Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables"

Transcription

1 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables Jean-Pierre D ly Institut Fourier, Université de Grenoble I BP74, 100 rue des Maths, Saint-Martin d Hères 1. Introduction L objectif de ces notes est d introduire quelques résultats fondamentaux de nature algébrique relatifs aux fonctions holomorphes de plusieurs variables. Henri Cartan y a contribué de manière essentielle en développant la théorie des faisceaux cohérents, qui est aujourd hui l un des fondements de la géométrie analytique complexe tout comme de la géométrie algébrique. Henri Cartan soutient sa Thèse de Doctorat ès Sciences en 1928 sous la direction de Paul Montel, sur le thème Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés linéaires lacunaires et leurs applications. Cette thèse porte principalement sur la théorie de la distribution des valeurs des fonctions d une variable, dans le droit fil des travaux de Nevanlinna, mais les premiers travaux de Cartan sur les fonctions de plusieurs variables complexes remontent déjà à cette époque. On peut noter en particulier un article de 1932 en commun avec le mathématicien allemand Peter Thullen sur les singularités des fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes, dans lequel est développée la théorie des domaines d holomorphie il s agit des domaines convexes par rapport aux fonctions holomorphes, généralisée de nos jours grâce à la notion de variété de Stein. Pour la suite de l histoire, écoutons ce qu écrit Henri Cartan lui-même dans sa notice de travaux publiée par l Académie des Sciences en 1973 : L étude des problèmes globaux relatifs aux idéaux et modules de fonctions holomorphes m a occupé plusieurs années, en partant des travaux d Oka. Dès 1940, j avais vu qu un certain lemme sur les matrice holomorphes inversibles joue un rôle décisif dans ces questions. Ce lemme est énoncé et démontré en 1940 dans [19]; dans ce même travail, j en fais diverses applications, et je prouve notamment que si des fonctions f i (en nombre fini), holomorphes dans un domaine d holomorhie D, n ont aucun zéro commun dans D, il existe une relation i c if i = 1 à coefficients c i holomorphes dans D. Dans [22], j introduis la notion de cohérence d un système d idéaux et je tente de démontrer les théorèmes fondamentaux de ce qui deviendra la théorie des faisceaux analytiques cohérents sur une variété de Stein; mais je n y parviens pas dans le cas le plus général, faute de réussir à prouver une conjecture que K. Oka démontrera plus tard (1950) et qui, en langage d aujourd hui, exprime que le faisceau des germes de fonctions holomorphes est cohérent. Sitôt que j eus connaissance de ce théorème de Oka (publié avec beaucoup d autres dans le volume 78 du Bulletin de la Société mathématique de France), je repris l ensemble de la question dans [29], en introduisant systématiquement la notion de faisceau (introduite alors par Leray en Topologie) et celle de faisceau cohérent (mais pas encore dans le sens plus général et définitif qui sera celui de mon Séminaire ). Il s agit essentiellement de ce qu on appelle aujourd hui les théorèmes A et B. Cependant, la, formulation cohomologique générale du théorème B ne viendra que dans le Séminaire cité, à la suite de discussions avec J.-P. Serre. La conférence [35] est consacrée à une exposition d ensemble de ces questions (sans démonstrations), avec indications sur les diverses applications qui en découlent pour la théorie globale des variétés de Stein, et en particulier pour les problèmes de Cousin.

2 2. L anneau local des germes de fonctions holomorphes 2 Terminons par un bref plaidoyer pour la géométrie analytique. On doit à Descartes l idée essentielle qu il est possible de ramener des problèmes de géométrie à des calculs effectués dans des systèmes de coordonnées, ce qui a rapidement permis d utiliser de manière très efficace les outils de l algèbre et les méthodes de résolution des équations linéaires ou algébriques. La géométrie algébrique consiste précisément à étudier les propriétés générales des solutions des systèmes d équations polynomiales. Dans un contexte moderne, on peut se placer sur un corps quelconque, mais les corps R et C restent particulièrement intéressants puisqu ils correspondent aux espaces euclidiens usuels de la Physique. Sur le corps C des nombres complexes, on a l immense avantage que tout polynôme admet autant exactement autant de racines que le degré (en comptant les multiplicités). Il en résulte que l ensemble des solutions d un système d équations polynomiales reflète beaucoup plus fidèlement la structure algébrique de ces équations lorsqu on se place sur C que lorsqu on se place sur R, et beaucoup d énoncés deviennent en réalité plus simples et plus réguliers. Il en est ainsi par exemple du théorème de Bezout qui dit que l intersection de deux courbes algébriques irréductibles distinctes de degrés p et q comporte exactement pq points, à condition de compter les multiplicités et les points à l infini sur C, alors que. Cependant, il existe des fonctions très naturelles qui ne sont pas polynomiales, comme la fonction exponentielle, pourtant solution d une équation différentielle algébrique simple. La géométrie analytique moderne, en particulier celle développée par Henri Cartan, consiste à étendre au cadre analytique, c est-à-dire aux séries entières convergentes de plusieurs variables complexes, la plus grande partie des propriétés algébriques des polynômes à coefficients dans C. D une certaine manière, la géométrie analytique est une complétion de la géométrie algébrique il existe même des questions purement algébriques que l on ne sait résoudre aujourd hui que par voie analytique un peu comme les réels ou les complexes permettent de résoudre des équations algébriques ou différentielles qu il serait impossible de résoudre dans le corps des rationnels ou des nombres algébriques. 2. L anneau local des germes de fonctions holomorphes 2.A. Théorème de préparation de Weierstrass Notre premier objectif sera d établir un théorème fondamental concernant la factorisation et les propriétés de divisibilité des fonctions holomorphes de plusieurs variables, essentiellement dû à Weierstrass. Nous suivons ici une preuve classique donnée par C.L. Siegel, s appuyant sur un usage astucieux de la formule de Cauchy. Soit g une fonction holomorphe définie sur un voisinage de 0 dans C n, g 0. On sait que g admet un développement sous forme d une série entière g(z) = a α z α, α = (α 1,...,α n ), z α = z α1 1...zα n n α N n convergeant sur un polydisque de C n assez petit, noté D(0,r) := D(0,r 1 )... D(0,r n ), D(z 0 j,r j) = { z j z 0 j < r j}. Il existe un ensemble dense de vecteurs v C n {0} tel que la fonction C t g(tv) ne soit pas identiquement nulle. En effet, la série de Taylor de g à l origine peut s écrire g(tv) = + k=0 1 k! tk g (k) (v) où g (k) (v) = α =k a αv α est un polynôme homogène de degré k sur C n (on note ici α la longueur α α n du multi-indice α). On a par hypothèse g (k 0) 0 pour un certain indice k 0. Par conséquent, il suffit de choisir v tel que g (k 0) (v) 0. Après un changement linéaire de coordonnées, on peut supposer que v = (0,...,0,1). Soit s l ordre d annulation de

3 3 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables z n g(0,...,0,z n ) en z n = 0. Il existe r n > 0 tel que g(0,...,0,z n ) 0 pour 0 < z n r n. Par continuité de g et par compacité du cercle z n = r n, il existe r > 0 et ε > 0 tels que g(z,z n ) 0 pour z = (z 1,...,z n 1 ) C n 1, z r, r n ε z n r n +ε. Pour tout entier k N, considérons l intégrale S k (z ) = 1 1 g 2πi z n =r n g(z (z,z n )z,z n ) z ndz k n. n Alors S k est holomorphe dans un voisinage de z r. Le théorème de Rouché montre que S 0 (z ) est le nombre de racines z n de g(z,z n ) = 0 dans le disque z n < r n, donc par continuité S 0 (z ) doit être une constante s. Notons w 1 (z ),...,w s (z ) ces racines, comptées avec multiplicités. Par définition de r n, nous avons w 1 (0) =... = w s (0) = 0, et grâce au choix de r, ε on obtient w j (z ) < r n ε pour z r. La formule des résidus de Cauchy implique S k (z ) = s w j (z ) k. j=1 Maintenant, une formule bien connue de Newton montre que la fonction symétrique élémentaire c k (z ) de degré k en w 1 (z ),...,w s (z ) est un polynôme en S 1 (z ),...,S k (z ). Par suite c k (z ) est holomorphe dans un voisinage de z r. Posons P(z,z n ) = z s n c 1 (z )z s 1 n + +( 1) s c s (z ) = s ( zn w j (z ) ). Pour z r, le quotient f = g/p (resp. f = P/g) est holomorphe in z n sur le disque z n < r n + ε, car g et P ont les mêmes zéros avec les mêmes multiplicités, et f(z,z n ) est holomorphe en z pour r n ε z n r n +ε. La formule de Cauchy donne j=1 f(z,z n ) = 1 f(z,w n )dw n, 2πi w n =r n +ε w n z n et f est holomorphe en z sur un voisinage du polydisque (r,r n ) = { z r } { z n r n }. Par conséquent g/p est inversible et on obtient: (2.1) Théorème de préparation de Weierstrass. Soit g une fonction holomorphe sur un voisinage de 0 dans C n, telle que g(0,z n )/z s n a une limite finie non nulle en z n = 0. Avec les choix précédentes de r et r n, on peut écrire g(z) = u(z)p(z,z n ) où u est une fonction holomorphe inversible dans un voisinage du polydisque (r,r n ), et P est un polynôme de Weierstrass en z n, c est-à-dire, un polynôme de la forme P(z,z n ) = z s n +a 1(z )z s 1 n + +a s (z ), a k (0) = 0, avec des coefficients a k (z ) holomorphe sur un voisinage de z r dans C n 1. (2.2) Remarque. Si g s annule à l ordre m en 0 et v C n {0} est choisi tel que g (m) (v) 0, alors s = m et P doit aussi s annuler à l ordre m en 0. Dans ce cas, les coefficients a k (z ) sont tels que a k (z ) = O( z k ), 1 k s. (2.3) Théorème de division de Weierstrass. Pour toute fonction holomorphe f sur le polydisque = (r,r n ), on peut écrire (2.4) f(z) = g(z)q(z) +R(z,z n ),

4 2. L anneau local des germes de fonctions holomorphes 4 où q et R sont analytiques dans, R(z,z n ) est un polynôme de degré s 1 in z n, et (2.5) sup q Csup f, sup R Csup f pour une constante C 0 indépendante de f. La représentation (2.4) est unique. Démonstration (Siegel). Il suffit de démontrer le résultat lorsque g(z) = P(z,z n ) est un polynôme de Weierstrass. Démontrons d abord l unicité. Si f = Pq 1 +R 1 = Pq 2 +R 2, alors P(q 2 q 1 )+(R 2 R 1 ) = 0. Il s ensuit que les s racines z n de P(z, ) = 0 sont des zéros de R 2 R 1. Comme deg zn (R 2 R 1 ) s 1, on doit avoir R 2 R 1 0, donc q 2 q 1 0. Pour prouver l existence de (q,r), on pose q(z,z n ) = lim ε πi w n =r n ε f(z,w n ) P(z,w n )(w n z n ) dw n, z ; observons que l intégrale ne dépend pas de ε lorsque ε < r n z n est assez petit. Alors q est holomorphe sur. La fonction R = f Pq est aussi holomorphe sur et 1 f(z,w n ) [ P(z,w n ) P(z,z n ) ] R(z) = lim ε 0+ 2πi P(z dw n.,w n ) (w n z n ) w n =r n ε L expression entre crochets est de la forme [ (w s n z s n)+ s j=1 a j (z )(w s j n z s j n ) ] /(w n z n ) doncest unpolynôme en z n de degré s 1dont les coefficients sont des fonctions holomorphes de z. Par conséquent, on obtient bien l écriture annoncée f = Pq +R et sup R C 1 sup f où C 1 dépend de majorants des a j (z ) et de µ = min P(z,z n ) sur l ensemble compact { z r } { z n = r n }. Par le principe du maximum appliqué à q = (f R)/P sur chaque disque {z } { z n < r n ε}, on obtient aisément sup q µ 1 (1+C 1 )sup f. 2.B. Propriétés algébriques de l anneauçn Nous présentons ici des applications importantes du théorème de préparation de Weierstrass à l étude de l anneau des germes de fonctions holomorphes dans C n. Rappelons que le germe en unpointxd unefonction f définiesurunvoisinage U dexn estautrequelaclassed équivalence de f pour la relation d équivalence suivante: f 1 f 2 si et seulement si il existe un voisinage V de x sur lequel f 1 et f 2 sont toutes deux définies, avec f 1 = f 2 sur V. (2.6) Notation. On noteraçn l anneau des germes de fonctions holomorphes sur C n en 0. De manière alternative,çn peut être identifié avec l anneau C{z 1,...,z n } des séries entières α N n α α z α en z 1,...,z n. (2.7) Théorème. L anneauçn est Noethérien, c est-à-dire que tout idéaládeçn admet un nombre fini de générateurs (on dit que cet idéal est de type fini).

5 5 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables Démonstration. Par récurrence sur n. Pour n = 1,Çn est un anneau principal: tout idéal Á {0} est engendré by z s, où s est le minimum des ordres d annulation en 0 des éléments non nuls deá. Soit n 2 etá Çn,Á {0}. Après un changement de variables, on peut supposer queácontient un polynôme de Weierstrass P(z,z n ). Pour tout f Á, le théorème de division de Weierstrass implique s 1 f(z) = P(z,z n )q(z)+r(z,z n ), R(z,z n ) = c k (z )zn, k et on a R Á. Considérons l ensembleådes coefficients (c 0,...,c s 1 ) dansç s n 1 qui correspondent aux polynômes R(z,z n ) appartenant àá. AlorsÅest unçn 1-sous-module deç s D après l hypothèse de récurrenceçn 1 est Noethérien; de plus, tout sous-module d un module de type fini sur un anneau Noethérien est de type fini ([Lang 1965], Chapter X). Par suiteåest de type fini, etáest engendré par P et par les polynômes R 1,...,R N associés à un ensemble fini de générateurs deå. Avant d aller plus loin, nous avons besoin de deux lemmes qui relient les propriétés algébriques deçn à celle de l anneau de polynômesçn 1[z n ]. (2.8) Lemme. Soit P,F Çn 1[z n ] où P est un polynôme de Weierstrass. Si P divise F dansçn, alors P divise F dansçn 1[z n ]. Démonstration. Supposons que F(z,z n ) = P(z,z n )h(z), h Çn. L algorithme standard de division de F par P dans l anneau de polynômesçn 1[z n ] fournit k=0 F = PQ+R, Q,R Çn 1[z n ], deg R < deg P. n 1. La partie unicité du Th. 2.3 implique h(z) = Q(z,z n ) et R 0. (2.9) Lemme. Soit P(z,z n ) un polynôme de Weierstrass. a) Si P = P 1...P N avec P j Çn 1[z n ], alors, modulo des facteurs inversibles deçn 1, tous les P j sont des polynômes de Weierstrass. b) P(z,z n ) est irréductible dansçn si et seulement s il est irréductible dansçn 1[z n ]. Démonstration. a) Supposons que P = P 1...P N pour des polynômes P j Çn 1[z n ] de degrés respectifss j, 1 j N s j = s. Leproduitdescoefficients directeursdep 1,...,P N dansçn 1 est égal to 1; après avoir normalisé ces polynômes, on peut supposer que P 1,...,P N sont unitaires et s j > 0 pour tout j. Alors P(0,z n ) = z s n = P 1 (0,z n )...P N (0,z n ), donc P j (0,z n ) = z s j n et par suite P j est un polynôme de Weierstrass. b) Posons s = deg P, de sorte que P(0,z n ) = z s n. Supposons que P soit réductible dansçn, avec P(z,z n ) = g 1 (z)g 2 (z) pour des éléments non inversibles g 1,g 2 Çn. Alors g 1 (0,z n ) et g 2 (0,z n ) ont des ordres d annulation s 1,s 2 > 0 tels que s 1 +s 2 = s, et g j = u j P j, deg P j = s j, j = 1,2, où P j est un polynôme de Weierstrass et où u j Çn est inversible. Par suite P 1 P 2 = up pour un germe inversible u Çn. Le Lemme 2.8 montre que P divise P 1 P 2 dansçn 1[z n ]; puisque P 1, P 2 sont unitaires et que s = s 1 + s 2, on obtient P = P 1 P 2, donc P est réductible dans Çn 1[z n ]. L implication réciproque est évidente d après a).

6 3. Faisceaux cohérents 6 (2.10) Théorème. L anneauçn est factoriel, c est-à-dire queçn est un anneau intègre dans lequel a) tout élément non nul f Çn admet une factorisation f = f 1...f N en éléments irréductibles; b) la factorisation est unique à des facteurs inversibles près. Démonstration. L existence stipulée par a) résulte du Lemme 2.9 si on prend pour f un polynôme de Weierstrass et f = f 1...f N une décomposition de longueur maximale N en polynômes de degrés positifs. Pour montrer l unicité, il suffit de vérifier l énoncé suivant: b )Si g est un élément irréductible qui divise un produit f 1 f 2, alors g divise f 1 ou f 2. Grâce au Th.2.1, on peutsupposerquef 1, f 2, g sont des polynômes deweierstrass en z n. Alors g est irréductible et divise f 1 f 2 inçn 1[z n ] d après les Lemmes 2.8 et 2.9 b). Par récurrence sur n, on peut supposer queçn 1 est factoriel. Le classique lemme de Gauss ([Lang 1965], Chapter IV) affirme que l anneau de polynômes A[T] est factoriel dès que l anneau A est luimême factoriel. Par conséquent, on voit d après l hypothèse de récurrence queçn 1[z n ] est factoriel et donc g doit diviser f 1 ou f 2 dansçn 1[z n ]. (2.11) Théorème. Si f,g Çn sont premiers entre eux, les germes f z, g z sont encore premiers entre eux en tout point z C n voisin de 0. Démonstration. On peut supposer que f = P, g = Q sont des polynômes de Weierstrass. Rappelons que des polynômes unitaires P, Q A[X] (A = anneau factoriel) sont premiers entre eux si et seulement si leur résultant R A est non nul. On en déduit que le résultant R(z ) Çn 1 de P(z,z n ) et Q(z,z n ) possède un germe non nul en 0. Par suite le germe R z est lui aussi non nul aux points z C n 1 voisins de Faisceaux cohérents La notion de faisceau a été introduite par Jean Leray entre 1940 et 1945, alors qu il est prisonnier de guerre en Autriche. Son but était de développer des notions fondamentales nouvelles pour la topologie algébrique, afin d étudier en particulier les propriétés topologiques des espaces fibrés. Entre 1945 et 1950, Henri Cartan comprend tout le bénéfice que la notion générale de faisceau apporte à l étude des fonctions holomorphes de plusieurs variables. 3.A. Notions de préfaisceau et de faisceau Nous commençons par introduire la notion plus élémentaire de préfaisceau de fonctions. (3.1) Définition. Soit X un espace topologique. a) Un préfaisceau de fonctions sur X (à valeurs dans un ensemble E donné) est la donnée pour chaque ouvert U X d un ensemble de fonctions f : U E définies sur U, noté (U), de sorte que pour chaque paire d ouverts emboîtés V U et tout f (U) la restriction f V de f à V vérifie f V (V). On dit que (U) est l ensemble (ou l espace) des sections de sur U. b) Le préfaisceau est un faisceau si chaque fois qu on se donne une collection f i (U i ) avec f i Ui U j = f j Ui U j pour tous i,j, alors il existe une fonction f (U) définie sur la réunion U = U i telle que f Ui = f i pour tout i. [La propriété (3.1 b) dit en quelque sorte que prescrit une propriété purement locale, vraie sur un ouvert U si et seulement si elle est vraie sur un recouvrement arbitraire (U i ) de U ]. (3.2) Exemples. a) La collection X,E telle que X,E(U) est l ensemble de toutes les fonctions U E est un faisceau sur X.

7 7 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables b) La collection X,K telle que X,K(U) est l ensemble des fonctions continues f : U K à valeurs dans K = R ou C est un faisceau sur X. c) Si X est une variété différentielle de classe C k, la collection k X,K des fonctions f : U K de classe C k est un faisceau sur X. d) Si X est une variété analytique complexe, la collection notéeçx des fonctions holomorphes f : U C est un faisceau sur X. e) Si E est un ensemble, la collection souvent notée E (ou E X ) des fonctions localement constantes U E est un faisceau sur X. f) En revanche, la collection des fonctions constantes U E est un préfaisceau qui n est pas un faisceau. De même, si on pose X,b(U) = {fonctions continues bornées U R} on obtient un préfaisceau X,b qui n est pas un faisceau, le fait pour une fonction d être bornée n étant pas une propriété locale... g) Si X = R n par exemple, la collection c(u) des fonctions continues à support compact dans U n est pas un préfaisceau, la restriction à un ouvert V plus petit n étant pas nécessairement à support compact dans V. On observera que les collections b) c) d) ont des structures algébriques supplémentaires, chaque ensemble (U) ayant en fait dans ce cas une structure d anneau. Malheureusement la notion de (pré)faisceau de fonctions est un peu malcommode à manipuler algébriquement, car par exemple un quotient d un espace de fonctions par un sous-espace n est plus formellement un espace de fonctions. On est amené à poser la définition plus générale suivante. (3.3) Définition. Soit X un espace topologique. a) Un préfaisceau sur X est la donnée pour chaque ouvert U X d un ensemble noté (U) et pour chaque paire d ouverts emboîtés V U d une application ρ U,V : (U) (V), en sorte que ρ U,V ρ V,W = ρ U,W lorsque W V U (intuitivement ρ U,V sera vue comme une restriction de U à V, même si ce n est pas formellement le cas). b) Le préfaisceau est appelé faisceau si chaque fois qu on se donne une collection d éléments f i (U i ) vérifiant ρ Ui,U i U j (f i ) = ρ Uj,U i U j (f j ) dans (U i U j ) pour tous i,j, il existe un unique élément f (U) sur la réunion U = U i tel que ρ U,Ui (f) = f i pour tout i. c) On parlera de (pré)faisceau de groupes, d anneaux, d espaces vectoriels (...) si les ensembles (U) sont munis de structures de groupes, d anneaux, d espaces vectoriels (...), et si les restrictions ρ U,V sont toutes des morphismes pour ces structures. (3.4) Définition. Si est un préfaisceau sur X, on définit pour chaque point x X une relation d équivalence pour les éléments g (U), h (V) où U,V sont des voisinages ouverts de X par la condition suivante: g h s il existe un voisinage W U V de x tel que ρ U,W (g) = ρ V W (h). On appelle germe de g en x, noté g x, la classe d équivalence de g (U), et on note x l ensemble des classes d équivalences lorsque U décrit tous les voisinages U de x. En termes plus savants, x est la limite inductive x = lim ( (U),ρ UV ). U x On appelle cet ensemble x la fibre de en x. Un fait fondamental est qu il est possible d associer de manière naturelle un faisceau àtout préfaisceau. Pour cela, on considère l ensemble E = x formé de la somme

8 3. Faisceaux cohérents 8 disjointes des fibres, et on définit (U) comme étant l ensemble des fonctions f : U E telles qu il existe un recouvrement ouvert U = U i de U et des éléments f i (U i ) pour lesquels f(x) = (f i ) x chaque fois que x U i (ceci implique donc en particulier que f(x) x). Il est immédiat de constater que est un faisceau de fonctions (avec les morphismes de restriction de fonctions usuels ρ U,V : f f V, f (U)), et que ce faisceau est identique (canoniquement isomorphe) à si était déjà un faisceau puisqu alors les f i précédents se recollent par hypothèse en unélément f (U) global qui correspondbijectivement àl application f donnée a priori seulement localement par ses germes, i.e. f(x) = f x pour tout x U. Un morphisme de préfaisceaux de groupes abéliens ϕ : sur X est la donnée d une collection de morphismes de groupes ϕ U : (U) (U) commutant aux restrictions, i.e. tels que ρ U,V ϕ U = ϕ V ρ U,V pour tous V U. Dans cette situation, on peut considérer les collections de groupes abéliens notées Kerϕ, Imϕ et Cokerϕ, données par Ker(ϕ U : (U) (U)), Coker(ϕ U : (U) (U)) = (U)/ϕ U ( (U)). Im(ϕ U : (U) (U)) = ϕ U ( (U)), Onconstateimmédiatement qu avec lesrestrictionsinduitesparρ U,V (resp.parρ U,V )onobtient bien des préfaisceaux. Si et sont des faisceaux, il est facile de voir que Kerϕ est encore un faisceau, mais en général Imϕ et Cokerϕ ne sont que des préfaisceaux. Un exemple typique est donné sur le cercle X = S 1 = R/Z par l exponentielle complexe ϕ : C C, f e2πif, du faisceau des fonctions continues sur X à valeurs complexes (avec + comme loi de groupe), dans le faisceau C des fonctions continues non nulles (avec comme loi de groupe). Le noyau Ker ϕ s identifie au faisceau Z des fonctions localement constantes à valeurs dans Z. On peut voir cependant que le préfaisceau image ne contient pas l application S 1 = R/Z x e 2πix définie sur S 1 tout entier, alors qu il contient pourtant sa restriction au cercle S 1 x 0 privé d un point quelconque (en prenant la détermination continue de x située dans un intervalle ]x 0,x 0 + 1[). Lorsqu on travaille dans la catégorie des faisceaux (ce qui sera notre cas), on conviendra de désigner plutôt par Im ϕ et Coker ϕ les faisceaux associés aux préfaisceaux définis plus haut. L exemple précédent donne alors lieu pour tout espace topologique X à une suite exacte de faisceaux (mais pas en général de préfaisceaux) sur X 0 Z C C 0. Comme par définition un faisceau est déterminé de façon purement locale, il est équivalent de dire que Àest une suite exacte de faisceaux (i.e. Ker( À) = Im( )) ou de dire que les fibres forment des suites exactes de groupes abéliens x x Àx pour tout x X. 3.B. Faisceaux de modules Avant d introduire la notion de faisceau cohérent, nous définissons les notions de modules (localement) de type fini et (localement) libres sur un faisceau d anneaux. Tous les anneaux A apparaissant dans la suite seront supposés commutatifs et unitaires, sauf mention explicite du contraire; on admet cependant que l on puisse avoir A = {0}, auquel cas 1 A = 0 A. Le cas non commutatif présente aussi un intérêt considérable, par exemple en vue de la théorie des -modules, mais ce sujet dépasse le cadre du présent texte. Soit donc un faisceau d anneaux (commutatifs, unitaires) sur un espace topologique X. Un faisceauëde -modules (ou plus brièvement un -module) est un faisceau de groupes

9 9 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables abéliens tel que chaque espace de sectionsë(u) a une structure de (U)-module, avec une loi de multiplication externe compatible aux restrictions. De même, un morphismeë Ë de -modules est une collection de (U)-morphismesË(U) Ë (U) commutant aux restrictions. On remarquera qu un morphisme ϕ : Ëest déterminé de manière unique par la section globale F = ϕ(1) Ë(X) image de la section globale 1 (X). Dans ce cas, par (U)- linéarité, l image d une section locale a (U) est af U (et par x-linéarité, l image d un germe w x n est autre que wf x ). (3.5) Définition. Soit un faisceau d anneaux sur un espace topologique X et soitëun faisceau de -modules. AlorsËest dit: a) de type fini s il existe des générateurs globaux F 1,...,F N Ë(X) donnant un morphisme surjectif de -modules sur X tout entier N Ë, N x (w 1,...,w N ) w j F j,x Ëx, x X. 1 j N b) localement de type fini, si tout point x 0 X admet un voisinage U sur lequel il existe des générateurs locaux F 1,...,F N Ë(U) (N = N(x 0 )), donnant un morphisme surjectif de -modules au dessus de U (w 1,...,w N ) w j F j,x Ëx, x U. N U Ë U, N x 1 j N (La restriction U d un (pré)faisceau est par définition la collection des (V), V U, considérée sur l espace U, les fibres x étant prises elles aussi pour x U). c) libre de rang r s il existe des générateurs globaux F 1,...,F r Ë(X) tels que le morphisme du a) (avec N = r) soit un isomorphisme de -modules au dessus de X. d) localement libre de rang r si tout point x 0 X admet un voisinage U sur lequel il existe des générateurs locaux F 1,...,F r Ë(U) tels que le morphisme du b) (avec N = r) soit un isomorphisme de -modules au dessus de U. Par définition, siëest localement libre, il existe un recouvrement (U α ) α I par des ouverts sur lesquelsëadmet des systèmes libres de générateurs F α 1,...,Fα r Ë(U α ). Comme les générateurs peuvent alors être exprimés de manière unique les uns en fonction des autres, il existe pour chaque paire (α,β) d indices une unique matrice r r telle que G αβ = (G αβ jk ) 1 j,k r, F β k = 1 j r En d autre termes, on a un diagramme commutatif G αβ jk (U α U β ), F α j G αβ jk sur U α U β. F r α U α U β Ë U α U β G αβ r U α U β F βë U α U β Il résulte aussitôt de l égalité G αβ = (F α ) 1 F β que les matrices de transition G αβ sont inversibles et qu elles satisfont les relations de transition (3.6) G αγ = G αβ G βγ sur U α U β U γ

10 3. Faisceaux cohérents 10 pour tous les indices α,β,γ I. En particulier G αα = Id on U α et (G αβ ) 1 = G βα sur U α U β. Réciproquement, si on se donne un système G αβ = (G αβ jk ) de matrices r r inversibles ayant leurs coefficients dans (U α U β ) et satisfaisant les relations de transition (3.6), on peut définir un -module localement libreëde rang r en prenantë r U α sur chaque ouvert, l identification au dessus de U α U β étant donnée par l isomorphisme G αβ : une section F deësur un ouvert U X peut être vue simplement comme une collection de sections F α = (F1 α,...,fα r ) de r (U U α ) satisfaisant les relations de transition F α = G αβ F β sur les intersections U U α U β. (3.7) Remarque. Lorsque est le faisceau des fonctions continues à valeurs dans K = R ou C sur un espace topologique X, on voit aisément que la catégorie des faisceaux de -modules localement libres de rang r sur X est équivalente à celle des fibrés vectoriels topologiques de rang r sur le corps K au dessus de X: à un faisceau localement libre donné par les matrices de transition G αβ, il suffit de faire correspondre le fibré vectoriel E obtenu en recollant les cartes U α K r par la relation d équivalence (x,ξ α ) (y,ξ β ), x U α et y U β, si et seulement si x = y et ξ α = G αβ (x)ξ β. Le quotient ( ) E = (Uα K r ) / est le fibré vectoriel recherché. De même, si est le faisceau des fonctions C sur une variété différentiable (resp. des fonctions holomorphes sur une variété analytique complexe), la catégorie des -modules localement libres équivaut à celle des fibrés vectoriels différentiables (resp. holomorphes). Une propriété élémentaire et fréquemment utilisée des faisceaux de modules localement de type fini est la suivante. (3.8) Lemme. SoitËun faisceau de -modules localement de type fini sur X et G 1,...,G p des sections deë(u) telles que les germes G 1,x0,...,G p,x0 engendrent la fibreëx 0 en un point x 0 U. Alors il existe un voisinage V de x 0 tel que G 1 V,...,G p V engendrentëx pour tout x dans V. Démonstration. Soit W un voisinage de x 0 sur lequelëpossède des générateurs F 1,...,F N Ë(W) engendrantë W. Comme les germes G 1,x0,...,G p,x0 engendrentëx 0, on peut trouver un voisinage V W de x 0 et des sections H jk (V) telles que F j = H jk G k sur V. On voit que les germes G 1,x,...,G N,x engendrentëx pour tout x V. 3.C. Notion de faisceau cohérent sur un faisceau d anneaux La notion de cohérence concerne les faisceaux de modules sur un faisceau d anneaux. C est une propriété semi-locale qui stipule grosso modo que le faisceau de modules en question possède une présentation finie en termes de générateurs et relations. Nous décrivons ici la définition et quelques propriétés basiques de cette notion, avant de nous concentrer dans la section suivante sur le cas des faisceaux de modules sur le faisceau d anneauxçx des fonctions holomorphes. Si U est un ouvert de X et si F 1,...,F q Ë(U) sont des sections deësur U, le noyau du morphisme de -modules F = (F 1,...,F q ) : q U Ë U défini par (3.9) (V) q (g 1,...,g q ) 1 j q g j F j V Ë(V), V U est un sous- -moduleê(f 1,...,F q ) de q U, appelé faisceau des relations entre les sections F 1,...,F q.

11 11 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables (3.10) Définition. Un faisceauëde -modules sur X est dit cohérent si: a)ëest localement de type fini sur X ; b) pour tout sous-ensemble ouvert U of X et tout système de sections F 1,...,F q Ë(U), le faisceau des relationsê(f 1,...,F q ) est localement de type fini sur U. Soit x 0 X un point fixé. Par l hypothèse a), il existe un voisinage U de x 0 et des sections F 1,...,F q Ë(U) réalisant un morphisme surjectif de U-modules F = (F 1,...,F q ) : q U Ë U, et l hypothèse b) implique que le noyauê(f 1,...,F q ) de F est localement de type fini. Par conséquent, il existe un voisinage V U de x 0 et un morphisme surjectif G : p V Ê(F 1,...,F q ) V q V sur le noyau de F au dessus de V. On voit ainsi qu on obtient une présentation finie deëau dessus de V, c est-à-dire une suite exacte de V-modules (3.11) p V G q V F Ë V 0, où G est donné par une matrice p p de sections (G jk ) de (V) dont les colonnes (G j1 ),..., (G jp ) sont des générateurs deê(f 1,...,F q ). Il est clair par définition que tout sous- -module localement de type fini d un -module cohérent est cohérent (car la propriété b) s hérite par passage à un sous- -module). De là on déduit aisément : (3.12) Théorème. Soit ϕ : un morphisme de -modules cohérents. Alors Imϕ et Kerϕ sont des -modules cohérents. Démonstration. Il est clair que Imϕ est un sous- -module localement de type fini de, donc il est cohérent. Soit x 0 X et soient F 1,...,F q (U) des générateurs de sur un voisinage U de x 0. Enfin, soient G 1,...,G r (V) q des générateurs deê( ϕ(f1 ),...,ϕ(f q ) ) sur un V voisinage V U de x 0. Alors Kerϕ est engendré au dessus de V par les sections H j = q G jk F k (V), 1 j r, où G j = (G j1,...,g jq ). k=1 Ceci montre que Kerϕ est localement de type fini, donc Kerϕ est cohérent. (3.13) Théorème [Serre]. Soit 0 Ë 0 une suite exacte de -modules. Si deux des -modules,ë, sont cohérents, alors les trois sont cohérents. Démonstration. SiËet sont cohérents, alors =Ker(Ë ) est cohérent par le Th SiËet sont cohérents, alors est localement de type fini; pour prouver la cohérence de, soient G 1,...,G q (U) et x 0 U. Alors il existe un voisinage V de x 0 et des sections G 1,..., G q Ë(V) qui sont envoyées sur G 1,...,G q (V). Après rétrécissement éventuel de V, on peut supposer aussi que V est engendré par des sections F 1,...,F p (V). AlorsÊ(G 1,...,G q ) est la projection sur les q dernières composantes du sous-module Ê(F 1,...,F p, G 1,..., G q ) p+q, qui est de type fini près de x 0 par cohérence deë. Par conséquentê(g 1,...,G q ) est de type fini près de x 0 et est cohérent. Finalement, supposons que et soient cohérents. Soit x 0 X un point quelconque, et soient F 1,...,F p (U) et G 1,...,G q (U) des générateurs de, sur un voisinage

12 3. Faisceaux cohérents 12 U de x 0. Il existe un voisinage V U de x 0 tel que G 1,...,G q admettent des relèvements G 1,..., G q Ë(V). Alors (F 1,...,F q, G 1,..., G q ) engendrentë V, doncëest de type fini sur V. Maintenant, soient S 1,...,S q des sections arbitraires deë(u) et S 1,...,S q leurs images dans (U). Pour tout x 0 U, le faisceau des relationsê(s 1,...,S q ) est engendré par des sections P 1,...,P s (V) q sur un petit voisinage V de x 0. Posons P j = (P jk ) 1 k q. Alors les sections H j = P j1 S P jq S q, 1 j s, sont envoyées sur 0 dans, donc elles peuvent être vues comme des sections de (ou plutôt des images de telles sections). La cohérence de montre queê(h 1,...,H s ) possède des générateurs Q 1,...,Q t (W) s sur un petit voisinage W V de x 0. Alors il est facile de voir queê(s 1,...,S q ) est engendré au dessus de W par les sections R j = Q jk P k (W), 1 j t, par suiteëest cohérent. (3.14) Corollaire. Si et sont des sous- -modules cohérent d un -module cohérentë, l intersection est un -module cohérent. Démonstration. En effet, le faisceau intersection est le noyau du morphisme composé Ë Ë/, et on sait queë/ est cohérent par (3.13), donc le noyau de Ë/ est cohérent d après (3.12). 3.D. Notion de faisceau cohérent d anneaux Un faisceau d anneaux est dit cohérent s il est cohérent comme module sur lui-même. D après la Définition 3.11, ceci signifie que pour tout ouvert U X et tout système de sections F j (U), le faisceau des relationsê(f 1,...,F q ) est localement de type fini. (3.15) Exemple et contre-exemples. Soit K un corps (par exemple R) et X un espace topologique, qu on prendra ici localement connexe (par exemple X = R n ). Alors il est évident que le faisceau localement constant =K sur X est un faisceau cohérent d anneaux. Si Y est une partie de X, on peut définir un sous-faisceau Y en prenant pour Y(U) l ensemble des fonctions localement constantes U K qui sont nulles sur X Y (fonctions à support dans Y). On vérifie facilement que Y est un sous-faisceau d anneaux qui n est pas localement de type fini au voisinage d un point x 0 de la frontière Y, si elle est non vide. En effet la fibre ( Y) x0 est nulle par l hypothèse de locale connexité de X, donc on ne peut pas trouver de section de Y(V) sur un petit voisinage connexe de V qui puisse engendrer les fibres non nulles ( Y) x, x Y V. En fait Y est aussi un faisceau d idéaux de, et on peut donc considérer le -module quotient / Y. On verra alors que / Y est bien localement de type fini (engendré par 1), mais il n est pas cohérent sinon le noyau de / Y le serait. Il faut avouer que ces exemples et contre-exemples ne sont pas parmi les plus passionnants du sujet... Si est un faisceau cohérent d anneaux, les résultats du paragraphe 3.C impliquent que tout module libre p est cohérent (et donc tout -module localement libre est également cohérent). En conséquence: (3.16) Théorème. Si est un faisceau cohérent d anneaux, tout sous-module localement de type fini de p est cohérent. En particulier, siëest un -module cohérent et F 1,...,F q Ë(U), le faisceau des relationsê(f 1,...,F q ) q est lui aussi cohérent. SoitËun -module cohérent sur un faisceau cohérent d anneaux. Grâce à une itération de la construction (3.11), on voit que pour tout entier m 0 et tout point x 0 X il existe un voisinage V de x 0 sur lequel on a une suite exacte de faisceaux (3.17) p m V F m m 1 p V 1 p V F 1 p 0 V F 0 Ë V 0, où F j est donné par une matrice p j 1 p j de sections de (V).

13 13 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables 3.E. Faisceaux analytiques et théorème d Oka Beaucoup de propriétés des fonctions holomorphes qui seront étudiées ici se formulent naturellement dans le cadre des faisceaux analytiques. Le théorème d Oka [Oka 1950] stipulant la cohérence du faisceau des fonctions holomorphes de n variables peut être considéré comme une extension profonde de la propriété de noethérianité vue à la Section 2. (3.18) Définition. Soit M une variété analytique complexe de dmension n et soitçm le faisceau des germes de fonctions analytique sur M. Un faisceau analytique sur M est par définition un faisceauëde modules sur le faisceau d anneauxçm. (3.19) Théorème d Oka. Pour toute variété analytique complexe M, le faisceau d anneaux ÇM est cohérent. Soient F 1,...,F q Ç(U). PuisqueÇM,x est noethérien, on sait déjà que les fibres Ê(F 1,...,F q ) x Ç q M,x sont de type fini, mais le fait nouveau important exprimé par le théorème est que le faisceau des relations est localement de type fini, c est-à-dire que les mêmes générateurs peuvent être utilisés pour engendrer les fibres dans un voisinage de chaque point. Démonstration. Par récurrence sur n = dim C M. Pour n = 0, les fibresçm,x se réduisent au corps des complexes C et le résultat est trivial. Supposons maintenant que n 1 et que le résultat aitdéjàétédémontré endimensionn 1. SoitU unouvertdem etf 1,...,F q ÇM(U). Pour montrer queê(f 1,...,F q ) est localement de type fini, on peut supposer que U = = n est un polydisque de C n centré en x 0 = 0 ; après un changement de coordonnées et après une multiplication de F 1,...,F q par des fonctions inversibles, on peut aussi supposer que F 1,...,F q sont des polynômes de Weierstrass en z n dont les coefficients sont dansç( ). Nous avons besoin d un lemme. (3.20) Lemme. Si x = (x,x n ), leç,x-moduleê(f 1,...,F q ) x est engendré par ceux de ses éléments dont les composantes sont des germes de polynômes analytiques dansç,x [z n] dont le degré en z n est au plus égal à µ = maximum des degrés de F 1,...,F q. Démonstration. Supposons par exemple que F q soit degré maximal µ parmi les F j. D après le théorème de préparation de Weierstrass 1.1 et le Lemme 1.9 appliqué en x, on peut écrire F q,x = f f où f,f Ç,x [z n], f sont despolynômesdeweierstrass enz n x n et f (x) 0. Soient µ et µ les degrés de f et f par rapport à z n, de sorte que µ +µ = µ. Maintenant, prenons (g 1,...,g q ) Ê(F 1,...,F q ) x. Le théorème de division de Weierstrass donne g j = F q,x t j +r j, j = 1,...,q 1, où t j Ç,x et où r j Ç,x [z n] est un polynôme de degré < µ. Pour j = q, définissons r q = g q + 1 j q 1 tj F j,x. On peut écrire (3.21) (g 1,...,g q ) = 1 j q t j (0,...,F q,...,0, F j ) x +(r 1,...,r q ) où F q est en position j dans le q-uplet figurant dans la sommation. Puisque ces q-uplets sont dansê(f 1,...,F q ) x, on a (r 1,...,r q ) Ê(F 1,...,F q ) x, donc F j,x r j +f f r q = 0. 1 j q 1 Comme la somme est un polynôme en z n de degré < µ+µ, il résulte du Lemme 1.9 que f r q est un polynôme en z n de degré < µ. Maintenant, nous avons (r 1,...,r q ) = 1/f (f r 1,...,f r q )

14 4. Ensembles analytiques complexes. Propriétés locales 14 où f r j est de degré < µ +µ = µ. En combinant ceci avec (3.21), le lemme s ensuit. Démonstration du Théorème 3.19 (fin). Si g = (g 1,...,g q ) est un des polynômes de Ê(F 1,...,F q ) x décrits dans l énoncé du Lemme 3.20, on peut écrire g j = 0 k µ u jk z k n, u jk Ç,x. La condition pour que (g 1,...,g q ) appartienne àê(f 1,...,F q ) x consiste par conséquent en 2µ+1 conditions linéaires portant sur le germe u = (u jk ), avec des coefficients dansç( ). D après l hypothèse de récurrenceç est cohérent et le Th montre que le module correspondant des relations est engendré surç,x, pour x dans un voisinage Ω de 0, par un nombre fini de (q µ)-uplets U 1,...,U N Ç(Ω ) qµ. Grâce au Lemme 3.20,Ê(F 1,...,F q ) x est engendré en chaque point x Ω = Ω n par les germes des polynômes associés ( G l (z) = 0 k µ ) U jk l (z )zn k, 1 j q z Ω, 1 l N. (3.22) Propriété noethérienne forte. Soit un faisceau analytique cohérent sur une variété complexe M et une suite croissante de sous-faisceaux cohérents de. Alors la suite ( k) est stationnaire sur tout sous-ensemble compact de M. Démonstration. Puisque est localement un quotient d un module libreç q M, on peut prendre les images réciproques des j dansç q M, ce qui nous ramène facilement au cas =Ç q M, puis finalement à =ÇM, par des réductions faciles semblables à celles utilisées dans la démonstration du Th Supposons M connexe et k 0 {0} pour un certain indice k 0 (sinon, il n y a rien à démontrer). Grâce au théorème de prolongement analytique, on voit facilement que k 0,x {0} pour tout x M. Pour tout point x M, on peut donc prendre un polynôme de Weierstrass non nulp k 0 (V), deg zn P(z,z n ) = µ, dans un ouvert de coordonnées qui soit un voisinage V = n de centre x. Une division par P montre que pour k k 0 et x V, toutes les fibres k,x sont engendrées par P x et par les polynômes de degré < µ en z n à coefficients dansç,x. Ceci permet de raisonner par récurrence sur n, en considérant leç -module cohérent = { Q Ç [z n]; degq µ } et sa suite croissante de sous-faisceaux cohérents = k k. On conclut grâce à l hypothèse de récurrence appliquée en dimension n Ensembles analytiques complexes. Propriétés locales 4.A. Définition. Composantes irréductibles Un ensemble analytique complexe est un ensemble qui peut être défini localement par un nombre fini d équations holomorphes; un tel ensemble n est en général pas une sous-variété lisse, mais une sous-variété avec singularités, précisément parce qu aucune hypothèse n est faite sur les différentielles des équations. Nous sommes intéressés à la fois par la description des singularités et par l étude des propriétés algébriques des fonctions holomorphes sur les ensembles analytiques. Pour une étude plus détaillée, nous renvoyons le lecteur au séminaire de H. Cartan!

15 15 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables (4.1) Définition. Soit M une variété analytique complexe. Une partie A M est appelée ensemble analytique dans M si A est fermée et si pour tout point x 0 A il existe un voisinage U de x 0 et des fonctions holomorphes g 1,...,g n deç(u) telles que A U = {z U ; g 1 (z) =... = g N (z) = 0}. Alors g 1 =... = g N = 0 est appelé système d équations (locales) de A sur U. Il est facile de voir qu une réunion ou une intersection finie d ensembles analytiques est analytique : si (g j ), (g k ) sont deséquations dea, A dans l ouvert U, alors le système constitué de tous les produits (g j g k ), resp. le système (g j ) (g k ) constitue un système d équations de A A, resp. de A A. (4.2) Remarque. Supposons que M soit connexe. Le théorème du prolongement analytique montre que soit A = M, soit A n a pas de point intérieur. Dans ce dernier cas, chaque intersection A U = g 1 (0) est contenue dans l ensemble des zéros d une fonction non nulle g j, laquelle s écrit comme un produit g j (z) = u j (z)p j (z,z n ) d un facteur inversible u j par un polynôme de de Weierstrass P j non nul. Comme les zéros de z n P j (z,z n ) sont des points isolés lorsque z est fixé, on voit facilement en prenant pour U un polydisque de coordonnées assez petit que A = (A ) est connexe. Il en résulte facilement que M A est connexe et que toute fonction f Ç(M A) qui est localement bornée près de A peut être prolongée en une fonction f Ç(M). Nous focalisons maintenant notre attention sur les propriétés locales des ensembles analytiques. Par définition, un germe d ensemble en un point x M est une classe d équivalence d éléments de l ensemble des partiesè(m), avec A B s il existe un voisinage ouvert V de x tel que A V = B V. Le germe d un sous-ensemble A M en x sera noté (A,x). Nous considérerons le plus souvent le cas où A M est un ensemble analytique dans un voisinage U de x, et dans ce cas nous noteronsáa,x l idéal des germes f ÇM,x qui s annulent sur (A,x). Réciproquement, siâ=(g 1,...,g N ) est un idéal deçm,x, on notera ( V(Â),x ) le germe au point x de l ensemble V(Â) = {z U ; g 1 (z) =... = g N (z) = 0} des zéros deâ, où U est un voisinage de x tel que g j Ç(U). Il est facile de vérifier que le germe (V(cJ),x) ne dépend pas du choix des générateurs deâ. De plus, on voit immédiatement que (4.3 ) (4.3 ) pour tout idéalâde l anneauçm,x, pour tout germe d ensemble analytique (A, x), ÁV(Â),x Â, ( V(ÁA,x),x ) = (A,x). (4.4) Définition. Un germe (A, x) est dit irréductible s il ne possède aucune décomposition (A,x) = (A 1,x) (A 2,x) en des ensembles analytiques (A j,x) (A,x), j = 1,2. (4.5) Proposition. Un germe (A, x) est irréductible si et seulement si son idéaláa,x est un idéal premier de l anneauçm,x. Démonstration. Rappelons qu un idéalâest dit premier si f g Âimplique f Âou g Â. Supposons que (A,x) soit irréductible et que fg ÁA,x. Comme nous pouvons écrire (A,x) = (A 1,x) (A 2,x) avec A 1 = A f 1 (0) et A 2 = A g 1 (0), on doit avoir par example (A 1,x) = (A,x) ; donc f ÁA,x etáa,x est bien premier. Réciproquement, si (A,x) = (A 1,x) (A 2,x) avec (A j,x) (A,x), il existe f ÁA 1,x et g ÁA 2,x telles que f,g / ÁA,x. Cependant fg ÁA,x, doncáa,x n est pas un idéal premier. (4.6) Théorème. Toute suite d écroissante de germes d ensembles analytiques (A k,x) est stationnaire.

16 4. Ensembles analytiques complexes. Propriétés locales 16 Démonstration. En effet, la suite correspondante d idéauxâk =ÁA k,x est croissante, donc Âk =Âk 0 pour k k 0 assez grand par la propriété noethérienne deçm,x. On en déduit que (A k,x) = ( V(Âk),x ) est constant pour k k 0. Ce résultat a les conséquences immédiates suivantes : (4.7) Théorème. Tout germe d ensemble analytique (A, x) admet une décomposition finie (A,x) = (A k,x) 1 k N où les germes (A j,x) sont irréductibles et où (A j,x) (A k,x) pour j k. La décomposition est unique à l ordre près. Démonstration. Si (A, x) peut être décomposé en plusieurs composantes, on redécompose celles qui peuvent l être, et ce tant que l une des composantes ainsi obtenues est réductible. Ce processus doit s arrêter par le Th. 4.6, d où l existence de la décomposition. Pour vérifier l unicité, supposons que (A,x) = (A l,x), 1 l N, soit une autre décomposition. Puisque (A k,x) = l (A k A l,x), on doit avoir (A k,x) = (A k A l,x) pour un certain l = l(k), par conséquent (A k,x) (A l(k),x), et de même (A l(k),x) (A j,x) pour un certain j. Nécessairement j = k et donc (A l(k),x) = (A k,x). 4.B. Structure locale d un germe d ensemble analytique Nous allons décrire la structure locale d un germe, à la fois du point de vue holomorphe et du point de vue topologique. Grâce à la décomposition précédente, on peut se restreindre au cas de germes irréductibles. SoitÂun idéal premier deçn =ÇC n,0 et soit A = V(Â) sa variété de zéros. On poseâk =Â C{z 1,...,z k } pour tout k = 0,1,...,n. (4.8) Proposition. Il existe un entier d, une base (e 1,...,e n ) de C n et des coordonnées (z 1,...,z n ) correspondantes ayant les propriétés suivantes:âd = {0} et pour tout entier k = d+1,...,n il existe un polynôme de Weierstrass P k Âk de la forme (4.9) P k (z,z k ) = z s k k + a j,k (z )z sk j k, a j,k (z ) Çk 1, 1 j s k où a j,k (z ) = O( z j ). De plus, la base (e 1,...,e n ) peut être choisie arbitrairement proche de toute base donnée a priori (e 0 1,...,e0 n). Démonstration. Par récurrence sur n. SiÂ=Ân = {0}, alors d = n et alors il n y a rien à démontrer. Sinon, choisissons un élément non nul g n Âet un vecteur e n tels que C w g n (we n ) s annule au plus petit ordre possible s n. Ce choix exclut au plus l ensemble algébrique g (s n) n (v) = 0, donc e n peut être choisi arbitrairement proche de e 0 n. Soient ( z 1,..., z n 1,z n ) les coordonnésassociées àlabase(e 0 1,...,e0 n 1,e n). Aprèsmultiplication parunélément inversible, on peut supposer que g n est un polynôme de Weierstrass P n ( z,z n ) = z s n n + a j,n ( z)z n sn j, a j,n Çn 1, 1 j s n et a j,n ( z) = O( z j ) par la Remarque 2.2. SiÂn 1 =Â C{ z} = {0} alors d = n 1 et la construction est terminée. Sinon on applique l hypothèse de récurrence à l idéalân 1 Çn 1 pour trouver unenouvelle base (e 1,...,e n 1 ) de Vect(e 0 1,...,e0 n 1 ), des coordonnées correspondantes (z 1,...,z n 1 ) et des polynômes de Weierstrass P k Âk, d + 1 k n 1, comme stipulé dans le lemme. (4.10) Lemme. Si w C est une racine de w d + a 1 w d a d = 0, a j C, alors w 2max a j 1/j.

17 17 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables Démonstration. Sinon w > 2 a j 1/j pour tout j = 1,...,d et l équation 1 = a 1 /w + + a d /w d implique d, contradiction. (4.11) Corollaire. Posons z = (z 1,...,z d ), z = (z d+1,...,z n ), et soient dans C d, dans C n d des polydisques de centre 0 et de rayons r,r > 0. Alors le germe (A,0) est contenu dans un cône z C z, C = constante, et la restriction de l application de projection C n C d, (z,z ) z : π : A ( ) est propre si r est assez petit et si r r /C. Démonstration. Les polynômes P k (z 1,...,z k 1 ; z k ) s annulent sur (A,0). D après (4.9) et le Lemme 4.10, tout point z A suffisamment proche de 0 satisfait l estimation z k C k ( z z k 1 ), d+1 k n, donc z C z et le Corollaire s ensuit. PuisqueÂd = {0}, nous avons un morphisme injectif d anneaux (4.12) Çd = C{z 1,...,z d } Çn/Â. (4.13) Proposition.Çn/Âest une extension algébrique entière finie deçd. Démonstration. Soit f Çn. Une division de f par P n donne f = P n q n + R n avec un reste R n Çn 1[z n ], deg zn R n < s n. Des divisions des coefficients de R n par P n 1, P n 2 etc... fournissent R k+1 = P k q k +R k, R k Çk[z k+1,...,z n  ], où deg zj R k < s j pour j > k. Par conséquent (4.14) f = R d + P k q k = R d mod (P d+1,...,p n ) d+1 k n etçn/âest engendré commeçd-module par la famille finie de monomes z α d+1 d+1...zα n n α j < s j. avec CommeÂest premier,çn/âest un anneau intègre. Nous noterons f l image d un germe quelconque f Çn dans le quotientçn/â, etåa etåd les corps des quotients deçn/âetçd respectivement. AlorsÅA =Åd[ z d+1,..., z n ] est une extension algebrique finie deåd. Soit q = [ÅA:Åd] son degré et soient σ 1,...,σ q les plongements deåa au dessus deåd dans la clôture algébriqueåa. Rappelons qu un anneau factoriel est intégralement clos dans son corps des quotients ([Lang 1965], Chapter VII). Par suite, tout élément deåd qui est entier algébrique surçd appartient en fait àçd. D après le théorème de l élément primitif, il existe une forme linéaire u(z ) = c d+1 z d+1 + +c n z n, c k C, telle queåa =Åd[ũ] ; en fait, u est de degré q si et seulement si σ 1 ũ,...,σ q ũ sont tous distincts, et ceci exclut au plus un nombre fini de sous-espaces vectoriels de l espace C n d des coefficients (c d+1,...,c n ). Comme ũ Çn/Âest entier algébrique sur l anneau intégralement closçd, le polynôme irréductible unitaire W u de ũ suråd a ses coefficients dansçd : W u (z ;T) = T q + 1 j q a j (z 1,...,z d )T q j, a j Çd. W u est nécessairement un polynôme de Weierstrass, sinon il existerait une factorisation W u = W QdansÇd[T]avec unpolynômedeweierstrass W dedegré degw < q = deg ũet Q(0) 0, donc W (ũ) = 0, contradiction. De la même manière, on voit que z d+1,..., z n possèdent des

18 4. Ensembles analytiques complexes. Propriétés locales 18 équations irréductibles W k (z ; z k ) = 0 où W k Çd[T] est un polynôme de Weierstrass de degré = deg z k q, d+1 k n. (4.15) Lemme. Soit δ(z ) Çd le discriminant de W u (z ;T). Pour tout élément g deåa qui est entier algébrique surçd (ou de façon équivalente surçn/â), on a δg Çd[ũ]. Démonstration. On a δ(z ) = j<k (σ kũ σ j ũ) 2 0, et g ÅA =Åd[ũ] peut s écrire g = 0 j q 1 b j ũ j, b j Åd, où b 0,...,b d 1 sont les solutions du système linéaire σ k g = b j (σ k ũ) j ; le déterminant (de type Van der Monde) est δ 1/2. Il s ensuit que les δb j Åd sont des polynômes en σ k g et σ k ũ, donc δb j est entier algébrique surçd. CommeÇd est intégralement clos, on a nécessairement δb j Çd, donc δg Çd[ũ]. En particulier, il existe des polynômes uniques B d+1,..., B n Çd[T] de degrés degb k q 1, tels que (4.16) δ(z )z k = B k (z ;u(z )) (modâ). Alors on a (4.17) δ(z ) q ( W k z ;B k (z ; T)/δ(z ) ) idéal W u (z ; T)Çd[T] ; en effet, le membre de gauche est un polynôme ençd[t] et admit la racine T = ũ dansçn/â puisque B k (z ; ũ)/δ(z ) = z k et W k (z ; z k  ) = 0. (4.18) Lemme. Considérons l idéal = ( W u (z ;u(z )), δ(z )z k B k (z ;u(z )) ) et posons m = max{q,(n d)(q 1)}. Pour tout germe f Çn, il existe un unique polynôme R Çd[T], deg T R q 1, tel que De plus f Âimplique R = 0, donc δ mâ. δ(z ) m f(z) = R(z ;u(z )) (mod ). Démonstration. Grâce à (4.17) et à une substitution de z k, on obtient δ(z ) q W k (z ;z k ). L analogue de la formule (4.14) où P k est remplacé par W k donne f = R d + d+1 k n W k q k, R d Çd[z d+1,...,z n ], avec deg zk R d < deg W k q, donc δ m f = δ m R d mod. On peut par conséquent remplacer f par R d et supposrquef Çd[z d+1,...,z n ] est unpolynôme de degré total (n d)(q 1) m. Une substitution de z k par B k (z ;u(z ))/δ(z ) donne G Çd[T] tel que δ(z ) m f(z) = G(z ;u(z )) mod ( δ(z )z k B k (z ;u(z )) ). Finalement, une division G = W u Q +R fournit le polynôme cherché R Çd[T]. La dernière affirmation est claire: si f Âsatisfait δ m (z )f(z) = R(z;u(z )) mod pour deg T R < q, alors R(z ;ũ) = 0, et comme ũ Çn/Âest de degré q, on doit avoir R = 0. L unicité de R se démontre d une manière semblable.

19 19 Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables (4.19) Théorème de paramétrisation locale. SoitÂun idéal premier deçn et A = V(Â). Supposons que les coordonnées (z ;z ) = (z 1,...,z d ;z d+1,...,z n ) soeint choisies comme indiqué plus haut. Alors l anneauçn/âest une extension entière finie deçd; soit q le degré de l extension et soit δ(z ) Çd le discriminant du polynôme irréductible d un élément primitif u(z ) = k>d c kz k. Si, sont des polydisques de rayons suffisamment petits r,r et si r r /C avec C assez grand, l application de projection π : A ( ) est un revêtement ramifié à q feuillets, dont le lieu de ramification est contenu dans S = {z ;δ(z ) = 0}. Ceci signifie que: a) le sous-ensemble ouvert A S = A ( ( S) ) est une variété de dimension d, dense dans A ( ) ; b) π : A S S est un revêtement ; c) les fibres π 1 (z ) ont exactement q éléments si z / S et au plus q si z S. De plus, A S est un revêtement connexe de S, et A ( ) est contenu dans un cône z C z (cf. Fig. 1). z C n p 0 A π S S z C p Fig. 1 Revêtement ramifié de A sur C p. Démonstration. Après une transformation linéaire des coordonnées z d+1,...,z n, on peut supposer que u(z ) = z d+1, donc W u = W d+1 et B d+1 (z ;T) = δ(z )T. Grâce au Lemme 4.18, on a = ( W d+1 (z,z d+1 ), δ(z )z k B k (z,z d+1 ) ) k d+2 Â, δ mâ. On peut donc trouver un polydisque = de rayons r,r assez petits tel que V(Â) V( ) V(δ mâ) dans. Comme V(Â) = A et V(δ) = S, ceci implique A V( ) (A ) (S ). En particulier, l ensemble A S = A ( ( S) ) situé au dessus de S coïncide avec V( ) ( ( S) ), qui est l ensemble des points z défini par les équations (4.20) { δ(z ) 0, W d+1 (z,z d+1 ) = 0, z k = B k (z,z d+1 )/δ(z ), d+2 k n. Comme δ(z ) est le résultant de W d+1 et de W d+1 / T, on a W d+1 / T(z,z d+1 ) 0 sur A S.

20 4. Ensembles analytiques complexes. Propriétés locales 20 Le théorème des fonctions implicites montre que z d+1 est localement fonction holomorphe de z sur A S, et la même affirmation vaut pour z k = B k (z,z d+1 )/δ(z ), k d+2. Par suite A S est une variété lisse, et pour r r /C petit, l application de projection π : A S S est un difféomorphisme local et un application propre; d après (4.20) les fibres π 1 (z ) ont au plus q points correspondant à certaines des q racines w de W d+1 (z ;w) = 0. Comme S est connexe (Remarque 4.2), ou bien A S = ou bien l application π est un revêtement ayant un nombre de feuillets q q constant. Par ailleurs, si w est une racine de W d+1 (z,w) = 0 avec z S and si on pose z d+1 = w, z k = B k (z,w)/δ(z ), k d+2, la relation (4.17) montre que W k (z,z k ) = 0, en particulier z k = O( z 1/q ) d après le Lemme Pour z assez petit, les q points z = (z,z ) définis de cette manière appartiennent à, donc q = q. La Propriété b) et les premières parties de a) et c) s ensuivent. On a maintenant besoin du lemme suivant. (4.21) Lemme. Si Çn est premier et A = V(Â), alorsáa,0 =Â. I.l est évident queáa,0 Â. Maintenant, pour tout f ÁA,0, la Prop implique que f satisfait dans l anneauçn/áune équation irréductible f r +b 1 (z )f r 1 + +b r (z ) = 0 (modâ). Alors b r (z ) s annule sur (A,0) et la première partie de c) donne b r = 0 sur S. Par conséquent b r = 0 et l irréductibilité de l équation de f implique r = 1, de sorte que f Â, ce qu il fallait montrer. Démonstration du Théorème 4.19 (fin). Il reste seulement à prouver que A S est connexe et dense dans A et que les fibres π 1 (z ), z S, ont au plus q éléments. Soient A S,1,...,A S,N les composantes connexes de A S. Alors π : A S,j S est un revêtement à q j feuillets, q q N = q. Pour tout point ζ S, il existe un voisinage U de ζ tel que A S,j π 1 (U) soit une réunion disjointe de graphes z = g j,k (z ) de fonctions analytiques g j,k Ç(U), 1 k q j. Si λ(z ) est une forme linéaire arbitraire en z d+1,...,z n et z S, on pose P λ,j (z ( ;T) = T λ(z ) ) = ( T λ gj,k (z ) ). {z ;(z,z ) A S,j } 1 k k j Ceci définit un polynôme en T dont les coefficients sont des fonctions holomorphes bornées sur S. Ces coefficients admettent des prolongements holomorphes à (Remarque 4.2), donc P λ,j Ç( )[T]. Par construction, P λ,j ( z ;λ(z ) ) s annule identiquement sur A S,j. Soit P λ = 1 j N P λ,j, f(z) = δ(z )P λ ( z ;λ(z ) ) ; f s annule sur A S,1... A S,N (S ( ) A. le Lemme 4.21 montre queáa,0 est premier; comme δ / ÁA,0, on obtient P λ,j z ;λ(z ) ) ÁA,0 pour un certain indice j. Ceci est une contradiction si N 2 et si λ est choisi en sorte que λ sépare les q points z ν de chaque fibre π 1 (z ν ), pour une suite z ν( 0 dans S. Par conséquent N = 1, A S est connexe, et pour tout λ (C n d ) on a P λ z,λ(z ) ) ( Á(A,0). Par construction P λ z,λ(z ) ) s annule sur A S, donc aussi sur on A S ; par conséquent, pour tout z S, la fibre A S π 1 (z ) possède au plus q éléments, sinon en choisissant λ qui sépare q+1 de ces points on obtiendrait q+1 racines λ(z ) de P λ (z ;T), contradiction. Supposons maintenant que A S ne soit pas dense dans A pour des polydisques arbitrairement petits. Alors il existerait une suite A z ν = (z ν,z ν ) 0 telle que z ν S et z ν ne soit pas dans F ν := pr ( A S π 1 (z ν) ). La continuité des racines du polynôme P λ (z ;T) lorsque S z z ν implique que l ensemble( des racines de P λ (z ν ;T) est λ(f ν ). Choisissons λ tel que λ(z ν) / λ(f ν ) pour tout ν. Alors P λ z ν ;λ(z ν) ) ( 0 pour tout ν et P λ z ;λ(z ) ) / ÁA,0, contradiction.

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Devoir à la maison : correction

Devoir à la maison : correction Calcul différentiel 2 Sous-variétés : bilan Devoir à la maison : correction Exercice 1. Un exemple de sous-variété : les structures complexes Soit E un R-espace vectoriel. Montrer que la donnée d une structure

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Exercice 1 Soient G, G deux groupes et f un homomorphisme de G dans G. Montrer que si A G, alors f( A )

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Olivier Debarre ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

Olivier Debarre ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE Olivier Debarre ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 2012 2013 Olivier Debarre ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 2012 2013 Olivier Debarre TABLE DES MATIÈRES I. Extensions de corps......................................................................

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

Opérateurs non-bornés

Opérateurs non-bornés Master Mathématiques Analyse spectrale Chapitre 4. Opérateurs non-bornés 1 Domaine, graphe et fermeture Soit H un espace de Hilbert. On rappelle que H H est l espace de Hilbert H H muni du produit scalaire

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Quelques remarques sur les d-webs des surfaces complexes et un problème proposé

Quelques remarques sur les d-webs des surfaces complexes et un problème proposé Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, Vol. X, No. 1 (2003) 21 Quelques remarques sur les d-webs des surfaces complexes et un problème proposé par D. Cerveau Ivan Pan Résumé On introduit une notion

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits. Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits 1 La qualité de la rédaction est un facteur important dans l appréciation

Plus en détail

Mathématiques autour de la cryptographie.

Mathématiques autour de la cryptographie. Mathématiques autour de la cryptographie. Index Codage par division Codage série Code cyclique Code dual Code linéaire Corps de Galois Elément primitif m séquence Matrice génératrice Matrice de contrôle

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

La filtration de Krull de la catégorie U et la cohomologie des espaces

La filtration de Krull de la catégorie U et la cohomologie des espaces ISSN 1472-2739 (on-line) 1472-2747 (printed) 519 Algebraic & Geometric Topology Volume 1 (2001) 519 548 Published: 5 Octoberber 2001 ATG La filtration de Krull de la catégorie U et la cohomologie des espaces

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Fonctions analytiques

Fonctions analytiques CHAPITRE Fonctions analytiques Les principaux résultats à retenir : soit U un ouvert de C et f : U C. f est analytique sur U si et seulement si f est développable en série entière au voisinage de chaque

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle Master de mathématiques Analyse numérique matricielle 2009 2010 CHAPITRE 1 Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires On veut résoudre un système linéaire Ax = b, où A est une matrice inversible

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Eléments de théorie des corps finis.

Eléments de théorie des corps finis. Université de Rouen Agrégation de mathématiques 2005-2006 Eléments de théorie des corps finis. Application : les codes correcteurs. Nicolas Bruyère Table des matières I Les corps finis 1 1 Corps finis

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Séminaire BOURBAKI Mars 2006 58ème année, 2005-2006, n o 958. ESPACES ANALYTIQUES p-adiques AU SENS DE BERKOVICH. par Antoine DUCROS

Séminaire BOURBAKI Mars 2006 58ème année, 2005-2006, n o 958. ESPACES ANALYTIQUES p-adiques AU SENS DE BERKOVICH. par Antoine DUCROS Séminaire BOURBAKI Mars 2006 58ème année, 2005-2006, n o 958 ESPACES ANALYTIQUES p-adiques AU SENS DE BERKOVICH par Antoine DUCROS INTRODUCTION Le but de ce texte est de présenter les fondements, ainsi

Plus en détail

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures Chapitre 2 Anneaux, algèbres 2.1 Structures Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations internes + et et d éléments 0 A et 1 A qui vérifient : associativité de l addition : commutativité de l addition

Plus en détail

P (X) = (X a) 2 T (X)

P (X) = (X a) 2 T (X) Université Bordeaux I - année 00-0 MHT0 Structures Algébriques Correction du devoir maison Exercice. Soit P (X) Q[X]\Q.. Soit D(X) := pgcd(p (X), P (X)). a) Montrer que si deg D alors il existe α C tel

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4

Plus en détail

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.

Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Une forme générale de la conjecture abc

Une forme générale de la conjecture abc Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Fonctions holomorphes

Fonctions holomorphes Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions holomorphes Christine Laurent-Thiébaut Ceci est le second volet de l étude des fonctions d une variable complexe, faisant suite au chapitre

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

Programme de la classe de première année MPSI

Programme de la classe de première année MPSI Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire

Plus en détail

ÉLÉMENTS D ANALYSE ET D ALGÈBRE. Pierre COLMEZ

ÉLÉMENTS D ANALYSE ET D ALGÈBRE. Pierre COLMEZ ÉLÉMENTS D ANALYSE ET D ALGÈBRE Pierre COLMEZ Pierre COLMEZ C.M.L.S., École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France. ÉLÉMENTS D ANALYSE ET D ALGÈBRE Pierre COLMEZ TABLE DES MATIÈRES Vocabulaire Mathématique....................................................................

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

1 Comptage de solutions et escaliers

1 Comptage de solutions et escaliers Licence Informatique Systèmes polynomiaux, que signifie : résoudre? Feuille de TD numéro 11 1 Comptage de solutions et escaliers Question 1. On considère le système suivant p1 := 2*x*y^2 + 3*x^2-5*y^3

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE

VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

Quadrature n 74 (2009) 10 22. Online Material

Quadrature n 74 (2009) 10 22. Online Material Quadrature n 74 (009) 10 Online Material E. Brugallé, Online Material Un peu de géométrie tropicale Solutions des exercices Erwan Brugallé Université Pierre et Marie Curie, Paris 6, 175 rue du Chevaleret,

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail