre donné par les matrices de transition G αβ, il suffit de faire correspondre le fibré vectoriel E obtenu en recollant les cartes U α K r par la relation d équivalence (x,ξ α ) (y,ξ β ), x U α et y U β, si et seulement si x = y et ξ α = G αβ (x)ξ β. Le quotient ( ) E = (Uα K r ) / est le fibré vectoriel recherché. De même, si est le faisceau des fonctions C sur une variété différentiable (resp. des fonctions holomorphes sur une variété analytique complexe), la catégorie des -modules localement libres équivaut à celle des fibrés vectoriels différentiables (resp. holomorphes). Une propriété élémentaire et fréquemment utilisée des faisceaux de modules localement de type fini est la suivante. (3.8) Lemme. SoitËun faisceau de -modules localement de type fini sur X et G 1,...,G p des sections deë(u) telles que les germes G 1,x0,...,G p,x0 engendrent la fibreëx 0 en un point x 0 U. Alors il existe un voisinage V de x 0 tel que G 1 V,...,G p V engendrentëx pour tout x dans V. Démonstration. Soit W un voisinage de x 0 sur lequelëpossède des générateurs F 1,...,F N Ë(W) engendrantë W. Comme les germes G 1,x0,...,G p,x0 engendrentëx 0, on peut trouver un voisinage V W de x 0 et des sections H jk (V) telles que F j = H jk G k sur V. On voit que les germes G 1,x,...,G N,x engendrentëx pour tout x V. 3.C. Notion de faisceau cohérent sur un faisceau d anneaux La notion de cohérence concerne les faisceaux de modules sur un faisceau d anneaux. C est une propriété semi-locale qui stipule grosso modo que le faisceau de modules en question possède une présentation finie en termes de générateurs et relations. Nous décrivons ici la définition et quelques propriétés basiques de cette notion, avant de nous concentrer dans la section suivante sur le cas des faisceaux de modules sur le faisceau d anneauxçx des fonctions holomorphes. Si U est un ouvert de X et si F 1,...,F q Ë(U) sont des sections deësur U, le noyau du morphisme de -modules F = (F 1,...,F q ) : q U Ë U défini par (3.9) (V) q (g 1,...,g q ) 1 j q g j F j V Ë(V), V U est un sous- -moduleê(f 1,...,F q ) de q U, appelé faisceau des relations entre les sections F 1,...,F q.

11 11 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables (3.10) Définition. Un faisceauëde -modules sur X est dit cohérent si: a)ëest localement de type fini sur X ; b) pour tout sous-ensemble ouvert U of X et tout système de sections F 1,...,F q Ë(U), le faisceau des relationsê(f 1,...,F q ) est localement de type fini sur U. Soit x 0 X un point fixé. Par l hypothèse a), il existe un voisinage U de x 0 et des sections F 1,...,F q Ë(U) réalisant un morphisme surjectif de U-modules F = (F 1,...,F q ) : q U Ë U, et l hypothèse b) implique que le noyauê(f 1,...,F q ) de F est localement de type fini. Par conséquent, il existe un voisinage V U de x 0 et un morphisme surjectif G : p V Ê(F 1,...,F q ) V q V sur le noyau de F au dessus de V. On voit ainsi qu on obtient une présentation finie deëau dessus de V, c est-à-dire une suite exacte de V-modules (3.11) p V G q V F Ë V 0, où G est donné par une matrice p p de sections (G jk ) de (V) dont les colonnes (G j1 ),..., (G jp ) sont des générateurs deê(f 1,...,F q ). Il est clair par définition que tout sous- -module localement de type fini d un -module cohérent est cohérent (car la propriété b) s hérite par passage à un sous- -module). De là on déduit aisément : (3.12) Théorème. Soit ϕ : un morphisme de -modules cohérents. Alors Imϕ et Kerϕ sont des -modules cohérents. Démonstration. Il est clair que Imϕ est un sous- -module localement de type fini de, donc il est cohérent. Soit x 0 X et soient F 1,...,F q (U) des générateurs de sur un voisinage U de x 0. Enfin, soient G 1,...,G r (V) q des générateurs deê( ϕ(f1 ),...,ϕ(f q ) ) sur un V voisinage V U de x 0. Alors Kerϕ est engendré au dessus de V par les sections H j = q G jk F k (V), 1 j r, où G j = (G j1,...,g jq ). k=1 Ceci montre que Kerϕ est localement de type fini, donc Kerϕ est cohérent. (3.13) Théorème [Serre]. Soit 0 Ë 0 une suite exacte de -modules. Si deux des -modules,ë, sont cohérents, alors les trois sont cohérents. Démonstration. SiËet sont cohérents, alors =Ker(Ë ) est cohérent par le Th SiËet sont cohérents, alors est localement de type fini; pour prouver la cohérence de, soient G 1,...,G q (U) et x 0 U. Alors il existe un voisinage V de x 0 et des sections G 1,..., G q Ë(V) qui sont envoyées sur G 1,...,G q (V). Après rétrécissement éventuel de V, on peut supposer aussi que V est engendré par des sections F 1,...,F p (V). AlorsÊ(G 1,...,G q ) est la projection sur les q dernières composantes du sous-module Ê(F 1,...,F p, G 1,..., G q ) p+q, qui est de type fini près de x 0 par cohérence deë. Par conséquentê(g 1,...,G q ) est de type fini près de x 0 et est cohérent. Finalement, supposons que et soient cohérents. Soit x 0 X un point quelconque, et soient F 1,...,F p (U) et G 1,...,G q (U) des générateurs de, sur un voisinage

12 3. Faisceaux cohérents 12 U de x 0. Il existe un voisinage V U de x 0 tel que G 1,...,G q admettent des relèvements G 1,..., G q Ë(V). Alors (F 1,...,F q, G 1,..., G q ) engendrentë V, doncëest de type fini sur V. Maintenant, soient S 1,...,S q des sections arbitraires deë(u) et S 1,...,S q leurs images dans (U). Pour tout x 0 U, le faisceau des relationsê(s 1,...,S q ) est engendré par des sections P 1,...,P s (V) q sur un petit voisinage V de x 0. Posons P j = (P jk ) 1 k q. Alors les sections H j = P j1 S P jq S q, 1 j s, sont envoyées sur 0 dans, donc elles peuvent être vues comme des sections de (ou plutôt des images de telles sections). La cohérence de montre queê(h 1,...,H s ) possède des générateurs Q 1,...,Q t (W) s sur un petit voisinage W V de x 0. Alors il est facile de voir queê(s 1,...,S q ) est engendré au dessus de W par les sections R j = Q jk P k (W), 1 j t, par suiteëest cohérent. (3.14) Corollaire. Si et sont des sous- -modules cohérent d un -module cohérentë, l intersection est un -module cohérent. Démonstration. En effet, le faisceau intersection est le noyau du morphisme composé Ë Ë/, et on sait queë/ est cohérent par (3.13), donc le noyau de Ë/ est cohérent d après (3.12). 3.D. Notion de faisceau cohérent d anneaux Un faisceau d anneaux est dit cohérent s il est cohérent comme module sur lui-même. D après la Définition 3.11, ceci signifie que pour tout ouvert U X et tout système de sections F j (U), le faisceau des relationsê(f 1,...,F q ) est localement de type fini. (3.15) Exemple et contre-exemples. Soit K un corps (par exemple R) et X un espace topologique, qu on prendra ici localement connexe (par exemple X = R n ). Alors il est évident que le faisceau localement constant =K sur X est un faisceau cohérent d anneaux. Si Y est une partie de X, on peut définir un sous-faisceau Y en prenant pour Y(U) l ensemble des fonctions localement constantes U K qui sont nulles sur X Y (fonctions à support dans Y). On vérifie facilement que Y est un sous-faisceau d anneaux qui n est pas localement de type fini au voisinage d un point x 0 de la frontière Y, si elle est non vide. En effet la fibre ( Y) x0 est nulle par l hypothèse de locale connexité de X, donc on ne peut pas trouver de section de Y(V) sur un petit voisinage connexe de V qui puisse engendrer les fibres non nulles ( Y) x, x Y V. En fait Y est aussi un faisceau d idéaux de, et on peut donc considérer le -module quotient / Y. On verra alors que / Y est bien localement de type fini (engendré par 1), mais il n est pas cohérent sinon le noyau de / Y le serait. Il faut avouer que ces exemples et contre-exemples ne sont pas parmi les plus passionnants du sujet... Si est un faisceau cohérent d anneaux, les résultats du paragraphe 3.C impliquent que tout module libre p est cohérent (et donc tout -module localement libre est également cohérent). En conséquence: (3.16) Théorème. Si est un faisceau cohérent d anneaux, tout sous-module localement de type fini de p est cohérent. En particulier, siëest un -module cohérent et F 1,...,F q Ë(U), le faisceau des relationsê(f 1,...,F q ) q est lui aussi cohérent. SoitËun -module cohérent sur un faisceau cohérent d anneaux. Grâce à une itération de la construction (3.11), on voit que pour tout entier m 0 et tout point x 0 X il existe un voisinage V de x 0 sur lequel on a une suite exacte de faisceaux (3.17) p m V F m m 1 p V 1 p V F 1 p 0 V F 0 Ë V 0, où F j est donné par une matrice p j 1 p j de sections de (V).

13 13 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables 3.E. Faisceaux analytiques et théorème d Oka Beaucoup de propriétés des fonctions holomorphes qui seront étudiées ici se formulent naturellement dans le cadre des faisceaux analytiques. Le théorème d Oka [Oka 1950] stipulant la cohérence du faisceau des fonctions holomorphes de n variables peut être considéré comme une extension profonde de la propriété de noethérianité vue à la Section 2. (3.18) Définition. Soit M une variété analytique complexe de dmension n et soitçm le faisceau des germes de fonctions analytique sur M. Un faisceau analytique sur M est par définition un faisceauëde modules sur le faisceau d anneauxçm. (3.19) Théorème d Oka. Pour toute variété analytique complexe M, le faisceau d anneaux ÇM est cohérent. Soient F 1,...,F q Ç(U). PuisqueÇM,x est noethérien, on sait déjà que les fibres Ê(F 1,...,F q ) x Ç q M,x sont de type fini, mais le fait nouveau important exprimé par le théorème est que le faisceau des relations est localement de type fini, c est-à-dire que les mêmes générateurs peuvent être utilisés pour engendrer les fibres dans un voisinage de chaque point. Démonstration. Par récurrence sur n = dim C M. Pour n = 0, les fibresçm,x se réduisent au corps des complexes C et le résultat est trivial. Supposons maintenant que n 1 et que le résultat aitdéjàétédémontré endimensionn 1. SoitU unouvertdem etf 1,...,F q ÇM(U). Pour montrer queê(f 1,...,F q ) est localement de type fini, on peut supposer que U = = n est un polydisque de C n centré en x 0 = 0 ; après un changement de coordonnées et après une multiplication de F 1,...,F q par des fonctions inversibles, on peut aussi supposer que F 1,...,F q sont des polynômes de Weierstrass en z n dont les coefficients sont dansç( ). Nous avons besoin d un lemme. (3.20) Lemme. Si x = (x,x n ), leç,x-moduleê(f 1,...,F q ) x est engendré par ceux de ses éléments dont les composantes sont des germes de polynômes analytiques dansç,x [z n] dont le degré en z n est au plus égal à µ = maximum des degrés de F 1,...,F q. Démonstration. Supposons par exemple que F q soit degré maximal µ parmi les F j. D après le théorème de préparation de Weierstrass 1.1 et le Lemme 1.9 appliqué en x, on peut écrire F q,x = f f où f,f Ç,x [z n], f sont despolynômesdeweierstrass enz n x n et f (x) 0. Soient µ et µ les degrés de f et f par rapport à z n, de sorte que µ +µ = µ. Maintenant, prenons (g 1,...,g q ) Ê(F 1,...,F q ) x. Le théorème de division de Weierstrass donne g j = F q,x t j +r j, j = 1,...,q 1, où t j Ç,x et où r j Ç,x [z n] est un polynôme de degré < µ. Pour j = q, définissons r q = g q + 1 j q 1 tj F j,x. On peut écrire (3.21) (g 1,...,g q ) = 1 j q t j (0,...,F q,...,0, F j ) x +(r 1,...,r q ) où F q est en position j dans le q-uplet figurant dans la sommation. Puisque ces q-uplets sont dansê(f 1,...,F q ) x, on a (r 1,...,r q ) Ê(F 1,...,F q ) x, donc F j,x r j +f f r q = 0. 1 j q 1 Comme la somme est un polynôme en z n de degré < µ+µ, il résulte du Lemme 1.9 que f r q est un polynôme en z n de degré < µ. Maintenant, nous avons (r 1,...,r q ) = 1/f (f r 1,...,f r q )

14 4. Ensembles analytiques complexes. Propriétés locales 14 où f r j est de degré < µ +µ = µ. En combinant ceci avec (3.21), le lemme s ensuit. Démonstration du Théorème 3.19 (fin). Si g = (g 1,...,g q ) est un des polynômes de Ê(F 1,...,F q ) x décrits dans l énoncé du Lemme 3.20, on peut écrire g j = 0 k µ u jk z k n, u jk Ç,x. La condition pour que (g 1,...,g q ) appartienne àê(f 1,...,F q ) x consiste par conséquent en 2µ+1 conditions linéaires portant sur le germe u = (u jk ), avec des coefficients dansç( ). D après l hypothèse de récurrenceç est cohérent et le Th montre que le module correspondant des relations est engendré surç,x, pour x dans un voisinage Ω de 0, par un nombre fini de (q µ)-uplets U 1,...,U N Ç(Ω ) qµ. Grâce au Lemme 3.20,Ê(F 1,...,F q ) x est engendré en chaque point x Ω = Ω n par les germes des polynômes associés ( G l (z) = 0 k µ ) U jk l (z )zn k, 1 j q z Ω, 1 l N. (3.22) Propriété noethérienne forte. Soit un faisceau analytique cohérent sur une variété complexe M et une suite croissante de sous-faisceaux cohérents de. Alors la suite ( k) est stationnaire sur tout sous-ensemble compact de M. Démonstration. Puisque est localement un quotient d un module libreç q M, on peut prendre les images réciproques des j dansç q M, ce qui nous ramène facilement au cas =Ç q M, puis finalement à =ÇM, par des réductions faciles semblables à celles utilisées dans la démonstration du Th Supposons M connexe et k 0 {0} pour un certain indice k 0 (sinon, il n y a rien à démontrer). Grâce au théorème de prolongement analytique, on voit facilement que k 0,x {0} pour tout x M. Pour tout point x M, on peut donc prendre un polynôme de Weierstrass non nulp k 0 (V), deg zn P(z,z n ) = µ, dans un ouvert de coordonnées qui soit un voisinage V = n de centre x. Une division par P montre que pour k k 0 et x V, toutes les fibres k,x sont engendrées par P x et par les polynômes de degré < µ en z n à coefficients dansç,x. Ceci permet de raisonner par récurrence sur n, en considérant leç -module cohérent = { Q Ç [z n]; degq µ } et sa suite croissante de sous-faisceaux cohérents = k k. On conclut grâce à l hypothèse de récurrence appliquée en dimension n Ensembles analytiques complexes. Propriétés locales 4.A. Définition. Composantes irréductibles Un ensemble analytique complexe est un ensemble qui peut être défini localement par un nombre fini d équations holomorphes; un tel ensemble n est en général pas une sous-variété lisse, mais une sous-variété avec singularités, précisément parce qu aucune hypothèse n est faite sur les différentielles des équations. Nous sommes intéressés à la fois par la description des singularités et par l étude des propriétés algébriques des fonctions holomorphes sur les ensembles analytiques. Pour une étude plus détaillée, nous renvoyons le lecteur au séminaire de H. Cartan!

15 15 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables (4.1) Définition. Soit M une variété analytique complexe. Une partie A M est appelée ensemble analytique dans M si A est fermée et si pour tout point x 0 A il existe un voisinage U de x 0 et des fonctions holomorphes g 1,...,g n deç(u) telles que A U = {z U ; g 1 (z) =... = g N (z) = 0}. Alors g 1 =... = g N = 0 est appelé système d équations (locales) de A sur U. Il est facile de voir qu une réunion ou une intersection finie d ensembles analytiques est analytique : si (g j ), (g k ) sont deséquations dea, A dans l ouvert U, alors le système constitué de tous les produits (g j g k ), resp. le système (g j ) (g k ) constitue un système d équations de A A, resp. de A A. (4.2) Remarque. Supposons que M soit connexe. Le théorème du prolongement analytique montre que soit A = M, soit A n a pas de point intérieur. Dans ce dernier cas, chaque intersection A U = g 1 (0) est contenue dans l ensemble des zéros d une fonction non nulle g j, laquelle s écrit comme un produit g j (z) = u j (z)p j (z,z n ) d un facteur inversible u j par un polynôme de de Weierstrass P j non nul. Comme les zéros de z n P j (z,z n ) sont des points isolés lorsque z est fixé, on voit facilement en prenant pour U un polydisque de coordonnées assez petit que A = (A ) est connexe. Il en résulte facilement que M A est connexe et que toute fonction f Ç(M A) qui est localement bornée près de A peut être prolongée en une fonction f Ç(M). Nous focalisons maintenant notre attention sur les propriétés locales des ensembles analytiques. Par définition, un germe d ensemble en un point x M est une classe d équivalence d éléments de l ensemble des partiesè(m), avec A B s il existe un voisinage ouvert V de x tel que A V = B V. Le germe d un sous-ensemble A M en x sera noté (A,x). Nous considérerons le plus souvent le cas où A M est un ensemble analytique dans un voisinage U de x, et dans ce cas nous noteronsáa,x l idéal des germes f ÇM,x qui s annulent sur (A,x). Réciproquement, siâ=(g 1,...,g N ) est un idéal deçm,x, on notera ( V(Â),x ) le germe au point x de l ensemble V(Â) = {z U ; g 1 (z) =... = g N (z) = 0} des zéros deâ, où U est un voisinage de x tel que g j Ç(U). Il est facile de vérifier que le germe (V(cJ),x) ne dépend pas du choix des générateurs deâ. De plus, on voit immédiatement que (4.3 ) (4.3 ) pour tout idéalâde l anneauçm,x, pour tout germe d ensemble analytique (A, x), ÁV(Â),x Â, ( V(ÁA,x),x ) = (A,x). (4.4) Définition. Un germe (A, x) est dit irréductible s il ne possède aucune décomposition (A,x) = (A 1,x) (A 2,x) en des ensembles analytiques (A j,x) (A,x), j = 1,2. (4.5) Proposition. Un germe (A, x) est irréductible si et seulement si son idéaláa,x est un idéal premier de l anneauçm,x. Démonstration. Rappelons qu un idéalâest dit premier si f g Âimplique f Âou g Â. Supposons que (A,x) soit irréductible et que fg ÁA,x. Comme nous pouvons écrire (A,x) = (A 1,x) (A 2,x) avec A 1 = A f 1 (0) et A 2 = A g 1 (0), on doit avoir par example (A 1,x) = (A,x) ; donc f ÁA,x etáa,x est bien premier. Réciproquement, si (A,x) = (A 1,x) (A 2,x) avec (A j,x) (A,x), il existe f ÁA 1,x et g ÁA 2,x telles que f,g / ÁA,x. Cependant fg ÁA,x, doncáa,x n est pas un idéal premier. (4.6) Théorème. Toute suite d écroissante de germes d ensembles analytiques (A k,x) est stationnaire.

16 4. Ensembles analytiques complexes. Propriétés locales 16 Démonstration. En effet, la suite correspondante d idéauxâk =ÁA k,x est croissante, donc Âk =Âk 0 pour k k 0 assez grand par la propriété noethérienne deçm,x. On en déduit que (A k,x) = ( V(Âk),x ) est constant pour k k 0. Ce résultat a les conséquences immédiates suivantes : (4.7) Théorème. Tout germe d ensemble analytique (A, x) admet une décomposition finie (A,x) = (A k,x) 1 k N où les germes (A j,x) sont irréductibles et où (A j,x) (A k,x) pour j k. La décomposition est unique à l ordre près. Démonstration. Si (A, x) peut être décomposé en plusieurs composantes, on redécompose celles qui peuvent l être, et ce tant que l une des composantes ainsi obtenues est réductible. Ce processus doit s arrêter par le Th. 4.6, d où l existence de la décomposition. Pour vérifier l unicité, supposons que (A,x) = (A l,x), 1 l N, soit une autre décomposition. Puisque (A k,x) = l (A k A l,x), on doit avoir (A k,x) = (A k A l,x) pour un certain l = l(k), par conséquent (A k,x) (A l(k),x), et de même (A l(k),x) (A j,x) pour un certain j. Nécessairement j = k et donc (A l(k),x) = (A k,x). 4.B. Structure locale d un germe d ensemble analytique Nous allons décrire la structure locale d un germe, à la fois du point de vue holomorphe et du point de vue topologique. Grâce à la décomposition précédente, on peut se restreindre au cas de germes irréductibles. SoitÂun idéal premier deçn =ÇC n,0 et soit A = V(Â) sa variété de zéros. On poseâk =Â C{z 1,...,z k } pour tout k = 0,1,...,n. (4.8) Proposition. Il existe un entier d, une base (e 1,...,e n ) de C n et des coordonnées (z 1,...,z n ) correspondantes ayant les propriétés suivantes:âd = {0} et pour tout entier k = d+1,...,n il existe un polynôme de Weierstrass P k Âk de la forme (4.9) P k (z,z k ) = z s k k + a j,k (z )z sk j k, a j,k (z ) Çk 1, 1 j s k où a j,k (z ) = O( z j ). De plus, la base (e 1,...,e n ) peut être choisie arbitrairement proche de toute base donnée a priori (e 0 1,...,e0 n). Démonstration. Par récurrence sur n. SiÂ=Ân = {0}, alors d = n et alors il n y a rien à démontrer. Sinon, choisissons un élément non nul g n Âet un vecteur e n tels que C w g n (we n ) s annule au plus petit ordre possible s n. Ce choix exclut au plus l ensemble algébrique g (s n) n (v) = 0, donc e n peut être choisi arbitrairement proche de e 0 n. Soient ( z 1,..., z n 1,z n ) les coordonnésassociées àlabase(e 0 1,...,e0 n 1,e n). Aprèsmultiplication parunélément inversible, on peut supposer que g n est un polynôme de Weierstrass P n ( z,z n ) = z s n n + a j,n ( z)z n sn j, a j,n Çn 1, 1 j s n et a j,n ( z) = O( z j ) par la Remarque 2.2. SiÂn 1 =Â C{ z} = {0} alors d = n 1 et la construction est terminée. Sinon on applique l hypothèse de récurrence à l idéalân 1 Çn 1 pour trouver unenouvelle base (e 1,...,e n 1 ) de Vect(e 0 1,...,e0 n 1 ), des coordonnées correspondantes (z 1,...,z n 1 ) et des polynômes de Weierstrass P k Âk, d + 1 k n 1, comme stipulé dans le lemme. (4.10) Lemme. Si w C est une racine de w d + a 1 w d a d = 0, a j C, alors w 2max a j 1/j.

17 17 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables Démonstration. Sinon w > 2 a j 1/j pour tout j = 1,...,d et l équation 1 = a 1 /w + + a d /w d implique d, contradiction. (4.11) Corollaire. Posons z = (z 1,...,z d ), z = (z d+1,...,z n ), et soient dans C d, dans C n d des polydisques de centre 0 et de rayons r,r > 0. Alors le germe (A,0) est contenu dans un cône z C z, C = constante, et la restriction de l application de projection C n C d, (z,z ) z : π : A ( ) est propre si r est assez petit et si r r /C. Démonstration. Les polynômes P k (z 1,...,z k 1 ; z k ) s annulent sur (A,0). D après (4.9) et le Lemme 4.10, tout point z A suffisamment proche de 0 satisfait l estimation z k C k ( z z k 1 ), d+1 k n, donc z C z et le Corollaire s ensuit. PuisqueÂd = {0}, nous avons un morphisme injectif d anneaux (4.12) Çd = C{z 1,...,z d } Çn/Â. (4.13) Proposition.Çn/Âest une extension algébrique entière finie deçd. Démonstration. Soit f Çn. Une division de f par P n donne f = P n q n + R n avec un reste R n Çn 1[z n ], deg zn R n < s n. Des divisions des coefficients de R n par P n 1, P n 2 etc... fournissent R k+1 = P k q k +R k, R k Çk[z k+1,...,z n  ], où deg zj R k < s j pour j > k. Par conséquent (4.14) f = R d + P k q k = R d mod (P d+1,...,p n ) d+1 k n etçn/âest engendré commeçd-module par la famille finie de monomes z α d+1 d+1...zα n n α j < s j. avec CommeÂest premier,çn/âest un anneau intègre. Nous noterons f l image d un germe quelconque f Çn dans le quotientçn/â, etåa etåd les corps des quotients deçn/âetçd respectivement. AlorsÅA =Åd[ z d+1,..., z n ] est une extension algebrique finie deåd. Soit q = [ÅA:Åd] son degré et soient σ 1,...,σ q les plongements deåa au dessus deåd dans la clôture algébriqueåa. Rappelons qu un anneau factoriel est intégralement clos dans son corps des quotients ([Lang 1965], Chapter VII). Par suite, tout élément deåd qui est entier algébrique surçd appartient en fait àçd. D après le théorème de l élément primitif, il existe une forme linéaire u(z ) = c d+1 z d+1 + +c n z n, c k C, telle queåa =Åd[ũ] ; en fait, u est de degré q si et seulement si σ 1 ũ,...,σ q ũ sont tous distincts, et ceci exclut au plus un nombre fini de sous-espaces vectoriels de l espace C n d des coefficients (c d+1,...,c n ). Comme ũ Çn/Âest entier algébrique sur l anneau intégralement closçd, le polynôme irréductible unitaire W u de ũ suråd a ses coefficients dansçd : W u (z ;T) = T q + 1 j q a j (z 1,...,z d )T q j, a j Çd. W u est nécessairement un polynôme de Weierstrass, sinon il existerait une factorisation W u = W QdansÇd[T]avec unpolynômedeweierstrass W dedegré degw < q = deg ũet Q(0) 0, donc W (ũ) = 0, contradiction. De la même manière, on voit que z d+1,..., z n possèdent des

18 4. Ensembles analytiques complexes. Propriétés locales 18 équations irréductibles W k (z ; z k ) = 0 où W k Çd[T] est un polynôme de Weierstrass de degré = deg z k q, d+1 k n. (4.15) Lemme. Soit δ(z ) Çd le discriminant de W u (z ;T). Pour tout élément g deåa qui est entier algébrique surçd (ou de façon équivalente surçn/â), on a δg Çd[ũ]. Démonstration. On a δ(z ) = j<k (σ kũ σ j ũ) 2 0, et g ÅA =Åd[ũ] peut s écrire g = 0 j q 1 b j ũ j, b j Åd, où b 0,...,b d 1 sont les solutions du système linéaire σ k g = b j (σ k ũ) j ; le déterminant (de type Van der Monde) est δ 1/2. Il s ensuit que les δb j Åd sont des polynômes en σ k g et σ k ũ, donc δb j est entier algébrique surçd. CommeÇd est intégralement clos, on a nécessairement δb j Çd, donc δg Çd[ũ]. En particulier, il existe des polynômes uniques B d+1,..., B n Çd[T] de degrés degb k q 1, tels que (4.16) δ(z )z k = B k (z ;u(z )) (modâ). Alors on a (4.17) δ(z ) q ( W k z ;B k (z ; T)/δ(z ) ) idéal W u (z ; T)Çd[T] ; en effet, le membre de gauche est un polynôme ençd[t] et admit la racine T = ũ dansçn/â puisque B k (z ; ũ)/δ(z ) = z k et W k (z ; z k  ) = 0. (4.18) Lemme. Considérons l idéal = ( W u (z ;u(z )), δ(z )z k B k (z ;u(z )) ) et posons m = max{q,(n d)(q 1)}. Pour tout germe f Çn, il existe un unique polynôme R Çd[T], deg T R q 1, tel que De plus f Âimplique R = 0, donc δ mâ. δ(z ) m f(z) = R(z ;u(z )) (mod ). Démonstration. Grâce à (4.17) et à une substitution de z k, on obtient δ(z ) q W k (z ;z k ). L analogue de la formule (4.14) où P k est remplacé par W k donne f = R d + d+1 k n W k q k, R d Çd[z d+1,...,z n ], avec deg zk R d < deg W k q, donc δ m f = δ m R d mod. On peut par conséquent remplacer f par R d et supposrquef Çd[z d+1,...,z n ] est unpolynôme de degré total (n d)(q 1) m. Une substitution de z k par B k (z ;u(z ))/δ(z ) donne G Çd[T] tel que δ(z ) m f(z) = G(z ;u(z )) mod ( δ(z )z k B k (z ;u(z )) ). Finalement, une division G = W u Q +R fournit le polynôme cherché R Çd[T]. La dernière affirmation est claire: si f Âsatisfait δ m (z )f(z) = R(z;u(z )) mod pour deg T R < q, alors R(z ;ũ) = 0, et comme ũ Çn/Âest de degré q, on doit avoir R = 0. L unicité de R se démontre d une manière semblable.

19 19 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables (4.19) Théorème de paramétrisation locale. SoitÂun idéal premier deçn et A = V(Â). Supposons que les coordonnées (z ;z ) = (z 1,...,z d ;z d+1,...,z n ) soeint choisies comme indiqué plus haut. Alors l anneauçn/âest une extension entière finie deçd; soit q le degré de l extension et soit δ(z ) Çd le discriminant du polynôme irréductible d un élément primitif u(z ) = k>d c kz k. Si, sont des polydisques de rayons suffisamment petits r,r et si r r /C avec C assez grand, l application de projection π : A ( ) est un revêtement ramifié à q feuillets, dont le lieu de ramification est contenu dans S = {z ;δ(z ) = 0}. Ceci signifie que: a) le sous-ensemble ouvert A S = A ( ( S) ) est une variété de dimension d, dense dans A ( ) ; b) π : A S S est un revêtement ; c) les fibres π 1 (z ) ont exactement q éléments si z / S et au plus q si z S. De plus, A S est un revêtement connexe de S, et A ( ) est contenu dans un cône z C z (cf. Fig. 1). z C n p 0 A π S S z C p Fig. 1 Revêtement ramifié de A sur C p. Démonstration. Après une transformation linéaire des coordonnées z d+1,...,z n, on peut supposer que u(z ) = z d+1, donc W u = W d+1 et B d+1 (z ;T) = δ(z )T. Grâce au Lemme 4.18, on a = ( W d+1 (z,z d+1 ), δ(z )z k B k (z,z d+1 ) ) k d+2 Â, δ mâ. On peut donc trouver un polydisque = de rayons r,r assez petits tel que V(Â) V( ) V(δ mâ) dans. Comme V(Â) = A et V(δ) = S, ceci implique A V( ) (A ) (S ). En particulier, l ensemble A S = A ( ( S) ) situé au dessus de S coïncide avec V( ) ( ( S) ), qui est l ensemble des points z défini par les équations (4.20) { δ(z ) 0, W d+1 (z,z d+1 ) = 0, z k = B k (z,z d+1 )/δ(z ), d+2 k n. Comme δ(z ) est le résultant de W d+1 et de W d+1 / T, on a W d+1 / T(z,z d+1 ) 0 sur A S.

20 4. Ensembles analytiques complexes. Propriétés locales 20 Le théorème des fonctions implicites montre que z d+1 est localement fonction holomorphe de z sur A S, et la même affirmation vaut pour z k = B k (z,z d+1 )/δ(z ), k d+2. Par suite A S est une variété lisse, et pour r r /C petit, l application de projection π : A S S est un difféomorphisme local et un application propre; d après (4.20) les fibres π 1 (z ) ont au plus q points correspondant à certaines des q racines w de W d+1 (z ;w) = 0. Comme S est connexe (Remarque 4.2), ou bien A S = ou bien l application π est un revêtement ayant un nombre de feuillets q q constant. Par ailleurs, si w est une racine de W d+1 (z,w) = 0 avec z S and si on pose z d+1 = w, z k = B k (z,w)/δ(z ), k d+2, la relation (4.17) montre que W k (z,z k ) = 0, en particulier z k = O( z 1/q ) d après le Lemme Pour z assez petit, les q points z = (z,z ) définis de cette manière appartiennent à, donc q = q. La Propriété b) et les premières parties de a) et c) s ensuivent. On a maintenant besoin du lemme suivant. (4.21) Lemme. Si Çn est premier et A = V(Â), alorsáa,0 =Â. I.l est évident queáa,0 Â. Maintenant, pour tout f ÁA,0, la Prop implique que f satisfait dans l anneauçn/áune équation irréductible f r +b 1 (z )f r 1 + +b r (z ) = 0 (modâ). Alors b r (z ) s annule sur (A,0) et la première partie de c) donne b r = 0 sur S. Par conséquent b r = 0 et l irréductibilité de l équation de f implique r = 1, de sorte que f Â, ce qu il fallait montrer. Démonstration du Théorème 4.19 (fin). Il reste seulement à prouver que A S est connexe et dense dans A et que les fibres π 1 (z ), z S, ont au plus q éléments. Soient A S,1,...,A S,N les composantes connexes de A S. Alors π : A S,j S est un revêtement à q j feuillets, q q N = q. Pour tout point ζ S, il existe un voisinage U de ζ tel que A S,j π 1 (U) soit une réunion disjointe de graphes z = g j,k (z ) de fonctions analytiques g j,k Ç(U), 1 k q j. Si λ(z ) est une forme linéaire arbitraire en z d+1,...,z n et z S, on pose P λ,j (z ( ;T) = T λ(z ) ) = ( T λ gj,k (z ) ). {z ;(z,z ) A S,j } 1 k k j Ceci définit un polynôme en T dont les coefficients sont des fonctions holomorphes bornées sur S. Ces coefficients admettent des prolongements holomorphes à (Remarque 4.2), donc P λ,j Ç( )[T]. Par construction, P λ,j ( z ;λ(z ) ) s annule identiquement sur A S,j. Soit P λ = 1 j N P λ,j, f(z) = δ(z )P λ ( z ;λ(z ) ) ; f s annule sur A S,1... A S,N (S ( ) A. le Lemme 4.21 montre queáa,0 est premier; comme δ / ÁA,0, on obtient P λ,j z ;λ(z ) ) ÁA,0 pour un certain indice j. Ceci est une contradiction si N 2 et si λ est choisi en sorte que λ sépare les q points z ν de chaque fibre π 1 (z ν ), pour une suite z ν( 0 dans S. Par conséquent N = 1, A S est connexe, et pour tout λ (C n d ) on a P λ z,λ(z ) ) ( Á(A,0). Par construction P λ z,λ(z ) ) s annule sur A S, donc aussi sur on A S ; par conséquent, pour tout z S, la fibre A S π 1 (z ) possède au plus q éléments, sinon en choisissant λ qui sépare q+1 de ces points on obtiendrait q+1 racines λ(z ) de P λ (z ;T), contradiction. Supposons maintenant que A S ne soit pas dense dans A pour des polydisques arbitrairement petits. Alors il existerait une suite A z ν = (z ν,z ν ) 0 telle que z ν S et z ν ne soit pas dans F ν := pr ( A S π 1 (z ν) ). La continuité des racines du polynôme P λ (z ;T) lorsque S z z ν implique que l ensemble( des racines de P λ (z ν ;T) est λ(f ν ). Choisissons λ tel que λ(z ν) / λ(f ν ) pour tout ν. Alors P λ z ν ;λ(z ν) ) ( 0 pour tout ν et P λ z ;λ(z ) ) / ÁA,0, contradiction.

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