Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies 18 juin 2015 Antilles-Guyane
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- Augustin Audy
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1 Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies 18 juin 15 Antilles-Guyane EXERCICE 1 4 points On s intéresse, dans cet exercice, à l évolution annuelle en France de la production primaire d énergie par l éolien entre et 1. Le tableau ci-dessous donne cette évolution en kilotonnes équivalent pétrole (ktep). La «tonne équivalent pétrole», ou tep, est une unité de mesure de l énergie correspondant au pouvoir calorifique d une tonne de pétrole, c est-à-dire à la quantité de chaleur dégagée par la combustion par le dioxygène d une tonne de pétrole. Année Rang de l année : x i Production d énergie (ktep) : y i Source : INSEE 1. Complétons le tableau suivant en arrondissant les résultats à 1 près : Année Rang de l année : x i z i = ln ( ) y i 3, 3,99 5,,,7 7,1. Le nuage de points de coordonnées (x i, z i ) est représenté dans le plan muni d un repère orthonormé page. On prendra 1 cm comme unité. 3. Soit G le point moyen du nuage, calculons les coordonnées de G. Les coordonnées de G sont (x ; z) ,+3, ,1 x G = = 7 z G = 5,4 G (7 ; 5,4) est placé sur le graphique précédent. 4. À l aide de la calculatrice, une équation de la droite D d ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés est : z =,41x+,5 (les coefficients sont arrondis à 1 près). 5. Dans la suite de l exercice, on prendra pour D l équation z =,41x +,5. D est tracée dans le repère précédent.. Déterminons une expression de y en fonction de x. z i = ln y i est équivalent à y i = e z i. y = e,41x+,5 = e,41x e,5 = 1,94e,41x. 7. En utilisant la question précédente, à partir de quelle année la production annuelle en France d énergie par l éolien dépasserait-elle les 1 ktep? Pour ce faire, résolvons y = 1. 1,94e,41x = 1 ; e,41x = 1 1,94 donc que x 17. ;,41x = ln 77,798 ; x = ln 77,798,41 ; x 1,. Il faut À partir de 17 la production annuelle en France d énergie par l éolien dépasserait les 1 ktep. EXERCICE Les autorités de santé d une grande ville s intéressent aux enfants et aux jeunes adultes atteints d asthme. En 11, on a recensé environ 85 nouveaux cas. À partir de 11, le nombre de nouveaux cas déclarés augmente environ de,5 % par an. On désire modéliser la situation par une suite (u n ) de premier terme u = 85. Ainsi, u n modélise le nombre de nouveaux cas en (11+n). Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l unité. points 1. Calculons le nombre de nouveaux cas en 1 et en 13. À un taux d évolution de,5 % correspond un coefficient multiplicateur de 1,5. u 1 = 85 1,5 871 ; u = 871 1, a. (u n ) est une suite géométrique de raison 1,5 puisque chaque élément u n+1 se déduit du précédent u n en le multipliant par le même nombre.
2 b. Le terme général d une suite géométrique de premier terme u et de raison q est u n = u q n, donc u n = 85 (1,5) n c. Déterminons le nombre de nouveaux cas en c est-à-dire pour n= 9. u 9 = 85 (1,5) Selon ce modèle, nous pouvons estimer le nombre de nouveaux cas en à environ Déterminons à partir de quelle année on dépassera les 1 4 nouveaux cas. Pour ce faire, résolvons u n 14. ( ) 8 85 (1,5) n 14 ; (1,5) n 14 ( ) ln 8 17 ; n ln(1,5) ln ; n ln(1,5) ( ) 8 ln 17 or ln(1,5),8. Nous pouvons estimer qu en 3 (11+1) le nombre de nouveaux cas dépassera les On propose l algorithme suivant : Variables : Initialisation : Traitement : Sortie : U, S, N Affecter à U la valeur 85 Affecter à S la valeur U Affecter à N la valeur Tant que S< Affecter à U la valeur U 1,5 Affecter à S la valeur S+U Affecter à N la valeur N+ 1 Fin tant que Afficher N a. S dans cet algorithme comptabilise la somme des nouveaux cas depuis 11. b. La valeur finale obtenue pour N avec cet algorithme est. c. Les autorités sanitaires de la ville ont décidé que le seuil d alerte est atteint pour nouveaux cas déclarés depuis 11. En supposant que le nombre de nouveaux cas évolue de la même manière, déterminons l année à partir de laquelle cela se produira. En utilisant le résultat obtenu par l algorithme, nous pouvons estimer que le seuil sera atteint en 17 (11+). EXERCICE 3 On considère la fonction f définie sur R par : points f (x)= ( x 1,5x ) e x + b, où b désigne un nombre réel. Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; I ; J) du plan. PARTIE A : détermination de la fonction f Supposons que la courbe C passe par le point A( ; 3). 1. f ()=3.. En utilisant la question 1, déterminons la valeur du nombre b. f ()= 1+b = 3. Par conséquent b = 3. Antilles-Guyane 18 juin 15
3 Dans toute la suite du problème, on admettra que pour tout réel x, f (x)= ( x 1,5x ) e x + 3. PARTIE B : étude de la fonction f 1. a. Déterminons la limite de la fonction f en+. lim f (x)=+ puisque lim x + x(x 1,5)=+ et lim x + x + ex =+. b. Sachant que la limite de la fonction f en est 3, la courbe représentative de f admet la droite d équation y = 3 comme asymptote au voisinage de.. Montrons que la fonction dérivée f de la fonction f est définie pour tout nombre réel x par : f (x)= ( x +,5x 1,5 ) e x. Pour tout x, f (x)=(x 1,5)e x + (x 1,5x)e x = (x +,5x 1,5)e x. Nous obtenons bien ce qui était attendu. 3. a. Résolvons l équation x +,5x 1,5= dans R. =(,5) 4 1 ( 1,5)=,5=(,5 ). >, le trinôme admet deux racines : x 1 = b b 4ac a x +,5x 1,5= ( x+ 3 ) (x 1). b. Étudions le signe de f sur R. x = b+ b 4ac. D où x 1 = 3 a Puisque pour tout x R, e x >, le signe de f est celui de x +,5x 1,5. x x x 1 + x +,5x 1,5 + + x = 1 et par suite Pour tout x ] ; 3 [ ]1 ; + [, f (x)> et pour tout x ] 3 ; 1[, f (x)<. c. Dressons le tableau de variation de la fonction f sur R. Si pour tout x I, f (x) alors f est strictement croissante sur I. Pour tout x ] ; 3 [ ou pour tout x ]1 ; + [, f croissante sur chacun de ces intervalles. (x)>, par conséquent f est strictement Si pour tout x I, f (x)< alors la fonction f est strictement décroissante sur I. Pour tout x ] 3 ; 1[, intervalle. f (x) <, par conséquent f est strictement décroissante sur cet x f (x) + + f ,4 4. Déterminons l équation de la tangente T à la courbe C au point A d abscisse. L équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a est y = f (a)(x a)+ f (a). f ()=3 f ()= 1,5. Une équation de la tangente T à C f au point d abscisse est y = 1,5x a. le tableau de valeurs est complété ci-dessous. x , 5 1, 5,5 1 1,5 f (x) 3, 3,4 3,7 3,9 4, 3,9 3, 3, 1, 3 1,4 les résultats sont arrondis à 1 1 près. b. La courbe C et la tangente T sont représentées dans le repère (O ; I ; J) page 5. On prendra comme unité 1 cm. PARTIE C : Antilles-Guyane 3 18 juin 15
4 1. On considère la fonction F définie sur R par : F (x)= ( x 3,5x+ 3,5 ) e x + 3x. F est une primitive de f sur R lorsque F = f. F (x)=(x 3,5)e x + (x 3,5x+ 3,5)e x + 3= ( x 1,5x ) e x + 3= f (x) F est une primitive de f sur R. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Calculons l aire du domaine D du plan délimité par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équations respectives x = et x = 1. Sur [ ; 1], f > par conséquent l aire du domaine délimité par la courbe l axe des abscisses et les droites d équations x = et x = 1 est en unités d aire 1 f (x)dx. 1 [ ] 1 ( ) f (x)dx= (x 3,5x+ 3,5)e x + 3x = (1 3,5+3,5)e+3 ( 3,5e + ) = e,5. L aire du domaine est e,5 cm ou, cm au dixième près. EXERCICE 4 4 points Les probabilités seront arrondies à 1 3 près. Une usine pharmaceutique fabrique des comprimés. Elle est dotée d un service «contrôle et qualité» qui est chargé de trier les comprimés et d écarter ceux qui ont un défaut d enrobage. Lors d un contrôle, ce service constate que 4 % des comprimés ont un défaut d enrobage. PARTIE A Un technicien, responsable de la chaîne de fabrication, prélève un échantillon de comprimés. La production de comprimés est suffisamment importante pour que l on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de comprimés, associe le nombre de comprimés présentant un défaut d enrobage. 1. La loi de probabilité de X est une loi binomiale car il s agit de la répétition de n séries indépendantes et identiques caractérisées par deux issues de probabilité p et q telles que p+ q = 1. Le nombre n de prélèvements est et la probabilité que le comprimé ait un défaut d enrobage est,4. Nous avons donc une loi binomiale de paramètres ( ;,4) Par conséquent p(x = k)= ( k ) (,4) k (,9) k. Déterminons la probabilité de l évènement A «L échantillon contient exactement 3 comprimés présentant un défaut d enrobage». À l aide de la calculatrice p(x = 3) =,7. 3. Déterminons la probabilité de l évènement B «Le prélèvement contient au moins 3 comprimés présentant un défaut d enrobage». p(b)=1 p(x )=1,1=,988. PARTIE B On décide d approcher la variable aléatoire X donnant le nombre de comprimés présentant un défaut d enrobage dans l échantillon de comprimés de la partie A par la variable aléatoire Y qui suit la loi normale d espérance µ et d écart-type σ. 1. µ=e(x )=np =,4=8et σ= np(1 p)=,4,9= 7,8,77 (valeur arrondie à 1 près).. À l aide de la calculatrice P(Y ),111. PARTIE C Le technicien estime que ce pourcentage de 4 % de comprimés présentant un défaut d enrobage est trop élevé. Il décide alors de régler la machine pour abaisser ce taux à,8 %. Après avoir terminé son réglage, le technicien fait un prélèvement de 7 comprimés. Antilles-Guyane 4 18 juin 15
5 1. Déterminons l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des comprimés présentant un défaut d enrobage dans cet échantillon de 7 comprimés (arrondir à 1 3 ). L intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence f observée est : [ ] p(1 p) p(1 p) p 1,9, p+ 1,9 n n [ ],8(1,8),8(1,8),8 1,9,,8+1,9 ) [,1 ;,15 ] 7 7 Parmi les 7 comprimés, le technicien trouve 1 comprimés présentant un défaut d enrobage.. La fréquence des comprimés présentant un défaut d enrobage dans cet échantillon est : 1 7, Le technicien peut considérer son réglage efficace car la fréquence de comprimés présentant un défaut d enrobage appartient à l intervalle de fluctuation. EXERCICE 3 Partie B : 5. b (C ) T O Antilles-Guyane 5 18 juin 15
6 Corrigé STL Biotechnologies A. P. M. E. P. EXERCICE 1 8 z 7 5 G D rang de l année Antilles-Guyane 18 juin 15
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